高中数学第五章1教学案北师大版选修

学习资料专题§1数系的扩充与复数的引入[对应学生用书P45]已知方程(1)x2－22x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念2．复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然R C.问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋b i和c＋d i相等吗？提示：相等．问题2：若a＋b i＝c＋d i，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以．问题2：复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量OZ＝(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系．问题4：复数z＝a＋b i(a，b∈R)与OZ有何对应关系？提示：一一对应．1．复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．(2)任一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．这是复数的几何意义．一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)与复平面内的向量OZ＝(a，b)是一一对应的．2．复数的模设复数z＝a＋b i(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然，|z |＝a 2＋b 2.1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．[对应学生用书P46][例1] 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2＋m －2)i ，当实数m 为何值时， (1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断． [精解详析] (1)当m 2＋m －2＝0，即m ＝－2或m ＝1时，z 为实数． (2)当m 2＋m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2≠0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为纯虚数．[一点通](1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点．(2)对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，勿忘其虚部必须不为零．1．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0.故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．答案：B2．若复数z ＝(x 2－1)＋1x －1i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D.－1或1解析：由复数z ＝(x 2－1)＋1x －1i 为纯虚数得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：A[例2] (1)已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，x ，y ∈R ，求x 与y ；(2)设z 1＝1＋sin θ－icos θ，z 2＝11＋sin θ＋(cos θ－2)i.若z 1＝z 2，求θ.[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－－y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin θ＝11＋sin θ，cos θ＝2－cos θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝1.则θ＝2k π(k ∈Z )．[一点通](1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想．(2)注意(1)小题的条件x ，y ∈R ，若x ，y 未说明是实数，则不能这样解，比如若x 为纯虚数，则可设x ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，然后再根据复数相等求相应的x ，y .3．若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2 C.52D.5解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，a ＝－1，则a 2＋b 2＝5.答案：D4．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m ＝( ) A.112B.112i C ．－112D.－112i解析：因为关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，即x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0⇔x 2＋x ＋3m ＋(2x ＋1)i ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋3m ＝0，2x ＋1＝0⇒m ＝112，故选A.答案：A[例3] 实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上？[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y ＝x 上的点的横坐标等于纵坐标．[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．5．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1C．a＝0 D.a＝2或a＝0解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.答案：D6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA的坐标是( )A．(－5,5) B．(5，－5)C．(5,5) D.(－5，－5)解析：向量OA，OB对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．答案：B7．在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上．解：(1)若复数z对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2，此时，z＝6i或z＝0.(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.[例4] 设z ∈C ，判断满足下列条件的复数z 对应的点Z 的集合是什么图形． (1)|z |＝2；(2)|z |≤3.[精解详析] 法一：(1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ 的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z |＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件|z |≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． (1)|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4，∴点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆． (2)|z |≤3，∴x 2＋y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部． [一点通](1)解决此类问题有两种方法：①根据|z |表示点Z 和原点间的距离，把复数条件转化为几何条件；②设出复数，利用模的定义，把复数方程(不等式)转化为实数方程(不等式)． (2)设出复数，把复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想．8．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a >1 B ．－1<a <1 C ．a >1D.a >0解析：∵|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， ∴ a 2＋4< 5，即a 2＋4<5， ∴a 2<1，即－1<a <1. 答案：B9．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ 之间的关系可用图表示．[对应课时跟踪训练十七1．复数1＋i 2的实部和虚部分别是( ) A ．1和i B ．i 和1 C ．1和－1D.0和0解析：∵1＋i 2＝1－1＝0，故选D. 答案：D2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D.第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．答案：D3．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D.－1或－2解析：∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1. 答案：B4．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0解析：∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 答案：B5．(湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部，虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i6．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为________． 解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m 2－1)＋(m 2－2m )i 应为实数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2. 答案：27．已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，当实数m 为何值时，①z 是实数；②z ＝4＋6i ；③z 对应的点在第三象限？解：z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i. ①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2， 即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2－m －6＝6⇒m ＝4.即m ＝4时z ＝4＋6i.③若z 所对应的点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0，m 2－m －6<0⇒0<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限．8．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量1OZ ，2OZ ，3OZ ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量1OZ ，2OZ ，3OZ 如图所示． |z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，|z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∴在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。