对数函数典型例题
对数函数精选练习题(带答案)
对数函数精选练习题（带答案）1．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎝⎛⎦⎤12，1答案 D解析 要使函数解析式有意义，须有log 23(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，所以12<x ≤1，所以函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.2．函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图，则函数g (x )＝a x －b 的图象可能是( ) 答案 D解析 由图象可知0<a <1且0<f (0)<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1， ①0<log a b <1， ②解②得log a 1<log a b <log a a ，∵0<a <1，∴由对数函数的单调性可知a <b <1， 结合①可得a ，b 满足的关系为0<a <b <1，由指数函数的图象和性质可知，g (x )＝a x －b 的图象是单调递减的，且一定在y ＝－1上方．故选D.3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN 最接近的是1093.故选D.4．已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，g (x )＝f (x )＋2x ，若g (log 27)＝3，则g ⎝⎛⎭⎫log 217＝( )A ．－4B ．4C ．－277 D.277 答案 C解析 由g (log 27)＝3可得，g (log 27)＝f (log 27)＋7＝3，即f (log 27)＝－4，则g ⎝⎛⎭⎫log 217＝f (－log 27)＋17＝－4＋17＝－277.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝( ) A ．－13 B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 因为log 49＝log 29log 24＝log 23>0，f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－f (－log 23)＝－2－log 23＝－2log2 13＝－13.6．设a ＝log 54－log 52，b ＝ln 23＋ln 3，c ＝1012 lg 5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 A解析 由题意得，a ＝log 54－log 52＝log 52，b ＝ln 23＋ln 3＝ln 2，c ＝10 12 lg 5＝5，得a ＝1log 25，b ＝1log 2e ，而log 25>log 2e>1，所以0<1log 25<1log 2e <1，即0<a <b <1.又c ＝5>1.故a <b <c .故选A.7．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C. 8．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0 答案 D解析 因为log a b >1，所以a >1，b >1或0<a <1,0<b <1，所以(a －1)(b －1)>0，故A 错误； 当a >1时，由log a b >1，得b >a >1，故B ，C 错误．故选D.9．(2019·北京模拟)如图，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C. 2 D.3 答案 D解析 因为直线BC ∥y 轴，所以B ，C 的横坐标相同；又B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，所以|BC |＝2.即正三角形ABC 的边长为2.由点A 的坐标为(m ，n )，得B (m ＋3，n ＋1)，C (m ＋3，n －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝log 2m ＋2，n ＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以log 2m ＋2＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以m ＝ 3.10．(2018·湖北宜昌一中模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递增，且b ＝lg 0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 B解析 由5＋4x －x 2>0，得－1<x <5， 又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2， ∴复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的增区间为(2,5)，∵函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg 0.9<0,1<c ＝20.9<2，所以b <c <a .11．(2019·石家庄模拟)设方程10x ＝|lg (－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1答案 D解析 作出y ＝10x 与y ＝|lg (－x )|的大致图象，如图．显然x 1<0，x 2<0.不妨设x 1<x 2，则x 1<－1，－1<x 2<0， 所以10 x 1＝lg (－x 1)，10 x 2＝－lg (－x 2)， 此时10 x 1<10 x 2， 即lg (－x 1)<－lg (－x 2)， 由此得lg (x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1.12．函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________． 答案 (2,2)解析 令x ＝2得y ＝log a 1＋2＝2，所以函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过定点(2,2)．13．(2019·成都外国语学校模拟)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案 3解析 因为2x ＝3，所以x ＝log 23.又因为y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 14．(2018·兰州模拟)已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________． 答案 2或12解析 ①当a >1时，y ＝log a x 在[2,4]上为增函数． 由已知得log a 4－log a 2＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2. ②当0<a <1时，y ＝log a x 在[2,4]上为减函数． 由已知得log a 2－log a 4＝1，所以log a 12＝1，a ＝12.综上知，a 的值为2或12.15．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．16．(2019·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ，x ≥2，2a x －3a ，x <2(其中a >0，且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 由题意，分段函数的值域为R ，故其在(－∞，2)上应是单调递减函数，所以0<a <1，根据图象可知，log 122≥2a 2－3a ，解得12≤a ≤1.综上，可得12≤a <1.。
高一数学对数函数经典题及详细答案
高一数学对数函数经典题及详细答案1、已知3a=2，那么log3 8-2log3 6用a表示是（）A、a-2.B、5a-2.C、3a-(1+a)。
D、3a-a2/2答案：A。
解析：由3a=2，可得a=log3 2，代入log3 8-2log3 6中得：log3 8-2log3 6=log3 2-2log3 (2×3)=3log3 2-2(log3 2+log33)=3a-2(a+1)=a-2.2、2loga(M-2N)=logaM+logaN，则M的值为（）A、N/4.B、M/4.C、(M+N)2.D、(M-N)2答案：B。
解析：2loga(M-2N)=logaM+logaNloga(M-2N)2=logaMNM-2N=MNM=4N3、已知x+y=1，x>0，y>0，且loga(1+x)=m，loga(1-y)=n，则loga y等于（）A、m+n-2.B、m-n-2.C、(m+n)/2.D、(m-n)/2答案：D。
解析：由已知可得1-x=y，代入loga(1+x)=m中得loga(2-x)=m，两式相减得loga[(2-x)/(1+x)]=m-n，化简得loga[(1-x)/x]=m-n，即loga y=m-n，所以答案为D。
4、若x1，x2是方程lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0的两根，则x1x2=（）A、1/3.B、1/6.C、1/9.D、1/36答案：B。
解析：将lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0化为对数形式，得：log2x+(log23+log22)logx+log32=0log2x+(log2×3+log22)logx+log3+log2=0XXXlog2x+log2xlog23+log32+log2=0log2x(1+log23)+log32+log2=0log2x=log32+log2/(1+log23)x=2log32+log2/(1+log23)x1x2=2log32+log2/(1+log23)×2log32+log2/(1+log23)2log32+log2/(1+log23)22log32+2log2/(1+log23)2log2(3/2)2/(1+log23)2log2(9/4)/(1+log23)2log29/(1+log23)2log29/(1+log2+log23)2log29/(3+log23)2log29/(3+log2+log3)2log29/(3+1+log3)2log29/(4+log3)2log29/(4+log3/log10)2log29/(4+0.4771)1/61.答案D，已知lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为16.2.答案C，已知log7[log3(log2x)]=0，则x等于2^3=8，x-1/2=2^3-1/2=15/2，x1•x2=2^3•15/2=60.3.答案C，lg12=2a+b，lg15=b-a+1，比值为(2a+b)/(1-a+b)，化简得到2a+b/(1-a+b)。
对数函数【八大题型】(人教A版2019必修第一册)
C． < < <
D． < < <
7
对数函数
【例 5】已知函数() = log ( + + 3) − 2．
（1）若 = 2，求函数()的值域
（2）若函数()在 1， + ∞ 上单调递增，求的取值范围
人
教
A
版
高
中
数
学
【变式 5-1】已知函数() = lg
︵
， ∈
，8 ，则()的值域为（
对
A． −3，1
B． −1，3
数
C． 0，1
D． −3，0
）
函
数
【变式 1-2】下列各组函数中，定义域相同的一组是（
︶
）
A． = 与 = log > 0， 且 ≠ 1)
B． = 2ln与 = ln
C． = lg与 = lg√
D． = 与 = lg
高
定义域
性
质
中
值域
R
数
过定点
(1，0)
学
单调性
在
函数值的
变化范围
上是减函数
在
︵
上是增函数
当 0<x<1 时，y>0
当 0<x<1 时，y<0
当 x=1 时，y=0
当 x=1 时，y=0
当 x>1 时，y<0
当 x>1 时，y>0
对
数
函
数
︶
2．底数 a 对对数函数图象的影响
（1）底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”．
C． < <
对数函数典型例题
对数函数典型例题例1．求下列函数的定义域：（1）f (x )＝lg(x －1)＋4－x ； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．(4)y ＝log 12(x －1) 例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8；（3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3． 例6．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
例2．求值：（1） （2）求值)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 例21：已知3a =5b =c ，，求c 的值.例7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx ， y=lg(-x)， y=-lgx ； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.例5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )例7．求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.例1已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （2+log 23）的值为 A.31 B.61 C.121 D.241例3 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.6．函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点________．7．函数y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．2．函数y ＝x |x |log 2|x |的大致图象是( )5．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(0,1)∪(2，＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0，12)8．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．9．已知g (x )＝,00ln e >≤⎩⎨⎧x x x x则g [g (13)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.例8．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
高中数学必修一《对数函数》经典习题(含详细解析)
高中数学必修一《对数函数》经典习题（含详细解析）一、选择题1.已知f=log3x,则f,f,f(2)的大小是( )A.f>f>f(2)B.f<f<f(2)C.f>f(2)>fD.f(2)>f>f2若log a2<log b2<0,则下列结论正确的是( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>13函数y=2+log2x(x≥1)的值域为( )A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.[2,+∞)D.[3,+∞)4函数y=lo x,x∈(0,8]的值域是( )A.[-3,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-3]D.(-∞,3]5.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集为( )A.(-∞,3)B.C. D.6函数f(x)=lg是( )A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数7设a=log32,b=log52,c=log23,则( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b8设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c9.函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.410.若log a=log a,且|log b a|=-log b a,则a,b满足的关系式是( )A.a>1,且b>1B.a>1,且0<b<1C.0<a<1,且b>1D.0<a<1,且0<b<1二、填空题11若函数y=log3x的定义域是[1,27],则值域是.12已知实数a,b满足lo a=lo b,下列五个关系式:①a>b>1,②0<b<a<1,③b>a>1,④0<a<b<1,⑤a=b.其中可能成立的关系式序号为.13log a<1,则a的取值范围是.14不等式12log xx<的解集是.15函数y=log0.8(-x2+4x)的递减区间是.三、解答题16.比较下列各组值的大小.(1)log3π,log20.8.(2)1.10.9,log1.10.9,log0.70.8.(3)log53,log63,log73.17已知函数f(x)=+的定义域为A.(1)求集合A.(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.18已知函数f=log2(2+x2).(1)判断f的奇偶性.(2)求函数f的值域.19已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.参考答案与解析1【解析】选 B.由函数f=log3x在(0,+∞)是单调增函数,且<<2,知f()<f()<f(2).2【解析】选B.log a2<log b2<0,如图所示,所以0<b<a<1.6【解析】选A.因为f(-x)=lg=lg=lg=lg=-lg=-f(x),所以f(-x)=-f(x),又函数的定义域为R,故该函数为奇函数.7【解析】选D.因为log32=<1,log52=<1,又log23>1,所以c最大.又1<log23<log25,所以>,即a>b,所以c>a>b.8【解析】选D.a=log54<1,log53<log54<1,b=(log53)2<log53<a,c=log45>1,故b<a<c.9【解析】选 B.无论a>1还是0<a<1,f(x)在[0,1]上都是单调函数,所以a=(a0+log a1)+(a+log a2),所以a=1+a+log a2,所以log a2=-1,所以a=.10【解析】选C.因为log a=log a,所以log a>0,所以0<a<1.因为|log b a|=-log b a,所以log b a<0,b>1.11【解析】因为1≤x≤27,所以log31≤log3x≤log327=3.所以值域为[0,3].答案:[0,3]12【解析】当a=b=1或a=,b=或a=2,b=3时,都有lo a=lo b.故②③⑤均可能成立.答案:②③⑤13【解析】①当a>1时,log a<0,故满足log a<1;②当0<a<1时,log a>0,所以log a<log a a,所以0<a<,综上①②,a∈∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)14【解析】因为<=x-1,且x>0.①当0<x<1时,由原不等式可得,lo x>-1,所以x<2,所以0<x<1;②当x>1时,由原不等式可得,lo x<-1,x>2,综上可得,不等式的解集为{x|0<x<1或x>2}.答案:(0,1)∪(2,+∞)15【解析】因为t=-x2+4x的递增区间为(-∞,2].但当x≤0时,t≤0.故只能取(0,2],即为f(x)的递减区间.答案:(0,2]16【解析】(1)因为log3π>log31=0,log20.8<log21=0,所以log3π>log20.8.(2)因为1.10.9>1.10=1,log1.10.9<log1.11=0,0=log0.71<log0.70.8<log0.70.7=1,所以1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.(3)因为0<log35<log36<log37,所以log53>log63>log73.17【解析】(1)所以所以≤x≤4,所以集合A=.(2)设t=log2x,因为x∈,所以t∈[-1,2],所以y=t2-2t-1,t∈[-1,2].因为y=t2-2t-1的对称轴为t=1∈[-1,2],所以当t=1时,y有最小值-2.所以当t=-1时,y有最大值2.所以当x=2时,g(x)的最小值为-2.当x=时,g(x)的最大值为2.18【解析】(1)因为2+x2>0对任意x∈R都成立,所以函数f=log2(2+x2)的定义域是R.因为f(-x)=log2[2+(-x)2]=log2(2+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)由x∈R得2+x2≥2,所以log2(2+x2)≥log22=1,即函数f=log2(2+x2)的值域为[1,+∞).19【解析】(1)要使函数有意义,则有解之得-3<x<1,所以函数的定义域为(-3,1).(2)函数可化为:f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4],因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4.因为0<a<1,所以log a[-(x+1)2+4]≥log a4,即f(x)min=log a4,由log a4=-4得a-4=4,所以a==.3【解析】选C.设y=2+t,t=log2x(x≥1),因为t=log2x在[1,+∞)上是单调增函数,所以t≥log21=0.所以y=2+log2x(x≥1)的值域为[2,+∞).4【解析】选A.因为0<x≤8,所以lo x≥-3,故选A.5【解析】选D.原不等式等价于解得<x<3,所以原不等式的解集为.。
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（ ）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.7、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（ ）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)， 则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（ ） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． （1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。
对数函数常见题型例析(5种)
对数函数常见题型例析对数函数是重要的基本初等函数之一,在近几年的高考中渐渐走红,频频出现在高考试卷与模拟试卷中,主要考查对数函数的图象和性质,本文就对数函数的常见题型归纳如下,供大家参考. 1.求定义域 例1函数3)5lg()(--=x x x f 的定义域为_____.解:要使)(x f 有意义,则⎩⎨⎧≠->-0305x x ,解得5<x ,且3≠x ,∴)(x f 的定义域为5|{<x x ,且}3≠x .点评:求对数定义域切记真数大于零,底数大于零且不等于1,常用方法是列不等式组, 注意求出的定义域要写成集合或区间的形式. 2.比较大小例2设,,a b c 均为正数,且,log221a a=,log)21(21b b = c c2log)21(=,则（ ）A a b c <<B c b a <<C c a b <<D b a c << 解:由a a21log2=可知0>a 12>∴a ,210,1log21<<∴>a a ;由b b21log)21(=可知1)21(0,0<<∴>b b ,即1log021<<b ,121<<b ;由c c2log )21(=可知21,1log0,02<<∴<<∴>c c c ,从而c b a <<,故选A.点评:本题的关键就是抓住“真数大于零”这一隐含条件,利用指、对函数的性质得出结论. 3.解对数方程例3解方程:0)2(log )12(log 244=--+x x ;解:由已知得)2(log )12(log 244-=+x x ,则2122-=+x x ,即0322=--x x ,解得3=x 或1-=x ,当1-=x 时,对数真数小于零,舍去,故方程的根是3=x . 点评:解对数方程要注意验根,即保证对数的真数大于零. 4.最值问题例4设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =（ ）B 2C 22D 4解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上递增,最大值和最小值 分别为a a aalog,2log,依题意知212loglog2log==-aaaa a ,4=∴a ,故选D.点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解. 5.求参数范围 例5已知132log<a,则a 的取值范围是（ ）A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),32()32,0(+∞解:当10<<a 时,,log132log a aa=<32<∴a ,即320<<a ;当1>a 时,,log132loga aa=<32>∴a ,即1>a .综上所述,a 的取值范围是320<<a 或1>a ,故选A.点评:这类问题一般是根据对数函数的单调性,分10<<a 和1>a 两种情况讨论.。
对数函数练习题及其答案
对数函数练习一、选择题1.函数y=(0.2)-x +1的反函数是( C ) A.y=log 5x+1 B.y=klog x 5+1 C.y=log 5(x-1) D.y=log 5x-12.函数y=log 0.5(1-x)(x ＜1＝的反函数是( B ). A.y=1+2-x (x ∈R) B.y=1-2-x (x ∈R) C.y=1+2x (x ∈R) D.y=1-2x (x ∈R)3.当a ＞1时，函数y=log a x 和y=(1-a)x 的图像只可能是( B )4.函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)定义域为G ，那么( D )A.F ∩G=B.F=GC.FGD.GF5.已知0＜a ＜1,b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是( B )A.log b b 1＜log a b ＜log a b 1B.log a b ＜log b b 1＜log a b1C.log a b ＜log a b 1＜log b b 1D.log b b 1＜log a b1＜log a b6.函数f(x)=2log 21x 的值域是［-1，1］，则函数f -1(x)的值域是( A )A.［22，2］ B.［-1，1］ C.［21，2］ D.(-∞，22)∪2，+∞)7.函数f(x)=log 31 (5-4x-x 2)的单调减区间为( C )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］8.a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log35，则( B )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b二、填空题1.将(61)0，2，log221,log0.523由小到大排顺序：答案：log 0.521＜(log 232)＜(61)0＜2 2.已知函数f(x)=(log41x)2-log 41x+5,x ∈［2，4］，则当x= ，f(x)有最大值 ；当x= 时，f(x)有最小值 .答案：4，7，2，4233.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为 ，值域为 .答案：(22，1)∪［-1，-22］，［0，+∞］4.函数y=log 312x+log 31x 的单调递减区间是 .答案：(0，33) 三、解答题1.求函数y=log 21(x 2-x-2)的单调递减区间.答案：( 21，+∞)2.求函数f(x)=log a (a x +1)(a ＞1且a ≠1)的反函数. 答案：(i)当a ＞1时，由a x -1＞0⇒x ＞0；log a (a x +1)的反函数为f -1(x)=log a (a x -1)，x ＞0；当0＜a ＜1时，f -1(x)=log a (a x -1)，x ＜0.3.求函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 答案： (-∞，2log 2(p+1)-2］【素质优化训练】1.已知正实数x 、y 、z 满足3x =4y =6z(1)求证：z 1-x 1=zy1；(2)比较3x,4y,6z 的大小解：(1)z 1-x 1=log t 6-log t 3=log t 2=21log t 4=y 21(2)3x ＜4y ＜6z.2.已知log m 5＞log n 5，试确定m 和n 的大小关系.答案：得n ＞m ＞1，或0＜m ＜n ＜1，或0＜n ＜1＜m.3.设常数a ＞1＞b ＞0，则当a,b 满足什么关系时，lg(a x -b x )＞0的解集为｛x ｜x ＞1｝.答案：a=b+1【生活实际运用】美国的物价从1939年的100增加到40年后1979年的500.如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几?(注意：自然对数lnx 是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x ＜0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x,取lg 2=0.3，ln10=2.3来计算＝答案：美国物价每年增长约百分之四.【知识探究学习】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年). 解：(1)1年后该城市人口总数 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)2同理，3年后该市人口总数为y ＝100×(1+1.2%)3. x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1+1.2%)x ；(2)10年后该城市人口总数为y ＝100×(1+1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人) (3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即 100×(1+1.2%)x =120,x=log 1.012100120 =log 1.0121.20≈15(年)。
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对数运算与对数函数复习
例1．求下列函数的定义域：
（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．
例2．比较下列各组数中两个值的大小：
（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a .
（4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8；
例3．求下列函数的值域：
（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值.
例5．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习
一、选择题
1．3
log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2
3 D ．2
2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ）
A ．[0，1]
B ．[1，2]
C ．[2，4]
D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( )
A ．R
B ．[2，＋∞]
C ．[3，＋∞]
D ．(－∞，2)
4．如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是( )
A ．21
31
)a 1()a 1(-<- B ．1)a 1(a 1>-+
C ．0)a 1(log )a 1(>+-
D ．0)a 1(log )a 1(<-+
5．如果02log 2log b a >>，那么下面不等关系式中正确的是( )
A ．0<a<b<1
B ．0<b<a<1
C ．a>b>1
D ．b>a>1
6 若a>0且a ≠1，且14
3log a <，则实数a 的取值范围是( ) A ．0<a<1 B ．43a 0<< C ．43a 043a <<>或 D ．4
3a 0<<或a>1 7．设0,0,a b <<且,722ab b a =+那么1lg |()|3
a b +等于（ ） A ．1(lg lg )2a b + B ．1lg()2ab C ．1(lg ||lg ||)3a b + D ．1lg()3
ab 8．如果1x >，12log a x =，那么（ ）
A ．22a a a >>
B ．22a a a >>
C ．22a a a >>
D ．22a a a >>
二、填空题（共8题）
8．计算=+⋅+3log 22450lg 2lg 5lg .
10．若4
12x log 3=，则x ＝________
11 .函数f(x)的定义域是[－1，2]，则函数)x (log f 2的定义域是_____________
12．函数x )31
(y =的图象与函数x log y 3-=的图象关于直线___________对称．
13．x log )x (f 2
1=，当]a a [x 2，∈时，函数的最大值比最小值大3，则实数a
＝_______．
14．函数)a ax x (log )x (f 23-+=的定义域是R(即(－∞，＋∞))，则实数a 的取值范围是_____________
15．根据函数单调性的定义，证明函数2
()log 1x f x x
=-在(0,1)上是增函数．
16. 已知f (x )＝log a (a －ax ) (a ＞1).
(1) 求f (x )的定义域和值域； (2) 判证并证明f (x )的单调性.
17. 已知f (x )＝log a x (a ＞0, a ≠1)，当0＜x 1＜x 2时，试比较 的大小，并解释其几何意义
)]()([21)2(2121x f x f x x f ++与。