对数运算、对数函数经典例题讲义

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对数运算、对数函数经典例题讲义全

1．对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3l o g 2x＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33 C ．x ＝ 3 D ．x ＝95．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.377．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________.8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a＝________. 10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝12232x xy ⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225 13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a＝8，试用a 表示下列各式：①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2) log a Na ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝____________________；(2)log a M N ＝____________________；(3)log a M n＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )B ．(log a x )n＝n log a x C.log a x n＝log a n xD.log a x log a y＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.1254．已知3a ＝5b＝A ，若1a ＋1b＝2，则A 等于( )A ．15 B.15 C ．±15 D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a 2(b ＋1)D.3(a －1)2b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.147．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x 与10x的七组近似对应值：A ．二B ．四C ．五D ．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是________．2．对数函数的图象与性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数__________________互为反函数． 1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1) 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数f (x )＝|log 3x |的图象是( )5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝4xB ．g (x )＝2xC ．g (x )＝9xD ．g (x )＝3x6．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)7．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是______________． 8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．9．给出函数则f (log 23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．11．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)． (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值． (2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 113．若不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系．当0<n <m <1时，如图①；当1<n <m 时，如图②；当0<m <1<n 时，如图③.2．由于指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( )A ．5 B.15C.1eD.122．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2和y ＝(x )2B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a xD ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________. 6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x)的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x(－1≤x <0)的反函数是( )A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)7．函数f (x )＝lg(2x－b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________． 8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________． 9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________．10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 010)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)的值等于( ) A ．4 B ．8C ．16D ．2log 48 13．已知log m 4<log n 4，比较m 与n 的大小．1．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，底数a 对其图象的影响无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增． 2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或01．已知m ＝0.95.1，n ＝5.10.9，p ＝log 0.95.1，则这三个数的大小关系是( ) A ．m <n <p B ．m <p <n C ．p <m <n D ．p <n <m 2．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( ) A ．1<n <m B ．1<m <n C ．m <n <1 D ．n <m <13．函数y ＝x －1＋1lg(2－x )的定义域是( )A ．(1,2)B ．[1,4]C ．[1,2)D ．(1,2]4．给定函数①y ＝12x ，②y ＝()12log 1x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．设函数f (x )＝log a |x |，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是________________________． 6．若log 32＝a ，则log 38－2log 36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是( )A ．log 0.52.7>log 0.52.8B ．log 34>log 65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π2．若log 37·log 29·log 49m ＝log 412，则m 等于( )A.14B.22C. 2 D ．43．设函数若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．24．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，－14)B ．(－14，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－12)5．若函数若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式f (log 18x )<0的解集为( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(12，1)∪(2，＋∞)D ．(0，12)∪(2，＋∞)7．已知log a (ab )＝1p ，则log ab ab＝________.8．若log 236＝a ，log 210＝b ，则log 215＝________.9．设函数若f (a )＝18，则f (a ＋6)＝________.10．已知集合A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)>0的解集．13．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，其中a >1.(1)比较12[f (0)＋f (1)]与f (12)的大小；(2)探索12[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]≤f (x 1＋x 22－1)对任意x 1>0，x 2>0恒成立．Word格式1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．2．指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝a x(a>0，且a≠1)和y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．完美整理。

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

对数函数考点分析及经典例题讲解

对数函数考点分析及经典例题讲解1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性质（1）过定点（1，0），（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当 x=1 时，y=0; 当 x>1 时, y<0.当 0<x<1 时，y<0;当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=logax(a>0,且a ≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析：考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8；（2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9；（4）log 75，log 67.(5)6log ,7log 76； (6)8.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y . 解析：根据对数函数x y 2log =的图像可得当1>x 时，0y >；当10<<x 时，12y <<．答案：(0,)+∞；(1,2)．考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选A.当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数， ∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0，∴－1＜x ≤0；当x ＞0时，log 2x ＞1⇒x ＞2，∴x ＞2，综上所述：－1＜x ≤0或x ＞2. 答案：－1＜x ≤0或x ＞24、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .解析：本题实际含有两个不等式，即0)1(log 2>+a …①和)12(log )1(log 22-<+a a …②，由①得0111log )1(log 22>⇒>+⇒>+a a a ；由②得121-<+a a ，即2>a ，答案：2>a5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是．解析：根据对数运算法则，方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -可化为：lg 33xx+-＝lg ()1x -，即33xx+-= 1x -，解得：0x =或5x =，经验证，当5x =时，不满足题意．所以方程的解为：0．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=【解析】（1）∵-x 2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+16≤16, 又∵-x 2-4x+12>0, ∴0<-x 2-4x+12≤16. ∵x y 21log =在(0,16］上是减函数,∴y ≥16log 21=y =-4. ∴函数的值域为［-4,+∞).（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).令u=a-a x,∵u>0,a>1,∴a x<a,x<1,∴y=log a (a-a x)的定义域为{x|x<1}, ∵a x<a,且a x>0,u=a-a x<a,∴y=log a (a-a x)<log a a=1,∴函数的值域为{y|y<1}.1、求下列函数的定义域、值域：⑴41212-=--x y ⑵)52(log 22++=x x y⑶)54(log 231++-=x x y ⑷)(log 2x x y a --=)10(<<a2.、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．[解析] 由x 2－6x ＋5>0得x >5或x <1因此y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞) 设y ＝log 2t ，t ＝x 2－6x ＋5∵x >5或x <1，∴t >0，∴y ∈(－∞，＋∞) 因此y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的值域为R .3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．解：令x y 21log =，则09922≤++y y ；解得233-≤≤-y ，即23log 321-≤≤-x ； ∴822≤≤x ，∴]3,23[log 2∈=x t ． ∴)2)(log 3log (log )4(log )3(log )(22222--=⋅=x x xx x f 3log 2)3log 2(3log 2log )3log 2()(log 22222222++-=++-=t t x x ； ∴当]3,23[23log 22∈+=t 时，4)23(log )(22min --=x f ． 4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。

对数与对数函数知识点与例题讲解

对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理：一、对数1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①()a a a log MN log M log N =+；②a a a Mlog log M log N N=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.⑵换底公式：c a c log blog b log a=.二、对数函数 1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.1>a10<<a图像性质定义域：值域：过定点，即当1=x 时，0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式，正确的是（）A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（）A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于（） A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是（）A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是（）A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．变式、⑴（辽宁卷文10）设25abm +=，且112a b+=，则m =（） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100⑵已知32a =，用a 表示33log 4log 6-；⑶已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3．答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>．变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为；a c b <<⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小．解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<．考点三、解与对数相关的不等式例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ．解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5}⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ．解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a ＞1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a ＞1时不等式的解集为221<<x ；当0＜a ＜1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log a x x xxa >解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ，4log 21<<x a ， ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 21log 4log <>x x a a 或，∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x =++的定义域是（）A 、1(,)3-+∞B 、1(,1)3-C 、11(,)33-D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31x f x =+的值域为（）A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． ⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（） A 、(－∞，0)B 、(0，＋∞)C 、(－∞，log a 3)D 、(log a 3，＋∞)解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x2＋x 的图象（）A 、关于原点对称B 、关于直线y ＝－x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x＝－log 22－x 2＋x∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A.变式、⑴若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是．⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ．③综合应用例6、设函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x ，其中0＜a ＜1.⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1.解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－a x，则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．⑵∵log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜a1－a，∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a1－a}．变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域.随堂巩固1、6632log log +等于（）A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（）A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是（）A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+ C 、()()()a a a log xy log x log y =• D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ，则a 的取值范围是（） A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（） A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（） A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ，那么（）A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、F G =∅I8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩，，，12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -等于（）A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132ΛΛ，则M 的值是（） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a --12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是（）A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________；15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-xx44___________；18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-，求xy的值.20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12；⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ；当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是（） A 、N a b= B 、N b a= C 、b aN= D 、a b N =2、设255lg =x，则x 的值等于（）A 、10B 、0.01C 、100D 、10003、()[]0log log log 234=x ，那么21-x 等于（）A 、2B 、21 C 、4 D 、41 4、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是（） A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是（）A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是（）A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m 7、若132log <a，则a 的取值范围是（） A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0Y B 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,0Y8、函数()176log 221+-=x x y 的值域是（）A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,3 9、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于（） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称10、图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（）A 、103,51,34,2 B 、51,103,34,2 C 、2,34,103,51 D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小：7ln 12ln ；7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9，则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ，()()x x g a -=1log ()10≠>a a ，且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域；（10分） ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.（10分）16、已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称为，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与（1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一利用对数定义求值设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立，只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是（）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

对数及其运算讲义

授课内容：（一）对数1.对数的概念：一般地，如果Q=N（">O,"H1）,那么数x叫做以"为底"的对数, 记作：x = b浜N（“_底数,N—真数，bg“N_对数式）说明：①注意底数的限制。

>°,且"工1;Q / =N oIog°N = x；lo。

N0注意对数的书写格式.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数IgN；0自然对数：以无理数0 = 2.7182&…为底的对数的对数InN.指数式与对数式的互化a b =Nolog“N= b（二）对数的运算性质如果。

>0,且"工1, M>0, N>0,那么：① log fl（M . N）=log“M+log“N；]M _Q◎亦一1呱必_1呱化③ log fl M,!= /2 log fl M （n e R）注意：换底公式】,log,log/= --------------log, （d>0,竺"Hl；C>0, g.cHl；b>0）利用换底公式推导下面的结论log h" = —log fl/? l°g°b =—（1）川;（2）吨/.（四）例题例1、设a, b, c都是正数，且3M b=6\那么（）解：由 a, b, c 都是正数，且 3a =4b =6c =M,则 a=log 3\ b=logA c=log 6M 例2、若a>l, b>l,昨严吐,则『等于()A 、1B 、bC 、log h aD 、a ,OK b alog h (lo$h a)解：由对数的换底公式可以得出p 二 ------ T^~Q ----- =log it (log h a),因此，a"等于logi,a.1,则x 属于区间( 例4、若3牛9二10・3\那么x'+l 的值为( ) A 、1B 、2C 、5D 、1 或 5专题：数形结合。

高中数学对数与对数函数知识点与经典例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果 a b=N （a ＞ 0，a ≠ 1），那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 log a N=b. （2）指数式与对数式的关系： a b=N log a N=b （a ＞0，a ≠ 1，N ＞0）.两个式子表示的 a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化 .（3）对数运算性质 : ① log a （MN ）=log a M+log a N.② log a M=log a M －log a N.N③ log a M n =nlog a M.（M ＞0，N ＞ 0，a ＞ 0，a ≠1）④对数换底公式： log b N= loglog a a N （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.b 2.对数函数（1）对数函数的定义函数 y=log a x （a ＞0，a ≠ 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+∞） .注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零 ,如果有根号 ,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0, 或=1 的时候是会有相应 b 的值的。

但是，根据对数定义 : log a a=1 ；如果 a=1 或 =0 那么 log a a 就可以等于一切实数（比如 log 1 1 也可以等于 2 ，3， 4，5，等等）第二，根据定义1运算公式： log a M^n = nlog a M 如果 a<0, 那么这个等式两边就不会成立（比如， log(-2)4^(-2) 就不等于 (-2)*log (-2) 4 ；一个等于 1/16 ，另一个等于 -1/16 ）（2）对数函数的图象y yy=l og a x(a> 1)1O 1 x O xy=l og a x(0<a<1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称 .（3）对数函数的性质 :①定义域：（ 0，+∞）.②值域： R .③过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0.④当 a＞1 时，在（ 0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1 时，在（ 0，+∞）上是减函数 .基础例题1.函数 f（x）=|log2x|的图象是 ?2.若 f －1（x）为函数 f（x）=lg（x+1）的反函数，则 f －1（x）的值域为___________________.23.已知 f（ x）的定义域为［ 0，1］，则函数 y=f［log 1 （ 3－x）］的定义2域是 __________.4.若 log x 7 y =z，则 x、y、z 之间满足A. y7=x zB.y=x7zC.y=7x zD.y=z x5.已知 1＜m＜n，令 a=（log n m）2，b=log n m2，c=log n（log n m），则A. a＜b＜ cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜ a＜b6.若函数f（ x）=logax（ 0＜a＜1）在区间［ a，2a］上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于A. 2B. 2C. 1D. 14 2 4 27.函数 y＝log2｜ax－1｜（ a≠0）的对称轴方程是x＝－ 2，那么 a 等于(x=-2 非解 )A. 1B.－1C.2D.－22 28.函数 f（x）=log2|x|，g（x） =－x2+2，则 f（x）·g（ x）的图象只可能是y yO xOxA By yO x O x C D39.设 f －1（x）是 f（x）=log2（ x+1）的反函数，若［ 1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则 f（a+b）的值为A.1B.2C.3D.log2310.方程 lgx+lg （x+3）=1 的解 x=___________________.典型例题【例 1】已知函数 f（x）= (1x2), x4, 则 f（2+log23）的值为f( x 1), x 4 ,A. 1B. 1C. 1D. 13 6 12 24【例 2】求函数 y＝ log2｜ x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间 .【例 3】已知 f（x）=log 1［3－（ x－ 1）2］，求 f（x）的值域及单调3区间 .4【例 4】已知 y=log a（3－ax）在［ 0，2］上是 x 的减函数，求 a 的取值范围 .【例 5】设函数 f（x）=lg（1－ x），g（x）=lg（1+x），在 f（x）和g（x）的公共定义域内比较 |f（x）|与 |g（ x）|的大小 .【例 6】求函数 y=2lg（x－2）－ lg（ x－3）的最小值 .1【例 7】在 f1（x）=x 2 ， f2（x）=x2，f3（x） =2x，f4（x）=log 1x 四2个函数中， x ＞ x ＞1 时，能使1［f（x ）+f（x ）］＜ f（x1 x 2）成1 2 1 22 2立的函数是1A. f1（x） =x 2 (平方作差比较 )B.f2 （x）=x2C.f3（x）=2xD.f4（x） =log 1 x25探究创新1.若 f（x）=x2－x+b，且 f（log2a）=b， log2［ f（ a）］=2（a≠1）.（1）求 f（log2x）的最小值及对应的 x 值；（2）x 取何值时， f（log2x）＞ f（ 1）且 log2［f（x）］＜ f（1）？2.已知函数 f（x）=3x+k（k 为常数），A（－ 2k，2）是函数 y= f －1（x）图象上的点 .（1）求实数 k 的值及函数 f －1（x）的解析式；（2）将 y= f －1（ x）的图象按向量a=（3， 0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若 2 f －1（x+ m －3）－ g（x）≥ 1 恒成立，试求实数 m 的取值范围 .6。

对数函数考点分析及经典例题讲解

对数函数考点分析及经典例题讲解1．对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性质过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析：考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8；（2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9；（4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。

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对数运算、对数函数经典例题讲义1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N叫做______．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，log e N简记为________．3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝____.对数恒等式：a log a N＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数__________．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <44．方程3log 2x＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝95．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( ) A ．b ＝a 5c B ．b 5＝a c C ．b ＝5a c D ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭的值为( ) A ．6 B.72 C ．8D.377．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则ba ＝________. 10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝121232x x y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2) log a Na ＝N . 2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝____________________；(2)log a MN ＝____________________； (3)log a M n ＝__________(n ∈R)． 2．对数换底公式log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ) B ．(log a x )n ＝n log a xC.log a x n ＝log a n xD.log a x log a y＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25D.1254．已知3a＝5b＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于( ) A ．15 B.15 C ．±15 D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )A ．2 B.12C ．4D.147．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________. 8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b＝36，求2a ＋1b 的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x 与10x 的七组近似对应值：组号一二三四五六七 x0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 10x 2 3 5 6 8 10 12 假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )A ．二B ．四C ．五D ．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)1．在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N.log a N n ＝(log a N )n . log a M ±log a N ＝log a (M ±N )． 2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)．由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)log a b ·log b a ＝1；(2) log nm ab ＝mn log a b .3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域________值域________单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点________，即log a1＝0函数值x∈(0,1)时，y∈________；x∈(0,1)时，y∈________；3.反函数对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数__________________互为反函数．1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞)2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．34．函数f (x )＝|log 3x |的图象是( )5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝4xB ．g (x )＝2xC ．g (x )＝9xD ．g (x )＝3x6．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1) D ．(0，23)∪(1，＋∞)7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是______________．8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．9．给出函数则f (log 23)＝________. 三、解答题10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．11．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)．(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值．(2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 113．若不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系．当0<n <m <1时，如图①；当1<n <m 时，如图②；当0<m <1<n 时，如图③.2．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x 的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( )A ．5 B.15C.1eD.12 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2和y ＝(x )2B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a xD ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( )A ．f (2)>f (－2)B ．f (1)>f (2)C ．f (－3)>f (－2)D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．45．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b 6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________．9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________．10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1ax x --的图象关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log(1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升 12．设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 010)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)的值等于( ) A ．4 B ．8C ．16D ．2log 4813．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．1．在对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)中，底数a 对其图象的影响无论a取何值，对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．1．已知m ＝0.95.1，n ＝5.10.9，p ＝log 0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A ．m <n <pB ．m <p <nC ．p <m <nD ．p <n <m 2．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( )A ．1<n <mB ．1<m <nC ．m <n <1D ．n <m <13．函数y ＝x －1＋1lg (2－x )的定义域是( )A ．(1,2)B ．[1,4]C ．[1,2)D ．(1,2] 4．给定函数①y ＝12x ，②y ＝()12log 1x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．设函数f (x )＝log a |x |，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是________________________．6．若log 32＝a ，则log 38－2log 36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是( )A ．log 0.52.7>log 0.52.8B ．log 34>log 65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π2．若log 37·log 29·log 49m ＝log 412，则m 等于( )A.14B.22C. 2 D ．4 3．设函数若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b 等于( )A ．0B ．－1C ．1D ．24．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，－14) B ．(－14，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－12)5．若函数若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式f (log 18x )<0的解集为( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞) C ．(12，1)∪(2，＋∞) D ．(0，12)∪(2，＋∞)7．已知log a (ab )＝1p ，则log ab a b ＝________.8．若log 236＝a ，log 210＝b ，则log 215＝________.9．设函数若f (a )＝18，则f (a ＋6)＝________.10．已知集合A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)>0的解集．13．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，其中a >1.(1)比较12[f (0)＋f (1)]与f (12)的大小； (2)探索12[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]≤f (x 1＋x 22－1)对任意x 1>0，x 2>0恒成立．1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．2．指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝a x(a>0，且a≠1)和y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．。