2018高一数学滚动练习50-普通用卷(1)

2018宁海中学高一数学滚动练习50期末复习题号 一 二 总分 得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−1，0，1}，B ={0，1，2}，则A ∩B = ______ ．2. 已知f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=x +1，则f(−1)= ______ ．3. 若tanα=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于______ ． 4. 已知A(−3，4)、B(5，−2)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 5. 函数y =e 2x −1的零点是______ ．6. 把函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象上所有点向右平移π3个单位，所得函数图象所对应的解析式为______ ． 7. 若函数f(x)={(14)x ，x ∈[−2017，0)4x，x ∈[0，2017]，则f(log 23)= ______ ．8. 函数y =sin(2x −π4)的单调递增区间为______ ．9. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +p b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −2b ⃗ ，若A 、B 、D 三点共线，则实数P 的值是______ ． 10. 若cos2αsin(α−π4)=−√22，则sin2α的值为______ ． 11. f(x)=x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是______ ．12. 如图，O 是坐标原点，M 、N 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的范围为______ ．13. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若sinθ=14，则折痕l 的长度= ______ cm ．14. 函数f(x)=bx+cax 2+1(a ，b ，c ∈R)是奇函数，且f(−2)≤f(x)≤f(2)，则a = ______ ．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知a⃗=(1，2)，b⃗ =(−3，1)．(Ⅰ)求a⃗−2b⃗ ；(Ⅱ)设a⃗，b⃗ 的夹角为θ，求cosθ的值；(Ⅲ)若向量a⃗+k b⃗ 与a⃗−k b⃗ 互相垂直，求k的值．16.已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．(I)求tan2β的值；(II)求α的值．17.已知函数f(x)满足f(x+1)=lg(2+x)−lg(−x)．(1)求函数f(x)的解析式及定义域；(2)解不等式f(x)<1；(3)判断并证明f(x)的单调性．18.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价−成本)19. 如图1，在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点D 是BC 的中点． (I)求证：AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗2； (II)直线l 过点D 且垂直于BC ，E 为l 上任意一点，求证：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )为常数，并求该常数；(III)如图2，若cos =34，F 为线段AD 上的任意一点，求AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的范围．20. 已知g(x)=x 2−2ax +1在区间[1，3]上的值域[0，4]．(1)求a 的值；(2)若不等式g(2x )−k ⋅4x ≥0在x ∈[1，+∞)上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数y =g(|2x −1|)|2x −1|+k ⋅2|2x −1|−3k 有三个零点，求实数k 的取值范围．答案和解析【答案】1. {0，1}2. 23. 13 4. 10 5. 06. y =sin(2x −2π3) 7. 98. (−π8+kπ，3π8+kπ) ，(k ∈Z)9. −1 10. −3411. (−∞，−√2]∪[√2，+∞) 12. [0．√2) 13. 645 14. 1415. 解：(Ⅰ)a ⃗ −2b ⃗ =(1，2)−2(−3，1)=(1+6，2−2)=(7，0)．(Ⅱ)cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|b⃗ |=√1+(−3)2√22+1=−√210． (Ⅲ)因为向量a ⃗ +k b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 互相垂直，所以，(a ⃗ +k b ⃗ )⋅(a ⃗ −k b ⃗ )=0，即a ⃗ 2−k 2b⃗ 2=0 因为a ⃗ 2=5，b ⃗ 2=10，所以，5−10k 2=0，解得k =±√22．16. (本题满分为14分)解：(I)∵β∈(π2，π)，cosβ=−13，可得：sinβ=√1−cos 2β=2√23，…2分∴tanβ=sinβcosβ=2√23−13=−2√2，…4分∴tan2β=2tanβ1−tan 2β=4√27…7分 (II)∵α∈(0，π2)，β∈(π2，π)， ∴α+β∈(π2，3π2)，又∵sin(α+β)=4−√26，∴cos(α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−4+√26，…9分∴cosα=cos(α+β−β)=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=(4+√26)×(−13)+2√23×(4−√26)=√22， ∵α∈(0，π2)，∴α=π4.…14分17. 解：(1)f(x +1)=lg(2+x)−lg(−x)，可令t =x +1，则x =t −1，可得f(t)=lg(1+t)−lg(1−t)， 即有f(x)=lg(1+x)−lg(1−x)，由1+x >0且1−x >0，解得−1<x <1， 则函数f(x)的定义域为(−1，1)；(2)由f(x)<1即lg(1+x)−lg(1−x)<1， 即为lg(1+x)<lg10(1−x)， 可得0<1+x <10(1−x)， 解得−1<x <911，则不等式的解集为(−1，911)；(3)证明：f(x)在(−1，1)上为增函数．理由：设−1<m <n <1，则f(m)−f(n)=lg(1+m)−lg(1−m)−[lg(1+n)−lg(1−n)]=lg 1+m1−m −lg 1+n1−n =lg 1+m1−m ⋅1−n1+n =lg 1+m1+n ⋅1−n1−m ，由于−1<m <n <1，可得1−m >1−n >0，1+n >1+m >0， 可得0<1+m 1+n <1，0<1−n 1−m<1，则0<1+m 1+n ⋅1−n1−m <1，即有lg 1+m1+n ⋅1−n1−m <0，则f(m)−f(n)<0，即f(m)<f(n)， 故f(x)在(−1，1)上为增函数．18. 解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个， 则x 0=100+60−510.02=550(个)因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元.…(2分) (2 )当0≤x ≤100时，p =60；…(3分)当100<x <550时，p =60−0.02(x −100)=62−x50；…(4分) 当x ≥550时，p =51.…(5分)所以p ={60(0<x ≤100)62−x50(100<x <550)51(x ≥550)(x ∈N ∗)…(6分)(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L =(p −40)x ={20x(0<x ≤100)22x −x 250(100<x <550)(x ∈N ∗)11x(x ≥550)…(9分) 当0<x ≤100时，L ≤2000；…(10分)当x ≥500时，L ≥6050；…(11分) 当100<x <550时，L =22x −x 250．由{22x −x 250=6000100<x <550，解得x =500． 答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元.…(13分) 19. (I)证明：延长AD 到A 1使得AD =DA 1，连接CA 1，A 1B ，∵D 是BC 的中点，∴四边形ACA 1B 是平行四边形，∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2；(II)证明：∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵DE ⊥BC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=32， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=32(III)解：△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，cosA =34，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗2，∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√4+2×2×1×34+1=√2， 同理FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 设|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2−x(0≤x ≤√2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2x(√2−x)≤2(x+√2−x 2)2=1，当且仅当x =√22时取等号， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC⃗⃗⃗⃗⃗ )∈(0，1]． 20. 解：(1)g(x)=x 2−2ax +1=(x −a)2+1−a 2在区间[1，3]上的值域[0，4]． 若1≤a ≤3时，g(x)的最小值为g(a)=1−a 2，由1−a 2=0，可得a =1(−1舍去)，g(x)=(x −1)2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]； 若a >3时，g(x)在[1，3]递减，g(x)的最小值为g(3)， 由g(3)=10−6a =0，解得a =53(舍去)；若a <1，则g(x)在[1，3]递增，g(x)的最小值为g(1)， 由g(1)=2−2a =0，解得a =1． 综上可得，a =1；(2)由g(2x )−k ⋅4x ≥0即(2x )2−2⋅2x +1−k ⋅4x ≥0， 化为k ≤(2−x )2−2⋅2−x +1，令t =2−x ，由x ≥1可得0<t ≤12，则k ≤t 2−2t +1，0<t ≤12，记ℎ(t)=t 2−2t +1，0<t ≤12，由单调递减，可得ℎ(t)的最小值为(12−1)2=14， 则k 的取值范围是k ≤14；(3)令y =0，可化为|2x −1|2−2⋅|2x −1|+1+2k −3k ⋅|2x −1|=0(|2x −1|≠0)有3个不同的实根． 令t =|2x −1|，则t >0，由2x −1>−1，当x <0时，t =|2x −1|=1−2x ，t ∈(0，1]且递减，当0<x <1时，t =|2x −1|=2x −1，t ∈(0，1)且递增，当x =1时，t =1.当x >1时，t =|2x −1|=2x −1，t ∈(1，+∞)且递增， t 2−(3k +2)t +1+2k =0有两个不同的实数解t 1，t 2，已知函数有3个零点等价为0<t 1<1，t 2>1或0<t 1<1，t 2=1，记m(t)=t 2−(3k +2)t +1+2k ，则{2k +1>0m(1)=−k <0或{ℎ(0)=2k +1>0ℎ(1)=−k =00<3k+22<1，解得k >0或k 无实数解，综上可得，k 的取值范围是(0，+∞)．【解析】1. 解：∵集合A ={−1，0，1}，B ={0，1，2}， ∴A ∩B ={0，1}． 故答案为：{0，1}． 利用交集的性质求解．本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 2. 解：∵f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=x +1， ∴当x <0时，f(x)=−x +1， ∴f(−1)=−(−1)+1=2． 故答案为：2．由题意得当x <0时，f(x)=−x +1，由此能求出f(−1)．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3. 解：tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=3−431+3×43=13，故答案为13．由正切的差角公式tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ解之即可． 本题考查正切的差角公式．4. 解：由题意A(−3，4)、B(5，−2)， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−3−5)2+(4+2)2=√100=10故答案为10由题意，已知A(−3，4)、B(5，−2)，将此两点坐标代入向量求模的公式，计算即可得到|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值本题考查平面向量坐标表示的运用，考查了向量模的坐标表示公式，解题的关键是熟练记忆求模公式，本题是基础概念考查题，向量基本题，求模公式虽简单，但其用途很大，是向量中重要公式，要准确掌握它的形式 5. 解：令y =0，即e 2x =1，解得：x =0， 故答案为：0．令y =0，求出x 的值，即函的零点即可．本题考查了解方程问题，考查函数的零点的定义，是一道基础题．6. 解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 12，得到y =sin2x ，再函数y =sin2x 的图象上所有点向右平移 π3个单位，得到y =sin[2(x −π3)]=sin(2x −2π3)对图象，∴所求函数的解析式为：y =sin(2x −2π3).故答案为：y =sin(2x −2π3).把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 12，得到y =sin2x ，再函数y =sinx 的图象上所有点向右平移 π3个单位，得到y =sin[2(x −π3)]，写出要求的结果．本题考查三角函数图形的变换，注意在图象平移时，要看清楚函数的解析式中x 的系数是不是1，若只考查图象变换，则一般先平移后伸缩． 7. 解：∵函数f(x)={(14)x ，x ∈[−2017，0)4x，x ∈[0，2017]， log 23>log 22=1，∴f(log 23)=4log 23=4log 49=9． 故答案为：9．由log 23>log 22=1，得到f(log 23)=4log 23，由此利用对数性质及运算法则能求出结果．本题考查数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8. 解：令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k ∈z ，求得kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈z ，故函数的增区间为(−π8+kπ，3π8+kπ) ，(k ∈Z)故答案为 (−π8+kπ，3π8+kπ) ，(k ∈Z)．令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k ∈z ，求得x 的范围，即可得到函数的增区间． 本题主要考查复合三角函数的单调性，属于中档题． 9. 解：∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −2b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b⃗ ， ∵A 、B 、D 三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2=2λ，p =−λ∴p =−1，故答案为：−1．要求三点共线问题，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判断，本题知道AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，要根据BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 算出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再用向量共线的充要条件． 本题考查三点共线问题，注意使用三点共线的充要条件，三点共线实质上就是两向量共线，容易出错的是向量共线的坐标形式．10. 解：∵cos2αsin(α−π4)=−√22，∵2cos2α=√2sin(π4−α)，∴2(cos 2α−sin 2α)=cosα−sinα， ∴cosα−sinα=0，或cosα+sinα=12， 平方可得1−sin2α=0，或1+sin2α=14， ∴sin2α=1，或sin2α=−34，∵若sin2α=1，则cos2α=0，代入原式可知应舍去， 故答案为：−34．由三角函数公式化简已知式子可得cosα−sinα=0或cosα+sinα=12，平方可得答案． 本题考查两角和与差的三角函数公式，二倍角公式的应用，属基础题． 11. 解：f(x)=x 2，x ∈[t ，t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)=f(√2x)在[t ，t +2]恒成立， 即|x +t|≥|√2x|在[t ，t +2]恒成立， 即：x ≤(1+√2)t 在[t ，t +2]恒成立， 或x ≤(1−√2)t 在[t ，t +2]恒成立， 解得：t ≥√2或t ≤−√2，故答案为：(−∞，−√2]∪[√2，+∞)．问题转化为|x +t|≥|√2x|在[t ，t +2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t 的不等式，求出t 的范围即可．本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．12. 解：设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈(π2，π]，则cosθ∈[−1，0)， |OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2cosθ∈[0，2) |OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的范围为：[0，√2)， 故答案为[0，√2).设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈(π2，π]，则cosθ∈[−1，0)，|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2cosθ即可． 本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．13. 解：由已知及对称性知，GF =BF =lcosθ，GE =BE =lsinθ，又∠GEA =∠GFB =2θ，∴AE =GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE +BE =lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l =6sinθ(1+cos2θ) =6sinθ(2−2sin 2θ)=614×[2−2×(14)2]=645．故答案为：645．根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，由AE+ BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6，求解即可．本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 解：∵函数f(x)=bx+cax2+1(a，b，c∈R)是奇函数且定义域内有0∴f(0)=0解得c=0，故f(x)=bxax2+1．x>0，a>0，f(x)=bxax2+1=bax+1x≤2√a=1x时取等号)∵f(−2)≤f(x)≤f(2)，∴2a=1a ，∴a=14．故答案为14．由f(0)=0可求c，根据f(−2)≤f(x)≤f(2)，利用基本不等式，即可得出结论．本题主要考查了奇函数性质的简单应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．15. (Ⅰ)利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．(Ⅱ)把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．(Ⅲ)因为向量a⃗+k b⃗ 与a⃗−k b⃗ 互相垂直，所以，它们的数量积等于0，解方程求得k的值．本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用．16. (I)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2β．(II)由已知可求范围α+β∈(π2，3π2)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+β)的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosα的值，结合范围α∈(0，π2)，可求α=π4．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17. (1)可令t=x+1，则x=t−1，代入可得f(t)，即f(x)的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；(2)运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；(3)f(x)在(−1，1)上为增函数.由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查不等式的解法，注意运用对数函数的单调性，同时考查运用定义法证明函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. (1)根据当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，可求得一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元；(2)函数为分段函数，当0≤x≤100时，p为出厂单价；当100<x<550时，p=60−0.02(x−100)=62−x50；当x≥550时，p=51，故可得结论；第11页，共11页 (3)根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价−成本，求出利润函数，利用利润为6000元，可求得结论．本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定分段函数模型．19. (I)延长AD 到A 1使得AD =DA 1，连接CA 1，A 1B ，证明四边形ACA 1B 是平行四边形，即可证明：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； (II)证明AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )为常数，并求该常数； (III)确定AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2x(√2−x)，利用基本不等式，求AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC⃗⃗⃗⃗⃗ )的范围． 本题考查平面向量知识的运用，考查向量数量积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20. (1)对g(x)配方，求出对称轴x =a ，讨论若1≤a ≤3时，若a >3时，若a <1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a 的值；(2)由题意可得(2x )2−2⋅2x +1−k ⋅4x ≥0，化为k ≤(2−x )2−2⋅2−x +1，令t =2−x ，求出t 的范围，求得右边函数的最小值即可得到k 的范围；(3)令y =0，可化为|2x −1|2−2⋅|2x −1|+1+2k −3k ⋅|2x −1|=0(|2x −1|≠0)有3个不同的实根.令t =|2x −1|，讨论t 的范围和单调性，t 2−(3k +2)t +1+2k =0有两个不同的实数解t 1，t 2，已知函数有3个零点等价为0<t 1<1，t 2>1或0<t 1<1，t 2=1，记m(t)=t 2−(3k +2)t +1+2k ，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得k 的范围．本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．。