大学物理运动学
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大学物理(运动学)
| v t | at | at | lim t 0 t 2 dv v d s lim 2 t 0 t dt dt 2 dv d s at 2 dt dt
o
R
A (t )
at
v A
E v D v B v n v A
v t F
v v x i v y j v z k a a x i a y j az k
自 由 落 体 运 动 匀速直线运动
（1）平抛运动
x v0 t v v x i v y j v 0 gt
1 2 y gt 2
v v 0 ( gt )
8
（2）v—t曲线
t o 1t v dv t lim t t t 0t dt a 2 t 0 t dt 小阴影部分面积: vdt 表示dt时间的位移 t t t 纵坐标与曲线所围面积的代数和： vdt t
2
v 割线的斜率： t
切线的斜率：
v v v
Q
av
19
1.7 相对运动
B
地 A P
车
rA对 地 N r A对B M rB对 地
(1) 是同一质点同一 运动相对两个作平动 的参照系的变换关系 (2) 是经典力学变换 又称伽利略变换 (3) 位移变换对任何 情况都适用,其它两种 变换仅适用低速,对高 速情况不再成立 20
rA对 地 rA对B rB对 地
P
t
v
1、 2
t1到t2这段时间内的位移
1
t1、t2纵坐标与曲线所围面积之和：
t1
t0
vdt vdt
t0
大学物理学运动学
k
j i
第一章 质点运动学
矢积的坐标分量式
A B ( Axi Ay j Azk )(Bxi By j Bzk )
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
矢量叉乘可以写成行列式
位移：
o
A
rA
s
r
rB
t 时间内，位矢的变化量（即
A到B的有向线段），用
r
x
表示。
r rB rA AB
位移是矢量
路程：t时间内质点通过的路程是AB弧的长度 s
s AB弧长 路程是标量
注意
r s
B y
第一章 质点运动学
在直角坐标系中
正交分解
平面矢量的分解
第一章 质点运动学
A Axi Ay j Acosi Asinj
y
Ay
A
A 的大小 A 的方向
A Ax2 Ay2
tan Ay
o
Ax x
Ax
空间矢量的分解
z
c
A op oc oa ob oc
Axi Ay j Azk A 的大小
2
（2） r
2 2i 19 2 22 j 4i 11 j
v
dt r2
2i
4t
j
dt
v
2i
8
j
m/s
t2
大学物理-运动学
x
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形 象，有很广泛的应用。
M M0
A
ω
ωt
O
φ x P
X
M
A
P x
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
第五节 抛体运动
第五节
抛体运动
将一质点以仰角θ抛射出 去，其初 速度为 v0，不计 空气阻力，此质点有一垂直 向下的恒加速度 g，研究质 点的运动情况。 解: 设 x 轴平行于水平面，
y 轴垂直向上，质点在 t = 0 时位于原点被抛出。 v0 在X轴和Y轴上的投影分别是 V0x=V0cosθ, V0y=V0sinθ 物体的加速度为: a = g = -g j 在水平方向加速度分量为零，物体作匀速运动，在垂 直方向加速度分量为-g 物体作垂直上抛运动, 因此 Vx=V0cosθ , Vy=V0sinθ - g t
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步
0
A1 A2
相位差的问题 x 1= A cos( t +φ 1 ) ω x 2 = A cos ( t +φ 2 ) ω 若周相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步 若周相差Δ Φ = π 称两振动反相
大 学 物 理 质点运动学
dr
dx
i
dy
j 3i 8tj (m/s)
dt dt dt
（3）由加速度的定义得
a
d
8 j (m/s2 )
dt
x
22
例2: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长 s按s＝t＋2t2的规律变化。问它在2 s末的速率、法向 加速度和切向加速度各是多少？
解 （1）由速率定义，有 ds 1 4t dt
小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道
的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
2 0
g 2t 2
g2t
02 g2t 2
an θ
x= 0
θ
a
y=gt
an
g cos
gx
g
an
g0 02 g2t 2
2
2 x
2 y
(02
g 2t 2 )3 / 2
an
an
g0
21
§1.4 运动学中的两类问题
r
Ｃ
Ｂ
r
r2
Ｏ
位置矢量的增量 ◆位矢增量的模 ◆位矢模的增量
r r2 r1 | r|| r2 r1 | r | r2 | | r1 |
位移在直角坐标系中的表示式
r
xi
yj
zk
9
路程 s t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离。
注意
• s与 r的区别
s为标量, r为矢量
s r
d
s
dr
将t ＝2代入上式，得2 s末的速率为
＝1＋4×2＝9 (m·s-1)
（2）法向加速度的大小 （3）切向加速度的大小
大学物理-运动学
A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡 位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分 之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： Δ φ = ω Δ t ω=2π/ T Δt=Δφ/ω = (π /6)/(2 π / T) A A/2 π /6 =Δ φ = T/12 O X 答案 （B）
的速率为 –v0
r = r=
1-7 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从 同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行 驶的距离 x （m）与行驶时间 t （s）的函数关系式 ：A为 xA=4t+t2 ，B为 xB =2t2 +2t3 ，试问： （1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？ （2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同 ？ （3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零 ？ 解：（1）时间从 0 到 △t→0 ，x = 0+ △x = v △t xA（ △t ）= vA |t=0 △t = 4 △t xB（ △t ）= vB |t=0 △t = 0 △t = 0 所以，A 车行驶在前面。
1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程 的关系为： v = 1 + S2 （m/s） 试求： 切向加速度 at 用路程 S 来表示的表 达式。 解： a t = dv / dt = 2SdS / dt = 2Sv = 2S（1 + S2 ） （m/s2）
1-16 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m 。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程 和速度。 Y 解：设某一时刻梯子的位置如图 y A 由几何关系得：x2 = L 2 - y2 L 因为 A点匀速下滑，所以 B y = yo -vot = 4 - 2t X O x 2 =L2 - y2 = 52 -（4 - 2t）2 故：x （1）运动方程：x2 = 9 + 16t - 4t2 (m) （2）两边对时间求导：2xdx/dt = 16 - 8t vx = dx/dt =（8 - 4t）/x =（8 - 4t）/（9 + 16t - 4t2）1/2 (m/s)
大学物理第1章-质点运动学
x2 x1 x2 = l h
(h l)x2 = hx1
h l
解题思路 1. 写出几何长度关系 写出几何长度关系; 2. 确定变量 确定变量; 两边求导： 两边求导： 3. 写出求导关系式 写出求导关系式; 4. 明确求导物理意义 明确求导物理意义;
dx2 dx1 o x1 x2 x (h l) =h dt dt dx2 dx1 hv0 其中： =v , = v0 v = dt dt h l
瞬时速率： 瞬时速率：
s ds v = lim = t dt t →0
v r
B
一般情况： 一般情况： 当t→0时： → 时
v v r ≠ s 因此 v ≠ v
v v v r → dr = ds 则 v = v
1-2-4 加速度
加速度是反映速度变化的物理量 v t1时刻，质点速为 v1 时刻， v t2时刻，质点速度为 v2 时刻， t 时间内，速度增量为： 时间内，速度增量为：
大学物理学教案
第一章
质点运动学
机械运动
一个物体相对于另一个物体的空间位置 随时间发生变化； 随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相 对于其另一部分的位置随时间而发生变化的 运动。 运动。
力学
研究物体机械运动及其规律的学科。 研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学： 运动学：
研究物体在空间的位置随时间的变化规 律以及运动的轨道问题， 律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发 生机械运动的变化原因。 生机械运动的变化原因。
v tv ∫v dr = ∫ vdt
r0 t0
v0 v r
t0
匀加速运动
dv = adt ,
∫
v
v0
dv = ∫ adt
大学物理运动学
炮弹射击角度计算
炮弹射击时，需要考虑重力、空气阻力等因素对炮弹运动的影响，通过将炮弹的运动分解为水平方向和垂直方向的直线运动，可以更精确地计算炮弹的落点位置。
运动的合成与分解的应用实例
THANKS
感谢您的观看。
速度是描述物体运动快慢和方向的物理量。
速度表示物体在单位时间内通过的位移量，可以用位移与时间的比值来计算。速度具有矢量性，包括大小和方向两个要素。
速度
详细描述
总结词
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
详细描述
加速度表示物体速度变化的快慢程度，可以用速度的变化量与时间的比值来计算。加速度的大小和方向可以分别表示速度大小的变化和速度方向的变化。
定理
匀速直线运动的公式和定理
在高速公路上行驶的汽车，其运动状态可以近似为匀速直线运动。
汽车行驶
火车在铁轨上行驶时，其运动状态也可以近似为匀速直线运动。
火车行驶
飞机在平流层飞行时，其运动状态可以近似为匀速直线运动。
飞机飞行
匀速直线运动的应用实例
03
CHAPTER
匀加速直线运动
总结词
匀加速直线运动是速度随时间均匀变化的直线运动，具有初速度、加速度和运动方向一致的特点。
详细描述
总结词
匀加速直线运动的应用实例包括自由落体运动、竖直上抛运动和汽车启动等。
详细描述
自由落体运动是地球上常见的一种匀加速直线运动，其加速度为地球的重力加速度。竖直上抛运动是物体在竖直方向上的匀加速直线运动，其加速度为负的地球重力加速度。在汽车启动时，由于汽车的发动机产生的牵引力逐渐增大，汽车做的是加速度逐渐增大的变加速直线运动，但通常可以近似为匀加速直线运动。这些实例表明匀加速直线运动在日常生活和工程应用中具有广泛的应用价值。
炮弹射击时，需要考虑重力、空气阻力等因素对炮弹运动的影响，通过将炮弹的运动分解为水平方向和垂直方向的直线运动，可以更精确地计算炮弹的落点位置。
运动的合成与分解的应用实例
THANKS
感谢您的观看。
速度是描述物体运动快慢和方向的物理量。
速度表示物体在单位时间内通过的位移量，可以用位移与时间的比值来计算。速度具有矢量性，包括大小和方向两个要素。
速度
详细描述
总结词
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
详细描述
加速度表示物体速度变化的快慢程度，可以用速度的变化量与时间的比值来计算。加速度的大小和方向可以分别表示速度大小的变化和速度方向的变化。
定理
匀速直线运动的公式和定理
在高速公路上行驶的汽车，其运动状态可以近似为匀速直线运动。
汽车行驶
火车在铁轨上行驶时，其运动状态也可以近似为匀速直线运动。
火车行驶
飞机在平流层飞行时，其运动状态可以近似为匀速直线运动。
飞机飞行
匀速直线运动的应用实例
03
CHAPTER
匀加速直线运动
总结词
匀加速直线运动是速度随时间均匀变化的直线运动，具有初速度、加速度和运动方向一致的特点。
详细描述
总结词
匀加速直线运动的应用实例包括自由落体运动、竖直上抛运动和汽车启动等。
详细描述
自由落体运动是地球上常见的一种匀加速直线运动，其加速度为地球的重力加速度。竖直上抛运动是物体在竖直方向上的匀加速直线运动，其加速度为负的地球重力加速度。在汽车启动时，由于汽车的发动机产生的牵引力逐渐增大，汽车做的是加速度逐渐增大的变加速直线运动，但通常可以近似为匀加速直线运动。这些实例表明匀加速直线运动在日常生活和工程应用中具有广泛的应用价值。
大学物理_第一章运动学(1)直线运动
dx
α+
f x= dF x
dx
b
a
f
x dx=F
b
F
a
b xαdx= bα+ aα+
a
α+ α+
xαdx= xα+ C
α+
6.计算积分
b
+xdx
a
+xdx
f xdx=F x C
+x= dF x
dx
F x= +x/
b xdx= +b/ +a/
a
+xdx= +x/ C
az ax o
a
x
y
ay y
x轴单位矢量 为恒定单位矢量
di 0 dj 0 dk 0
a t ax ti ay t j+az t k
z
az
ka
axi o j
x
d dt
a
t
d dt
ax
t
i
d dt
ay
t
j
+
d dt
az
t
k
dax t i day t j+ daz t k
G Fr2 m1m2
[G] L3M1T2
量纲作用： 1) 可定出同一物理量不同单位间的换算关系; 2) 量纲可用来检验文字、公式推导结果的正误; 3) 从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位。 4) 从量纲分析有时还可以确定出物理规律(最多相差一 个无量纲的常数)。
注意： ✓ 只有量纲相同的物理量才可以相加减； ✓ 物理公式两端的量纲必相同；
某一物理量 A的量纲（常用 [A]表示）：
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1 R2 t = ∫R1 2πrNdr υ
R2
dr r R1
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9
01-4 01-
πN(R − R ) = υ 3.14 × 650 × (562 − 22 2 ) = = 4163.6(s) 3 1.3 × 10 ≈ 69.4min
2 2 2 1
(2)角速度 (2)角速度
1 .3 ω≈ = = 26(rad/s) −2 r 5.0 × 10
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10
υ
01-4 01角加速度
υ +υτ =υ
2 n 2
2
ω 2 2 2 ( ) + (ωr) =υ 2πN
两边对时间求导
1 N ) 2 + (ωr ) 2 = υ 2 ( 2π
ω
1 2 dω 2 dω 2 dr ( ) 2ω + 2ωr + 2 rω =0 2πN dt dt dt
l
h
dl =− 0 υ dt
2 2
x
x
o
由图中几何关系
x = l −h dx l dl 船的速率 υx = = 2 2 dt l − h dt
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7
01-3 012 2 l h +x = 2 (−υ 0 ) = (− 0 ) υ 2 x l −h
船的加速度大小
dυx ax = =− dt
υ′sinα = υ ′ sin 15° υy =υ′cosα −υ = υ ′ cos15° − υ
船到达对岸要花的时间
y
l
α
o
υ
υ′
l 1000 t= = = υx υ ′ sin 15° 1.5 sin 15° 3 ≈ 2.6×10 (s)
船到达对岸时， 船到达对岸时，在下游的坐标
r r r r r 2 r = xi + yj = (3t + 5)i + (0.5t + 3t + 4) j
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5
01-2 01(2)质点的速度 (2)质点的速度
dy dx υy = = t + 3 υx = = 3 dt dt r r r r r υ =υxi +υy j = 3i + (t + 3) j
υ = Rω = Rkt 2 = 1× kt 2 υ 16
k= t
2
2 2 P点的速率 υ = 4t 点的速率
=
2
=4
P点的切向加速度大小 点的切向加速度大小
dυ aτ = = 8t dt
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13
01-5 01P点的法向加速度大小 点的法向加速度大小
( 4t ) 4 an = = =16t R 1
当x=s时 时
2
h
2
2
(l − h )
2
h 2 υ 3 (υ 0 ) = − 3 ( 0 ) x 2
2
2
h +s υx = − (υ0 ) s
2
h 2 ax = − 3 (υ0 ) s
完
2
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8
01-4 01一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径R (CD)音轨区域的内半径 4． 一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径 1=2.2cm， ， 外半径R 外半径 2=5.6cm（ 如图所示 ） ， 径向音轨密度 （ 如图所示） 径向音轨密度N=650 唱机内， 条 /mm。在 CD唱机内， 光盘每转一圈，激光头沿径向 。 CD唱机内 光盘每转一圈， 向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以υ=1.3m/s的 向外移动一条音轨， 激光束相对光盘是以υ 的 恒定线速度运动的。 恒定线速度运动的。 这张光盘的全部放音时间是多长？ （1）这张光盘的全部放音时间是多长？ 激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的角 处时， （ 2）激光束到达离盘心 处时 速度和角加速度各是多少？ 速度和角加速度各是多少？ 解：(1)
∆x x ( 2) − x (0) (4 × 2 − 2 × 23 ) − 0 υx = = = ∆t ∆t 2 = −4(m ) /s
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1
01-1 01质点的瞬时速度
dx 2 υx = = 4 − 6t dt
2s末的瞬时速度 末的瞬时速度
υx (2) = 4 − 6 × 22 = −20(m ) /s
质点的4s时的速度 质点的 时的速度
r r r r r υ(4) = 3i + (4 + 3) j = 3i + 7 j
2 2
/s υ = υx +υy = 3 + 7 = 58 ≈ 7.6(m ) −1 υy −1 7 速度与x方向的夹角 速度与 方向的夹角 α = tg = tg ≈ 66.8° 完 υx 3
t=1时 时
υ
2
2 2
υ = 4t = 4 × 1 = 4(m ) /s 2 aτ = 8t = 8(m/s )
2 2
an = 16t = 16 × 1 =16(m/s )
4 4
2
a = aτ + an = 16 + 8 = 8 5 ≈17.9(m/s )
2 2 2 2
2
完
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14
01-6 01设河面宽l=1km，河水由北向南流动，流速υ=2m/s， 6．设河面宽 ，河水由北向南流动， ， 的速率从西岸驶向东岸。 有一船相对于河水以υ′=1.5m/s的速率从西岸驶向东岸。 的速率从西岸驶向东岸 (1)如果船头与正北方向成α=15°角，船到达对岸要花 ° 多少时间？到达对岸时，船在下游何处？ 多少时间？到达对岸时，船在下游何处？ 如果要使船相对于岸走过的路程为最短， (2) 如果要使船相对于岸走过的路程为最短 ， 船头与 河岸的夹角为多大？到达对岸时，船又在下游何处？ 河岸的夹角为多大？到达对岸时，船又在下游何处？ 要花多少时间？ 要花多少时间？ 解：建立如图所示的坐标系 (1)船的速度分量 (1)船的速度分量
3
= −875(m)
完
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19
2 2 前页 后页 目录
6
01-3 01在离水面高度为h的岸边 有人用绳子拉船靠岸， 的岸边， 3．在离水面高度为 的岸边，有人用绳子拉船靠岸， 船在离岸边s距离处 距离处， 匀速收绳时， 船在离岸边 距离处，当人以速率υ0匀速收绳时，试求 船的速率和加速度大小。 船的速率和加速度大小。 y
υ0
解：建立如图所示的坐标系 根据题意
(3)1s末到 末的平均加速度 (3) 末到3s末的平均加速度 末到
∆υx υ x (3) − υ x (1) ax = = ∆t ∆t 2 2 (4 − 6 × 3 ) − (4 − 6 × 1 ) 2 = = −24(m/s ) 2
不能用a=(a1+a2)/2计算 不能用 计算
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3
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−3
完 12
01-5 01质点P在水平面内沿一半径为 在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动 ， 的圆轨道转动， 5 ． 质点 在水平面内沿一半径为 的圆轨道转动 与时间t的函数关系为 已知t=2s 转动的角速度 ω与时间 的函数关系为ω=kt2，已知 质点P的速率为 的速率为16m/s， 试求 时 ， 质点 的速率为 ， 试求t=1s时 ， 质点 的速 时 质点P的速 率与加速度的大小。 率与加速度的大小。 解：由线速度公式
01-1 01一质点沿x轴运动 轴运动， 1. 一质点沿 轴运动，坐标与时间的变化关系为 x=4t-2t 3(SI制)，试计算 制 在最初2s内的平均速度 内的平均速度， 末的瞬时速度 末的瞬时速度； (1)在最初 内的平均速度，2s末的瞬时速度； (2)1s末到 末的位移和平均速度； 末到3s末的位移和平均速度； 末到 末的位移和平均速度 末到3s末的平均加速度 (3)1s末到 末的平均加速度。此平均加速度是否可以 末到 末的平均加速度。 计算； 用a=(a1+a2)/2计算； 计算 末的瞬时加速度。 (4)3s末的瞬时加速度。 末的瞬时加速度 (1)最初 最初2s内的平均速度 解：(1)最初 内的平均速度
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18
01-6 01船到达对岸要花的时间
l 1000 3 t= = = ≈1.0×10 (s) υx υ ′ sin α 1.5 × sin 41.4°
船到达对岸时， 船到达对岸时，在下游的坐标
l
y =υyt = (υ ′ cos 41.4° − υ )t
= (1.5 × cos 41.4° − 2) × 1.0 × 10
l
x
y =υyt = (υ ′ cos15° − υ )t 3 3 = (1.5 × cos15° − 2) × 2.6 × 10 = −1.4×10 (m)
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16
01-6 01(2)船的速度分量 (2)船的速度分量
υx =υ′sinα υy =υ′cosα −υ
船的运动方程
x =υxt = υ ′ sin α t y =υyt = (υ ′ cos α − υ )t
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11
01-4 01-
1 2 dω 2 dω 2 ω ( ) 2ω + 2ωr + 2 rω =0 2πN dt dt 2πN
ω rω dω ≈− =− 1 2 2 2πNr dt 2πN[( ) +r ] 2πN 2 26 =− 2π × 6500 × 5.0
2
2
≈ −3.31×10 (rad/s)
01-1 01(4)质点的瞬时加速度 (4)质点的瞬时加速度
dυx ax = = −12t dt
3s末的瞬时加速度 末的瞬时加速度