级数知识点总结

级数知识点总结 Prepared on 22 November 2020
第十二章无穷级数
一、 常数项级数 1、 常数项级数：
1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑
∞
=n n n u u u u u 3211
部分和：n n
k k n
u u u u u S ++++==
∑
= 3211
正项级数：
∑∞
=1
n n
u
，0≥n u
级数收敛：若S
S n n =∞
→lim
存在，则称级数
∑∞
=1
n n u 收敛，否则称级数∑∞
=1
n n u 发散
2)
性质：
➢ 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ➢
两个收敛级数的和差仍收敛，级数
∑∞=1
n n a ，
∑∞
=1
n
n b 收敛，则
∑∞
=±1
)(n
n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
➢ 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数
∑∞
=1
n
n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ➢
若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数
去括号后未必收敛.
➢
注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式：
∑∞
=1
n
n u ，0≥n u ）S
S n n =∞
→lim 前n 项和存在极限则收敛；
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔
{}n
S 有
界；
➢
比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞
=1
n n v 收敛，则∑∞=1
n n u 收敛；若∑∞=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散.
➢
比较法的极限形式：
)0( l lim
+∞<≤=∞→l v u n
n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞
=1n n
v 发散，则∑∞
=1
n
n u 发散. ➢
，当：1<l 时，级数∞=1
n u 收敛；1>l 时，级数∞=1
n n u 发散；1=l 时，级数∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∑
∞
=-1
)1(n n n
u ，0≥n
u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞
→n n u ，则级数∑∞
=-1
)1(n n n u 收敛。

条件收敛：
∑
∞=1
n n u 收敛，而∑∞
=1
n n u 发散；绝对收敛：∑∞
=1
n n
u 收敛。

∑∞
=1
n n
u
绝对收敛，则
∑∞
=1
n
n u 收敛。

其他级数：二、 函数项级数（幂级数：
∑∞
=0
n
n n x a ）
1、
2、
和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项
积分.(R 不变,收敛域可能变化). 3、
泰勒级数：n n n x x n x f x f )(!)()(00
0)(-=
∑∞
=⇔0)(!)1()(lim )(lim 10)
1(=-+=++∞→∞→n n n n n x x n f x R ξ。