现代控制理论基础第四章(3)
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现代控制理论第4章
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1） 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看，往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性 的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动 稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚 普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变 量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用 的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要
(1) i 0 , i 1, 2,
i
即
,n
(i 1, 2, , n)
0, i为偶数 i 0, i为奇数
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,
且矩阵P的行列式为零,即
0, i 0,
i 1, 2, in
, n 1
为其各阶顺序主子行列式： （10）
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于 零,即有
1 a11 0
a11 a12 a11 a12 2 0; a21 a22 ; n det P a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足
的权矩阵。aij 为实数,且
aij a ji , i, j 1,2, , n。
《现代控制理论基础》课件
预测控制
预测控制是一种基于模型预测 未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心 组件，负责计算并施加控制 信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是 各种各样的设备或系统，了 解操作对象的特性是设计有 效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们 可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之 间关系的数学表达式，常用于 分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制 系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳 定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁 棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、 稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学 习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实 际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系 统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标 函数来设计最优控制策略的方 法。
非线性规划
现代控制理论 南航课件 第四章
对于
t t0 T1 ( , )
必有
x(t , x0 , t0 ) V ( x(t , x0 , t0 )) V ( x0 , t0 ) (t t0 ) (v, , )
, , ( ) ( ).
所以，对 x0 ( ) 有
x(t ; x0 , t0 ) V ( x(t ; x0 , t0 ), t ) V ( x0 , t0 )
( ) ( )
即 x(t ; x0 , t0 )
一致稳定：
的范围（大小）只取决于，而与初始时刻 t0无关。
对定常系统，李雅普诺夫意义下的稳定等价于一致稳定。 但对时变系统，没有这种等价关系。
定义 4-2
平衡状态xc是渐近稳定的:
(1) xc是稳定的。 (2) 对于任意 0和相应的 ( , t0 ) 0
存在 T ( , , t0 ) 0 当t t0 T ( , , t0 )时，有 x(t；x0 , t0 ) xc
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
1
t
x(1 x) x
该方程的解为
x0 e x(t ) t 1 x0 x0 e
o
t
ln x0 x0 1
两个平衡状态 xc=0， xc=1。
图4-3 非线性系统的解
例：讨论下列系统是否稳定、是否一致稳定、是否渐 近稳定：
1 x 2 x 2 x1 x
解：这是一个定常系统，利用拉氏变换立即可得e At， 并有
2 2 x 12 (t ) x 2 (t ) x 12 (t 0 ) x 2 (t 0 )
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第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
例如：对二维空间矢量：x
1 x 2 ,Tx
V (x)
x 12
2x
2 2
2
1
2
V (x) (x x )
V (x)
V (x)
2
2
1
2
(x 2x )
(x 1 x 2) 2
V (x) x1 x2
是正定的 是半正定的 是负定的 是半负定的 是不定的
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
特征值为
j
是不稳定的
不能得出稳定性结论
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.3李雅普诺夫第二法（直接法）
方法：不求解系统的状态方程，通过一个系统的能量函数来直
接判断系统的稳定性。
问题：在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数。
办法： 于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为
系统的一个虚构的广义能量函数。根据 V (x) 的符号性质，可以判 断系统的状态稳定性。
得到特征值为－3，2 。所以系统状态不是渐近稳定的。
（2）系统的传递函数 () (
G s c sI
1 A 1b s 3
可见传递函数的极点－3位于s平)面的左半平面，故系统输出
稳定。
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.2.2 非线性系统的稳定性 设非线性系统的状态方程为： x
f x,t
xe为平衡状态；f[x,t]为与x同维的矢量函数，且对x有连
x
Ax
A
f
xT
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
定理（李雅普诺夫线性化方法）
（1）如果方程式中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则 原非线性系统在平衡状态xe是渐近稳定的，而且稳定性与R(x)无 关。
现代控制理论第4章答案
现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++---解：（1）由已知得[]11231231232311232311()31122111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥---⎣⎦110∆=-<，2112013-∆==>-，31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得[][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=---+---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦110∆=>，2113014-∆==>-，3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：11122122a a xx a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。
即：111221222112211221221()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=--=-++-= 有解，且解具有负实部。
即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。
现代控制理论基础4控制系统的稳定性分析课件
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1 1
(s
(s 2)(
2) s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2） 求系统的特征方程：
de
t(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
稳
图解表示：
定
区
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6]
设系统方程为：
x
0 1
6 1
x
12u,
y 0 1x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
6
二、状态向量范数
符号 称为向量的范数， x xe 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定 义式为：
1
x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2 2
7
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
3）对任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0
时，除了在 x 0 时有 V(x) 0 外，V ( x) 不恒等于零。
则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 V(x) C 。
现代控制理论基础第四章
现代控制理论基础Elements of Modern Control Theory主讲：董霞 西安交通大学机械工程学院第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性分析控制系统的稳定性分析是系统分析的重要组成部分。
系统稳 定是控制系统正常工作的前提条件。
对单输入－单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为 其数学模型，采用劳斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和乃 奎斯特（Nyquist）判据等来判别系统的稳定性是比较简便的。
对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间 表达式为数学模型，分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫 （A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论。
1本章主要内容4.1 引言 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 4.3 判别系统稳定的李亚普诺夫方法 4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析24.1 引言对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理 论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。
在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线 性、时变、MIMO系统延伸，其稳定性分析无法利用经典控制理论 解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。
1892年，李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》论文， 建立了运动稳定性的一般理论和方法。
他把稳定性分析方法归纳为两种:3一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一 种间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难 甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。
另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息， 是一种直接方法。
它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其 能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量 趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫 函数）即可判断系统的稳定性。
由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而 更具重要性。
4现以一机械系统为例来说明李亚普诺夫第二法： 如图所示弹簧-质量-阻尼系统，在没有外加 控制作用时，其运动微分方程如下：kmx(t )Bmx + Bx + kx = 0弹簧－质量－阻尼系统式中,m 为质量，B 为阻尼系数，k 为弹簧刚度， x (t )为位移。
现代控制理论第四章
2015/7/28 控制科学与工程系 21
A BK1 f ( ) det I C
BK2 0
2015/7/28
控制科学与工程系
22
可求得输出向量的拉氏变换为
D(s) Y ( s) C1 ( sI A1 ) R ( s )
2015/7/28 控制科学与工程系
2、输出至输入的反馈
x Ax B(r Hy), y Cx x ( A BHC ) x Br
2015/7/28 控制科学与工程系
不改变受控 对象的可控 性和可观性
17
4.3 扰动的抑制及消除 **
实际系统中不可避免地存在着扰动作用，致使 系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏 差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制 来抑制与消除单输入－单输出系统的稳态误差。 这里，将其推广到多输入－多输出系统的状态 空间中。 x Ax Bu d , y Cx
控制科学与工程系
2
定理 一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不 改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。
受控系统可控，则可以通过非奇异线性变换P ,化A，B 为可控标准形
x Ax Bu, y Cx
0 0 A P 1 AP 0 a0 1 0 0 a1 0 1 0 0 0 1 a n1
AB An1B Anq2 B
增广系统的可控的充要条件是： rankS n q 若原受控对象可控，则其可控性矩阵满足 ：
[n x（n+q-1）p]维
rank B
AB An1B n
满秩
A BK1 f ( ) det I C
BK2 0
2015/7/28
控制科学与工程系
22
可求得输出向量的拉氏变换为
D(s) Y ( s) C1 ( sI A1 ) R ( s )
2015/7/28 控制科学与工程系
2、输出至输入的反馈
x Ax B(r Hy), y Cx x ( A BHC ) x Br
2015/7/28 控制科学与工程系
不改变受控 对象的可控 性和可观性
17
4.3 扰动的抑制及消除 **
实际系统中不可避免地存在着扰动作用，致使 系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏 差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制 来抑制与消除单输入－单输出系统的稳态误差。 这里，将其推广到多输入－多输出系统的状态 空间中。 x Ax Bu d , y Cx
控制科学与工程系
2
定理 一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不 改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。
受控系统可控，则可以通过非奇异线性变换P ,化A，B 为可控标准形
x Ax Bu, y Cx
0 0 A P 1 AP 0 a0 1 0 0 a1 0 1 0 0 0 1 a n1
AB An1B Anq2 B
增广系统的可控的充要条件是： rankS n q 若原受控对象可控，则其可控性矩阵满足 ：
[n x（n+q-1）p]维
rank B
AB An1B n
满秩
《现代控制理论》第三版课件_第4章
22
ˆ Cm2
综上所述，对于一个具有不同特征值的控 制系统，系统矩阵A化为对角线矩阵以后，
ˆ 状态完全能观的条件是， 矩阵 C 中列向
量不为零。
λ1 J = 0 0
1 λ1 0
0 1 , λ1
ˆ C11 ˆ = C C ˆ 21 ˆ C 31
ˆ C12 ˆ C 22 ˆ C 32
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
对于线性定常系统，能控性和能达性是互逆的。
x = Ax(t ) + Bu (t )
rank B
[
AB A
n −1
B =n
]
线性定常系统能控的充要条件： 其能控性矩阵的秩为n，或者 B AB …… An-1B线性无关。
Gilbert 能控性准则
x = Ax(t ) + bu (t )
λ1 0 V −1 AV = 0
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
现代控制理论第4章ppt
已经证明：线性变换不改变系统的特征值，若第i个状 态不能控，即：
xi (t) eit xi (0)
自由分量不能控，即相应特征根的自然模式：
eit
不能控。 由于系统线性变换不改变系统的特征值，所以也不改
变系统的能控性。
2021年4月1日
第4章第12页
1 对角线、约当标准形判据
1）具有约当标准形的系统的能控性判据 （1）系统特征根为单根
在u(t)作用下，由于4个电阻阻值相等，当t≥ t0时，有
x(t) x(t0 ) 初始状态
显然，输入u(t)不能影响电容C，状态x(t)不能控，即此电路是不能控的。
2021年4月1日
第4章第4页
实例2：如图所示电气网络，输入变量是电压源u(t)，输出变量是端电压y(t)， 取C端电压x1(t) 、x2(t)作为状态变量。
1 0 3 0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 0 0 1 0
1 2 1 1 2 2 4 A2B A AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4 M [B AB A2B] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
通过以上三例可知，系统内部状态与输入之间，存在是否能控的问 题。不能控系统，其不能控状态分量与输入既无直接关系，又无间接关 系。为了揭示能控性的本质，并用于分析更一般和更复杂的系统，需要 对其进行严格的定义，并导出相应的判断准则。
2021年4月1日
第4章第6页
4.1.2 能控性定义 1、定义
对于动力学系统
2021年4月1日
第4章第1页
概述
• 能控性（controllability）和能观测性（observability) 的概念于 60年代初由卡尔曼提出。
xi (t) eit xi (0)
自由分量不能控，即相应特征根的自然模式：
eit
不能控。 由于系统线性变换不改变系统的特征值，所以也不改
变系统的能控性。
2021年4月1日
第4章第12页
1 对角线、约当标准形判据
1）具有约当标准形的系统的能控性判据 （1）系统特征根为单根
在u(t)作用下，由于4个电阻阻值相等，当t≥ t0时，有
x(t) x(t0 ) 初始状态
显然，输入u(t)不能影响电容C，状态x(t)不能控，即此电路是不能控的。
2021年4月1日
第4章第4页
实例2：如图所示电气网络，输入变量是电压源u(t)，输出变量是端电压y(t)， 取C端电压x1(t) 、x2(t)作为状态变量。
1 0 3 0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 0 0 1 0
1 2 1 1 2 2 4 A2B A AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4 M [B AB A2B] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
通过以上三例可知，系统内部状态与输入之间，存在是否能控的问 题。不能控系统，其不能控状态分量与输入既无直接关系，又无间接关 系。为了揭示能控性的本质，并用于分析更一般和更复杂的系统，需要 对其进行严格的定义，并导出相应的判断准则。
2021年4月1日
第4章第6页
4.1.2 能控性定义 1、定义
对于动力学系统
2021年4月1日
第4章第1页
概述
• 能控性（controllability）和能观测性（observability) 的概念于 60年代初由卡尔曼提出。
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2
12
k1
( 4 3 22 )
则输出也具有有限能量，即存在一依赖于k1的有限数k2，使有
a | y ( t ) | dt
2
1 2
k2
( 4 3 23 )
第三节
线性系统的BIBO稳定性
证明： ①我们将证明，对于所有 t ≥0 ，若 u(t) ＝ u(t ＋ T) 则随着 t →∞ 有 t y(t)→y(t＋T)，显然 y (t ) g ( )u (t ) d ( 4 3 24 )
第三节
线性系统的BIBO稳定性
y (t ) g (t , )u ( )d
应该指出，在松弛性假定下，是BIBO稳定的系统，而在其非松 弛时，可能不再是BIBO稳定。以此可说明“松弛”条件的重要性。 t 定理4-3-1：由 描述的系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一个有限数，使 对于(－∞, ∞)中的任意t，有
y (t )
t
g (t , )u ( ) d
( 4 3 4)
③松弛性 一个系统在t0时刻是松弛的，则必要且只要输出 y(t0, ∞) 仅由u(t0, ∞)唯一确定。 t0 由 y (t ) g (t , )u ( )d g (t , )u ( )d g (t , )u ( )d
第三节
线性系统的BIBO稳定性
t
证明：充分性 设输入有界，即对任一 u(t) ，存在 uM>0 ，都有 || u(t) ||<uM，由式(4-3-19a)可得
|| y ( t ) || uM
g ( t , ) u ( ) d
t
|| g ( t , ) u ( ) || d
0
即函数g绝对可积。若g在[0, ∞]域上绝对可积，则随a→∞有
a
| g (t ) | dt 0
(4 3 21)
定理4-3-3：设一松弛单变量系统，其输入u和输出y之间有如下 t 关系 y ( t ) g ( t ) u ( ) d
0
第三节
线性系统的BIBO稳定性
t
描述的松弛多变量系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一有 t 限数k，使对于所有t，有 ( 4 3 19 a ) || g (t , ) || d k 或g(t, τ)中每一项有
| g ij (t , ) | d k
( 4 3 19 b )
y (t ) g (t , )u ( ) d
( 4 3 17 )
其中u是l×1输入向量，是m×1输出向量，g(t,τ)是系统的m×l冲激 响应矩阵。
第三节
线性系统的BIBO稳定性
g 21 ( t , ) g 22 ( t , ) g 2 m (t , ) g l1 (t , ) g l 2 (t , ) g lm ( t , )
y (t )
g ( t , ) u ( ) d
(4 3 2)
式中，g(t, τ)是系统的冲激响应。对上式作Laplace变换，有 y(s)＝G(s)u(s) (4-3-3)
第三节
线性系统的BIBO稳定性
②因果性 系统t时刻输出不取决于 t 以后的输入，而仅与 t 以前输入有关， 则称系统具有因果性。考虑到因果性，式(4-3-2)可写成
0
若
| g ( t ) | dt k
对于某常数，可有如下结论： ①若u是具有周期T的周期函数，即对所有 t ≥0 有 u(t) ＝ u(t ＋ T) 则 输出y必为具有同一周期的周期函数。 ②若u有界且趋于常量，则输出亦将趋于常量。 ③若u具有有限能量，即
0 | u (t ) | dt
y (t ) | g (t , ) | d k
0
t
(4 3 16)
证明：充分性 设u(t) 为任意输入，且对于所有 ( － ∞, ∞) 中的 t ， 有|u(t)|≤k1，则对于所有t，有
| y ( t ) |
t
t
g ( t , ) u ( ) d
tk
| g (t k , ) | d k
| y ( t k ) |
tk
g ( t k , ) u ( ) d
tk
| g (t k , ) | d k
上式说明有界输入下得到y(t)的是无界的，这一矛盾表明必要性 成立。 证毕。 上述结论可推广到多变量系统，设具有l个输入m个输出的系统 t 由下式描述
记
|| y * (t k ) || max || y (t k ) ||
||u ( t )|| 1
则有
|| y * ( t k ) ||
tk
|| u || 1
max max v T g ( t k , ) u ( ) d
|| v || 1
由矩阵范数定义，有
|| g ( t k , ) || max max v T g ( t k , ) u ( )
第三节
线性系统的BIBO稳定性
对于线性时不变系统，其冲激响应仅取决于t和τ之差，即 g(t, τ)＝g(t－τ) (4-3-11) 式中， t和τ均为任意值。所以对满足线性、因果性、松弛性、 时不变性的系统，其输入-输出关系为
y (t ) g (t )u ( ) d
t0
t
| u (t ) | 其中 u M max 。由(4-3-21)式知，随着t→∞，|y(t 0t T ＋T)－y(t)|→0，或随着t→∞ ， y(t＋T)→y(t) 。 t t ②考虑到 y (t ) 1 g ( )u (t )d g ( )u (t )d (4 3 26)
从而输出有界，故系统BIBO稳定。 必要性 为了证明定理条件的必要性，先设向量的范数为欧几里 德范数，则有 || x || max v T x
|| v || 1
t
|| g ( t , ) || d u M k
而矩阵的范数定义为上述向量范数的诱导范数，则有
|| A || max max v T Ax
t
( 4 3 12 )
不失一般性，设t0 ＝0，则
y(t ) g (t )u ( )d g ( )u (t )d
0 0
t
t
(4 3 13)
第三节
线性系统的BIBO稳定性
4.3.2 线性时变系统 先考虑单变量系统。对于线性、松弛、因果系统的输入输出描 t 述为
t0
④时不变性 设Qa为移位算子（移位距离为a），则时不变性的定义如下： 一个松弛系统是时不变的，则必要且只要 HQau＝QaHu (4-3-9) 成立（u为任意输入，a为任意实数）。否则，系统称为时变系 统。上式也可以写成 HQau＝Qay (4-3-10) 即输入移动a秒后，所得输出波形不变，仅在时间上移动a秒。
y (t ) g (t , )u ( ) d
(对所有 t )
( 4 3 14 )
其中g(t, τ)是系统的冲激响应。 从输入-输出端对系统定性研究时，所考虑的是：若输入具有某 种性质，在什么条件下输出亦具有该性质？例如，若输入是有 界的，即对所有(－∞, ∞)中的t，有 |u(t)|≤k1<∞ (4-3-15) 则系统在什么条件下存在常数k2，使对于(－∞, ∞)中的t，输出y 满足 |y(t)|≤k2<∞ 前已指出，仅当系统松弛时，才使用输入-输出描述，因此，输 入-输出描述的稳定性仅适用于松弛系统。 定义 4-3-1 ：一个松弛系统是 BIBO （有界输入 - 有界输出）稳定 的，则必要且只要对于任何有界输入，其输出是有界的。
0
和
y(t T )
t T
0
g ( )u(t T )d
t T
0
g ( )u(t )d
(4 3 25)
用(4-3-25)式减去(4-3-24)式，并取绝对值，得 t T y (t T ) y (t ) g ( )u (t )d
t
4.3.3 线性定常系统 设线性、因果、时不变、松弛单变量系统有如下输入-输出描述
y (t )
t
0
g ( t ) u ( ) d
0
g ( ) u ( t ) d
( 4 3 20 )
则由定理4-3-1可得推论4-3-1 推论 4-3-1 ：由 (4-3-20) 式描述的松弛单变量系统 BIBO 稳定，则 必要且只要对于某常数k有 | g (t ) | dt k
|| u || 1 || v || 1
第三节
线性系统的BIBO稳定性
tk
则
|| y * ( t k ) ||
|| g ( t k , ) || d k
上式说明有界输入下得到的y(t)是无界的。这一矛盾表明必要性 成立。 证毕。
第三节
线性系统的BIBO稳定性
g 11 ( t , ) g (t , ) g ( t , ) 12 g 1m (t , )
12
k1
( 4 3 22 )
则输出也具有有限能量，即存在一依赖于k1的有限数k2，使有
a | y ( t ) | dt
2
1 2
k2
( 4 3 23 )
第三节
线性系统的BIBO稳定性
证明： ①我们将证明，对于所有 t ≥0 ，若 u(t) ＝ u(t ＋ T) 则随着 t →∞ 有 t y(t)→y(t＋T)，显然 y (t ) g ( )u (t ) d ( 4 3 24 )
第三节
线性系统的BIBO稳定性
y (t ) g (t , )u ( )d
应该指出，在松弛性假定下，是BIBO稳定的系统，而在其非松 弛时，可能不再是BIBO稳定。以此可说明“松弛”条件的重要性。 t 定理4-3-1：由 描述的系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一个有限数，使 对于(－∞, ∞)中的任意t，有
y (t )
t
g (t , )u ( ) d
( 4 3 4)
③松弛性 一个系统在t0时刻是松弛的，则必要且只要输出 y(t0, ∞) 仅由u(t0, ∞)唯一确定。 t0 由 y (t ) g (t , )u ( )d g (t , )u ( )d g (t , )u ( )d
第三节
线性系统的BIBO稳定性
t
证明：充分性 设输入有界，即对任一 u(t) ，存在 uM>0 ，都有 || u(t) ||<uM，由式(4-3-19a)可得
|| y ( t ) || uM
g ( t , ) u ( ) d
t
|| g ( t , ) u ( ) || d
0
即函数g绝对可积。若g在[0, ∞]域上绝对可积，则随a→∞有
a
| g (t ) | dt 0
(4 3 21)
定理4-3-3：设一松弛单变量系统，其输入u和输出y之间有如下 t 关系 y ( t ) g ( t ) u ( ) d
0
第三节
线性系统的BIBO稳定性
t
描述的松弛多变量系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一有 t 限数k，使对于所有t，有 ( 4 3 19 a ) || g (t , ) || d k 或g(t, τ)中每一项有
| g ij (t , ) | d k
( 4 3 19 b )
y (t ) g (t , )u ( ) d
( 4 3 17 )
其中u是l×1输入向量，是m×1输出向量，g(t,τ)是系统的m×l冲激 响应矩阵。
第三节
线性系统的BIBO稳定性
g 21 ( t , ) g 22 ( t , ) g 2 m (t , ) g l1 (t , ) g l 2 (t , ) g lm ( t , )
y (t )
g ( t , ) u ( ) d
(4 3 2)
式中，g(t, τ)是系统的冲激响应。对上式作Laplace变换，有 y(s)＝G(s)u(s) (4-3-3)
第三节
线性系统的BIBO稳定性
②因果性 系统t时刻输出不取决于 t 以后的输入，而仅与 t 以前输入有关， 则称系统具有因果性。考虑到因果性，式(4-3-2)可写成
0
若
| g ( t ) | dt k
对于某常数，可有如下结论： ①若u是具有周期T的周期函数，即对所有 t ≥0 有 u(t) ＝ u(t ＋ T) 则 输出y必为具有同一周期的周期函数。 ②若u有界且趋于常量，则输出亦将趋于常量。 ③若u具有有限能量，即
0 | u (t ) | dt
y (t ) | g (t , ) | d k
0
t
(4 3 16)
证明：充分性 设u(t) 为任意输入，且对于所有 ( － ∞, ∞) 中的 t ， 有|u(t)|≤k1，则对于所有t，有
| y ( t ) |
t
t
g ( t , ) u ( ) d
tk
| g (t k , ) | d k
| y ( t k ) |
tk
g ( t k , ) u ( ) d
tk
| g (t k , ) | d k
上式说明有界输入下得到y(t)的是无界的，这一矛盾表明必要性 成立。 证毕。 上述结论可推广到多变量系统，设具有l个输入m个输出的系统 t 由下式描述
记
|| y * (t k ) || max || y (t k ) ||
||u ( t )|| 1
则有
|| y * ( t k ) ||
tk
|| u || 1
max max v T g ( t k , ) u ( ) d
|| v || 1
由矩阵范数定义，有
|| g ( t k , ) || max max v T g ( t k , ) u ( )
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线性系统的BIBO稳定性
对于线性时不变系统，其冲激响应仅取决于t和τ之差，即 g(t, τ)＝g(t－τ) (4-3-11) 式中， t和τ均为任意值。所以对满足线性、因果性、松弛性、 时不变性的系统，其输入-输出关系为
y (t ) g (t )u ( ) d
t0
t
| u (t ) | 其中 u M max 。由(4-3-21)式知，随着t→∞，|y(t 0t T ＋T)－y(t)|→0，或随着t→∞ ， y(t＋T)→y(t) 。 t t ②考虑到 y (t ) 1 g ( )u (t )d g ( )u (t )d (4 3 26)
从而输出有界，故系统BIBO稳定。 必要性 为了证明定理条件的必要性，先设向量的范数为欧几里 德范数，则有 || x || max v T x
|| v || 1
t
|| g ( t , ) || d u M k
而矩阵的范数定义为上述向量范数的诱导范数，则有
|| A || max max v T Ax
t
( 4 3 12 )
不失一般性，设t0 ＝0，则
y(t ) g (t )u ( )d g ( )u (t )d
0 0
t
t
(4 3 13)
第三节
线性系统的BIBO稳定性
4.3.2 线性时变系统 先考虑单变量系统。对于线性、松弛、因果系统的输入输出描 t 述为
t0
④时不变性 设Qa为移位算子（移位距离为a），则时不变性的定义如下： 一个松弛系统是时不变的，则必要且只要 HQau＝QaHu (4-3-9) 成立（u为任意输入，a为任意实数）。否则，系统称为时变系 统。上式也可以写成 HQau＝Qay (4-3-10) 即输入移动a秒后，所得输出波形不变，仅在时间上移动a秒。
y (t ) g (t , )u ( ) d
(对所有 t )
( 4 3 14 )
其中g(t, τ)是系统的冲激响应。 从输入-输出端对系统定性研究时，所考虑的是：若输入具有某 种性质，在什么条件下输出亦具有该性质？例如，若输入是有 界的，即对所有(－∞, ∞)中的t，有 |u(t)|≤k1<∞ (4-3-15) 则系统在什么条件下存在常数k2，使对于(－∞, ∞)中的t，输出y 满足 |y(t)|≤k2<∞ 前已指出，仅当系统松弛时，才使用输入-输出描述，因此，输 入-输出描述的稳定性仅适用于松弛系统。 定义 4-3-1 ：一个松弛系统是 BIBO （有界输入 - 有界输出）稳定 的，则必要且只要对于任何有界输入，其输出是有界的。
0
和
y(t T )
t T
0
g ( )u(t T )d
t T
0
g ( )u(t )d
(4 3 25)
用(4-3-25)式减去(4-3-24)式，并取绝对值，得 t T y (t T ) y (t ) g ( )u (t )d
t
4.3.3 线性定常系统 设线性、因果、时不变、松弛单变量系统有如下输入-输出描述
y (t )
t
0
g ( t ) u ( ) d
0
g ( ) u ( t ) d
( 4 3 20 )
则由定理4-3-1可得推论4-3-1 推论 4-3-1 ：由 (4-3-20) 式描述的松弛单变量系统 BIBO 稳定，则 必要且只要对于某常数k有 | g (t ) | dt k
|| u || 1 || v || 1
第三节
线性系统的BIBO稳定性
tk
则
|| y * ( t k ) ||
|| g ( t k , ) || d k
上式说明有界输入下得到的y(t)是无界的。这一矛盾表明必要性 成立。 证毕。
第三节
线性系统的BIBO稳定性
g 11 ( t , ) g (t , ) g ( t , ) 12 g 1m (t , )