离散数学第一章命题逻辑第二讲

（1）利用等值公式中的等值式和蕴涵式将 公式中的→、用联结词┐、∧、∨来取代；
（2）利用德•摩根律将否定号┐移到各个 命题变元的前端；
（3）利用结合律、分配律、吸收律、等幂 律、交换律等将公式化成其等值的析取范 式和合取范式。
例1.14 求((p ∧ q) r) p的合取范式和
得p∨(q∧ r),也是原公式的析取范式,由此可见,与命 题公式等值的析取范式也是不唯一的.
求一个命题公式的与之等值的析取范式和合取范 式，其步骤如下：
（1）利用等值公式中的等值式和蕴涵式将 公式中的→、用联结词┐、∧、∨来取代；
在一个联结词的集合中，如果一个联结词可由集 合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余的 联结词，否则称为独立的联结词.
由命题定律：
pq( pq)( qp)
pq pq
pq( p q)
pq( p q)
可知 {, ∧ , ∨ , , } 又能由联结词组{ ，
因而任一个真值函数均可由含{,∨}中的联 结词的命题公式表示，所以它是全功能集.
1.5 对偶与范式
一.对偶
定义：在一个只含有联结词 、∨、∧的公式A中，
将∨换成∧，∧换成∨，1换成0，0换成1，其余部 分不变，得到另一个公式A*，称A与A*互为对偶 式.
例如:： A
A*
p
p
q∧r
q∨r
可见 (p∨q)∧(r∨p)也是原公式的合取范式,这说明与 某个命题公式等值的合取范式是不唯一的.
(2)求析取范式
用∧对∨的分配律就可得到析取范式,即 ((p∨q) r) p ((p∨q)∧ r)∨p (p∧ r)∨(q∧ r)∨p (∧对∨分配律) 最后结果为原公式的析取范式.利用交换律和吸收律
A* 0.
二. 析取范式与合取范式
范式就是命题公式形式的规范形式.这里约定 在范式中 只含有联结词、∨和∧. 一. 析取范式与合取范式 1.简单合取式与简单析取式 (1)简单合取式(基本积)：是用“∧”联结命题 变项或变项的否定构成的式子. 如 p 、p 、p∧q、p∧q∧r (2)简单析取式(基本和)：是用“∨” 联结命 题变项或变项的否定构成的式子. 如 p 、p 、p∨q、p∨q∨r
}或{ ，}取代.那么究竟最少用几个联结词？ 就是说，用最少的几个联结词就能等价表示所有 的命题公式.或者说，用最少的几个联结词就能替 代所有联结词的功能.这便是所要定义的联结词功 能完全集.
定义2 称G为联结词功能完全集，如果G满足下
列两条件：①由G中联结词构成的公式能等价表示 任意命题公式；②G 中的任一联结词不能用其余 下联结词等价表示.
2) ｛┐，→｝也可构成全功能联结词集合。该全功 能联结词集合在研究逻辑系统的演绎与推理，以 及在程序系统的研究中经常遇到。
3) ｛↑｝,｛↓｝是全功能联结词集合。在大规模集 成电路中有广泛的应用。
(课本)例1.13：若已知{,→}是全功能集， 证明{,∨}也是全功能集.
证明: 由于{,→}是全功能集，因而任一真 值函数均可仅由含{,→}中的联结词的命题 公式表示.而对于任意的命题形式A，B，有 A→B A∨B,
一个n(n≥1)维卡氏积{0,1} × …× {0,1}
到{0,1}的函数称为一个n元真值函数.设F是一个n 元真值函数，则可记为
F：{0,1} × …× {0,1} →{0,1}
（问：n个命题变项只能生成_____个真值不同的 命题公式——见1.3节）
每个真值函数可以对应无穷多个命题公式，它们 彼此都是等值的.
证明 (p∧q) ∨ (p ∧ q)

p∨(q∧ q) (分配律)

p∨0
(矛盾律)

p
(同一律)
练习
求证 (p∨q)→(p∧q) p
证明 (p∨q)→(p∧q)

(p∨q)∨(p∧q) (蕴涵等值式)

(p∧q)∨(p∧q) (德·摩根律)

(p∧q)∨(p∧q) (双重否定律)
解：pi,qi,ri,si表示A,B,C,D第i名，i=1,2,3,4
① (r1∧ q2) ∨( r 1∧q2) 1 ② (r2∧ s3) ∨( r 2∧s3) 1 ③ (p2∧ s4) ∨( p2∧s4) 1 ①∧② 1 由于C不能既第一又第二，B和C不能
用途2：验证两个公式等值 (课本)例1.9
(1)验证p→(q→r) (p∧q) →r
证明：p→(q→r)
p∨(q→r)
（蕴涵等值式）
p∨(q∨r) （蕴涵等值式）
(p∨q)∨r (结合律)
(p∧q)∨r
(德·摩根律)
(p∧q) →r
（蕴涵等值式）
⑻ 同一律 A∪Φ=A A∩E=A
E表示全集
⑼ 零律 A∪E=E A∩Φ=Φ
⑽ 否定律 A∪~A=E A∩~A=Φ
4.公式的等值演算. 定义：用根据已知的等值式，推演出另外
一些等值式的过程称为等值演算 . 用途： （1）判别命题公式的类型 （2）验证两个公式等值 （3）解决实际问题
用途1: 判别命题公式的类型
例题 判别(p∧q)→(p∨(p∨q))公式类型.
解 原式
(p∧q)∨((p∨p)∨q) (蕴涵等值式,结合律)
(p∧q)∨(p∨q) (双重否定律，幂等律)
(p∧q)∨(q∨p) (交换律)
((p∧q)∨q)∨p
(结合律)
q∨p
注: p, p是简单合取式，也是简单析取式.
2.析取范式--------有限个基本积的析取式
公式A如果写成如下形式： A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是简单
合取式，称之为A的析取范式.
3.合取范式---------有限个基本和的合取式
公式A如果写成如下形式： A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是简
都第二，所以
④ (r1∧ q2∧ r2∧s3) ∨( r1∧q2 ∧ r2∧s3) 1 ③∧④ 1 由于A，B不能同时第二，D不能第三又第四，所
以
1 p2∧ s4 ∧r1∧ q2∧ r2∧s3 所以C第一，A第二，D第三，B第四.
等值演算的功能比真值表强, 它能揭示 各个命题公式的等值关系，因此在计 算机硬件设计、开关理论和电子元件 设计中有重要地位.解：可将上图所示之开关
电路用下述命题公式表示：
(p∧q∧s)∨(p∧r∧s)
利用基本等值公式，将上述公式转化为： (p∧q∧s)∨(p∧r∧s)
((p∧s)∧q)∨((p∧s)∧r) (p∧s)∧(q∨r)
所以其开关设计图可简化为：
q
ps
r
练习
(2)求证 (p∧q)∨(p ∧ q)p
例 试证:(p∧(q∨r))∨(p∧┐q∧┐r) p
证明： (p∧(q∨r))∨(p∧┐q∧┐r) p∧((q∨r)∨(┐q∧┐r)) p∧((q∨r)∨┐(q∨r)) p∧1 p
■
例
试用较少的开关设计一个与下图有相同功能的 电路。
pqs ps r
例（续）
pqs ps r

p∧(q∨q)
(分配律)

p∧1
(排中律)

p
(同一律)
例8：用途3 A,B,C,D 4人做百米竞赛，观众甲、乙、丙
预报比赛的名次为：
甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四
比赛结束后发现甲、乙、丙每人报告的情 况都是各对一半，试问实际名次如何（无 并列者）？
1-4.联结词全功能集
定义1 p与q的与非式 pq(pq) p与q的或非式 pq(pq)
联结词集{, ∧ , ∨ , , , , }能不能少 呢？若能少，表明有些联结词可由其他联结词 替代.
事实上，扩充的2个联结词，能由原有5个 联结词分别替代之.
⑶ 结合律 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
⑷交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A
⑸分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
⑹ 吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
⑺德-摩根定律 ~(A∪B)=~A∩~B
~(A∩B)=~A∪~B
(吸收律)
(课本例1.10) 判别公式类型 (1) q∨ (( p∨q) ∧p) (2) (p∨ p) →((q∧ q) ∧r) (3) (p→q) ∧ p
(1) 重言式 (2)矛盾式 (3)可满足式
命题公式的真值判定方法
1） 真值表法； 2） 等值演算法； 3) 观察法。
单析取式，称之为A的合取范式.

例如，pq 的析取范式与合取范式： pq (p∧q)∨(p∧q)----析取范式 pq (p∨q)∧(p∨q)----合取范式
范式存在定理
任一命题公式都存在着与之等值的析取范 式和合取范式.
求一个命题公式的与之等值的析取范式和合取范 式，其步骤如下：
(13) 假言易位 ABBA
等价等值式 AB (AB)∧(BA)
等价否定等值式 AB AB
归谬论 (AB)∧(A B) A
为便于记忆，将等值公式(前10个)与集合论的公式比较，请看 集合公式：
⑴ 双重否定律 ~ ~ A=A
⑵ 幂等律 A∪A=A A∩A=A
(p∨1)∧q (p∧0)∨q
注意: 对偶是相互的.
对偶原理
设A,B为两命题公式,若A B, 则A* B*,其中A*,B*分别为A,B的