5-1 弹簧振子和单摆的运动方程
专题 弹簧振子单摆《机械振动与波》要点
● 基础知识落实 ●1、弹簧振子： 2.单摆（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装臵.单摆是实际摆的理想化物理模型.（2）.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.②单摆的周期公式 π2 g lT =，由此式可知T ∝g1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.②测定重力加速度：由gl T π2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl .知识点一、弹簧振子：1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。
2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。
3、弹簧振子的周期：km T π2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。
② 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放臵的环境和放臵的方式无任何关系。
如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T ，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放臵、倾斜放臵还是竖直放臵；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T 。
第5章振动和波动习题解答
第5章 振动和波动5-1 一个弹簧振子 m=：0.5kg , k=50N ；'m ，振幅 A = 0.04m ，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力; (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。
频率、周期和初相。
A=0.04(m) 二 0.7(rad/s) 二-0.3(rad)⑷10.11(Hz) T 8.98(s)2 n、5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为1 R +k 2式中k 1,k 2分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量V max 二 A =10 0.04 = 0.4(m/s) a max 二 2A =102 0.04 =4(m/s 2) ⑵设 x =Acos(，t ：；；■『)，贝Ud x vA sin(，t 「)dtd 2xa一 dt 2--2Acos(「t 亠 ^ ) - - 2x当 x=0.02m 时，COS (；：, t :忙)=1/ 2, sin( t 「)= _、一3/2，所以 v ==0.2、.3 ==0.346(m/s) 2a = -2(m/s )F 二 ma = -1(N)n(3)作旋转矢量图，可知：2x =0. 0 4 c o st(1 0)25-2弹簧振子的运动方程为 x =0.04cos(0.7t -0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、严...U ・」|1岛解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。
设物体处在平衡位置时，弹簧 1的伸长量为Xg ,弹簧2的伸长量为x 20，则应有_ k ] X ]0 ■木2乂20 = 0当物体运动到平衡位置的位移为 X 处时，弹簧1的伸长量就为x 10 X ，弹簧2的伸长量就为X 20 -X ，所以物体所受的合外力为F - -k i (X io X )k 2(X 20 -x)- -(匕 k 2)x2d x (k i k 2)dt 2 m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为5-4如图所示，U 形管直径为d ,管内水银质量为 m ,密度为p 现使水银面作无阻尼 自由振动，求振动周期。
简谐运动典型实例的分析——弹簧振子与单摆
自 己凭 兴 趣 、 感 觉 去 写 还 不 能 让 学 生 把 字 写 好 ， 师 还 要 教 凭 老 给学 生 练 习 写 字 的 方 法 靖 江 城 东 小 学 朱 志 明 老 师 在谈 到 写字 教学 时说 ：凭 感 觉 来 写 ， 时 能 写 得 好 ． 时却 不 能 写好 ！ “ 有 有 上师 范 时 ， 练 字 就 是 这 样 ， 年 级 还 获 得 了一 等 奖 ， 、 年 级 却 我 一 二 三 什 么 奖也 没有 获得 ． 管 还 是 很 认 真 地 练 写 。 照 规 律 来 写 。 尽 按 写 好 就 有 了 自信 。 凭感 觉 来 写 ， 感 性 阶 段 ： 照规 律来 写 ， 上 是 按 就 升 到 了理 性 阶段 。 ” 就 是 说 ． 凭 感 觉 练 习写 字 是 不 行 的 。 也 仅 在 谈 到 写 字 教 学 时 ． 们 的 老 师 有 这 样 一 个 认 识 ． 写 得 我 字 好 是 天 赋 。这 话 有 一 定 的道 理 ， 不 是 真理 ． 正 能 把 字 写 好 ， 但 真 是 要 通 过 不 懈 的努 力 才 能 达 到 现 在 有 不 少 学 生 写 字 的姿 势 不 正 确 ． 字 时 ， 姿 不 正 ， 写 坐 握 笔 姿 势 不 正 确 ， 业 纸放 不 正 ， 的 字大 的 大 ， 的 小 ， 歪 扭 作 写 小 歪 扭 ， 蜒 起 伏 ， 难 看 。所 以 ， 们 低 年 级 的 老 师 一定 要 强 调 平 蜿 很 我 时写字 的习惯 。 求学生 写字时坐要 有坐势 ， 做 到 ： 正 、 要 要 头 肩 平 、 直 、 安 ； 做 到 “ 个 一 ” 即 身 体 离 桌 子 一 拳 ， 睛 离 桌 腰 足 要 三 ， 眼 面一尺 ， 指离笔尖一寸 。另外 。 要 做到写字时心无旁鹜 ， 手 还 心 中只 想 着 写 字 ． 千万 不 能 在 写 字 时 还 想 着 其 他 事 情 。 这些 要 求 不是 老 师 讲一 次 学 生 就 能 终 生 做 到 的 ． 在 学 生 作 业 时 反 复强 要 调 。 他 们 养 成 良好 的写 字 习 惯 。 了 良好 的 写 字 习惯 ． 有 可 让 有 才 能把 字 写好 。 老 师 是学 生学 习 的 榜 样 。小 学 生 的模 仿 能 力极 强 ． 生 喜 学 欢 模 仿 老 师 写 字 ， 师 的 字 写 得 好 坏 ． 接 影 响 到 学 生 的 字 写 老 直 得 好 坏 ． 别 是 低 年 级 的 语 文 老 师 ， 响 更 大 ， 学 如 漆 啊 ！低 特 影 幼 年 级 的 老 师 在 教 学 生 写 字 时 ． 从 简 单 的 笔 画 教 起 ． 简 单 的 要 从 间架 结 构 教 起 ， 多 作 示 范 。 学 生 学 有 榜 样 现 在 ， 堂 上 不 要 让 课 少 老师为 了让课 堂显 示 出完整性 ， 注重 阅读 、 析 、 只 分 口语 交 际 ． 忽 视 了 课 堂 上 的 写 字 教 学 ． 种 现 象 已 经 延 伸 到 了 低 年 而 这 级． 这种 现象 是 要 不得 的 《 习字 册 》 专 供 学 生 练 习写 字 用 的 ， 以我 们 老 师要 用好 是 所 《 习字 册 》 有 部 分 老 师 把 《 字册 》 的 写 字 练 习 当 做 是抄 写 字 。 习 上 词 的 练 习 ， 就 违 背 了 出一 本 《 字 册 》 初 衷 。我 们 要 还 原 它 这 习 的 本来 的 作 用— — 练 习 写 字 。 要 求 学 生 完成 这项 作 业 时 ． 做 到 要 忠 实 字 帖 ， 丝 不 苟 ； 偏 不 倚 ， 确 到位 。 前 先 读 一 读 范 字 ， 一 不 准 写 分 析 该 字 的笔 画 、 构 。 读 的 基 础 上 再 去 描 红 。 红 的时 候 想 结 在 描 想 事 前 自己 的分 析 是 否正 确 ， 后 再 临 写 ， 写 时要 把 读 、 最 临 临 的心 得 用 上 去 ， 万 不 能 应 付 差 事 ， 草 了事 。 就 不 能 达 到 练 千 草 那 习 的效 果 了 。 课 后 生 字 的学 习书 写 ． 能 达 到 练 字 的 目的 。 教 师 在 课 堂 也 上 要 舍得 花 时 间 去 进 行 写 字 教 学 ， 师 在 黑 板 上 要 范 写 ． 领 教 引 学 生 书 空 ． 导 学 生 描 红 ． 过 一 系 列 的 教 学 行 为 有 意 识 地 引 指 通
弹簧振子公式总结
弹簧振子公式总结弹簧振子的基本概念弹簧振子是一种简单的物理振动系统，由质点和与之相连的弹簧组成。
当质点在平衡位置附近发生微小位移时，弹簧会产生恢复力使质点回到平衡位置，从而形成振动。
弹簧振子的运动方程弹簧振子的运动方程可以用微分方程表示，一般形式为：m * x'' + c * x' + k * x = 0其中，m是质点的质量，x是质点的位移，c是阻尼系数，k是弹簧的劲度系数。
当阻尼系数为0时，弹簧振子为无阻尼振动；当阻尼系数小于临界阻尼时，弹簧振子为欠阻尼振动；当阻尼系数等于临界阻尼时，弹簧振子为临界阻尼振动；当阻尼系数大于临界阻尼时，弹簧振子为过阻尼振动。
弹簧振子的特征频率弹簧振子的特征频率是指弹簧振子在无阻尼情况下的固有频率。
特征频率可以通过振动系统的质量m和劲度系数k来计算，公式如下：f = 1 / (2 * π * √(k / m))其中，f表示特征频率，π表示圆周率。
弹簧振子的振幅和周期弹簧振子的振幅表示质点在振动过程中的最大位移。
振幅可以由振动系统的初始条件确定。
弹簧振子的周期表示质点完成一次完整振动所用的时间。
周期可以通过特征频率来计算，公式如下：T = 1 / f其中，T表示周期。
弹簧振子的相位弹簧振子的相位表示质点振动的状态或相对于其他物体振动的状态。
相位可以用角度或时间表示。
弹簧振子的相位差可以通过质点的位移和速度来计算，公式如下：φ = arc tan (x / (λ * v))其中，φ表示相位差，x表示位移，v表示速度，λ表示波长。
弹簧振子的能量弹簧振子的能量可以分为动能和势能。
弹簧振子的动能可以由质点的质量和速度计算，公式如下：K = (1/2) * m * v^2弹簧振子的势能可以由弹簧的劲度系数和质点的位移计算，公式如下：U = (1/2) * k * x^2总能量为动能和势能之和：E = K + U弹簧振子的阻尼振动当弹簧振子受到阻尼时，振动会逐渐减弱并最终停止。
5-1 简谐运动
A
θ
l
m
o
θ <5
o
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 第二版） （第二版）
解
θ < 5o 时 , sinθ ≈ θ
M = − mgl sin θ ≈ − mglθ d 2θ − mglθ = J 2 dt 2 dθ g g 2 = − θ 令ω = 2 dt l l d 2θ 2 = −ω θ 2 dt
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
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十一五” 普通高等教育 “十一五” 国家级规划教 材 马文蔚 周雨青 编
物理学教程
( 第二版 ) 上册
电子教案
南京工业大学 主 编 参 编 编 肖婉如 蔡永明 徐美华 朱杰君 类淑国 韦 娜
第五章 机械振动
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
物理学教程 第二版） （第二版）
例1 如图所示系统（细线 如图所示系统（ 的质量和伸长可忽略不计）， 的质量和伸长可忽略不计）， 细线静止地处于铅直位置， 细线静止地处于铅直位置，重 点时为平衡位置. 物位于O 点时为平衡位置. 若把重物从平衡位置O 略 微移开后放手, 微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动． 位置附近往复的运动．这一振 单摆. 动系统叫做单摆 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期． 度振动时的周期．
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
四 相位
A
x
v v v v
T 2
x−t 图
v v
T
o
−A
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律简谐振动是指物体在一个恢复力作用下，以某一特定频率围绕平衡位置来回振动的现象。
其中，弹簧振子和单摆是两种常见的简谐振动体系。
本文将介绍弹簧振子和单摆的运动规律。
一、弹簧振子弹簧振子是通过连接弹性系数为k的弹簧和质量为m的物体来实现的。
弹簧振子的平衡位置是指物体静止时所处的位置，通常是将弹簧的伸长长度设为平衡位置。
1. 振动方程对于弹簧振子而言，其振动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体距离平衡位置的位移。
2. 运动规律根据振动方程，我们可以推导出弹簧振子的运动规律。
假设物体在t=0时刻的位移为x_0，速度为v_0，则弹簧振子的位移可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；ω是角频率，表示单位时间内物体的振动次数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
利用初条件，我们可以求解振幅和初始相位。
物体的速度可以表示为：v = -A * ω * sin(ωt +φ)由于速度和位移之间存在90°的相位差，我们可以得到速度的初相位：φ_v = φ + π/23. 简谐振动的特点弹簧振子的简谐振动具有以下特点：- 振动周期：T = 2π/ω，表示物体完成一个完整振动所需要的时间。
- 振动频率：f = 1/T，表示单位时间内物体的振动次数。
- 动能和势能：弹簧振子的动能和势能之和保持不变，即E =1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2，其中E为总能量。
二、单摆单摆由一个允许转动的杆和一个挂在杆末端的质点组成。
当质点被拉至一侧并释放时，它将在重力的作用下来回摆动。
1. 振动方程对于单摆而言，其振动方程可以表示为：m * a + mg * sinθ = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，θ是质点与竖直方向的夹角。
5-1-简谐运动解析
5-1 简谐运动
A
x02
v02
2
0.05m
（2）初相位 arccosx0 36052
A
由已知条件，初速度为正，所以 sin为负
36052 0.634rad
（3）振动表达式
返回
x 0.05cos(7t 0.634)m
第 5 章 机械振动
18
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T 返2回
第 5 章 机械振动
12
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5-1 简谐运动
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
频率 1
T 2π x
圆频率
A
2 π 2 π
o
T
A
xt图
Tt
T 2
周期和频率仅与振动系统返回本身的 物理性质有关
第 5 章 机械振动
vm A v A sin(t )
an A 2
a A 2 cos(t )
返回
第 5 章 机械振动
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5-1 简谐运动
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
返回
第 5 章 机械振动
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5-1 简谐运动
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
可求（1）t 1.0 s, x, F t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70103 N
m 0.01kg 0.08 0.04
v
o 0.04
x/m
返回
0.08
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
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机械振动
一、什么是振动
从狭义上说，物体在一定位 置附近所作的往复运动称为 振动。 从广义上说，任何一个物理 量在某一数值附近作周期性 的变化，都称为振动。
二、什么是机械振动
机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性 往复的运动。
三、研究机械振动的意义
•不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量 随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不 同的振动有相同的描述方法。
dt
a
d2x dt 2
2 Acos(
t
)
二、单摆——数学摆
1、概念
单摆是一个理想化的振 动系统：它是由一根无 弹性的轻绳挂一个质点 构成的。若把质点从平 衡位置略为移开，那么 质点就在重力的作用下， 在竖直平面内来回摆动。
摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
2、运动方程
M mgl sin mgl
•单摆可以当作计时器
复摆
实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单， 大多数比较复杂；例如
（1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮 力等其它性质的力； （2）合外力可能是非线性力，只有在一定的 条件下，才能近似当作线性回复力。
此时研究问题的方法一般为：根据问题的性质， 突出主要因素，建立合理的物理模型，使计算简 化。下面讨论两个实际振动问题的近似处理：单 摆与复摆。
正方向。
f －kx
力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位 置的，称为回复力。
f －kx
f
m
d2 dt
x
2
d2 x k x dt2 m
令
2＝ k
m
d2 dt
x
2
＋
2
x＝0
a 2 x
简谐运动 微分方程
4、弹簧振子的运动学方程 x Acos( t )
v dx Asin( t )
转动定律 －mgl＝I＝Idd2t2
d 2
dt 2
＋
2＝0
f
运动学方程
0 cos(t )
mg
单摆的圆频率2 gl源自gl周期 频率
T＝2 l
g
1＝ 1 g T 2 l
3、说明：
•单摆的合外力与弹性力类似，但本 质不同，称为准弹性力 •单摆的周期与单摆的质量无关
•单摆提供了一种测量重力加速度的 简便装置
2、弹簧振子运动 的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；
O→C：
向左，
向左，减速；
C→O：
向左，
向左，加速；
O→B：
向右， 向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动
物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
3、弹簧振子的动力学特征
x
取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的
dt
是什么？
•研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的 振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。
5－1 弹簧振子和单摆的运动方程
一、弹簧振子的动力学方程 1、弹簧振子
质量可略去不计的弹簧一端固定，另一端连一质量m为的物
体(视为质点)，置于光滑水平面上，若该系统在运动过程中， 弹簧的形变较小(即形变弹簧对物体的作用力总是满足胡克 定律)，则该系统称为弹簧振子。
复摆——物理摆 1、概念
2、运动方程
重力矩 M＝－mglsin －mgl
转动定律
－mgl＝J＝J
d 2
dt 2
2 mgl
J
d 2
dt 2
＋
2＝0
3、周期与频率
T＝2 J
mgl
mgl
J
4、应用 •测重力加速度 •测转动惯量
d 2
dt 2
＋
2＝0
0 cos(t )
问题
d
—— 角速度