对数与对数函数

对数与对数函数

【考纲要求】

1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用

2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10，

1

2

的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型；

4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)．

【基础再现】

1．对数的定义

如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．

2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)

①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式

①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；

②log a b ＝1

log b a

，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.

(3)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M

N ＝____________；

3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质

5 指、对函数的关系

③log

a

M n＝__________(n

∈R)；

④log am M n＝

n

m log a M.

【例题选讲】

例1 ⑴27

log

9

，⑵81

log

43

，⑶()()3

2

log

3

2

-

+

，⑷625

log

34

5

例2 ⑴

=

⑵2

5

log()a

-=

⑶

3

log1= = ⑷2

(lg5)lg2lg50

+⋅＝. ⑸()2

151515

log5log45log3

⋅+

例4 ⑴已知

3

log2a

=，35

b=用a b

，表示log

⑵已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于

例5 （1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；

（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.

例6 求x 的值：①4

3log 3-=x

②3

5log 2-=x ③()()

1123log 2122

=-+-x x x

④()[]0log log log 432=x

例7 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x = ；

（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .

例8 ①函数2)3(log +-=x y a 的图象恒过定点 ．

②函数y =log a x 在［2，+∞)上恒有│y │＞1，则a 的取值范围是 ． ③若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的两倍，则a 等于 ．

④已知2log (21)log (3)0a a a a +<<，则a 的取值范围为 例9 ①三个数 60。

7、0.76、log 0。76的大小顺序是：

②比较()2

ln2,ln ln2,ln 2的大小顺序是

③比较

ln 2ln 3ln 5

,,235

的大小顺序是 ④若2

1a b a >>>，则log b b a

，log b a ，log a b 从小到大依次为

10 求下列各函数的定义域．

（1）)

23(log 13-=

x y ； （2）()f x =

11 若x 满足不等式2112

2

2(log )7log 30x x ++≤，求函数2

2()(log )(log )42

x x

f x =⋅的最大值与最小值．

12 已知函数2

221

()log log (1)log (),(1)1

x f x x p x p x +=+-+->-．

问：)(x f 是否存在最值？若存在，试把它求出来．

13 设0a ≠，对于函数23()log ()f x ax x a =-+，

（1）若x R ∈，求实数a 的取值范围； （2）若()f x R ∈，求实数a 的取值范围． 14 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。

若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则=)(x g 。（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形

15 已知1x 是方程3lg =⋅x x 的一个根，2x 是方程310=⋅x

x 的一个根，那么21x x ⋅的值是 。

16 若1x 满足2x +2x

=5, 2x 满足2x +22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） （A ）52 (B)3 (C) 7

2

(D)4