习题1-1

习题1-1★ 1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x； （5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题 。

思路：利用单调性的定义即可。

解： （1）设1x ，2x ()1,∞-∈，当21x x <时，()()011112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ，由单调性的定义知是单调增函数；（2）设1x ，2x ()+∞∈,0，21x x <，2121221121ln)()ln ()ln (x x x x x x x x y y +-=+-+=-由1x ，2x ()+∞∈,0，21x x <，知121<x x ，故0ln 21<x x（对数函数的性质），则有 021<-y y ， 得结论是单调增函数；★ 5．设)(x f 为定义在()l l ,-内的奇函数，若)(x f 在()l ,0内单调增加，证明：)(x f 在()0,l - 内也单调增加知识点：单调性和奇偶性的定义。

思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件； 证明：设()2121,0,,x x l x x <-∈， 则1221),,0(, x x l x x -<-∈--，由()x f 在()l ,0内单调增加得，()()12x f x f -<-()1Λ，又()x f 为定义在()l l ,-内的奇函数，则（1）式变形为()()12x f x f -<-，即()()12x f x f >，则结论成立。

★ 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。

本题可作为结论应用。

思路：按定义证明即可。

证明：设函数()()x g x f ,定义域分别是21,D D （21,D D 是关于原点对称区间）；（1）设()()()x g x f x F+=，定义域为21D D ⋂，显然21D D ⋂也关于原点对称，当()()x g x f ,均为偶函数时，()()()()()()x F x g x f x g x f x F =+=-+-=-， 得()x F 为偶函数；当()()x g x f ,均为奇函数时，()()()()()()x F x g x f x g x f x F -=--=-+-=-，得()x F 为奇函数；（2）令()()()x g x f x G =，定义域为21D D ⋂，21D D ⋂关于原点对称，当()()x g x f ,均为奇函数时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G =--=--=-)(，得()x F 为偶函数；当()()x g x f ,均为偶函数时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G ==--=-，得()x F 为偶函数；当()()x g x f ,为一奇一偶时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G -=-=--=-， 得()x G为奇函数；★ 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？（1）1sec tan +-=x x y ； （2）2xx e e y --=； （3）x e x x y cos cos =；（4）()()22+-=x x x y 。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解： （1）()()()1sec tan 1sec tan +--=+---=-x x x x x f ，显然既不等于()x f ，也不等于()x f -，故是非奇非偶函数；下面三个函数的定义域为全体实数R ，关于原点对称 （2）()()()x f e e x f x x =+=----2，故是偶函数；（3）()()()()x f e x x x f x =--=--cos cos ，故是偶函数；（4）()()()()x f x x x x f -=+----=-22，故是奇函数；★ 8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：（1）()1cos -=x y ； （2）x x y tan =； （3）x y 2sin =。

知识点：函数周期性。

思路： 利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数()C x A y ++=ϕϖcos ，则最小正周期ϖπ2=T，切函数也有类似结论）。

解： （1）由弦函数周期公式知最小正周期π2=T ；（2）对正数T ，()()()T x T x T x f ++=+tan ，而切函数周期是π的整数倍，故本题函数不是周期函数；（3）22cos 1sin 2xx y -==，则最小正周期ππ==22T★★9．证明：()x x x f sin =在()∞+,0上是无界函数；知识点：无界函数定义。

思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对0>∀M （无论M 有多大），),0(0+∞∈∃x ，使其函数值()Mx f >||0即可。

证明：对于任意正数M ，要使()M x x x f >=|sin |||，考虑当()+∈+=Z k k x,22ππ，()22|sin |||ππ+==k x x x f ∴要使Mk >+22ππ，只要2(,22πππ>->M M k），取1220+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ππM k ∴0>∀M （无论M 有多大），2200ππ+=∃k x ，使得 ()M x x x f >=|sin |||000，∴()x x x f sin =在()∞+,0上是无界函数（注1：0k 取值只要并且确保M k f >⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππ即可，因此取2220+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ππM k 也可；注2：数学符号“∀”表示“任意”；“∃”表示“存在”；“∍”表示“使得”。

）★ 10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg 时，按每千克3/20元收费，当超出50kg 时，超重部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费()x f （元）与行李重量()kg x 之间的函数关系式。

知识点：函数关系的建立。

思路：认清变量，关键是找出等量关系。

解：()()()33050,050,202031,15050550,502044x x x x f x f x x x x x⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⋅+--<<⎪⎪⎩⎩。

★ 11．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的，每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元a) 将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数；b)将厂方所获得利润L 表示成订购量x 的函数；c) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？知识点：函数关系的建立，以及经济函数； c x f x f =⇔=')(0)(。

思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润=L （总收入）-R (总成本)C 。

解：售价恰好降到75元时需订购的台数位16001000107590=+⋅-，则（1）：。

90 , 0100190(100) , 100160010075 , 1600x p x x x ≤≤⎧⎪⎪=--<≤⎨⎪>⎪⎩（2）：()29060,01001609010060,10016001007560,160030,0100131,100160010015,1600x x x L R C px x x x x x x x x x x x x x x x -≤≤⎧⎪⎪⎡⎤=-=-=---<≤⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪->⎩≤≤⎧⎪⎪=-+<≤⎨⎪>⎪⎩（3）()210001000311000100110002=⨯+-=L （元）。