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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]

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选修2-1数学课后习题答案(全)

选修2-1数学课后习题答案(全)

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题. 逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题. 否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题. 逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220a b c ab ac bc++---=.所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以，0b c-=.-=，0a b-=，0a c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=()()()0a b a c b c所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，假命题；+≠，真命题；（2）3不是方程290（31≠-，真命题.习题1.3 A组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；∈，真命题；（2）4{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23+=，真命题；≥，假命题；（4）8715（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 B组（P18）（1）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∨为真命题；（2）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∧为真命题；（3）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∨为假命题；（4）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直. 习题 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=， 得422xy -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y ab+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF+=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=.3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P 的坐标是(1)2±±，共有4个7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……①当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-； 直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率e =（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题 B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……① 所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===.4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =± 因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =； （3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =； （4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-. 2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p. 4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒= 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y =8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =.这时水面宽为 m.习题 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以 b ==用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=.2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线. （4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……①222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得k >，或k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =+，22)y p =-把12)y p =+代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =+，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 m =所以，直线l 的方程为2y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==-由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===.当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得 a c +=所以 (1c += c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-； （3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==； （4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==； （5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==； （6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22- 习题 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅ ∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =.∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β；（3）2247u v u v⋅=-α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，21MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，21MN AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3ACDB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos2θ===sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 1OH OA θ=== 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，18DODA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，。

人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答

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高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。

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高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、略 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象对于y 轴对称.这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、抗命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不可以被5整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不可以被5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、抗命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、抗命题：图象对于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不对于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不对于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：若 a b 1，则a2b22a 4b3( a b)( a b) 2( a b) 2b3a b 2 2b3a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，进而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）抗命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则a,b都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b不都是偶数.这是真命题.（2）抗命题：若方程 x2 x m 0 有实数根，则m 0. 这是假命题 . 否命题：若 m 0 ，则方程x2x m 0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 .这是真命题.3、（1）命题能够改写成：若一个点在线段的垂直均分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .抗命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直均分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直均分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直均分线上 .这是真命题.（ 2）命题能够改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.抗命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：假如一个三角形的两边所对的角相等，依据等腰三角形的判断定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证了然原命题的逆否命题，表示原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题能够改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能相互均分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条订交弦相互均分，则这两条订交弦是圆的两条直径.能够先证明此逆否命题：设AB,CD 是e O的两条相互均分的订交弦，交点是 E ，若 E 和圆心 O 重合，则AB,CD是经过圆心 O 的弦，AB,CD是两条直径.若 E 和圆心 O 不重合，连结AO, BO,CO 和DO，则OE是等腰AOB ， COD 的底边上中线，所以，OE AB ，OE CD .AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不行能的.所以， E 和 O 必定重合.即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充足条件与必需条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）.3（ 1） .4、（1）真；（2）真；（ 3）假；（ 4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的抗命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的抗命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，抗命题是真命题，p 是 q 的必需条件.2、（1）p是q的必需条件；（2）p是q的充足条件；（ 3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充足条件，或充足不用要条件；（2）充要条件；（3）既不是充足条件，也不是必需条件；（4）充足条件，或充足不用要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充足条件；（2）必需条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充足性：假如 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc 0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形.（2）必需性：假如ABC是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a 所以 a 2b2c2ab ac bc 0 2b2c2ab ac bc1.3简单的逻辑联络词练习（ P18）1、（1）真；（2）假 .2、（1）真；（2）假 .3、（1）225，真命题；（ 2）3 不是方程 x290的根，假命题；（ 3）( 1)21，真命题.习题 1.3 A组（ P18）1、（1） 4{2,3}或 2 {2,3}，真命题；（2） 4{2,3}且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（ 4） 2 是偶数且 3 不是素数，假命题 .2、（1）真命题；（ 2）真命题；（3）假命题 .3、（1） 2 不是有理数，真命题；（ 2）5 是 15 的约数，真命题；（3）2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何会合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（ P18）（1）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（2）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（3）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题；（4）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .练习（ P26）1、（1） n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单一函数 .2、（1）全部三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）全部实数的绝对值都是正数 .习题 1.4 A 组（ P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .3、（1） x0N , x03x02；（2）存在一个能够被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3） x R, x2x 10 ；（4）全部四边形的对角线不相互垂直 .习题 1.4 B组（ P27）（1）假命题 . 存在一条直线，它在y轴上没有截距；（2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与 x 轴不订交；（3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于180；（4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参照题 A 组（ P30）1、原命题能够写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.抗命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1） n N ,n20 ；（2）P { P P 在圆x2y2r 2上 } ，OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y 是整数}，2x 4y 3；（ 4）x0{ x x 是无理数}， x03{ q q 是有理数} .6、（1）32，真命题；（2）5 4 ，假命题；（ 3） x0R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参照题 B 组（ P31）1、（1）p q；（2） ( p) (q) ，或 ( p q) .2、（1）Rt ABC，C90 ，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2a2b2；（2）ABC ，A,B,a b cC 的对边分别是 a, b,c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 简单求出等腰三角形 ABC 的 BC 上的中 AO 所在直 的方程是x 0 .2、 a32 ,b 18 .25253、解： 点 A, M 的坐 分 (t,0)， ( x, y) .（1）当 t 2 ，直 CA 斜率2 02kCAt2 t2所以， k CB1 t 2k CA2由直 的点斜式方程，得直CB 的方程y 2t2( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐 (0,4 t ) .因为点 M 是 段 AB 的中点，由中点坐 公式得 xt, y4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y 22 得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 ，可得点 A, B 的坐 分 (2,0) ， (0,2)此 点 M 的坐 (1,1) ，它仍旧合适方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点M 的 迹方程，它表示一条直.习题 2.1 A 组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y1 0 表示的曲 上；点 B(2, 3) 不在此曲 上2、解：当 c0 ， 迹方程 xc 1；当 c 0 ， 迹 整个坐 平面 .23、以两定点所在直 x ， 段 AB 垂直均分 y ，成立直角坐 系，得点M 的迹方程 x 2y 2 4 .4、解法一： x 2y 2 6x 50 的 心 C ， 点 C 的坐 是 (3,0) .由 意，得 CM AB ， 有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]yy1 (x 3, x 0)所以，3 xx化简得 x 2y 23x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y 0 ，点 (3,0) 合适题意；当 x 0 时， y 0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 23x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 23x 0 ，5x3.3解法二：注意到OCM 是直角三角形，利用勾股定理，得 x 2 y 2(x 3)2y 2 9 ，即 x 2y 2 3x0 . 其余同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为xy 1.a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以341所以， ab 4a 3bab由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3 y 0 .2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为 (x, y) .y因为动圆截直线 3xy0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD 4 . 过点 M 分别CMFE作直线 3x y0 和 3x y0 的垂线，垂足分别为E ，DF ，则 AE4 ， CF2 . A3xy， MF3x yME1010 .Ox连结 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2 题）2ME 2CF 2MF 2 则有， AE(3 x y) 2(3 x y) 210 .所以， 1610410，化简得， xy所以，动圆圆心的轨迹方程是 xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：依据椭圆的定义，PF1PF220 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1 ；（2） y2x21；（3） x2y21，或 y2x2 1616361636163、解：由已知，a 5， b 4 ，所以 c a2b2 3 .（1）AF1B 的周长AF1AF2BF1BF2.由椭圆的定义，得 AF1AF22a， BF1BF22a .所以， AF1B 的周长4a20.（2）假如AB不垂直于 x 轴， AF1B 的周长不变化 .这是因为①②两式仍旧成立，AF1 B 的周长20，这是定值 .4、解：设点M的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x1)kAM；x1直线 BM 的斜率y(x1) ；kBMx1由题意，得kAM2，所以y2y( x1, y0) kBM x 1x1化简，得 x3( y0)所以，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点 B2（或 B1）为圆心，以线段 OA2（或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为F1 , F2 .A 1F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点 .B 1这是因为，在 Rt B2OF2中，OB2 b ， B2 F2OA2 a ，（第 1 题）所以， OF2 c .相同有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为(8,0) ， (8,0) ；14.1.F2 A 2x（2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x2y 21；（2） y2x2 1 . 363225164、（1）x2y21（2） x2y 21，或 y2x2 1. 9410064100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是 1 ，316122因为221 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 9x2y236 更扁；321612（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是10 ，36105因为2210 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 x29 y 236 更扁 . 356106、（1）(3,8（2） (0,2) ；（ 3）(487082 ) ；,) .7、. 537377习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 知足的关系式x2( y3)2x2( y3)210 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以F1(0,3) ， F2 (0,3) 为焦点，长轴长为10 的椭圆 .它的方程是y2x21. 25162、（1）x2y 21；（ 2）y2x2 1 ；（3） x2y21，或 y2x2 1. 3632259494049403、（1）不等式2x 2 ， 4 y 4 表示的地区的公共部分；（2）不等式25x25 ，10y10表示的地区的公共部分 .图略 . 334、（1）长轴长2a8 ，短轴长 2b 4 ，离心率e 3 ，2焦点坐标分别是 (23,0)， (23,0)，极点坐标分别为 (4,0)， (4,0)， (0,2) ， (0,2) ；（2）长轴长2a18 ，短轴长 2b 6 ，离心率e 2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 62)，(0,62)，极点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， (3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2y21，或 y2x2 1 ；859819（3） x2y21，或 y 2x2 1 .2592596、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2 .因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2y P1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x211，解得 x15 .P54215l所以，点 P 的坐标是(1)，共有 4个 .,2QA 7、解：如图，连结 QA .由已知，得 QA QP .O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以 OA OP（第 7 题）依据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x m 代入椭圆方程x2y2 1 ，得 9x26mx2m218 0 .249这个方程根的鉴别式36m236(2 m 218)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 32,32) 时，直线与椭圆订交 .（ 2）设直线与椭圆订交获得线段AB ，并设线段 AB 的中点为M (x, y) .则 x x1x2m .23因为点 M 在直线y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得 3x 2 y0 .23这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包含端点），这些弦的中点在一条直线上 .x2y29、3.5252 2.8752 1 .10、地球到太阳的最大距离 1.5288 108 km，最下距离 1.4712108 km.习题 2.2 B 组（ P50）1、解：点M的坐 ( x, y) ，点P的坐 ( x0 , y0 ) ，x x0， y 3 y0 .所以 x0x ， y0 2 y⋯⋯① . 23因点 P(x0, y0 ) 在上，所以 x02y02 4 ⋯⋯② .将①代入②，得点 M 的迹方程x2 4 y24，即 x2y21949所以，点 M 的迹是一个与例 2 对比可，也能够看作是由沿某个方向或拉伸获得.2、解法一：心P(x, y) ，半径R，两已知的心分O1, O2 .分将两已知的方程x2y26x 50 ， x2y 26x 910配方，得 (x 3)2y2 4 ，( x3) 2y2100当 e P 与e O1：( x3)2y2 4 外切，有O1P R2⋯⋯①当 e P 与e O2：( x3)2y2100 内切，有O2P10R ⋯⋯②①②两式的两分相加，得O1P O2 P12即， ( x 3)2y2(x 3)2y212⋯⋯③化方程③ .先移，再两分平方，并整理，得 2 (x 3)2y212x ⋯⋯④将④两分平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数移至方程的右，两分除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥3627由方程⑥可知，心的迹是，它的和短分12， 6 3 .解法二：同解法一，得方程( x 3)2y2( x 3)2y 212⋯⋯①由方程①可知，心P(x, y) 到点 O1 ( 3,0) 和点 O2 (3,0)距离的和是常数12，所以点 P 的 迹方程是焦点 (3,0) 、 (3,0) ， 等于 12 的 .而且 个 的中心与坐 原点重合，焦点在 x 上，于是可求出它的 准方程.因2c 6 ， 2a 12 ，所以 c3 ， a 6所以 b 2 36 927 .于是， 心的 迹方程x 2y2361.273、解： d 是点 M 到直 x8 的距离，依据 意，所求 迹就是会合PMF 1 M2d( x2)2y 2 1由此得x28将上式两 平方，并化 ，得3x24 y248 ，即x 2y 2 11612所以，点 M 的 迹是 、短 分8， 4 3 的 .4、解：如 ，由已知，得E(0, 3) ， F (4,0) ， G (0,3) ， H (4,0) .DyGLC因 R,S,T 是 段 OF 的四均分点，R'MR , S ,T 是 段 CF 的四均分点，S' 所以， R(1,0), S(2,0), T (3,0) ；HN T'O RSTF xR (4, 9 ), S (4, 3),T (4, 3) .424直 ER 的方程是 y 3x 3 ；直 GR 的方程是 y3.AEBx 31632 , y 45 .（第 4 题）立 两个方程，解得x17 17所以，点 L 的坐 是 (32 ,45) .17 17同 ，点 M 的坐 是 (16 , 9) ，点 N 的坐 是 ( 96 ,21) .5 525 25由作 可 ，能够 的方程x 2y 21 (m 0, n 0) ⋯⋯①nm 22把点 L, M 的坐 代入方程①，并解方程 ，得11，11m 22232.4 n高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以经过点 L, M 的椭圆方程为x 2y 21 .16 9把点 N 的坐标代入x 2y 2 ，得 1( 96 ) 2 1 ( 21)2 1，169 16 259 25所以，点 N 在x 2y 2 1 上 . 169所以，点 L, M , N 都在椭圆x 2y 2 1 上.1692.3双曲线练习（ P55）1、（1）x 2y 21 .（2） x 2y21.16 93（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上y 2x 21 ( a 0,b0)所以，可设它的标准方程为2b 2a将点 (2, 5) 代入方程，得254 1 ，即 a 2b 24a 2 25b 2 0a 2b 2又 a 2b 236解方程组a 2b 2 4a 2 25b 2 0a2b 236令 m a 2,nmn 4m 25n 0 b 2，代入方程组，得n 36m m 20 m 45 解得16，或9nn第二组不合题意，舍去，得a 2 20,b 2 16y 2x 2所求双曲线的标准方程为 120 16解法二：依据双曲线的定义，有 2a4 (5 6)24 (5 6)2 4 5 .所以， a 2 5高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]又 c6，所以 b23620 16由已知，双曲线的焦点在y2x2y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为 1 .20162、提示：依据椭圆中a2b2c2和双曲线中 a2b2c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标 .3、由 (2 m)( m 1) 0 ，解得m 2 ，或 m1练习（ P61）1、（1）实轴长 2a8 2 ，虚轴长2b 4 ；极点坐标为(4 2,0),(42,0)；焦点坐标为 (6,0),(6,0)；离心率 e3 2 .4（2）实轴长2a 6 ，虚轴长 2b18 ；极点坐标为(3,0),(3,0) ；焦点坐标为 (310,0),(310,0) ；离心率 e10 .（3）实轴长2a 4 ，虚轴长 2b 4 ；极点坐标为(0,2),(0,2)；焦点坐标为 (0,22),(0,22) ；离心率 e 2 .（4）实轴长2a10，虚轴长2b14；极点坐标为(0,5),(0,5) ；焦点坐标为 (0,74),(0,74) ；离心率 e74 .52、（1）x2y 2 1 ；（2） y2x2 1.3、 x2y21169362835 4、 x2y2 1 ，渐近线方程为y x .18185、（1） (6,2),( 14,2) ；（ 2） (25,3) 334习题 2.3 A组（ P61）y2x21 . 因为a 8，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距1、把方程化为标准方程，得1664离的差的绝对值等于16. 所以点P到另一焦点的距离是17.2、（1）x2y2 1 .（2） x2y2120162575高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3、（1）焦点坐标为 F 1 ( 5,0), F 2 (5,0) ，离心率 e5 ；3 （2）焦点坐标为 F 1 (0, 5), F 2 (0,5) ，离心率 e5 ；44、（1）x 2y 21.（ 2） y2x 2 1 2516916（3）解：因为 ec2 ，所以 c 22a 2 ，所以 b 2c 2 a 22a 2 a 2a 2 .a设双曲线的标准方程为x 2 y 21 ，或 y 2x 2 1.a 2 a 2a 2a 2将 ( 5,3) 代入上边的两个方程，得25 9 1 ，或 925 1 .a 2a 2 a 2a 2解得 a 216 （后一个方程无解） .所以，所求的双曲线方程为x 2 y 21 .16 165、解：连结 QA ，由已知，得 QA QP .所以， QA QO QP QO OP r .又因为点 A 在圆外，所以 OA OP .依据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为实轴长的双曲线 .6、 x 2 y 2 1 .8 8习题 2.3 B组（ P62）1、 x 2y 2116 92、解：由声速及 A, B 两处听到爆炸声的时间差，可知A, B 两处与爆炸点的距离的差，所以爆炸点应位于以 A, B 为焦点的双曲线上 .使 A, B 两点在 x 轴上，而且原点 O 与线段 AB 的中点重合，成立直角坐标系 xOy .设爆炸点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 PA PB 340 3 1020 .即 2a 1020 ， a 510.又 AB1400，所以 2c 1400 ， c 700 ， b 2 c 2 a 2229900 .所以，所求双曲 的方程x 2y22601001.2299003、 x 2y 2 1a 2b 24、解： 点 A( x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) 在双曲 上，且 段 AB 的中点 M ( x, y) .点 P 的直 l 的方程 y 1 k ( x 1) ，即 y kx 1 k把 ykx1 k 代入双曲 的方程x 2y 2 1得2(2 k 2 )x 2 2k(1 k )x (1 k 2 ) 20 （ 2k 2 0 ） ⋯⋯①所以， xx 1x 2 k(1 k)22 k2由 意，得k (1k) 1，解得 k 2 .2k 2当 k2 ，方程①成 2x 2 4x 30 .根的判 式16 24 8 0 ，方程①没有 数解 .所以，不可以作一条直 l 与双曲 交于 A, B 两点，且点 P 是 段 AB 的中点 .2.4 抛物线练习（ P67）1、（1） y 212x ；（ 2） y 2x ；（3） y 24x, y 2 4x, x 2 4 y, x 24y .2、（1）焦点坐 F (5,0) ，准 方程 x5 ； （ 2）焦点坐 F (0, 1) ，准 方程 y1 ；88 （3）焦点坐 F (5 ,0) ，准 方程 x 5； （ 4）焦点坐 F (0, 2)，准 方程 y2 ；p .883、（1） a ， a（ 2） (6,6 2) ， (6, 6 2)2提示：由抛物 的 准方程求出准 方程. 由抛物 的定 ，点M 到准 的距离等于9，所以 x 39 ， x 6， y 6 2 .yy 2= 4x练习（P72）y 2= 2x1、（1） y216 x ； （ 2） x220 y ；y 2=x52 1=（3） y 216 x ；（ 4） x 232 y .yx22、 形 右， x 的系数越大，抛物 的张口越大 .Ox3、解：过点 M (2,0) 且斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx 2与抛物线的方程 y24x 联立y x 2y24x解得x 142 3 x 24 2 3，y 1 2 2 3y 2 2 2 3设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB( x 2 x 1) 2( y 2 y 1 )2( 4 3) 2( 4 3) 2 4 6 .4、解：设直线 AB 的方程为 xa ( a 0) .将 x a 代入抛物线方程 y 2 4x ，得 y 24a ，即 y 2 a .因为AB 2 y 2 2 a 4 a 4 3 ， 所以， a3所以，直线 AB 的方程为 x3 .习题 2.4 A 组（ P73）1、（1）焦点坐标 F (0, 1) ，准线方程 y1 ；22（2）焦点坐标 F (0,3) ，准线方程 y3 ；1616（3）焦点坐标 F ( 1 ,0) ，准线方程 x1 ；8 8 （4）焦点坐标 F ( 3 ,0) ，准线方程 x3 .222、（1） y 28x ；（ 2） (4,4 2) ，或 (4, 42)3、解：由抛物线的方程 y 2 2 px ( p0) ，得它的准线方程为 xp .2依据抛物线的定义，由 MF 2 p ，可知，点 M 的准线的距离为 2 p .设点 M 的坐标为 ( x, y) ，则xp 2 p ，解得 x3p .3 p 代入 y 222将 x2 px 中，得 y3 p .2所以，点 M 的坐标为 (3 p,3 p) ， (3 p,3 p) .224、（1） y 2 24 x ， y 2 24x ；（2） x 212 y （图略）5、解：因为xFM 60 ，所以线段 FM 所在直线的斜率 k tan 603 .所以，直线 FM 的方程为 y3( x 1)高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]与抛物 y 24xy3( x1)L L 1立，得y 24xL L 2将 1 代入 2 得， 3x210 x 3 0 ，解得， x 11， x 233把 x 11， x 23 分 代入①得y 12 3， y 2 2 333由第 5 知 (1 ,2 3) 不合 意，所以点 M 的坐 (3,2 3).33所以， FM(3 1)2 (2 3 0) 246、 明：将 y x2 代入 y 22x 中，得 ( x2) 2 2x ，化 得 x 2 6x 4 0 ，解得 x35y 3 5 2 15因 k OB1 5， k OA 1 535 35所以 k OB k OA1 5 1 5 153535 915所以 OAOB7、 条抛物 的方程是x217.5 yy8、解：成立如 所示的直角坐 系，Ox拱 抛物 的方程 x 2 2 py ，2l因 拱 离水面 2 m ，水面 4 m所以222 p( 2) ， p 1所以，抛物 方程 x 2 2y4⋯⋯①（第 8 题）水面降落 1 m ， y 3 ，代入①式，得 x 22 ( 3) ， x6 .水面 26 m.习题 2.2 B 组（ P74）1、解： 垂 段的中点坐( x, y) ，抛物 上相 点的坐(x 1, y 1 ) .依据 意， x 1x ， y 1 2 y ，代入 y 122 px 1 ，得 迹方程 y21px .2由方程可知，轨迹为极点在原点、焦点坐标为( p,0) 的抛物线 .82、解：设这个等边三角形 OAB 的极点 A, B 在抛物线上，且坐标分别为( x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ，则 y 12 2 px 1 ， y 22 2 px 2 .又 OAOB ，所以 x 12 y 12 x 22 y 22即 x 12 x 22 2 px 1 2 px 2 0， (x 12 x 22 ) 2 p( x 1 x 2 ) 0所以， ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 2 p)因为 x 1 0, x 2 0,2 p 0 ，所以 x 1 x 2由此可得 y 1y 2 ，即线段 AB 对于 x 轴对称 .因为 x 轴垂直于 AB ，且AOx 30 ，所以y 1tan303 .x 13因为 x 1y 12 ，所以 y 1 2 3p ，所以 AB2 y 14 3 p .2 p3、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得 直线 AM 的斜率 k AMy ( x1) .x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1) .x 1由题意，得 k AMkBM2 ，所以，yy2( x1) ，化简，得 x 2( y 1)(x1)x 1 x 1第二章复习参照题 A 组（ P80）1、解：如图，成立直角坐标系， 使点 A, B, F 2 在 x 轴上， F 2 为椭圆的右焦点 （记 F 1 为左焦点） .因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x 2 y 2.a2b 21(a b0)y则 a c OAOF 2 F 2 A 6371 439 6810，a c OBOF 2F 2B 6371 2384 8755 ，解得 a 7782.5 ， c 8755BF 1OF 2A x所以 ba 2c 2(a c)( ac)8755 6810用计算器算得 b 7722所以， 星的 道方程是x 2y 2 1.77832772222R r 1 r 2a cR r 1 a 22、解：由 意，得，解此方程 ，得a c Rr 2r 1r 2c2所以 星 道的离心率ecr 2 r 1 .a2R r 1r 23、（1） D ； （ 2） B .4、（1）当0 ，方程表示 .（2）当 090 ，方程化成 x 2y 2 1. 方程表示焦点在 y 上的 .1cos（3）当 90 ， x 21，即 x 1，方程表示平行于 y 的两条直 .（4）当 90180 ，因 cos0，所以 x 2y 2 cos1 表示双曲 ，其焦点在 x上. 而当180 ，方程表示等 双曲 .5、解：将 ykx 1代入方程 x 2y 2 4得 x 2k 2 x 2 2kx 1 4 0即 (1 k 2 ) x 2 2kx 5 0 ⋯⋯①4k 2 20(1k 2 ) 20 16k 2令0 ，解得 k5，或 k522因0 ，方程①无解，即直 与双曲 没有公共点，所以， k 的取 范 k5，或 k5226、提示： 抛物 方程y 2 2 px ， 点 B 的坐 ( p, p) ，点 C 的坐 ( p, p)2 2点 P 的坐 ( x, y) ， 点 Q 的坐 ( x,0) .因 ， PQy2px ， BC 2 p ， OQ x .所以， PQ 2BC OQ ，即 PQ 是 BC 和 OQ 的比率中 .7、解： 等 三角形的此外两个 点分 是A, B ，此中点 A 在 x 上方 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3 p直 FA 的方程 y( x)32与 y 22 px 立，消去 x ，得 y 2 23 py p 2解方程，得 y 1 ( 3 2) p ， y 2 ( 3 2) p把 y 1( 3 2) p 代入 y3( xp ) ，得 x 1(72 3) p .322把 y 2( 3 2) p 代入 y3(xp) ，得 x 2(72 3) p .322所以， 足条件的点 A 有两个 A 1((72 3) p,(3 2) p) ， A 2 ((72 3) p,(3 2) p) .22依据 形的 称性，可得 足条件的点B 也有两个B 1(( 72 3) p, (3 2) p) ，2 7( 32) p)B 2 ((2 3) p,2所以，等 三角形的 是A 1B 12( 32) p ，或许 A 2 B 22(23) p .8、解： 直 l 的方程 y 2xm .把 y2x m 代入双曲 的方程 2x 23y 2 6 0 ，得 10x 2 12mx 3m 26 0 .x 1 x 26m， x 1x 23m 2 6⋯⋯①510由已知，得(1 4)[( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ] 16⋯⋯②210把①代入②，解得m3210 所以，直 l 的方程 y2x39、解： 点A 的坐 (x 1, y 1 ) ，点B 的坐 ( x 2 , y 2 ) ，点 M 的坐 (x, y) .并 点 M 的直 l 的方程 y1 k (x 2) ，即 ykx 1 2k .22y把 y kx 1 2k 代入双曲 的方程x1 ，得(2 k 2 )x 2 2k (12k )x(1 2k)2 20 (2 k 2 0) . ⋯⋯①高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 1 x 2 k (1 2k)所以， x22 k 2由题意，得k(12k) 2 ，解得 k42 k 2当 k4 时，方程①成为 14 x 2 56x 51根的鉴别式56 256 51 2800 ，方程①有实数解 .所以，直线 l 的方程为 y4x 7 .10、解：设点 C 的坐标为 (x, y) .由已知，得 直线 AC 的斜率 k ACy (x5)x 5直线 BC 的斜率kBCy 5 ( x 5)x 由题意，得 k AC k BCm . 所以， y y m( x5)5 x 5x化简得，x 2y 2 1(x 5)2525m当 m 0 时，点 C 的轨迹是椭圆 (m 1) ，或许圆 ( m 1) ，并除掉两点 ( 5,0),(5,0) ；当 m 0 时，点 C 的轨迹是双曲线，并除掉两点( 5,0),(5,0) ；11、解：设抛物线 y 2 4x 上的点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 y 24x .点 P 到直线 yx 3 的距离 dx y 3y 2 4y 12 ( y 2)2824 24 2.当 y 2时， d 的最小值是2 .此时 x1，点 P 的坐标是 (1,2) .12、解：如图，在地道的横断面上，以拱y顶为原点、拱高所在直线为y 轴Ox（向上），成立直角坐标系 .抛物线设地道顶部所在抛物线的方程6 mE为 x 22 py因为点 C (4, 4) 在抛物线上DC所以 422 p( 4) 2 mFA3 m3 m2 p 4B解得高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 24 y .EFh 0.5. F (3, h 5.5)把点 F 的坐 代入方程 x 24y ，解得 h3.25 .答： 通 地道的限制高度3.2 m.第二章复习参照题 B 组（ P81）1、SPF 1F 224 3 .2、解：由 意，得 PF 1x .把 xc 代入 方程，解得yb 2 . 所以，点 P 的坐 是 ( c, b 2)aa直 OP 的斜率 k 1b 2 .直 AB 的斜率 k 2b .aca由 意，得b 2b，所以， bc ， a2c .aca由已知及 F 1A a c ，得 ac 105所以 (1 2) c 105 ，解得 c5所以， a10 ， b5所以， 的方程x 2y 2 1.1053、解： 点 A 的坐 (x 1, y 1 ) ，点 B 的坐 ( x 2 , y 2 ) .由 OA OB ，得 x 1x 2y 1y 2 0 .由已知，得直 AB 的方程 y2x 5 .有 y 1 y 25( y 1 y 2 ) 25 0 ⋯⋯①由 y2x 5 与 y 22px 消去 x ，得 y 2py 5 p0 ⋯⋯②y 1y 2p ， y 1 y 25 p ⋯⋯③把③代入①，解得p54高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]当 p5时，方程②成为 4 y 25y 25 0 ，明显此方程有实数根 .所以， p5444、解：如图，以连结 F 1 , F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的中点为原点，成立直角坐标系 .对于抛物线，有p1763 529 2292 ，2所以， p4584 ， 2 p 9168 .对于双曲线，有c a 2080c a 529解此方程组，得 a 775.5， c 1304.5所以， b 2 c 2 a 2 1100320 .（第 4 题）所以，所求双曲线的方程是x 2y 2 601400.31 ( x 775.5) .1100320因为抛物线的极点横坐标是 (1763 a)(1763 775.5)987.5所以，所求抛物线的方程是y 2 9168( x987.5)答：抛物线的方程为 y 29168( x 987.5) ，双曲线的方程是x 2y 21 ( x 775.5) .601400.311003205、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得 直线 AM 的斜率 k AMy ( x 1)x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1)x1由题意，得 kAMk2 ，所以y y 2( x1)，化简，得 xy x 2 1(x1)BMx1 x 1所以，点 M 轨迹方程是 xy x 21(x1) .6、解：（1）当 m 1时，方程表示 x 轴；（ 2）当m3 时，方程表示 y 轴；（3）当 m1,m 3 时，把方程写成x 2 y23 mm 1.1①当 1 m 3, m 2 时，方程表示椭圆；② m 2 时，方程表示圆；③当 m 1，或 m3时，方程表示双曲线 .7、以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]垂线，垂足分别为 D , E .由抛物线的定义，得AD AF ， BE BF .所以， AB AF BF AD BE .设 AB 的中点为 M ，且过点 M 作抛物线y22px ( p0) 的准线l的垂线，垂足为C .明显 MC ∥x轴，所以， MC 是直角梯形 ADEB 的中位线.于是， MC 1( AD BE )1AB .所以，点 C 在以 AB 为直径的圆上.22又 MC l ，所以，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.近似地，能够证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线订交.高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算练习（ P86）1、略 .2、略 .uuuur uuuruuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 3、 A C ABAD AA ， BD AB AD AA ， DB AA AB AD .练习（ P89）uuuruuuruuuur1、（1） AD ； （2） AG ；（3） MG .2、（1） x 1； （2） x y1； （3） x y1 .3、如图 .22A CPB QRSO（第 3 题）练习（ P92）1、 B .uuuur uuur uuuruuur2、解：因为 ACABADAA ，uuuur2uuur uuur uuur 所以 AC( AB AD AA )2uuur 2 uuur 2 uuur 2uuur uuur uuur uuur uuur uuurABADAA2( AB AD AB AA AD AA )uuuur 42 32 52 2 (0 10 7.5)8585所以 AC3、解：因为 AC所以 AC BD ， AC AB ，又知 BD AB .uuur uuur uuur uuur 0uuur uuur 0 .所以 AC BD 0 ， AC AB ，又知 BD AB uuur 2 uuur uuur CD CD CDuuur uuur uuuruuur uuuruuur(CA AB BD ) (CA ABBD )uuur 2 uuur 2uuur2CAAB BDa 2b 2c 2所以 CDa 2b 2c 2 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]r r r r rr r r r r 1、向量 c 与 a b ， a b 必定组成空间的一个基底 . 不然 c 与 ab ， a b 共面，r r r2、共面于是 c 与 a ， b 共面，这与已知矛盾 .uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r 2、（1）解： OB OBBB OA AB BB OA OC OO a b c ；uuur uuur uuur uuur uuuur r rBA BABBOC OOc buuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r rCA CA AA OA OC OO a bcuuur uuur uuuruuur1 uuur r 1 rr 1rr1r（2） OGOC CGOCCBb (ac)ab2 c .222练习（ P97）1、（1） ( 2,7,4) ； （2） ( 10,1,16)； （3） ( 18,12,30) ； （ 4）2.2、略 .3、解：分别以 DA ,DC , DD 1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，成立空间直角坐标系 .则 D (0,0,0) ， B 1 (1,1,1)， M (1,1,0) ， C(0,1,0) 2uuuur uuuur 1所以， DB 1 (1,1,1)， CM (1, ,0) .2uuuur uuuur 1 1uuuur uuuurDB 1 CM 015所以， cos2.DB 1, CMuuuur uuuur 1 15DB 1 CM31D'4C'习题 3.1 A 组（ P97）A'B' Muuuruuur uuur D GC1、解：如图，（1） ABBC AC ；uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuuur uuuur（2） AB AD AAACAA AC CC AC ；A（第 1 题） Buuur uuur1 uuuur uuur uuuuruuuur（3）设点 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；1 uuur 21 uuuur（4）设点 G 是线段 AC 的三均分点，则uuur uuuruuur ( AB AD AA ) AC AG .uuur uuuur uuuur uuur33向量 AC , AC , AM , AG 如下图 .2、 A .uuuur 2 uuur uuur uuur3、解： AC ( AB AD AA )2高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AD AA 2( AB AD AB AA AD AA ) 52 32 722(5 3 1 5 72 3 7 2 )2 2298 56 2所以， AC13.3 .uuur uuuruuur uuur 1a2；4、（1） AB ACAB AC cos60uuur uuuruuur uuur21a 2；（2） AD DBAD DB cos120uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur1 a2 1 1（3） GF AC GF AC cos180 2 ( GF AC a) ；2 2 uuur uuur uuur uuur 1 a 2 uuur 1 uuur 1（4） EF BC EF BC cos60 4 ( EF 2 BD a) ； uuur uuur uuur uuur uuur uuur 21 2 1 1； （5） FG BA FG BA cos120 a ( FG2 AC a)4 2uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur（6） GE GF(GCCB2 BA)CA21 uuuruuur1 uuur 1 uuur( DCCB2 BA)2 CA21 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA 2 CB CA 4 BA CA1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA cos120 2 CB CA cos604 BA CA cos601 a 245、（1） 60 ； （2）略 .r rr6、向量 a 的横坐标不为 0，其余均为 0；向量 b 的纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为 0，其余均为 0.7、（1）9； （2） (14, 3,3) .rr r r 0 ，即 82 3x0 ，解得 x10 . 8、解：因为 ab ，所以 a buuuruuur3(5,1, 10)9、解： AB ( 5, 1,10) ， BAuuuur1 uuur uuur1 9 2) ，设 AB 的中点为 M ， OM2(OAOB )( , ,uuur 2 2所以，点 M 的坐标为 (1 , 9 ,( 5)2( 1)21021262) ， AB2 210、解：以 DA , DC , DD 1 分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系 O xyz .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]则 C ,M , D 1 , N 的坐标分别为： C (0,1,0) ， M (1,0, 1D 1(0,0,1)1.) ， ， N (1,1, )uuuur1 uuuur 1 22CM (1, 1, ) ， D 1 N (1,1, )2 2uuuur 12 ( 1)2 ( 1) 2 uuuur 12 12 1)2所以 CM 3 ， D 1 N ( 32 2 2 2uuuur uuuur1 1 11cos CM , D 1N9 4 94因为异面直线 CM 和 D 1N 所成的角的范围是 [0,]2所以， CM 和 D 1 N 所成的角的余弦值为 1.31911、 ( , ,3)2 2习题 3.1 B组（ P99）1、证明：由已知可知， uuuruuur uuur uuurOA BC ， OB ACuuur uuuruuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur0 .∴ OA BC0 ， OB AC 0 ，所以 OA (OC OB ) 0 ， OB (OC OA)uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ OA OC OA OB ， OB OC OB OA .uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0 uuur uuur 0 .∴ OA OC OB OC 0 ， (OA OB) OC ， BA OC∴ OC AB .2、证明：∵点 E, F ,G , H 分别是 OA,OB, BC ,CA 的中点 . uuur1 uuuruuur1 uuuruuuruuur∴ EFAB ， HGAB ，所以 EFHG22∴四边形 EFGH 是平行四边形 .uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuuruuur uuurEFEHABOC4 (OBOA) OC4(OB OCOA OC )2 2∵ OA OB ， CA CB （已知）， OC OC .∴ BOC ≌ AOC （ SSS ）∴ BOC AOCuuur uuur uuur uuur∴ OB OC OA OCuuur uuur ∴ EF EH 0uuur uuur ∴ EF EH∴ 平行四边形 □ EFGH 是矩形 .。

人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答

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高中数学选修2-1课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习(P4)1、例：(1)若J+x-2=0,贝1J x=1;(2)若x=1,贝1+》一2=0.2、(1)真；(2)假；(3)真；(4)真.3、(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题.(3)若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.练习(P6)1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.练习(P8)证明：证明：命题的逆否命题是：若a—b=1,则a2~b2+2a—4b—3a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2<(i-b\-2?当。

一力=1时原式—ci+b-Q.-2.b-?>-b1—所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1A组(P8)1、(1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.2、(1)逆命题：若两个整数。

与人的和a+b是偶数，则都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数。

，力不都是偶数，则a+b不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数。

与人的和a+b不是偶数，则。

，力不都是偶数.这是真命题.(2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，贝血＞0.这是假命题.否命题：若m＜Q,则方程x2+x-m=0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2+x-m=0没有实数根，则m＜0.这是真命题.3、(1)命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.(2)命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形.这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等.这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形.这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题.所以，原命题也是真命题.习题1.1B组(P8)证明：要证的命题可以改写成“若p,则0”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设A3,CD是。

人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

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新课程标准数学选修2— 2 第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3． 1 变化率与导数 练习（ P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 1 和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／ h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3℃／ h 的速率 上升 . 练习（ P8）函数 h(t ) 在 tt 3 附近单调递增，在 t t 4 附近单调递增 . 并且，函数 h(t ) 在 t 4 附近比在 t 3 附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲” 1的思想.练习（ P9）函数 r (V )33V V 5) 的图象为(04根据图象，估算出 r (0.6) 0.3， r (1.2)0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 . 习题 1.1 A 组（ P10）1、在 t 0W 1 (t 0 ) W 1 (t 0 t) W 2 (t 0 ) W 2 (t 0 t ) 处，虽然 W 1 (t 0 ) W 2 (t 0 ) ，然而 t t. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.h h(1 t) h(1)3.3 .2、t 4.9 t 3.3，所以， h (1)t这说明运动员在 t 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降 .3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s(t) 在 t5 时的导数 .s s( 5t ) s ( 5 )t 10 ，所以， s (5)10 .tt因此 ，物体 在第 5 s 时 的瞬 时速 度为10 m ／ s ， 它在第 5 s 的 动能E k13 102150 J.24、设车轮转动的角度为 ，时间为 t ，则kt 2(t0) .由题意可知，当 t0.8 时，2 . 所以 k25 ，于是25 t 2.88 车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在 t 3.2 时的导数 .( 3. 2 t ) (3. 2) 2 5，所以(3.2) 20.tt8 t 20因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s 1.说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f ( x) 在 x5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x5 附近单调递增 . 同理可得，函数 f ( x) 在 x 4 ， 2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有 变化，单调递减，单调递减 .说明：“以直代曲”思想的应用 .6、第一个函数的图象是一条直线， 其斜率是一个小于零的常数， 因此，其导数 f (x) 的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数 f(x) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f (x)的值也在增加； 对于第三个函数， 当 x 小于零时， f (x) 小于零，当 x 大于零时， f (x)大于零，并且随着 x 的增加， f (x) 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 .说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 .习题 3.1B 组（ P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢， 即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的 v(t) 的信息获得 s(t) 的相关信息，并据此画出 s(t ) 的图象的大致形状 .这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（ 1）的题意可知，函数f ( x) 的图象在点 (1, 5) 处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象， 然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（ 2）（ 3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 .说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 . 1． 2 导数的计算 练习（ P18）1、 f (x) 2x 7 ，所以， f (2) 3， f (6) 5.2、（1） y1 ； （2） y2e x；x ln 2（3） y 10x46x ；（ 4） y 3sin x 4cos x ；（5） y1 sin x； （6） y1 .3 32 x 1习题 1.2 A 组（P18）S S( r r ) S( r )rr ，所以， S (r )lim (2 rr ) 2 r .1、2rrr 02、 h (t )9.8t 6.5 .3、 r (V ) 1 3334V 2.4、（1） y 3x2 1 ；（ 2）y nx n 1e x x n e x；x ln 2（ 3） y 3x2 sin x x3 cos x cos x ；（ 4）y 99(x 1)98；sin 2 x（ 5）y 2 x ；（ 6）y 2sin(2 x 5) 4x cos(2x 5). e5、f (x) 8 2 2x .由 f ( x0 ) 4 有 4 8 2 2x0，解得 x0 3 2 .6、（1） y ln x 1 ；（2） y x 1.7、 y x1.8、（1）氨气的散发速度 A (t ) 500 ln0.834 0.834t.（2） A (7) 25.5 ，它表示氨气在第7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少 .习题 1.2 B 组（P19）1、（1）（ 2）当 h 越来越小时， y sin( x h) sin x就越来越逼近函数 y cos x.h（ 3） y sin x 的导数为 y cos x.2、当 y 0 时， x 0 . 所以函数图象与x轴交于点 P(0,0) .y e x，所以 y x 0 1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y x .2、 d (t) 4sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为0.42 m／ h；上午 9:00 时潮水的速度为0.63 m／ h；中午 12:00 时潮水的速度为0.83 m／h；下午 6:00 时潮水的速度为 1.24 m／ h.1． 3 导数在研究函数中的应用练习（ P26）1、（1）因为f ( x) x2 2x 4 ，所以 f ( x) 2x 2.当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) x2 2x 4 单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 1时，函数 f ( x) x 22 x 4 单调递减 .（2）因为 f ( x) exx ，所以 f (x) ex1.当 f (x) 0 ，即 x0 时，函数 f ( x) e xx 单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 0 时，函数 f ( x) e xx 单调递减 .（3）因为 f ( x) 3x x 3，所以 f ( x)3 3x 2.当 f (x) 0 ，即 1 x 1时，函数 f ( x) 3x x 3单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 1或 x 1 时，函数 f (x) 3x x 3单调递减 .（4）因为 f ( x) x3x 2x ，所以 f ( x) 3x22 x 1.当 f (x) 0 ，即 x1或 x 1时，函数 f ( x) x 3 x 2 x 单调递增；1 3当 f (x) 0 ，即 x 1时，函数 f (x)x3x2x 单调递减 .3、2注：图象形状不唯一 .3、因为 f ( x) ax 2bx c(a 0) ，所以 f (x)2ax b .（1）当 a 0 时，f (x)0 ，即 x b时，函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 单调递增；2af (x)0 ，即 xb 时，函数 f (x)ax2bx c(a 0) 单调递减 .（ 2）当 a 0 时， 2af (x)0 ，即 xb 时，函数 f (x) ax2bx c(a 0) 单调递增；2af (x)0 ，即 xb时，函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 单调递减 .2a4、证明：因为 f (x)2x 3 6x27 ，所以 f (x) 6x212x .当 x (0, 2) 时， f ( x) 6x 212x 0 ，因此函数 f ( x) 2 x36x27 在 (0, 2) 内是减函数 .练习（ P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y f ( x) 的极值点，其中 x x 2 是函数 y f ( x) 的极大值点， x x 4 是函数 y f (x) 的极小值点 .2、（1）因为 f ( x) 6x2x 2 ，所以 f ( x) 12x1 .令 f ( x) 12x 1 0 ，得 x1 .12当 x1时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 1 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调递减 .12121时 ， f ( x)有极小值，并且极小值为所 以 ， 当 x12f ( 1) 6 ( 1)21 249 . 12 121224（2）因为 f ( x) x327x ，所以 f ( x) 3x 227 .令 f ( x) 3x227 0 ，得 x3 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x3 或 x 3时；②当 f (x) 0 ，即 3 x 3 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,3) 3 ( 3,3) 3 (3, ) f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当 x3 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 54；当 x 3时， f ( x) 有极小值，并且极小值为 54 .（3）因为 f ( x)6 12x x 3，所以 f (x) 12 3x 2.令 f ( x)12 3x20 ，得 x 2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0 ，即 2 x 2 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( , 2) 2 (2,2) 2 (2, )f ( x)－ 0 ＋ 0 －f (x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当 x 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为 10；当 x 2 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 22（4）因为 f ( x) 3xx 3，所以 f ( x) 3 3x 2.令 f ( x) 3 3x20 ，得 x1 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0，即 1 x 1 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 1 或 x 1时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,1) 1 ( 1,1) 1 (1, ) f ( x) － 0 ＋ 0 － f (x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当 x1 时， f (x) 有极小值，并且极小值为2 ；当 x 1时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 2练习（ P31）（1）在[0, 2]x1 时 ， f ( x) 2上， 当6x x 2有极 小值 ，并 且极小 值为12f ( 1)49 .1224又由于 f (0) 2 ， f (2)20 .因此，函数 f ( x) 6 x2x 2 在 [0, 2] 上的最大值是 20、最小值是49 .24（2）在 [ 4,] 上，当 x 3 时， f ( x) x327x 有极大值，并且极大值为 f ( 3) 54 ；当 x 3时， f ( x) x327x 有极小值，并且极小值为 f(3)54 ；又由于 f ( 4) 44 ， f (4)44 .因此，函数 f ( x) x327x 在 [ 4, 4] 上的最大值是 54、最小值是 54 .1 上，当 x 2时， f ( x)3有极大值，并且极大值为 f (2) 22 .（3）在[ 3],6 12x x 3又由于 f ( 1)55 ， f (3) 15 .3271,3] 上的最大值是 22、最小值是55.因此，函数 f ( x) 6 12x x 3在 [327（ 4）在 [2,3] 上，函数 f (x)3x x 3无极值 .因为 f (2)2， f (3)18 .因此，函数 f (x) 3xx 3在 [2,3] 上的最大值是 2 、最小值是 18 .习题 1.3 A 组（ P31）1、（1）因为 f ( x)2x 1，所以 f ( x) 2 0 .因此，函数 f ( x)2x 1是单调递减函数 .（2）因为 f ( x)xcos x ， x (0, ) ，所以 f(x)1 sin x 0 ， x (0, ) .22因此，函数 f ( x)xcos x 在 (0, ) 上是单调递增函数 .2（3）因为 f ( x) 2x 4 ，所以 f ( x)20 .因此，函数 f ( x) 2x 4 是单调递减函数 .（4）因为 f ( x) 2x34x ，所以 f ( x) 6x24 0 .因此，函数 f ( x) 2x34 x 是单调递增函数 .2、（1）因为 f ( x) x22x 4 ，所以 f ( x)2x 2.当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) x 22x 4 单调递增 .当 f (x)0 ，即 x1时，函数 f ( x) x22x 4 单调递减 .（ 2）因为 f ( x) 2 x23x 3 ，所以 f ( x) 4 x 3 .当 f (x)0 ，即 x3 时，函数 f ( x) 2x23x3 单调递增 .4当 f (x)0 ，即 x 3 时，函数 f ( x) 2x 23x3 单调递减 .4（ 3）因为 f ( x) 3x x 3 ，所以 f (x) 3 3x20 .因此，函数 f ( x) 3x x 3是单调递增函数 .（ 4）因为 f ( x) x3x2x ，所以 f ( x) 3x22x 1.当 f (x)0 ，即 x1或 x1时，函数 f ( x)x 3x2x 单调递增 .3当 f (x)0，即 1x1时，函数 f (x) x 3x2x 单调递减 .33、（1）图略 .（2）加速度等于 0.4、（1）在 x x 2 处，导函数 yf ( x) 有极大值；（2）在 x x 1 和 x x 4 处，导函数 y f ( x) 有极小值；（3）在 x x 3 处，函数 y f (x) 有极大值；（4）在 xx 5 处，函数 y f (x) 有极小值 .5、（1）因为 f ( x) 6x2x 2 ，所以 f ( x) 12x 1.令 f ( x)12x 1 0 ，得 x 1 .12当 x1 时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递增；12当 x1时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减 .12所 以 ， x 1 时 ， f ( x) 有极小值，并且极小值为12 f (1)6( 1 )21 2 49 .12121224（2）因为 f ( x) x312x ，所以 f ( x) 3x 212.令 f ( x) 3x212 0 ，得 x2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,2) 2 ( 2,2) 2 (2,) f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当 x2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为16；当 x 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为16 .（3）因为 f ( x) 6 12x x3，所以 f (x) 12 3x2.令 f ( x) 12 3x2 0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( ,2) 2 ( 2,2) 2 (2,)f ( x) ＋0 －0 ＋f (x) 单调递增22 单调递减10 单调递增因此，当 x 2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为22；当 x 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为10 .（4）因为 f ( x) 48x x3，所以 f ( x) 48 3x2.令 f ( x) 48 3x2 0 ，得 x4 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( ,4) 4 ( 4,4) 4 (4, )f ( x) －0 ＋0 －f (x) 单调递减128 单调递增128 单调递减因此，当 x 4 时， f (x) 有极小值，并且极小值为128 ；当 x 4 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 128.6、（1）在 [ 1,1]上，当 x 1时，函数 f ( x) 6x2 x 2 有极小值，并且极小值为47.12 24由于 f ( 1) 7， f (1) 9 ，所以，函数 f ( x) 6x2x 2 在 [ 1,1] 上的最大值和最小值分别为 9，47 .24（2）在 [ 3,3] 上，当 x 2 时，函数 f (x)x 312x 有极大值， 并且极大值为 16；当 x 2 时，函数 f (x) x312x 有极小值，并且极小值为 16 .由于 f ( 3) 9， f (3) 9，所以，函数 f ( x) x 312x在 [ 3,3] 上的最大值和最小值分别为 16， 16 . （3）在 [ 1,1] 上，函数 f ( x) 6 12xx 3在 [ 1,1] 上无极值 .33由于 f ( 1)269 ， f (1) 5 ，327所以，函数 f ( x) 612x x 3在 [1,1] 上的最大值和最小值分别为269 ，3 275 .（ 4）当 x 4 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 128..由于 f ( 3)117 ， f (5)115 ，所以，函数 f ( x) 48x x 3在 [ 3,5] 上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题 3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f ( x)sin x x ， x (0, ) .因为 f ( x) cos x 1 0 ， x(0, )所以 f ( x) sin x x 在 (0, ) 内单调递减因此 f ( x)sin x xf (0) 0 ，x (0, ) ，即 sin x x ，x(0, ). 图略（ 2）证明：设 f (x)x x 2， x (0,1) .因为 f ( x) 1 2x ， x (0,1)所以，当 x(0, 1) 时， f ( x) 1 2x0 ， f (x) 单调递增，2f ( x) x x2f (0) 0 ；当 x1( x) 1 2x 0 ， f (x) 单调递减，( ,1) 时， f2f ( x) x x2 f (1) 0 ；又 f ( 1) 1 0 . 因此， x x2 0 ， x (0,1) . 图略2 4（ 3）证明：设 f ( x) e x 1 x， x 0 .因为 f ( x) e x 1 ， x 0所以，当 x 0 时，f ( x) e x 1 0 ，f ( x)单调递增，f ( x) e x 1 x f (0) 0 ；当 x 0 时， f ( x) e x 1 0 ，f ( x)单调递减，f ( x) e x 1 x f (0) 0 ；综上， e x 1 x ， x 0 . 图略（ 4）证明：设 f (x) ln x x ， x 0 .因为 f ( x) 1 1 ， x 0x1所以，当 0 x 1 时， f (x) 1 0 ， f (x) 单调递增，xf ( x) ln x x f (1) 1 0 ；当 x 1时， f (x) 11 0 ， f ( x) 单调递减，xf ( x) ln x x f (1) 1 0 ；当 x 1时，显然 ln1 1 . 因此， ln x x .由（ 3）可知， e x x 1 x ， x 0 .. 综上， ln x x e x， x 0 图略2、（ 1）函数f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“ ”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间 .（2）因为 f ( x)ax3bx2cx d ，所以 f (x) 3ax22bx c .下面分类讨论：当 a 0 时，分 a 0和a 0 两种情形：①当 a 0 ，且 b23ac 0 时，设方程 f ( x) 3ax 22bx c 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ，当 f ( x)3ax22bx c 0 ，即 x x 1 或 x x 2 时，函数 f ( x)ax3bx2cx d 单调递增；当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 x 1 x x 2 时，函数 f (x) ax3bx2cx d 单调递减 .当 a 0 ，且 b 23ac0 时，此时 f ( x)3ax22bx c 0 ，函数 f ( x) ax3bx2cx d 单调递增 .②当 a 0 ，且 b23ac 0 时，设方程 f ( x) 3ax 22bx c 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ，当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 x 1 x x 2 时，函数 f (x) ax3bx2cx d 单调递增；当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 xx 1 或 x x 2 时，函数 f ( x)ax3bx2cx d 单调递减 .当 a 0 ，且 b 23ac0 时，此时 f ( x)3ax22bx c 0 ，函数 f ( x) ax3bx2cx d 单调递减1． 4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l x ，则这两个正方形的边长分别为x ， l x ，4 4两个正方形的面积和为Sf (x) ( x)2(lx ) 2 1 (2 x 22lx l 2) ， 0 x l .4 416令 f ( x)0 ，即 4x 2l0， xl .2当 x (0,l) 时， f ( x)0 ；当 x (l, l ) 时， f (x)0 .22因此， xl是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .2所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小 .22、如图所示，由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去xa四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x ，高为 x . （1）无盖方盒的容积 V (x) (a 2 x) 2x ， 0 x a.2（ 2）因为 V ( x) 4x 34ax2a 2x ，所以 V ( x) 12x 2 8ax a 2 .令 V ( x) 0 ，得 xa（舍去），或 x a.26当 x (0, a) 时， V (x) 0 ；当 x ( a , a) 时， V ( x) 0 .6 6 2 因此， x a是函数 V ( x) 的极大值点，也是最大值点 .6 所以，当 x a时，无盖方盒的容积最大 .63、如图，设圆柱的高为 h ，底半径为 R ，R则表面积 S 2 Rh 2 R 2由 VR 2h ，得 hV .R 2因此， S(R)2 R V2 R22V2 R 2，R0 .R 2Rh3V.令S(R)2V 4 R 0，解得 RR2当R (0,3V )时， S (R) 0 ；2当R (3V ,)时， S(R) 0.（第 3题）2因此，R3V 是函数S(R)的极小值点，也是最小值点. 此 时 ，2hV2 3V 2R .R 2 2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于 f (x)1n( x a i ) 22nn i 1 ，所以 f (x)( x a i ) .n i1令 f (x)0 ，得 x1 na i ，n i11n可以得到， xa i 是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .n i 1这个结果说明，用 1nn 个数据的平均值a i 表示这个物体的长度是合理n i 1的，这就是最小二乘法的基本原理 .5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为xm ，半圆的面积为x 2 m 2，28矩形的面积为 ax 2m 2，矩形的另一边长为 ( a x) m8x 8因此铁丝的长为 l (x)xx 2ax (1 ) x 2a， 0 x8a2x 4 4x令 l ( x)12a 0 ，得 x4 8a（负值舍去） .4x 2当 x (0,8a ) 时， l ( x) 0 ；当 x ( 8a ,8a) 时， l ( x) 0 .44因此， x8a是函数 l (x) 的极小值点，也是最小值点 .4所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省 .46、利润 L 等于收入 R 减去成本 C ，而收入 R 等于产量乘单价 .由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润 . 收入 R q p q(251q)25q 1 q 2 ，88利润 L R C(25q 1 q 2 )(100 4q)1 q2 21q 100 ， 0 q 200 .8 8求导得 L1 q 214令 L0 ，即1q 21 0 ， q 84 .4当 q (0,84) 时， L0 ；当 q (84,200) 时， L0 ；因此， q 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大 ,习题 1.4 B 组（ P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x)(50 x 180)( x20) 1 x 270x 1360 ， 180x 680 .11010令 L ( x)700 ，解得 x350 .x5当 x (180,350) 时， L (x) 0；当 x (350,680) 时， L ( x) 0 .因此， x350 是函数 L ( x) 的极大值点，也是最大值点 .所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大 .2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x) ( x a)(c cbx4) c(x a)(54x) ， a x 5b .bb 4令 L ( x)8c x 4ac 5bc 0 ，解得 x 4a 5b .b b8当 x (a,4a 5b ) 时， L (x) 0；当 x (4a 5b , 5b) 时， L (x) 0 .884当 x4a 5b是函数 L(x) 的极大值点，也是最大值点 .84a 5b元／件时，可获得最大利润 .所以，销售价为81． 5 定积分的概念练习（ P42） 8 .3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想 .练习（ P45） 1、 s is iv( i ) t [ ( i)22]1( i ) 2 12， i 1,2, , n .nn nnn nnn nv( i) t 于是 ss is ii 1i 1 i 1nn( i ) 2 12[]i 1n nn(1)2 1( n 1) 2 1 ( n ) 2 12nnnnn n13 [1 22n 2] 2n1 n( n 1)(2 n 1) 2n36111(1)(1) 2 3 n2n取极值，得s limn [ 1 v( i )] lim n [ 1 (1 1 )(1 1) 2] 5ni 1n n ni 1 3 n 2n 3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、22km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 . 练习（ P48）2 4 .x 3dx 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线 x 0 ， x 2 ， y 0 所围成的曲边梯形的面 积S 4.习题 1.5 A 组（P50）1、（1） ( x100[(1 i 1) 1]10.495 ；21i 1100100（2） ( x500[(1 i 1) 1]10.499 ；21i 1500 50021000i 11（3） 1)dx[(1) 1]0.4995 .( x1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为： 181 12 1 7 13 1 0 1 40 （m ）； 距离的过剩近似值为： 27 1 18 1 12 1 7 1 3 167 （ m ） .3、证明：令 f ( x) 1 . 用分点 ax 0 x 1 x i 1 x i x n b将区 间 [ a, b] 等分成 n 个小 区间 ，在 每个小 区间 [ x i 1, x i ] 上任 取一 点i (i 1,2,, n)nn作和式f ( i ) xi 1 i 1b a nb a ，bnb a从而1dx limani 1nb a ，说明：进一步熟悉定积分的概念 .4、根据定积分的几何意义，1 0 ， x 1 ， y 0 以及曲线1 x 2dx 表示由直线 xy1 x 2所 围 成 的 曲 边 梯形 的 面 积 ， 即四 分 之 一 单 位圆 的 面 积， 因此1 2dx.1 x 045、（1）1 .x 3dx14由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，所以定积分0 ， x1 ， y 0和x 3dx 表示由直线 x1曲线 y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数 .（2）根据定积分的性质，得10 1 1 1 0 .x 3dxx 3dxx 3dx114 4由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，在区间 [0,1] 上 x30 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x轴1上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积 .1 4 15（3）根据定积分的性质，得x 3dxx 3dxx 3dx2 02114 4由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，在区间 [0, 2] 上 x30 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x轴1上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积 .说明：在（ 3）中，由于 x 3在区间 [ 1,0] 上是非正的，在区间 [0, 2] 上是非负的，如 果直接利用定义把区间 [ 1,2] 分成 n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又 有负项，而且无法抵挡一些项， 求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx 化1x 3dx21,0] 和区间 [0, 2] 上的符号都是不变的，再利为x 3dx ，这样， x 3在区间 [ 10 2x 3dx ，进而得到定积分2 3dx 的值 . 由此可用定积分的定义， 容易求出x 3dx ，x11见，利用定积分的性质可以化简运算 .在（ 2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 .习题 1.5 B 组（ P50） 1、该物体在 t 0 到 t6 （单位： s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 . 2、（1） v 9.81t .8i 1 1 8 9 （m ）；（2）过剩近似值：9.819.81488.29 i 12228i1 1 1 8 7 （ m ）不足近似值：9.8129.81468.67i 122（3）4 478.48（ m ）. 9.81tdt ；9.81tdt3、（1）分割在区间 [0, l ] 上等间隔地插入 n 1个分点，将它分成 n 个小区间：[0,l ] ， [ l , 2l ] ，,, ， [(n 2)l,l ] ， nn n n记第 i 个区间为 [(i 1)l , il ] （ i 1,2, n ），其长度为 n nxil (i 1)ll .n nn把细棒在小段 [0,l] ， [ l , 2l ] ，,, ， [ (n2)l ,l ] 上质量分别记作： nn nnm 1 , m 2 ,, m n ，n则细棒的质量 mm i .i 1（ 2）近似代替当 n 很大，即 x 很小时，在小区间 [(i1)l , il] 上，可以认为线密度 ( x) x2n n的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点i [(i1)l , i l]处的 函数 值 ( i )i 2. 于 是，细 棒 在小 段 [ (i 1)l, il ]上质量n n 2 l （ innm i ( i ) x i 1,2, n ） .（ 3）求和 nnnn2 l . 得细棒的质量mm i( i ) xi 1i 1i 1in（ 4）取极限n2llx 2dx ..细棒的质量 m limi ，所以 mni1n 01． 6 微积分基本定理练习（ P55）（1）50；（2）50；（3）4 25； （4）24；33 3（5）3ln 2 ；（6）1；（7）0；（8） 2.22说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题 1.6 A 组（ P55）1、（1） 40；（2）1 3ln2 ； （3）9ln 3 ln 2 ；322（4）17；（5）321；（ 6） e2e 2ln 2 .68说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 3cosx]032.2、 sin xdx [它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或 表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 . 习题 1.6 B 组（ P55）1、（1）原式＝ [ 1e 2x ]1e 21 ； （2）原式＝ [ 1sin 2x]41 3 ；2222624（3）原式＝ 2x36 .[ln 2 ]1 ln 22、（1） sin mxdx [ cosmx ]1[cos mcos( m )] 0 ；mm（2）cosmxdxsin mx1[sin m sin( m )] 0 ；mm（3）sin 2mxdx1 cos 2mx dx [ xsin 2mx ]；2 24m （4）cos 2mxdx1 cos2mx dx [ xsin 2mx ] . 32 24m 1、 （）tgktg g kt t g g kt g0.2 ts(t )k (1e)dt [ k t k2e] 0k tk2ek249t 245e245 .（2）由题意得 49t 245e0.2 t245 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计 t 的取值范围 .根据指数函数的性质，当 t0时， 0e 0.2 t1 ，从而 5000 49t 5245 ，因此， 5000 t5245 .49 490.2 500070.2 524574949因此 245e3.36 10 ， 245e1.24 10 ，所以， 1.24 107245e0.2t3.36 107.从而，在解方程 49t 245e0.2t245 5000 时， 245e0.2t可以忽略不计 .因此， . 49t 245 5000 ，解之得 t5245 （ s ）.49说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握 . 1． 7 定积分的简单应用练习（ P58） （1）32； （2） 1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程 .练习（ P59）5(2t 3)dt [t23t]35221、 s（m ）.344x]0440 （J ）.2、 W(3 x 4) dx [ 3x22习题 1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2） 9.2、 W2kqk q .kq2 dr [ kq]abbarrab3、令 v(t)0 ，即 40 10t 0 . 解得 t4 . 即第 4s 时物体达到最大高度 .h 410t) dt [40t 5t2 ]04 80 （ m ）.最大高度为(404、设 t s 后两物体相遇，则t 1)dtt5 ，(3t210tdt解之得 t5 . 即 A, B 两物体 5s 后相遇 .51)dt[ t3t] 05130此时，物体 A 离出发地的距离为 (3t2（ m ）.5、由 Fkl ，得 10 0.01k . 解之得 k1000 .所做的功为 W0.100.15（J ）.1000ldl 500l26、（1）令 v(t )5 t 550 ，解之得 t 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止 .1 t（2） s (5 t [5 t 1 t 2 55ln(1 t )]100 55ln11 （m ）.55)dt101 t 2y习题 1.7 B 组（P60）1、（1） aa 2x 2 dx 表示圆 x 2y2a 2与 x 轴所围成的上aa2 x 2dxa 2半圆的面积，因此aaO21x（2） 1 1(x 1)2x] dx 表示圆 ( x 1)2y21与直线[（第 1（ 2）题）y x 所围成的图形（如图所示）的面积，12( x 1)2x]dx11 1 11 .因此， [ 14 2 4 2O2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的x方程为 y ax 2，则 h(b)24h2 .a ，所以 ah2 b从而抛物线的方程为4h 2y b 2x .bbby4h 24h 2 2 bh . （第 2 题） 于是，抛物线拱的面积 S 2 2(h x 2)dx 2[hx x 3] 02b 3b 33、如图所示 .解方程组y x22y 3x得曲线 y x22 与曲线 y 3x 交点的横坐标 x 1 1 ， x 2 2 .12) 3x]dx2[3 x ( x 22)] dx 1 .于是，所求的面积为[( x 21GMm2 04、证明： Wdr [ GMm ]RR hGMmh .R hRrrR(Rh)第一章 复习参考题 A 组（ P65）1、（1）3； （2） y 4 .2、（1） y2sin x cos x 2x ；（2） y 3(x2)2(3x 1)(5x 3) ；cos 2xx2（ 3） y2xln xln 22 ； （4） y2x 2x 4 .x(2 x 1)3、 F2GMm .r34、（1） f (t ) 0 . 因为红茶的温度在下降 .（2） f (3) 4 表明在 3℃附近时， 红茶温度约以 4℃／ min 的速度下降 .图略 .5、因为 f ( x)3x 2，所以 f ( x)2 .3 3 x当 f ( x)2 0 ，即 x 0 时， f ( x) 单调递增；33x当 f ( x)2 0 ，即 x0 时， f ( x) 单调递减 .33x6、因为 f (x)x2px q ，所以 f (x)2x p .当 f ( x)2xp 0 ，即 xp 1 时， f (x) 有最小值 .2p1，得 p2 . 又因为 f (1)1 2 q 4 ，所以 q5 .由27、因为 f ( x) x( x c) 2x32cx2c 2x ，所以 f ( x) 3x24cx c2(3x c)( xc) .当 f (x)0 ，即 xc，或 x c 时，函数 f (x)x(x c) 2可能有极值 .3由题意当 x 2时，函数 f (x)x( x c) 2有极大值，所以 c0 .由于, c)c( c,c)x(c(c, )3 3 3f ( x)＋－ 0＋f (x)单调递增 极大值单调递减 极小值 单调递增所以，当 xc时，函数 f (x) x( x c) 2有极大值 . 此时，c2 ， c 6 .338、设当点 A 的坐标为 (a,0) 时， AOB 的面积最小 .因为直线 AB 过点 A( a,0) ， P(1,1)，所以直线 AB 的方程为y0 xa，即 y 1( x a) .x0 1 a1 a当 x 0 时， ya ，即点 B 的坐标是 (0, a) .a 1a 1 因此， AOB 的面积 S AOBS( a) 1 a aa 2.2 a 1 2(a 1)令 S (a)1 a22a0 .0 ，即 S (a)2 ( a 1)2当 a 0 ，或 a2时， S (a) 0 ， a 0 不合题意舍去 .x (0, 2) 2 (2, )由于f ( x)－＋f ( x)单调递减极小值单调递增所以，当 a 2 ，即直线 AB 的倾斜角为 135 时， AOB 的面积最小，最小面积为2. 9、D.10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为 ( x 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m.所以，长方体容器的高为 14.8 4x 4( x0.5) 12.8 8x2x .43.2设容器的容积为 V ，则4V V (x) x( x0.5)(3.2 2x)2x32.2x21.6x ， 0x 1.6 .令 V ( x) 0 ，即 6x 24.4x 1.6 0 .所以， x4 （舍去），或 x 1 .15当 x (0,1) 时， V (x) 0 ；当 x (1,1.6) 时， V ( x) 0 .因此， x1 是函数 V (x) 在 (0,1.6) 的极大值点，也是最大值点 .所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3.11、设旅游团人数为 100 x 时， 旅行社费用为 y f ( x) (100 x)(1000 5x)5x2500 100000 (0x 80) .令 f ( x)0 ，即 10 x500 0 ， x 50 .又 f (0) 100000 ， f (80) 108000 ， f (50)112500 .所以， x50 是函数 f (x) 的最大值点 .所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多 .12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大 . 因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为623.7，x打印面积 S(x) ( x2 2.54)(623.72 3.17)x3168. 3 9 6655.x 98.38 .9 0 7 2 x6. 3 4 2 ， 5.08x令 S ( x) 0 ，即 6.34 3168.396 0 ， x 22.36 （负值舍去），623.727.89 .x2 22.36 x 2 2. 3是6函数 S(x) 在 (5.08,98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm 时，可使其打印面积最大 .13、设每年养 q 头猪时，总利润为 y 元 .则 y R(q) 20000 100q 1 q2 300q 20000 (0 q 400, q N ) .2令 y 0 ，即q 300 0 ， q 300 .当 q 300 时， y 25000 ；当 q 400 时， y 20000 .q 300 是函数 y( p) 在 (0,400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000 元.14、（1）2 3 2 ；（2） 2e 2 ；（3）1；（ 4）原式＝2 cos2 x sin 2 x dx 2 (cos x sin x) dx [sin x cos x]2 0 ；0 cos x sin x 0（ 5）原式＝ 2 1cos x dx [x sin x]02 2 .0 2 2 415、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 2 2 .17、由 F kl ，得 0.049 0.01k . 解之得 k 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为W4.9ldl 4.9 0.10.1 20.196 （ J）第一章复习参考题 B 组（ P66）1、（1）b (t )1042 103 t .所以，细菌在t 5 与 t 10 时的瞬时速度分别为 0 和104.（2）当 0 t 5 时， b (t) 0 ，所以细菌在增加；当 5 t 5 5 5 时，b (t) 0 ，所以细菌在减少 .2、设扇形的半径为r，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S 1 r 2， l2rr ，所以l 2 .211 ( lr 1 (lrl .S r22) r 2 2r 2 ) ， 0 r22 r2 2令 S0 ，即 l 4r0 ， rl，此时为 2弧度.4rl 是函数 S(r ) 在 (0, l) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.4 l 2所以，扇形的半径为 、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大 .43、设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，体积为 V ，那么 r 2h2R 2. 因此， V1 r2 h 1 ( R2h 2 )h 1 R 2h1 h 3， 0 h R .3 33 3令 V1 R2h20 ，解得 h3R .33容易知道， h3 R 是函数 V (h) 的极大值点，也是最大值点 .3所以，当 h3R 时，容积最大 .3把 h3R 代入 r2h2R 2，得 r6R .33由 R2 r ，得2 6.3所以，圆心角为2 6 时，容积最大 .34、由于 80 k 102，所以 k4 .54 x 220 20设船速为 x km ／ h 时，总费用为 y ，则 y4805x x 1 6x9600x 0x ，0 ，即 169600令 y0 ， x 24 .x2容易知道， x 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .当 x 24 时， (16 249600 ) (20) 941（元／时）2424所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元. 5、设汽车以 x km ／ h 行驶时，行车的总费用 y 390x213050 x 100x (3)14 ，360x令 y 0 ，解得 x53 （km ／ h ） . 此时， y 114 （元）容易得到， x 53 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .因此，当 x 53 时，行车总费用最少 .所以，最经济的车速约为 53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约 是 114 元.4e xdx 0xdx 4e x ]ex 04e4e 226、原式＝2ee xdx [ 2.27、解方程组y kxy xx 2得，直线 ykx 与抛物线 y x x 2交点的横坐标为 x 0 ， 1 k .1x 2)dx[x 2x 3]101 1 1 . 抛物线与 x 轴所围图形的面积 S( x2323 6S 1 k1k由题设得 0 ( x x 2)dxkxdx21 k3x2[1k x 2x]10 k0 (xkx) dx23(1 k)3.6又因为 S1 ，所以 (1 k)31. 于是 k134 .622说 明： 本 题 也 可 以 由 面 积 相 等 直 接 得 到1 k kx) dx 1 k 1 k 2)dx ，由此求出 k 的值 . 但计算较为烦琐 .(x x2kxdx ( x x 0新课程标准数学选修2— 2 第二章课后习题解答第二章 推理与证明2． 1 合情推理与演绎推理练习（ P77）1、由 a 1 a 2 a 3 a 4 1，猜想 a n 1.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是 1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和 .3、设VO PQR和VO PQ R分别是四面体 O PQR 和OPQ R 的体积，1 1 12 2 21 1 12 22VO PQ 11R 1OP OQ OR则111 .VO PQROP 2 OQ 2 OR 22 2 2练习（ P81）1、略 .2、因为通项公式为 a n 的数列 { a n } ，若an 1p ，其中 p 是非零常数，则 { a n } 是等比数列； ,,,,,,,,大前提a n又因为 cq 0 ，则 q0，则an 1cqn 1 q ； ,,,,,,,,,,,小a ncqn前提所以，通项公式为 acq n(cq 0) 的数列 { a n } 是等比数列 .,,,,,,,,n结论3、由 AD BD ，得到 ACD BCD 的推理是错误的 . 因为这个推理的大前提是 “在同一个三角形中，大边对大角” ，小前提是“ AD BD ”，而 AD 与 BD 不在同 一个三角形中 .习题 2.1 A 组（P83）1、 a n 2 (n N ) .n 1 2、 F V E 2 .3 、 当 n 6 时 ， 2n 1(n 1)2； 当 n7 时 ， 2n 1(n 1)2； 当 n 8 时 ，2n 1(n 1)2(n N ) .4、1 11n 2（ n 2 ，且 nN ） .A 1 A 2A n(n 2)5、 bb 12 b n bb 12 b 17 n （ n 17 ，且 n N ）.A D6、如图，作 DE ∥ AB 交BC 于 E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为 AD ∥BE ，AB ∥DE .所以四边形 ABED 是平行四边形 .B EC（第 6题）。

人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

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新课程标准数学选修2—2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用3．1 变化率与导数练习（ P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升.练习（ P8）函数在附近单调递增，在附近单调递增 . 并且，函数在附近比在附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲” 1的思想 .练习（ P9）函数的图象为根据图象，估算出， . 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 .习题 A 组（ P10）1、在处，虽然，然而 .所以，企业甲比企业乙治理的效率高 . 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵 .2、，所以， . 这说明运动员在 s 附近以 m／s 的速度下降 .3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数在时的导数 . ，所以， .因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m／s，它在第 5 s 的动能 J. 4、设车轮转动的角度为，时间为，则 .由题意可知，当时， . 所以，于是 . 车轮转动开始后第 s 时的瞬时角速度就是函数在时的导数 .，所以. 因此，车轮在开始转动后第 s 时的瞬时角速度为 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 .5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增. 同理可得，函数在，，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减 .说明：“以直代曲”思想的应用 .6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加；对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加，的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 . 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 .习题 B 组（ P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大致形状 . 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换 .3、由（ 1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 . 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 .1．2 导数的计算练习（ P18）1、，所以，，.2、（1）；（ 2）；（3）；（ 4）；（5）；（ 6）.习题 A 组（ P18）1、，所以， .2、.3、.4、（1）；（ 2）；（3）；（ 4）；（ 5）；（6）.5、. 由有，解得 .6、（1）；（2）.7、.8、（1）氨气的散发速度 .（2），它表示氨气在第 7 天左右时，以克／天的速率减少 .习题 B 组（ P19）1、（1）（ 2）当越来越小时，就越来越逼近函数 .（ 3）的导数为 .2、当时， . 所以函数图象与轴交于点 .，所以.所以，曲线在点处的切线的方程为 .2、. 所以，上午 6:00 时潮水的速度为 m／h；上午 9:00 时潮水的速度为 m ／ h；中午 12:00 时潮水的速度为 m／ h；下午 6:00 时潮水的速度为 m／h.1．3 导数在研究函数中的应用练习（ P26）1、（1）因为，所以 .当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .（2）因为，所以 . 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .（3）因为，所以 . 当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减 .（4）因为，所以 . 当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .2、3、因为，所以 .（1）当时，注：图象形状不唯一，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减 .（ 2）当时，，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减 .4、证明：因为，所以 .当时，，因此函数在内是减函数 .练习（ P29）1、是函数的极值点，其中是函数的极大值点，是函数的极小值点 .2、（1）因为，所以 .令，得 .当时，，单调递增；当时，，单调递减 . 所以，当时，有极小值，并且极小值为 .（2）因为，所以 . 令，得 . 下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 . 当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极大值，并且极大值为 54；当时，有极小值，并且极小值为 .（3）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即时；②当，即或时 .当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为 22 （4）因为，所以 . 令，得 . 下面分两种情况讨论：①当，即时；②当，即或时 . 当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为 2 练习（ P31）（ 1）在上，当时，有极小值，并且极小值为 . 又由于， .因此，函数在上的最大值是 20、最小值是 .（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；又由于， .因此，函数在上的最大值是 54、最小值是 .（ 3）在上，当时，有极大值，并且极大值为 . 又由于， .因此，函数在上的最大值是 22、最小值是 . （ 4）在上，函数无极值 .因为， . 因此，函数在上的最大值是、最小值是 . 习题 A 组（ P31）1、（1）因为，所以 .因此，函数是单调递减函数 .（2）因为，，所以， . 因此，函数在上是单调递增函数 .（3）因为，所以 . 因此，函数是单调递减函数 .（4）因为，所以 . 因此，函数是单调递增函数 .2、（1）因为，所以 .当，即时，函数单调递增 .当，即时，函数单调递减 .（ 2）因为，所以 .当，即时，函数单调递增 .当，即时，函数单调递减 .（ 3）因为，所以 .因此，函数是单调递增函数 .（ 4）因为，所以 .当，即或时，函数单调递增 . 当，即时，函数单调递减 .3、（1）图略 . （2）加速度等于 0.4、（1）在处，导函数有极大值；（2）在和处，导函数有极小值；（3）在处，函数有极大值；（4）在处，函数有极小值 .5、（1）因为，所以 .令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减 .所以，时，有极小值，并且极小值为（2）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 . 当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极大值，并且极大值为 16；当时，有极小值，并且极小值为 .（3）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 .当变化时，，变化情况如下表：为 .（4）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 .当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为 128.6、（1）在上，当时，函数有极小值，并且极小值为 . 由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为 9， .（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为 16；当时，函数有极小值，并且极小值为 .由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为 16，.（3）在上，函数在上无极值 . 由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为， .（4）当时，有极大值，并且极大值为 128.. 由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为 128，.习题 B 组（ P32）1、（1）证明：设， .因为，所以在内单调递减因此，，即， . 图略（ 2）证明：设， . 因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又 . 因此，，. 图略（ 3）证明：设， . 因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；综上，， . 图略（ 4）证明：设， .因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；当时，显然 . 因此， .由（ 3）可知，，.. 综上，，图略2、（ 1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为，所以 . 下面分类讨论：当时，分和两种情形：①当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .当，且时，此时，函数单调递增 .②当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减 .当，且时，此时，函数单调递减 1．4 生活中的优化问题举例习题 A 组（ P37）1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为， .令，即， .当时，；当时， . 因此，是函数的极小值点，也是最小值点 . 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小 .2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为 . （1）无盖方盒的容积， .（2）因为，所以. 令，得（舍去），或. 当时，；当时， . 因此，是函数的极大值点，也是最大值点 . 所以，当时，无盖方盒的容积最大 . 3、如图，设圆柱的高为，底半径为，（第 2 题）则表面积由，得 .因此，，. 令，解得 .当时，；当时， .因此，是函数的极小值点，也是最小值点 . 此时， . 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省 .4、证明：由于，所以 . 令，得，可以得到，是函数的极小值点，也是最小值点 . 这个结果说明，用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理 .5、设矩形的底宽为 m，则半圆的半径为 m，半圆的面积为，矩形第 3 题）的面积为，矩形的另一边长为 m因此铁丝的长为，令，得（负值舍去） .当时，；当时， . 因此，是函数的极小值点，也是最小值点 . 所以，当底宽为 m时，所用材料最省 .6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘单价 .由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润 . 收入，利润，.求导得令，即，.当时，；当时，；因此，是函数的极大值点，也是最大值点 . 所以，产量为 84 时，利润最大 ,习题 B 组（ P37）1、设每个房间每天的定价为元，那么宾馆利润， .令，解得 . 当时，；当时， . 因此，是函数的极大值点，也是最大值点 .所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大 .2、设销售价为元／件时，利润，.令，解得 . 当时，；当时， . 当是函数的极大值点，也是最大值点 . 所以，销售价为元／件时，可获得最大利润 .1． 5 定积分的概念练习（ P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（ P45）1、，. 于是取极值，得说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想 .2、km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 .练习（ P48）. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义从几何上看，表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积 . 习题 A 组（ P50）1、（1）；（2）；（3）.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 .2、距离的不足近似值为：（ m）；距离的过剩近似值为：（ m）.3、证明：令 . 用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式，从而，说明：进一步熟悉定积分的概念 .4、根据定积分的几何意义，表示由直线，，以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此 .5、（1）.由于在区间上，所以定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数 . （2）根据定积分的性质，得 .由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 .（3）根据定积分的性质，得由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 .说明：在（ 3）中，由于在区间上是非正的，在区间上是非负的，如果直接利用定义把区间分成等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分化为，这样，在区间和区间上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出，，进而得到定积分的值 . 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算 . 在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 .习题 B 组（ P50）1、该物体在到（单位： s）之间走过的路程大约为 145 m. 说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 .2、（1）.（2）过剩近似值：（m）；不足近似值：（m）（3）；（ m）.3、（1）分割在区间上等间隔地插入个分点，将它分成个小区间：记第个区间为（），其长度为把细棒在小段，，⋯⋯，上质量分别记作：则细棒的质量 .2）近似代替当很大，即很小时，在小区间上，可以认为线密度的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点处的函数值 . 于是，细棒在小段上质量（） .（3）求和得细棒的质量 .（4）取极限细棒的质量，所以 ..1．6 微积分基本定理练习（ P55）（1） 50；（2）；（3）；（4）24；（ 5）；（ 6）；（ 7）0；（8）.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 .习题 A 组（ P55）1、（1）；（ 2）；（3）；（4）；（ 5）；（ 6） .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 .2、. 它表示位于轴上方的两个曲边梯形的面积与轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或表述为：位于轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 .习题 B 组（ P55）1、（1）原式＝；（ 2）原式＝；（ 3）原式＝ .2、（1）；（2）；（3）；（4）.3、（1）.（2）由题意得 . 这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计的取值范围 . 根据指数函数的性质，当时，，从而，因此，. 因此，，所以，.从而，在解方程时，可以忽略不计 . 因此， .，解之得（s）.说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握 .1．7 定积分的简单应用练习（ P58）（ 1）；（ 2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程 .练习（ P59）1、（m）.2、（J）.习题 A 组（ P60）1、（1） 2；（2）.2、.3、令，即 . 解得. 即第 4s 时物体达到最大高度 . 最大高度为（ m）.4、设 s 后两物体相遇，则，解之得 . 即两物体 5s后相遇 . 此时，物体离出发地的距离为（ m） .5、由，得 . 解之得 . 所做的功为（ J）.6、（1）令，解之得 . 因此，火车经过 10s 后完全停止 . （2）（m）.习题 B 组（ P60） 1、（1）表示圆与轴所围成的上半圆的面积，因此（2）表示圆与直线所围成的图形（如图所示）的面积，因此，.2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为，则，所以 .从而抛物线的方程为 . 于是，抛物线拱的面积 .3、如图所示 .解方程组（第1（2）题）得曲线与曲线交点的横坐标， .于是，所求的面积为 .4、证明： .（第 2 题）第一章复习参考题 A 组（P65）1、（1） 3；（2）.2、（1）；（ 2）；（ 3）；（ 4） .3、.4、（1） . 因为红茶的温度在下降 .（2）表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／ min的速度下降 . 图略.5、因为，所以 . 当，即时，单调递增；当，即时，单调递减 .6、因为，所以 . 当，即时，有最小值 . 由，得 . 又因为，所以 .7、因为，所以. 当，即，或时，函数可能有极值 . 由题意当时，函数有极大值，所以 .因为直线过点，， 所以直线的方程为，即 当时，，即点的坐标是 因此，的面积 . 令，即.当，或时，，不合题意舍去 . 由于 所以， 直线 斜角 的面积最小，最小面积为2. 9、 10、设底面一边的长为 m ，另一边的长为 m. 因为钢条长为 所以，长方体容器的高为 .设容器的容积为，则令，即.所以，（舍去），或. 当时，；当时， .因此，是函数在的极大值点，也是最大值点 .所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 m 3. 11、设旅游团人数为时， 旅行社费用为 . 令，即， . 又，，.所以，是函数的最大值点 .所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多 .12、设打印纸的长为 cm 时，可使其打印面积最大 . 因为打印纸的面积为，长为，所以宽为， 打印面积 令，即，（负值舍去），.是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点 所以，打印纸的长、宽分别约为，时，可使其打印面积最大 13、设每年养头猪时，总利润为元 . 则 .令，即， .当时，；当时， .是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点 所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（ 1）； （2）； （3）1； （ 4）原式＝； （ 5）原式＝ . 15、略 . 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释 16、.17、由，得 . 解之得 .所做的功为 （J ） 第一章 复习参考题 B 组（P66）由于所以， 函数有 此 当时， 极大值 .时，，. 8、设当点的坐标为时，的面积最小当，即的倾1、（1）. 所以，细菌在与时的瞬时速度分别为 0 和.（2）当时，，所以细菌在增加；当时，，所以细菌在减少 .2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为 .因为，，所以.令，即，，此时为 2 弧度. 是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点 . 所以，扇形的半径为、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大 .3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么 . 因此，，.令，解得 . 容易知道，是函数的极大值点，也是最大值点 .所以，当时，容积最大 . 把代入，得 .由，得 . 所以，圆心角为时，容积最大 .4、由于，所以 . 设船速为 km／h 时，总费用为，则令，即， . 容易知道，是函数的极小值点，也是最小值点 .当时，（元／时）所以，船速约为 24km／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941元.5、设汽车以 km／h 行驶时，行车的总费用，令，解得（ km／ h）. 此时，（元）容易得到，是函数的极小值点，也是最小值点 . 因此，当时，行车总费用最少 .所以，最经济的车速约为 53km／ h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114 元 .6、原式＝ .7、解方程组得，直线与抛物线交点的横坐标为， .抛物线与轴所围图形的面积 .由题设得又因为，所以. 于是. 说明：本题也可以由面积相等直接得到，由此求出的值 . 但计算较为烦琐 .新课程标准数学选修2—2 第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理练习（ P77）1、由，猜想 .2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是 1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和 .3、设和分别是四面体和的体积，则.练习（ P81）1、略.2、因为通项公式为的数列，若，其中是非零常数，则是等比数列；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯大前提又因为，则，则；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯小前提所以，通项公式为的数列是等比数列 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯结论 3、由，得到的推理是错误的 . 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“”，而与不在同一个三角形中 .习题 A 组（ P83）1、.2、.3、当时，；当时，；当时， .4、（，且） .5、（，且） .6、如图，作∥交于 .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为∥，∥ .所以四边形是平行四边形 . 因为平行四边形的对边相等 .又因为四边形是平行四边形 .所以.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为， ,第 6 题）所以因为等腰三角形的两底角是相等的 . 又因为△是等腰三角形 , 所以因为平行线的同位角相等又因为与是平行线和的同位角 , 所以因为等于同角的两个角是相等的，又因为， , 所以习题 B 组（ P84）1、由，，，，，猜想 .2、略 . 3 、略. 2．2 直接证明与间接证明练习（ P89）1、因为，所以，命题得证 .2、要证，只需证，即证，即证，只需要，即证，这是显然成立的 . 所以，命题得证 .3、因为，又因为从而，所以，命题成立 . 说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点练习（ P91）1、假设不是锐角，则 . 因此 .这与三角形的内角和等于 180°矛盾 . 所以，假设不成立 . 从而，一定是锐角 .2、假设，，成等差数列，则 .所以，化简得，从而，即，这是不可能的 . 所以，假设不成立 . 从而，，，不可能成等差数列 . 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点 . 习题 A 组（ P91）1、由于，因此方程至少有一个跟 .假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设是它的两个不同的根，则①②①－②得因为，所以，从而，这与已知条件矛盾，故假设不成立 .2、因为展开得，即 . ① 假设，则，即所以.因为，都是锐角，所以，从而，与已知矛盾 .因此.①式变形得，即 . 又因为，所以 .说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明 .3、因为，所以，从而 .另一方面，要证，只要证即证，即证由可得，，于是命题得证 . 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰 .4、因为的倒数成等差数列，所以 . 假设不成立，即，则是的最大内角，所以（在三角形中，大角对大边），从而 . 这与矛盾 .所以，假设不成立，因此， .习题 B 组（ P91） 1、要证，由于，所以只需要，即证 .因为，所以只需要，即证 . 由于为一个三角形的三条边，所以上式成立 .于是原命题成立 .2、由已知条件得①，②要证，只要证，只要证由①②，得，所以，，于是命题得证 .3、由得，即 . ⋯⋯①要证即证即证化简得，这就是①式 .所以，命题成立 . 说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用 . 2．3 数学归纳法练习（ P95）1、先证明：首项是，公差是的等差数列的通项公式是 .（1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时命题成立 .（ 2）假设当时，命题成立，即 .那么，. 所以，当时，命题也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知命题对任何都成立 . 再证明：该数列的前项和的公式是 .（1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时命题成立 .（ 2）假设当时，命题成立，即 . 那么，所以，当时，命题也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知命题对任何都成立 .2、略.习题 A 组（ P96）1、（1）略.（2）证明：①当时，左边＝ 1，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 . ②假设当时等式成立，即 . 那么，.所以，当时，等式也成立 . 根据①和②，可知等式对任何都成立 .（3）略.2、，由此猜想： . 下面我们用数学归纳法证明这个猜想 .（1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，猜想成立 .（2）假设当时，猜想成立，即 . 那么，.所以，当时，猜想也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知猜想对任何都成立 . 习题 B 组（ P96） 1、略2、证明：（ 1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 .（2）假设当时，等式成立，即.那么，. 所以，当时，等式也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知等式对任何都成立 . 第二章复习参考题 A 组（P98） 1、图略，共有（）个圆圈 .2、（）.3、因为，所以，，⋯⋯猜想.4、运算的结果总等于 1.5、如图，设是四面体内任意一点，连结，，，并延长交对面于，，，，则用“体积法”证明：6、要证只需证即证由，得 . ① 又因为，所以，变形即得①式 . 所以，命题得证 .7、证明：（ 1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 .（2）假设当时，等式成立，第 5 题）即.那么，. 所以，当时，等式也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知等式对任何都成立 . 第二章复习参考题 B 组（P47） 1、（1）25条线段， 16部分；（2）条线段；（ 3）最多将圆分割成部分 .下面用数学归纳法证明这个结论 .①当时，结论成立 .②假设当时，结论成立，即：条线段，两两相交，最多将圆分割成部分当时，其中的条线段两两相交，最多将圆分割成部分，第条线段与线段都相交，最多增加个部分，因此，条线段，两两相交，最多将圆分割成部分所以，当时，结论也成立 .根据①和②，可知结论对任何都成立 .2、要证因为只需证由已知条件，得，，代入上式的左端，得因此，新课程标准数学选修2—2 第三章课后习题解答第三章数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念练习（ P104）1、实部分别是，，，0，0，0；虚部分别是， 1， 0，，1，0.2、，，0，是实数；，，，，，是虚数；，，是纯虚数 .3、由，得 . 练习（ P105）2、略 . 3 、略. 习题 A 组（ P106） 1、（1）由，得 .（2）由，得2、（1）当，即或时，所给复数是实数 . （2）当，即或时，所给复数是虚数 .（3）当，即时，所给复数是纯虚数 .3、（1）存在，例如，，等等.（2）存在，例如，，等等.（ 3）存在，只能是 .4、（1）点在第一象限 . （ 2）点在第二象限 .（3）点位于原点或虚轴的下半轴上 . （ 4）点位于实轴下方5、（1）当，即或时，复数对应的点位于第四象限 .（2）当，或，即或或时，复数对应的点位于第一、三象限.（3）当，即时，复数对应的点位于直线上 .6、（1）；（2）.习题 B 组（ P55）1、复数对应的点位于如图所示的图形上 .2、由已知，设（） .则解得所以3、因为，所以，，，，这 4 个点都在以原点为圆心，半径为的圆上 . 3．2 复数代数形式的四则运算练习（ P109）1、（1）（2）（3）；（4）0. 2 、略练习1、（1）；（2）；（3）；2、（1）；（2）；（3）5.3、（1）；（2）（3）；（4）.习题 A 组（ P112）1、（1）；（2）；（3）；2、对应的复数为 . 对应的复数为 .3、. 向量对应的复数为 . 向量对应的复数为 . 于是向量对应的复数为，点对应的复数为 .4、（1）；（2）；（3）；（4） .5、（1）；（2）；（3）；（4）.6、由，得 . 于是，有，解得， . 习题 B 组（ P112） 1、（1）.（2）, 2 、略 .第三章复习参考题 A 组（P116）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、由已知，设（且）；则.由是纯虚数，得，解得 . 因此 .3、由已知，可得， .又因为，所以 .第三章复习参考题 B 组（P116） 1、设（），则.由，得，化简，得 .。

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—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式高中数学选修2-1课后习题答案第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()222310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2 充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒； （2）⇒； （3）⇒； （4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假； （2）真； （3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1.3 简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真； （2）假.2、（1）真； （2）假.3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程290x -=的根，假命题；（3）1≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1.4 全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -. 由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=， 得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y y x x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,33x y ==± 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一.习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b +=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+ 所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.（第1题）2.2 椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM y k x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BMy k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48） 1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点. 这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=； （3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x = 所以，点P的坐标是(1)±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<< 当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3mx =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.（第7题）9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以2204x y += ……②. 将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，（第4题）所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a = 所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，F 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =.所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上. 2.3 双曲线练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a =.所以，a =又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >-练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=。

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