【通用版】2018-2019学年高中理数新创新一轮复习 选修4-5 不等式选讲含解析

选修4－5⎪⎪⎪不等式选讲第一节 绝对值不等式本节主要包括2个知识点： 1.绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式.突破点(一) 绝对值不等式的解法[基本知识](1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．[基本能力]1．判断题(1)不等式|x |<a 的解集为{x |－a <x <a }．( )(2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (3)不等式|2x －3|≤5的解集为{x |－1≤x ≤4}．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．填空题(1)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案：2(2)不等式|2x －1|>3的解集为________． 解析：由|2x －1|>3得，2x －1<－3或2x －1>3，即x <－1或x >2. 答案：{x |x <－1或x >2}(3)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53<x <13，则a ＝________. 解析：依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，5a ， 从而有⎩⎨⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解．当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫5a，－1a ， 从而有⎩⎨⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.答案：－3(4)不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}[全析考法]绝对值不等式的解法[典例] 解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0. (2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x 2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ， |x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．[全练题点]1．求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集． 解：不等式|x －1|－|x －5|<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，－(x －1)＋(x －5)<2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5<2 或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，x －1－(x －5)<2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－4<2或⎩⎨⎧1≤x ≤5，2x <8或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，4<2，故原不等式的解集为{x |x <1}∪{x |1≤x <4}∪∅＝{x |x <4}．2．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.3．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |，g (x )＝|x －2|＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1，∴f (x )≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－2x －1≥5或⎩⎨⎧－2<x <1，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋1≥5.解得x ≥2或x ≤－3，∴不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．(2)∵对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}． ∵f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |≥|(x －1)－(x ＋a )|＝|a ＋1|(当且仅当(x －1)(x ＋a )≤0时等号成立)，g (x )＝|x －2|＋1≥1，∴|a ＋1|≥1，∴a ＋1≥1或a ＋1≤－1，∴a ≥0或a ≤－2，∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． 4．(2018·湖北黄石调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|. (1)解不等式f (x )≥8；(2)若不等式f (x )<a 2－3a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x <3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x >1.当x <－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，4≥8，不成立； 当x >1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3.∴不等式f (x )≥8的解集为{x |x ≤－5或x ≥3}．(2)由(1)得f (x )min ＝4.又∵不等式f (x )<a 2－3a 的解集不是空集，∴a 2－3a >4，解得a >4或a <－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．突破点(二) 绝对值三角不等式[基本知识]绝对值三角不等式定理[基本能力]1．判断题(1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.()(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.()答案：(1)√(2)√2．填空题(1)函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，即函数y的最小值为8.答案：8(2)设a，b为满足ab<0的实数，那么下列正确的是________．①|a＋b|>|a－b|②|a＋b|<|a－b|③|a－b|<||a|－|b|| ④|a－b|<|a|＋|b|解析：∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.答案：②(3)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4][全析考法][例1]已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.[证明]∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例2] (2018·湖南五市十校联考)设函数f (x )＝|x －a |＋|x －3|，a <3. (1)若不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，求a 的值；(2)若对∀x ∈R ，不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，求实数a 的取值范围．[解](1)法一：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋3，x <a ，3－a ，a ≤x ≤3，2x －a －3，x >3，当x <a 时，－2x ＋a ＋3≥4，得x ≤a －12； 当x >3时，2x －a －3≥4，得x ≥7＋a2.已知f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，则显然a ＝2.法二：由已知易得f (x )＝|x －a |＋|x －3|的图象关于直线x ＝a ＋32对称，又f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，则12＋92＝a ＋3，即a ＝2.(2)法一：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋2|x －3|≥1恒成立． 当x ≤a 时，－3x ＋a ＋5≥0恒成立，得－3a ＋a ＋5≥0，解得a ≤52；当a <x <3时，－x －a ＋5≥0恒成立，得－3－a ＋5≥0，解得a ≤2；当x ≥3时，3x －a －7≥0恒成立，得9－a －7≥0，解得a ≤2. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，2]．法二：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋|x －3|≥－|x －3|＋1恒成立， 由图象(图略)可知f (x )＝|x －a |＋|x －3|在x ＝3处取得最小值3－a ， 而－|x －3|＋1在x ＝3处取得最大值1，故3－a ≥1，得a ≤2. 故实数a 的取值范围为(－∞，2]．[全练题点]1.[考点一]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当a ＝1时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ， 由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2.[考点二]已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m >0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )<|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m ，－2x －2m ，－3m <x <m ，4m ，x ≤－3m .当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1，－3<x <1或x ≤－3，得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32.(2)不等式f (x )<|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )<(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max <(|2＋t |＋|t －1|)min ，∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m <3，又m >0，∴0<m <34，即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34. 3.[考点二]已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R)；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＋a －1>0， 即|x －2|＋a －1>0.当a ＝1时， 原不等式化为|x －2|>0，解得x ≠2，即解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，|x －2|>1－a (1－a >0)，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)． (2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， 即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又由绝对值三角不等式知，对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5， 当且仅当(x －2)(x ＋3)≤0时等号成立．于是得m <5，故m 的取值范围是(－∞，5).[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．[课时达标检测] 1．已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )>6的解集；(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝3时，f (x )>6，即|x ＋3|－|5－x |>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，x ＋3－(x －5)>6，解得x ≥5；或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <5，x ＋3＋(x －5)>6，解得4<x <5； 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋(x －5)>6，解集是∅. 故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}．(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|，由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，解得－15≤m ≤5，故m 的取值范围为[－15,5]．2．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解：(1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪a 2－1，由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]． (2)由2x －a ＝0得x ＝a 2，由x －1＝0得x ＝1，由a <2知a 2<1，∴f (x )＝⎩⎨⎧－3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x <a2，x －a ＋1⎝⎛⎭⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).函数的图象如图所示． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a2＋1＝3， 解得a ＝－4.3．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，f (x )>4，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4，解得x <－2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x <－32时，f (x )＝－3x －2，∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52，∴a ＋1≤52，即a ≤32.∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 4．(2018·长春模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x (a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集是∅. 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0； 当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1. 综上，原不等式的解集是{x |x <0}． (2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1， 当且仅当x ＝aa 时等号成立， 所以g (x )min ＝2a －1，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 5．(2018·湖北四校联考)已知函数f (x )＝e |x ＋a |－|x －b |，a ，b ∈R.(1)当a ＝b ＝1时，解不等式f (x )≥e ； (2)若f (x )≤e 2恒成立，求a ＋b 的取值范围．解：(1)当a ＝b ＝1时，f (x )＝e |x ＋1|－|x －1|，由于y ＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥e 等价于|x ＋1|－|x －1|≥1，①当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝x ＋1－(x －1)＝2，则①式恒成立； 当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥1，此时12≤x <1；当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，不等式的解集是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)f (x )≤e 2等价于|x ＋a |－|x －b |≤2，② 因为|x ＋a |－|x －b |≤|x ＋a －x ＋b |＝|a ＋b |， 所以要使②式恒成立，只需|a ＋b |≤2， 可得a ＋b 的取值范围是[－2,2]．6．(2018·湖北枣阳一中模拟)已知f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |，g (a )＝a 2－a －2. (1)当a ＝3时，解关于x 的不等式f (x )>g (a )＋2；(2)当x ∈[－a,1)时恒有f (x )≤g (a )，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝3时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3<x <1，2x ＋2，x ≥1，g (3)＝4.∴f (x )>g (a )＋2化为|x －1|＋|x ＋3|>6，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2>6，x ≤－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ 4>6，－3<x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2>6，x ≥1，解得x <－4或x >2.∴所求不等式解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． (2)∵x ∈[－a,1)．∴f (x )＝1＋a .∴f (x )≤g (a )即为1＋a ≤a 2－a －2，可化为a 2－2a －3≥0，解得a ≥3或a ≤－1. 又∵－a <1，∴a >－1.综上，实数a 的取值范围为[3，＋∞)．7．(2018·安徽蚌埠模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，∴－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|， g (x )＝|x －1|＋2≥2，∴|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54<x <12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103.第二节 不等式的证明本节重点突破1个知识点：不等式的证明.突破点 不等式的证明[基本知识]1．基本不等式(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3．综合法与分析法 [基本能力]1．判断题(1)已知x 为正实数，则1＋x ＋1x ≥3.( ) (2)若a >2，b >2，则a ＋b >ab .( ) (3)设x ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1则S ≥x .( )答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．填空题(1)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，∴1a ＋1b ≥4a ＋b＝2，即1a ＋1b的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立)．答案：2(2)已知正实数a ，b 满足2ab ＝a ＋b ＋12，则ab 的最小值是________．解析：由2ab ＝a ＋b ＋12，得2ab ≥2ab ＋12，当且仅当a ＝b 时等号成立．化简得(ab －3)(ab ＋2)≥0，解得ab ≥9，所以ab 的最小值是9.答案：9(3)已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c ， 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9(4)设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________________．解析：若x >y ，则x －y ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a ) ＝a 2b 2－2ab ＋a 2＋4a ＋5 ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0， ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－2[全析考法][例1] 求证：(1)当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2； (2)当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b ≥(ab )a ＋b2.[证明] (1)法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.(2)a a b b(ab )a ＋b2＝a a －b 2b b －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b2， ∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b a －b2＝1， 当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b ≥(ab )a ＋b 2.[方法技巧]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．综合法证明不等式[例2] 已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .[证明] 因为a ，b ，c ＞0，且互不相等，abc ＝1， 所以a ＋b ＋c ＝ 1bc＋ 1ac＋ 1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c ，即a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .[方法技巧]综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0；|a |≥0. (2)a 2＋b 2≥2ab .(3)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；a b ＋b a ≥2(ab >0)；a b ＋b a ≤－2(ab <0)．分析法证明不等式[例3] (2018·福建毕业班质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． [解] (1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1，①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；②当－1＜x ＜－12时， 不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时不等式无解；③当x ≥－12时， 不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1.综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以，要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[方法技巧]分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[全练题点]1.[考点三]设x≥1，y≥1，求证x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.证明：由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．2.[考点一]设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M.(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.3.[考点二]已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；(2)t·a2＋b2c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，求实数t的取值范围．解：(1)证明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均为正数，得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc，所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d|>|b－c|.(2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，所以t·a2＋b2c2＋d2＝t(ac＋bd)．由于a 4＋c 4≥2ac ，b 4＋d 4≥2bd ，又已知t ·a 2＋b 2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4， 则t (ac ＋bd )≥2(ac ＋bd )，故t ≥2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12. 当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1， 所以－1<x ≤12； 当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以12≤x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.[课时达标检测]1．(2018·武汉调研)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1. 证明：要证 a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1，即证2ab ≤12，即证ab ≤14. 而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14成立， ∴原不等式成立．2．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，其最小值为t .(1)求t 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝t ，求证：1a ＋4b ≥94. 解：(1)因为|x ＋3|＋|x －1|＝|x ＋3|＋|1－x |≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以f (x )min ＝4，即t ＝4.(2)证明：由(1)得a ＋b ＝4，故a 4＋b 4＝1，1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a 4＋b 4＝14＋1＋b 4a ＋a b ≥54＋2b 4a ×a b ＝54＋1＝94，当且仅当b ＝2a ，即a ＝43，b ＝83时取等号，故1a ＋4b ≥94. 3．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0. 所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.4．(2018·广州模拟)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3.(1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.解：(1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz>0， 所以(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z 取得最小值3.(2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．又因为x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.5．(2018·安徽百所重点高中模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|2x ＋a |＋2⎪⎪⎪⎪x －b 2＋1的最小值为2.(1)求a ＋b 的值；(2)求证：a ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥3－b .解：(1)因为f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －b |＋1≥|2x ＋a －(2x －b )|＋1＝|a ＋b |＋1， 当且仅当(2x ＋a )(2x －b )≤0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(2)由(1)知，a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4a b≥5＋2 b a ·4a b ＝9， 当且仅当b a ＝4a b 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号． 所以log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥log 39＝2，所以a ＋b ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥1＋2＝3，即a ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥3－b .6．(2018·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1.7．(2018·安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2；(2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．解：(1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|.因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52. 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. (2)证明：由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立．8．(2018·重庆模拟)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．。