对数与对数函数
第二章 第六节 对数与对数函数
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
(1)D
(2)A
解
析
：
(1)a
＝
log315
＝
log3
3×5
＝ 1 ＋ log35>1 ， b ＝ log420 ＝
log44×5
＝1＋log45>1，c＝log21.9<1，因为
log35＝llgg
5 3
lg 5 >lg 4
＝log45，所以 a>b>c.
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
D
解析：画出函数 f(x)＝|lg x|，∵f(2)＝|lg 2|＝|－lg 2|＝lg
1 2
，且14
1 <3
1 <2
，
∴f14
1 >f3
1 >f2
，即 a>b>c.
5．(多选)函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图所示， 则下列结论成立的是( )
第二章 函 数 第六节 对数与对数函数
必备知识 增分策略 关键能力 精准突破
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必备知识 增分策略
必备知识 1．对数的概念 如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫作以 a 为底，(正)数 N 的对数，记作 b ＝logaN.这里，a 叫作对数的_底__数_，N 叫作对数的真数．
答案：0，
2 2
解析：若方程 4x＝logax 在0，12 上有解，则函数 y＝4x 与
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。
对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。
下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。
一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。
a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。
对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。
2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。
常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。
二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。
2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。
b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。
c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。
d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。
三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。
例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。
高中数学第七节 对数与对数函数
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第七节
对数与对数函数
结束
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数 幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
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第七节
对数与对数函数
结束
[试一试] 1． (2013· 苏中三市、 连云港、 淮安二调)“M>N”是“log2M>log2N”
成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 解析：当 M，N 为负数时，不能得到 log2M>log2N，而根据函
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第七节
对数与对数函数
结束
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当 a>1 时，对数函数的图像“上升”；
当 0<a<1 时，对数函数的图像“下降”．
(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1，3)．
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数函数和对数型函数的区别
对数函数和对数型函数的区别
对数函数和对数型函数都是数学中的一种函数类型，它们都跟指数运算相关。
然而，它们之间还是有一些区别的。
1. 对数函数
对数函数是一种基本的函数类型，用于解决指数运算的问题。
对数函数的通用表示式为：
y = loga(x)
其中，a 表示底数，x 表示真数，y 表示对数。
这个函数表达的是这样一个意思：对数 y 是底数 a 的多少次幂等于 x。
对于对数函数，它的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。
对数函数有以下几种常见的形式：
1）自然对数函数：y = ln(x)
对数函数有很多应用，比如在物理、化学、工程学等领域，对数函数经常用来解决指数运算相关的问题。
与对数函数类似，对数型函数也是表现指数运算的函数类型。
然而，对数型函数不是以对数的形式来表达指数运算，而是通过其他数学方法来实现。
对数型函数有以下几种常见的形式：
其中，幂函数、指数函数、指数递减函数、指数递增函数都是对数型函数的一种。
对于对数型函数，与对数函数相比，它没有一个统一的形式，而是根据实际应用来设计具体形式。
对数型函数的定义域、值域也与对数函数不同，具体来说，定义域和值域会因具体函数形式的不同而不同。
对数型函数同样也有很多应用。
比如在经济学和生物学等领域，幂函数、指数函数等函数形式经常用来描述某些现象的数量级或增长趋势。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数的概念(1).对数的定义:如果 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba a Nb N =⇔= 如22=4 ==> lg 24=2 注意：负数与0没有对数(2).常用对数： 10log N 叫做常用对数，记作lg N 如lg2 ，自然对数：无理数 2.71828e=⋅⋅⋅为底记作ln N 。
(3).注意：①log a 1=0 ②log a a=1 ③lg10=1 ④1ne=1 如log a （x-1）=1 则x-1=a 若log a （x-1）=0 则x-1=1 2.对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N>≠>且②log Na a = (01,0)a a N >≠>且(2)换底：log aN =log log b b Na(a ，b>0且a ，b ≠1,N>0) log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d (a ，b,c>0且a ，b,c ≠1)3.对数的运算性质:如果01,0,0aa M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = . （2）log a MN= （3）log n a M = （4）log n amM = （5）log log a b b a ⋅= （6）log a b =1log b a例1．指数式34 =81的对数式是 ，对数式41log 2=－2的指数式是 。
log 55= log 39= , (3)49log 77 = , (4) log 575－log 53 = ，(5) lg10 = , (6)log 21 = lne=_________例2.计算 （1）()()222lg 2lg 2lg 5lg 2lg 21+⋅+-+ （2）()()231lg 5lg8lg1000lg 2lg lg 0.066++++(3)22271log log 12log 421482+--(4)()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+(5)()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+ 例3．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( )A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．b a ba +-+12例4．已知2 lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则yx 的值为 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或2课堂练习：1、已知log 5X=3，则X =（ ）A 100 B 1000 C 25 D 1252、在对数式N alog =b 中，真数N 的取值范围是（ ）A N ＞0 B N>0且N ≠1 C N ≠1 D N 取任何实数3、式子lg5+lg800－2lg2 =（ ） A 1000 B 100 C 3 D 24、如果a>0且a ≠1，则正确的是（ ）A 5log 3log 2log a a a=+ B 6log 3log 2log a a a =+C 3log 2log 3log 2log a a a a∙=+ D 6log 3log 2log a a a =∙5、ln 3e+lne 3=( ) A 2 B 3 C 4 D 66、如果a>0且a ≠1，则下列式子错误的是（ ） A log a 1= 0 B log a a =1 C log a M n= n DN a N a =log7、式子=3log 9log 28（ ） A.32B.1C.23D. 2 8、式子16log 8=（ ）A43 B4 C34 D 39、下列等式不成立的有（ ） A lne=1 B ln1=0 C ln 2e=2 D e ln2=2 10.计算(1)25log 41log 49log 752∙∙(2)2)18(lg - －125(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(4)()643log [log log 81](5)23lg 3lg 9lg 27lg 355lg81lg 27++-- (6)()502log 33335322log 2log log 85log 89-+-+11.若234342423log log log log log log log log log 0xy z ===，求x y z ++=的值。
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对数与对数函数
【考纲要求】
1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用
2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10，
1
2
的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型；
4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)．
【基础再现】
1．对数的定义
如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)
①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式
①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a
，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.
(3)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M
N ＝____________；
3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质
5 指、对函数的关系
③log
a
M n＝__________(n
∈R)；
④log am M n＝
n
m log a M.
【例题选讲】
例1 ⑴27
log
9
，⑵81
log
43
，⑶()()3
2
log
3
2
-
+
，⑷625
log
34
5
例2 ⑴
=
⑵2
5
log()a
-=
⑶
3
log1= = ⑷2
(lg5)lg2lg50
+⋅＝. ⑸()2
151515
log5log45log3
⋅+
例4 ⑴已知
3
log2a
=，35
b=用a b
，表示log
⑵已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于
例5 （1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；
（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.
例6 求x 的值：①4
3log 3-=x
②3
5log 2-=x ③()()
1123log 2122
=-+-x x x
④()[]0log log log 432=x
例7 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x = ；
（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .
例8 ①函数2)3(log +-=x y a 的图象恒过定点 ．
②函数y =log a x 在［2，+∞)上恒有│y │＞1，则a 的取值范围是 ． ③若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的两倍，则a 等于 ．
④已知2log (21)log (3)0a a a a +<<，则a 的取值范围为 例9 ①三个数 60。
7、0.76、log 0。
76的大小顺序是：
②比较()2
ln2,ln ln2,ln 2的大小顺序是
③比较
ln 2ln 3ln 5
,,235
的大小顺序是 ④若2
1a b a >>>，则log b b a
，log b a ，log a b 从小到大依次为
10 求下列各函数的定义域．
（1）)
23(log 13-=
x y ； （2）()f x =
11 若x 满足不等式2112
2
2(log )7log 30x x ++≤，求函数2
2()(log )(log )42
x x
f x =⋅的最大值与最小值．
12 已知函数2
221
()log log (1)log (),(1)1
x f x x p x p x +=+-+->-．
问：)(x f 是否存在最值？若存在，试把它求出来．
13 设0a ≠，对于函数23()log ()f x ax x a =-+，
（1）若x R ∈，求实数a 的取值范围； （2）若()f x R ∈，求实数a 的取值范围． 14 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。
若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则=)(x g 。
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形
15 已知1x 是方程3lg =⋅x x 的一个根，2x 是方程310=⋅x
x 的一个根，那么21x x ⋅的值是 。
16 若1x 满足2x +2x
=5, 2x 满足2x +22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） （A ）52 (B)3 (C) 7
2
(D)4。