两个重要极限(1)
两个重要极限的证明
两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
两个重要极限教案
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。第（1）小题学生独立思考，第（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，教师引导。体会换元法、转化思想在数学解题中的重要作用。
师生回顾归纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的能力
课堂练习
练习：求下列极限：
3 ②
③ ④
小结
1．正确、灵活地运用公式 。
2．当 。
3．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
公开课教案
教者
龚桂琼
科目
数学
班级
12级数一班
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
③
一、问题的提出
两个重要极限
x
元
。
现在若以天为单位计算复利，则x年末资金变为：
Q
1
r 365
365
x
元
；
若以
1 n
年为单位计算复利，则x年末末资金变为：Q
1
r n
nx
元
；
若令 n ，即每时每刻计算复利（称为连续复利）则x年末末资金为：
lim
n
Q
1
r n
nx
=
Q
lim
n
1
r n
n r
rx
=Q erx 元 。
高等数学
或若
lim
xa
x
0
a可以是有限数x 0
， ，
则
1
1
x
x
lim1 x lim 1 x e 。
xa
x0
例1.5 求
lim
x
1
2 x
x
。
解 令 2 t ，则 x 2 当 x 时 t 0 ，于是
x
t
lim
x
1
2 x
x
lim t0
1 t
2 t
ltim0
1 t
1 2 t
x0 x
t0 sint
两个重要极限
1.2 第二个重要极限：
lim
x
1
1 x
x
e
注意：这个重要极限也可以变形和推广：
(1) 令 1，则t x
时 x 代入后得t 到 0
1
lim1 t t
t0
e
；
(2) 若limxa Nhomakorabeax
a可以是有限数x 0
， ， 则
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
1-4极限存在准则与两个重要极限
n 1 所以数列 1 是严格单调增加的； n
n 又由于 1 n 1
1 n 1 n 2
n 1 ( n 1) n 1 1 n , n 2 n 2
( 2) lim f ( x ) A, lim g( x ) A
x x0 x x0
则 lim h( x ) A.
x x0
证
由 f ( x ) h( x ) g( x ), 有
f ( x ) A h( x ) A g( x ) A
所以
h( x ) A max{ f ( x ) A , g( x ) A }
解2
lim x
x 1 x1 lim x x 2 1
x
1 x 2 x
x
1 1 1 1 x x l im lim x x x x 2 2 2 2 1 1 x x e 2 e 1 e
x
3 例8 求 lim x 2
解
x . x
x2 4 1 1 2 x 2
2x
1 原式 lim 1 x 2 x
e2
x1 . 例9 求 lim x x 2
,
n1 1 所以数列 1 是严格单调递降的. n
1 1 于是 1 1 n n
n
n 1
1 1 n 1
2
n
1 1 4 1 n 1 从而数列 1 单调增加, 并且有上界， n n 1 由极限存在准则II， lim 1 存在, 记为e . n n
两个重要极限的证明1
两个重要极限的证明两个重要的极限1．证明：limsinxx证明：如图（a）作单位圆。
当02112时，显然有ΔOAD面积xsinx1cosxtgx，sinx或sinxx时也成立。
图（a）故（1）式对一切满足不等式的x都成立。
sinxx。
由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim函数f(x)=sinxx的图象如图（b）所示。
12．证明：n存在。
n证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有b图（b）或bn，整理后得不等式a n（1）。
n令a=1+故有1，b=1+1n)1n，将它们代入（1）。
由于11n，12n，这就是说为递增数列。
n12再令a=1，b=1+代入（1）。
由于12n)2n，故有12n)12，12n1n)n。
不等式两端平方后有，它对一切自然数n成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1是有界的。
于是由单调有界定理知道极限是存在的。
n3．证明：。
1x证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：x（1）11xx（2）现在先应用2中数列极限，证明（1）式成立。
n设n≤x1x1n及)nn1xx1n)，（3）作定义在[1，上的阶梯函数。
，n≤x n1由（3）有f(x)xn 11)11n)1nn1n，根据迫敛性定理便得（1）式。
11y)现在证明（2）式。
为此作代换x=-y，则xy))因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得。
1x1以后还常常用到e的另一种极限形式1x（4）1因为，令1x，则x→∞和a→0是等价的，所以，。
x 2。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
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由a 0, x0 0, 知 xn 0,因此 xn a, 即 xn 有下
界.
又
xn1 xn
1 2
1
a xn2
1 2
1 2
a xn2
1,
故数列 xn单调递减 ,
由极限存在准则知
lim
n
xn
存在.
不妨设
lim
n
xn
A,
对式子 xn
1 2
xn1
a xn1
两边取极限得:
A
1 2
A
a A
.
解之得 A
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
lim [(1
t
1t )t
(1 1t )]
e
故
lim (1
x
1x) x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
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例6. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R
2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
注: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn ,
并且 yn 与 zn的极限相同且容易求得.
lim 例 1
求
n
1 n2 1
1 n2 2
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
1 x
1
由夹逼定理可得
lim
x0
x
1 x
1,
当 x 0时, 有
1
x
x
1 x
1
由夹逼定理可得
lim
x0
x
1 x
1,
从而
lim
x0
x
1 x
1.
完
二、单调有界准则
如果数列 xn 满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
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lim1 x
1 x
x
e
1. 先考虑x取正整数n的情形.
设
xn
1
1 n
n
,
则有
xn
1
n 1!
1 n
n(n 2!
1)
1 n2
n(n
1)(n n!
n
1)
1 nn
1
1
21!
1
1 n
n1!
1
1 n
1
2 n
1
n
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
例如,
单调增加数列:
xn
1
1 n
.
单调减少数列:
xn
1
1 n
.
单调数列
例 补充 设有数列 x1 3, x2 3 x1 , ,
xn
3
xn1 , 求
lim
n
xn .
证 显然 xn1 xn , { xn }是单调递增的.
下面利用数学归纳法证明{ xn }有界. 因为 x1 3 3, 假定 xk 3,则
2. 再考虑 x为实数的情形.
(1) 当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
lim1 x
1 x
x
e
2. 再考虑 x为实数的情形. (1) 当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
lim1 x
1 x
x
e
2. 再考虑 x为实数的情形.
(1) 当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
1
1 [x]
[ x] 1
1
1 x
x
1
[
1 x
]
[
x
]1
而
lim 1 n
[
1 x
]
[
x
]1
lim 1 x
[
1 x]
[
x
]
lim 1 x
1 [x]
e.
[x]
lim n
1
[
x
1 ]
1
lim1 x
1 x
x
e
[x]
lim n
1
[
x
1 ]
1
lim1 x
1 x
x
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例4. 求
e
lim n
1
[
x
1 ]
1
[
x
]
[ x ]1
1
lim 1 x
[
1 x]
1
lim x
1
[
1 x]
1
e.
lim 1 x
1 x
x
e.
(2) 令 t x, 则
lim 1 x
1 x
x
lim 1 t
1 t
t
lim 1 t
t
1
1
t
lim1 x
1 x
x
e
(2) 令 t x, 则
aaa 2)([a] 3)n
ca n
,
其中 c
1
a aa 2 3([a]
1) ,
因此
0
an n!
ca n
,
而 lim c a 0, 所以 n n lim an 0. n n!
例 补充
求
lim
n
n! nn
.
解
由
n! nn
1 2 3n n n nn
1 2 n nn n n nn
使得
a 1/ b,
由 (2)知 lim n b 1, 所以 n
lim n a lim n 1 1 1 1,
n
n b lim n b 1
n
综合上述证明可知
lim n a 1 (a 0).
n
完
例 补充
求极限
lim
x0
x
1 x
.
解
当x
0 时,
1 x
1
1 x
1 x
因此,当 x
0
时, 1
xn n a n n.
由例 知 lim n n 1, 所以 n lim n a 1(a 1). n
(3) 当 0 a 1时, 总存在一个正数 b(b 1),使得
a 1/ b,
由 (2)知 lim n b 1, 所以 n
例 8 求证 lim n a 1(a 0). n
解 (3) 当 0 a 1时, 总存在一个正数 b(b 1),
n
1
lim1 x
1 x
x
e
n1!
1
1 n
1
2 n
1
n
n
1
lim1 x
1 x
x
e
n1!
1
1 n
1
2 n
1
n
n
1
又
xn1
11
21!1
n
1
1
n1!
1
n
1
1 1
n
2
1
1
n n
11
(n
1
1)!
1
n
1
1
1
n
2
1
1
n
n
1 ,
显然 xn1 xn , { xn }是单调递增的;
lim sin x 1 x0 x
lim 1 1 x e x x
一、夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 xn , yn 及zn满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3,);
(2)
lim
n
yn