2014年山东省烟台市高考数学二模试卷(文科)

2014年山东省烟台市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设复数z=1+（其中i为虚数单位），则z+3的虚部为（）A.4iB.4C.-4iD.-4【答案】B【解析】解：∵z=1+，∴．则=．即的虚部为：4．故选：B．由复数z求出z的共轭复数，然后代入z+3化简求值即可得到答案．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础的计算题．2.（0≤a≤2）的最大值为（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】解；=显然当a=时取最大值，最大值为，故选：C．直接利用配方法求出函数的最值．本题属于求表达式的最值问题，利用配方法求最值是众多方法之一，本题是一道基础题．3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件．因为x=-1⇒x2-5x-6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=-1⇒x2-5x-6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．4.已知α∈（，π），sin（α+）=，则sinα=（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】解：∵α∈（，π），sin（α+）=，∴α+∈（，π），∴cos（α+）=-，∴sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin=+=，故选：B．根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（α+）的值，再根据sinα=sin[（α+）-]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．5.已知向量=（x-1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A.2B.C.6D.9【答案】C【解析】解：∵⊥，∴（x-1，2）•（4，y）=0，化为4（x-1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，当且仅当2x=y=1时取等号．故选C．由于⊥⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．本题考查了⊥⇔=0、基本不等式的性质，属于基础题．6.若双曲线C：4x2-y2=λ（λ＞0）与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，且|AB|=2，则λ的值是（）A.1B.2C.4D.13【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，代入双曲线C：4x2-y2=λ，可得y=±，∵|AB|=2，∴2=2，∴λ=1．故选：A．求出抛物线y2=4x的准线方程为x=1，代入双曲线，求出A，B两点的纵坐标，利用|AB|=2，即可求出λ的值．本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．根据上表可得回归方程，据此模型预报当x为5时，y的值为（）A.6.9 B.7.1 C.7.04 D.7.2【答案】B【解析】解：由题意，==2.5，==4.5∵回归方程=1.04x+，∴4.5=1.04×2.5+，∴=1.9∴=1.04x+1.9，∴当x=5时，=1.04×5+1.9=7.1故选：B．确定样本中心点，利用回归方程=1.04x+，求出，即可求得回归方程，从而可预报x为5时，y的值．本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8.已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=-ln（1-x），函数f（2-x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）＞，若A.（-2，1）B. ，，，C.（-1，2）D.，，，【答案】A【解析】解：∵奇函数g（x）满足当x＜0时，g（x）=-ln（1-x），∴当x＞0时，g（-x）=-ln（1+x）=-g（x），得当x＞0时，g（x）=-g（-x）=ln（1+x）∴f（x）的表达式为＞，∵y=x3是（- ，0）上的增函数，y=ln（1+x）是（0，+ ）上的增函数，∴f（x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（2-x2）＞f（x）等价于2-x2＞x，解之得-2＜x＜1故选A根据奇函数g（x）当x＜0时g（x）=-ln（1-x），可得当x＞0时，g（x）=ln（1+x）．结合f（x）表达式可得f（x）在其定义域上是增函数，得f（2-x2）＞f（x）等价于2-x2＞x，解之即得本题答案．本题给出分段函数，要我们解关于x的不等式，着重考查了基本初等函数的单调性和函数的奇偶性等知识，属于中档题．9.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】解：由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为2的四棱锥．因此该几何体的体积==．故选B．由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为2的四棱锥．据此可求出该几何体的体积．本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．10.设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S=|x|f（x）=0，x∈R|，T=|x|g（x）=0，x∈R|，若card S，card T分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.card S=1，card T=0B.card S=1，card T=1C.card S=2，card T=2D.card S=2，card T=3【答案】D【解析】解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=-a当b2-4c=0时，f（x）=0还有一根只要b≠2a，f（x）=0就有2个根；当b=2a，f（x）=0是一个根当b2-4c＜0时，f（x）=0只有一个根；当b2-4c＞0时，f（x）=0只有二个根或三个根当a=b=c=0时card S=1，card T=0当a＞0，b=0，c＞0时，card S=1且card T=1当a=c=1，b=-2时，有card S=2且card T=2故选D．根据函数f（x）的解析可知f（x）=0时至少有一个根x=-a，然后讨论△=b2-4c可得根的个数，从而得到g（x）=0的根的个数，即可得到正确选项．本题主要考查了方程根的个数，同时考查了元素与集合的关系，分类讨论是解题的关键，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为______ ．【答案】4【解析】解：当P=1时，S=1+；当P=2时，S=1++；当P=3时，S=1+++；当P=4时，S=1++++=；不满足S≤2，退出循环．则输出P的值为4故答案为：4．由已知中的程序框图及已知中输入2，可得：进入循环的条件为S≤2，即P=1，2，3，4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的P值．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．12.如图，目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB（含边界）．若点C（3，2）是该目标函数取最小值时的最优解，则a的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：由可行域可知，直线AC的斜率K AC==-2直线BC的斜率K BC==-，当直线z=ax-y的斜率介于AC与BC之间时，C是该目标函数z=ax-y的最优解，所以a∈[-2，-]故答案为：-2根据约束条件对应的可行域，利用几何意义求最值，z=ax-y表示直线在y轴上的截距的相反数，结合图象可求a的范围本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于基础题．13.在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为______ ．【答案】10【解析】解：圆x2+y2-2x-6y=0即（x-1）2+（y-3）2=10表示以M（1，3）为圆心，以为半径的圆．由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，AC的长为2．∵点E（0，1），∴ME==．弦长BD最短时，弦BD和ME垂直，且经过点E，此时，BD=2=2=2．故四边形ABCD的面积为=10，故答案为10．根据圆的标准方程求出圆心M的坐标和半径，最长的弦即圆的直径，故AC的长为2，最短的弦BD和ME垂直，且经过点E，由弦长公式求出BD的值，再由ABCD的面积为求出结果．本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，弦长公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14.一艘海轮从A处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行．30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是______ ．【答案】海里【解析】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=10，从而∠ACB=45°．°=海里．在△ABC中，由正弦定理可得BC=°故答案为：海里．先根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，最后根据正弦定理可得到BC的值．本题主要考查正弦定理的应用，考查对基础知识的掌握程度，属于中档题．15.已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点；④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4．其中正确命题的序号是______ （写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】解：①由图象得：f（0），f（4）是极大值，而f（2）是极小值，f（-1），f（5）是端点值，∴最大值在f（0），f（4），f（-1）中取，最小值在f（2），f（5）中取；结合表格得：①正确．②由图象得：在[0，2]上，f′（x）＜0，∴f（x）是减函数，故②正确．③画出函数y=f（x）-a的草图，可以发现，当a=1.5时，有三个零点，当a=2时有两个零点，当1.5＜a＜2时，有4个零点，故③正确．④由图象得函数f（x）的定义域[-1，5]，f（x）的最大值是2，t的最大值是5．故答案为：①②③．通过函数的图象，再结合表格可直接读出．本题考察了函数的单调性，极值，导数的应用，以及读图的能力．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某数学兴趣小组有男女生各5名．以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知男生数据的中位数为125，女生数据的平均数为126.8．（1）求x，y的值；（2）现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率．【答案】解：（1）男生成绩为119，122，120+x，134，137，其中位数为125，故x=5．…（3分）女生成绩为119，125，120+y，128，134，平均数为126.8=，解之得y=8…（6分）（2）设成绩高于125的男生分别为a1、a2，记a1=134，a2=137，设成绩高于125的女生分别为b1、b2、b3，记b1=128，b2=128，b3=134，从高于12（5分）同学中取两人的所有取法：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10种，…（8分）其中恰好为一男一女的取法：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6种，…（10分）∵故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率为．…（12分）【解析】（1）由已知中男生数据的中位数为125，可知120+x=125，由女生数据的平均数为126.8，可知126.8=，解方程可得x，y的值；（2）分别计算从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学的取法种数，和抽取的两名同学恰好为一男一女的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．17.设函数f（x）=sin（2ωx+）+2sin2ωx（ω＞0），其图象的两个相邻对称中心的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC的内角为A，B，C，所对的边分别为a，b，c（其中b＜c），且f（A）=2，a=，△ABC面积为，求b，c的值．【答案】解：（1）==…（3分）由题意知T=π，∴，ω=1，∴函数的解析式为：…（6分）（2）由f（A）=2，得，0＜A＜π，∴，∴即bc=6，…（8分）又a2=b2+c2-2bccos A，将，代入得b2+c2=13，…（10分）又b＜c解得…（12分）【解析】（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，图象的两个相邻对称中心的距离为．求出函数的周期，然后求函数f（x）的解析式；（2）利用解析式通过f（A）=2，求出A，通过a=，△ABC面积为，以及余弦定理即可求b，c的值．本题考查两角和与差的三角函数，函数的解析式的求法，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18.如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：PC⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥V B-MAC的体积．【答案】（I）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，∴PC⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴PC⊥AC．（II）解：∵PC⊥平面ABC，PC⊂平面PCBM，∴平面PCBM⊥平面ABC，如图，在平面ABC中过A作AD垂直于BC的延长线与D，则AD⊥平面PCBM，则AD为三棱锥A-MBC的高，∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，在直角三角形ADC中，AD=AC sin60°=1×．又S△BMC=S四边形PCBM-S△MPC=（PM+BC）•PC-PM•PC=（1+2）×1-×1×1=1∴V B-MAC=V A-MBC==∴三棱锥B-MAC的体积为．【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC；（Ⅱ）由PC⊥平面ABC，根据面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM，再由两面垂直的性质定理可得三棱锥A-MBC的高，解直角三角形求出三棱锥A-MBC的高，则体积可求．本题主要考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，考查三棱锥B-MAC的体积的计算，考查考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．19.在数列{a n}中，已知a1=，，b n+2=3a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和S n．【答案】解：（1）∵a1=，，∴数列{a n}是公比为的等比数列，∴，又，故b n=3n-2（n∈N*）．（2）由（1）知，，，∴，，∴，于是．两式相减，得=．∴【解析】（1）由条件建立方程组即可求出数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）根据错位相减法即可求{c n}的前n项和S n．本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力．20.已知向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（-）=0．（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）由题意向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（-）=0，∴，化简得，∴Q点的轨迹C的方程为．…（4分）（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…（6分）（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则，从而，，…（8分）又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．则，即2m=3k2+1，②将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得＞，解得＞，故所求的m的取值范围是（，2）．…（10分）（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得-1＜m＜1．…（12分）综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），当k=0时，m的取值范围是（-1，1）．…（13分）【解析】（1）利用向量的数量积公式，结合（+）•（-）=0，即可求点Q（x，y）的轨迹C的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，设弦MN的中点为P，利用|AM|=|AN|，AP⊥MN，即可求出实数m的取值范围．本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2-lnx，∴f′（x）=2x-，∴g′（1）=1，又f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．（II）′在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax-1，有得，得（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，′=①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），②当＜＜时，g（x）在，上单调递减，在，上单调递增∴，a=e2，满足条件．③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．【解析】（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．（III）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。