新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用1-7-2(1)
人教A版选修2-2第一章 导数及其应用.docx
第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________；4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.7 Word版含答案
选修第一章一、选择题．曲线＝(≤≤π)与两坐标轴所围成图形的面积为( )．．．[答案][解析]＝,))－,))＝－))＝.．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为()＝－，则列车刹车后前进多少米才能停车？( )．．．．[答案][解析]停车时()＝，则－＝，∴＝，＝∫()＝∫(－)＝(－)＝.．由曲线＝－、直线＝、＝和轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )(－)．(－)－(－)＋(－)[答案][解析]＝－将轴下方阴影反折到轴上方，其定积分为正，故应选.．曲线＝－和＝围成的图形面积为( )．．．[答案][解析]由(\\(＝－，＝，))解得(\\(＝，＝.))或(\\(＝，＝，))或(\\(＝－，＝－.))∵两函数＝－与＝均为奇函数，∴＝[－(－)]＝·(－)＝(－)＝，故选.．一物体在力()＝－(单位：)的作用下，沿着与力相同的方向，从＝运动到＝处(单位：)，则力()所做的功为( )．．．[答案][解析]由变力做功公式有：＝(－)＝(－)＝()，故应选.．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间的函数，若已知产量的变化率为＝，那么从小时到小时期间内的产量为( )．－．＋．－[答案][解析]＝＝－，故应选.二、填空题．由曲线＝，＝－所围图形的面积是[答案] [解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组(\\(＝，＝－，))得交点坐标为(，－)，()．因此所求图形的面积＝－(＋－)取()＝＋－，则′()＝＋－，从而＝()－(－)＝.．一物体沿直线以速度＝运动，该物体运动开始后内所经过的路程是[答案](－)[解析]＝∫＝(＋)＝(－)．．由两条曲线＝，＝与直线＝围成平面区域的面积是[答案][解析]解法：如图，＝与＝交点()，＝与＝交点()，由对称性可知面积＝(＋－)＝.。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
【人教A版数学选修2-2】导数及其应用1-7-2
功．
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第一章 1.7 1.7.2 第14页
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类型一
变速直线运动的路程
【例 1】 A、B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途中 C 点，这一段的速度为 1.2t m/s，到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，经 t s 后，在 B 点恰好停 车，试求：
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第一章 1.7 1.7.2 第25页
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【解】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4， 即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程 s1＝∫30(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|30＝18. (2)s2＝∫50(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|50＝530. ∴点 P 在 x 轴正方向上距原点530处．
则
DB＝
20(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|200＝240(m)．
0
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第一章 1.7 1.7.2 第17页
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求变速直线运动的路程、位移应关注三点 1分清运动过程中的变化情况； 2如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示； 3明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路 程不能正负抵消.
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2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1-7-2 含答案 精品
1．7.2 定积分在物理中的应用学习目标 1.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？答案 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念． 梳理 (1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用()21d t t t t ⎰v 求解．(2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用()21d t t t t ⎰v 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－()21d t t t t ⎰v .做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即ʃb a v (t )d t .知识点二 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决？答案 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a 到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃb a F (x )d x .梳理 如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃb a F (x )d x .类型一 求变速直线运动的位移、路程例1 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝7t 40|－32t 240|＋25ln(1＋t )40|＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.(2)有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：①P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； ②P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．解 ①由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故当t ＝6时，点P 离开原点的路程s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 340－⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 364＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移s 2＝ʃ60(8t －2t 2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 360＝0. ②依题意得ʃt 0(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．反思与感悟 (1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程s ＝ʃb a |v (t )|d t＝－ʃb a v (t )d t .(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程． 解(1)由ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t 4＝43知，在时刻t ＝4时，该质点离出发点43m. (2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0，得t ∈(0,1)∪(3,4)．这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4.即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4m.类型二 求变力做功例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50m ，BC ＝40m ，CD ＝30m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5，0≤x ≤90，20，90<x ≤120(单位：N)，在AB 段运动时，F 与运动方向成30°角．在BC 段运动时，F 与运动方向成45°角．在CD 段运动时，F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1J)解 在AB 段运动时，F 在运动方向上的分力F 1＝F cos30°，在BC 段运动时，F 在运动方向上的分力F 2＝F cos45°. 由变力做功公式得W ＝ʃ500⎝⎛⎭⎫14x ＋5cos30°d x ＋ʃ9050⎝⎛⎭⎫14x ＋5cos45°d x ＋600 ＝⎪⎪38⎝⎛⎭⎫12x 2＋20x 500＋⎪⎪28⎝⎛⎭⎫12x 2＋20x 9050＋600 ＝112543＋4502＋600≈1723(J).所以物体由A 运动到D ，变力F 所做的功为1723J. 反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x >2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．10J B ．12J C ．14J D ．16J答案 B解析 从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功为ʃ202d x ＋ʃ42(2x －2)d x ＝2x |20＋(x 2－2x )|42＝12(J)．故选B.1．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从开始刹车到停车所行驶的路程为( )A ．405米B ．540米C ．810米D ．945米 答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝ʃ300v (t )d t ＝ʃ300(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)|300＝405(米)．2．一个物体在力F (x )＝1＋e x 的作用下，沿着与力F (x )相同的方向从x ＝0处运动到x ＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e －1 C ．1－e D ．e答案 D解析 W ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x ＋c )|10＝1＋e －1＝e.故选D.3．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此质点在[1,2]时间内的位移为________． 答案176解析 由题意可知s ＝ʃ21(t 2－t ＋2)d t＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.4．已知作用于某一质点的力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤2(单位：N)，则力F 从x ＝0处运动到x＝2处(单位：m)所做的功为________J. 答案 3解析 W ＝ʃ20F (x )d x ＝ʃ10x d x ＋ʃ21(x ＋1)d x＝ ⎪⎪12x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 21＝12＋12×22＋2－12×12－1＝3(J)．1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.课时作业一、选择题1．一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝2＋sin t(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位：km)是()A．3－cos1 B．3＋cos1C．1＋cos1 D．1－cos1答案 A解析由v(t)＝2＋sin t>0，故这辆车行驶的路程s＝ʃ10v(t)d t＝ʃ10(2＋sin t)d t＝(2t－cos t)|10＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选A.2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为()A．120m B．437.5mC．360m D．480m答案 B解析从A处到B处所用时间为25s，所以|AB|＝ʃ2501.4t d t＝0.7t2|250＝437.5(m)．3．物体A以速度v＝3t2＋1(m/s)在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析因为物体A在t秒内行驶的路程为ʃt0(3t2＋1)d t，物体B在t秒内行驶的路程为ʃt010t d t，所以ʃt0(3t2＋1－10t)d t＝(t3＋t－5t2)|t0＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.故选C.4．沿x 轴正方向运动的质点，在任意位置x 米处，所受的力为F (x )＝3x 2牛顿，则质点从坐标原点运动到4米处，力F (x )所做的功是( ) A ．74焦耳 B ．72焦耳 C ．70焦耳 D ．64焦耳答案 D解析 根据定积分的物理意义可知，力F (x )所做的功为ʃ403x 2d x ＝x 3|40＝64(焦耳)．故选D.5．以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603mB.803mC.403mD.203m 答案 A解析 达到最高点时速度v ＝40－10t 2＝0， 得t ＝2.∴此物体达到最高时的高度为ʃ20(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝1603. 6．如果用1N 的力能拉长弹簧1cm ，则将弹簧拉长6cm ，克服弹力所做的功为( ) A ．0.18JB ．0.26JC ．0.12JD ．0.28J 答案 A解析 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01，则k ＝100，W ＝ʃ0.060100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)．7．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)的作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1 (m)运动到x ＝2 (m)时，F (x )做的功为( ) A ．1J B.3J C.433J D ．2J答案 C解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图，F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos30°，W ＝ʃ21(5－x 2)·cos30°d x ＝32ʃ21(5－x 2)d x ＝32(5x －13x 3)|21＝433.故选C. 二、填空题8．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为________百件． 答案 6－3 2 解析ʃ6336td t ＝⎪⎪66 t 63＝6－3 2. 9．做变速直线运动的物体的速度为v (t )＝4－t 2，初始位置s (0)＝1，则3秒时所处的位置s (3)为________． 答案 4解析 由题意可知，s (3)＝ʃ30v (t )d t ＋1＝ʃ30(4－t 2)d t ＋1＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t －13t 330＋1＝4. 10．一物体做直线运动的速度与时间成正比，5s 时速度为20m/s ，则物体开始运动10s 内所经过的路程为________m. 答案 200解析 ∵v ＝4t ，∴s ＝ʃ1004t d t ＝(2t 2)|100＝200(m)．11．在原点O 处有一个带电量为＋q 的点电荷，它所产生的电场对周围有作用力．现有一个单位正电荷从距O 点的距离为a 处沿着射线方向移至距O 点为b (a <b )的地方，则电场力F ＝k ·qr 2(k 为常数)做的功为________．答案 k q a －k qb解析 W ＝ʃb a k qr 2d r ＝⎪⎪－k q r b a ＝k q a －k q b . 三、解答题12．物体按x ＝2t 2(m)做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于8m/s 时，阻力为2N ，求物体从x ＝0m 运动到x ＝2m 时，克服阻力所做的功． 解 设阻力F ＝k v ，因为v ＝x ′＝4t ，所以F ＝4kt . 由题意得v ＝4t ＝8，所以t ＝2， 所以8k ＝2，即k ＝0.25， 所以F ＝4×0.25t ＝t . 又x ＝2t 2，t >0，所以t ＝x 2， 所以F (x )＝x2.所以阻力所做的功W ＝－ʃ2012x d x ＝－12×23×32x |20＝－43(J)．故物体从x ＝0m 运动到x ＝2m 时克服阻力所做的功为43J.13．已知A ，B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 点恰好停车，试求： (1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． 解 (1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，所以t 1＝20(s)，则AC ＝ʃ2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)．则BD ＝ʃ200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．(3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)， 则从C 到D 的时间为672024＝280(s)，则所求时间为20＋280＋20＝320(s)．。
人教A版选修2-2第一章 导数及其应用
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念双基达标(限时20分钟)1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )．A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 A4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －125．已知函数y ＝2x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝13.答案 136．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41.答案 B8．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1)C.13f′(1) D．f′(3)解析根据导数的定义：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)，lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13f′(1)．答案 C9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．解析v初＝s′|t＝0＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.答案 310．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.答案相等11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解运动方程为s＝12at2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴ lim Δt →0Δs Δt ＝at 0.由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.12．(创新拓展)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第1章 导数及其应用 1-7-12
4．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面
积为( )
2 A.3
B．1
4
5
C.3
D.3
第十一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解析：S＝0 (x2－x)dx＋1(x－x2)dx
-1
0
＝13x3－12x20－1＋12x2－13x310＝1.
答案：B
第十二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
第三十页，编辑于星期六：二点 四十二分。
U′＝a2－12， 令U′＝0，得a＝ 22， 当a∈0， 22时，U′<0； 当a∈ 22，1时，U′>0.
第三十一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
图(2)
第三十二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
故当a＝ 22时，U取最小值为2－6
2 .
(2)当a<0时，如图(2)，
限时：40分钟 满分：90分
第四页，编辑于星期六：二点 四十二分。
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围
图形的面积为( )
2π
4
A. 5
B.3
3
π
C.2
D.2
第五页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解析：由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为 201－x2＋1dx＝2－x33＋x01＝43.
所以函数y＝U(a)在(－∞，0)上单调递减．
故函函数y＝U(a)无最小值．
(3)当a＝0时，无最小值．
综上可知，a＝
2 2.
第三十四页，编辑于星期六：二点 四十二分。
由yy＝＝axx2，， 得交点(0,0)和(a，a2)， S＝a0(ax－x2)dx＝a2x2－x330a ＝－a23＋a33＝－a63，
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.7知识点总结含同步练习及答案
若 n ∈ N，n ⩾ 2 ，求证： 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
3 n 2 3 证明：构造函数 y = 1 ，因为 (ln x) ′ = 1 ，作 y = 1 的图象， x x x 2
由图知，在区间 [n − 1, n](n ≥ 2) 上曲边梯形的面积大小在以区间长度 1 为一边长，以左右端点对应的函数值为 另一边长的两个矩形面积之间，即
由累加法可得 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
2 3 n 2 3
1 成立． n−1
四、课后作业
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1. 如图中阴影部分的面积是 (
)．
A．2√3
答案： C
B．9 − 2√3
C．
32 3
D．
35 3
n 1 1 1 <∫ dx < ， n n−1 n−1 x
而
∫
n n−1
1 dx = ln x| n n−1 = ln n − ln(n − 1)， x
故不等式
1 1 < ln n − ln(n − 1) < n n−1
成立，从而当 n ⩾ 2 时，
1 < ln 2 − ln 1 < 1, 2 1 1 < ln 3 − ln 2 < , 3 2 ⋯ 1 1 < ln n − ln(n − 1) < , n n−1
1 1 x, g (x) = cos x ；② f (x) = x + 1, g (x) = x − 1 ；③ 2 2 f (x) = x, g (x) = x2 ．其中为区间 [−1, 1] 的正交函数的组数是 ( )
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1.7.2定积分在物理中的应用
课时过关·能力提升
基础巩固
1若某质点沿直线以v=3t+2(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则该质点在第3 s到第6 s间的运动路程s为()
A.46 m
B.46.5 m
C.87 m
D.47 m
解析s=v d t=(3t+2)d t=
==46.5(m).
答案B
2已知一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F(x)相同的方向,由x=0 m处直线运动到x=4 m处,则力F(x)所做的功为() A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J
答案B
3物体以速度v(t)=3t2-2t+4做直线运动,它在第3秒内的位移是()
A.12
B.14
C.16
D.18
解析其位移为s=(3t2-2t+4)d t=(t3-t2+4t)
=(27-9+12)-(8-4+8)=18.
答案D
4若火车紧急刹车的速度为v(t)= m/s,则刹车后火车行驶的距离约为 m.(精确到0.1 m)
解析停止时车速为0,由v(t)=10-t+=0,解得刹车所用的时间为t=16(s)(t=-8(s)舍去),
所以s=d t
==32+216ln 3
≈269.3(m).
答案269.3
5若某物体以v(t)=t2-3t+8(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则其在前30 s内的平均速度为.
解析由定积分的物理意义,得
s=(t2-3t+8)d t=
=7 890(m),=263(m/s).
答案263 m/s
6在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)(单位:N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位:m)成正比,如果用1 N的力能拉长弹簧1 cm,那么为了将弹簧拉长6 cm需做功 J.
解析设F(x)=kx(常数k是比例系数),由题意知,当F(x)=1 N时,x=0.01 m,可得k=100.
由变力做功公式,得到将弹簧拉长6 cm需做的功W=100x d x=50x2=0.18(J).
答案0.18
7
某物体在力F(x)(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向运动,力—位移曲线如图所示.求该物体从x=0处运动到x=4(单位:m)处,力
F(x)做的功.
分析先根据图象确定力关于位移的函数关系式,再利用定积分求解.
解由力—位移曲线可知F(x)=因此该物体从x=0处运动到x=4处力F(x)做的功为10d x+(3x+4)d x=10x=46(J).
能力提升
1如果某质点以初速度v(0)=1(v的单位:m/s),加速度a(t)=6t(a的单位:m/s2)做直线运动,则质点在t=2 s时的瞬时速度为() A.5 m/s B.7 m/s C.9 m/s D.13 m/s
解析v(2)-v(0)=a(t)d t=6t d t=3t2,
所以v(2)=v(0)+3×22=1+12=13(m/s).。