线性系统的时域分析法第七讲
线性系统的时域 分析法
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
第三章 线性系统的时域分析法
特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T； 3）无超调；稳态误差ess=0 。 性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02)
线性系统的时域分析法 11
三、一阶系统单位脉冲响应
线性系统的时域分析法 3
δ (t) 1(t) t (½ )t2 A sin(wt+ø )
2、典型时间响应 （1）单位脉冲响应 （2）单位阶跃响应 （3）单位斜坡（速度）响应 （4）单位加速度响应
互为导数关系
线性系统的时域分析法
4
3、动态过程与稳态过程
（1）动态过程（过渡过程、瞬态过程）:系统在
典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到
线性系统的时域分析法 17
1 , 过阻尼，两个不相等的负实根 1 ，临界阻尼，两个相等的负实根
jωn ξ>1 两个不等根 图3-9二阶系统极点分布
补充:
B( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm F ( s) n A( s ) s a1s n 1 an 1s an
1 Tt 输入 r(t)=(t)，输出 c (t ) e (t 0) T
c(t)
1 T
1
初始斜率为 1 T 2 0.368/T 0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T
2T 3T 4T 单位脉冲响应曲线
t
线性系统的时域分析法
12
四、一阶系统单位斜坡（速度）响应
输入xi(t)=t，输出 xo (t ) t T Te (t 0) 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速的曲线。 稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪 误差，其数值与时间T相等。 稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1 .
线性系统的时域分析法
得:
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
[sinβ
cosω d t+cosβ
sinω dt]
稳态分量
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
sin(ω
d
t+β
)
瞬态分量
第三节 二阶系统的时域分析
2. ζ=0 无/零阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1
C注(意s)=：(sd2+=2ζωnωnn2s2+-ω1n2
状态到最终状态的响应过程。
（2）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，
系统输出量的表现方式。
第一节 系统时间响应的性能指标
四、动态性能与稳态性能 （1）动态性能
定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动 态过程随时间t的变化状况的指标。
动态性能指标如下图：
第一节 系统时间响应的性能指标
)
•
1 s
=±ωj n
当= (s2ω+dωn2n2 )1• s1n
=
d
将s1 -不(s复2+存ωs n在2 )
单位阶跃响应曲线 c(t) ζ=0
单位阶跃响应: 1
c(t)=1-cosω nt
0
t
无阻尼振荡频率
第三节 二阶系统的时域分析
3.ζ=1 临界阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1=-ωn
f
(
t
)
=
t
.
1(
t
)
=
t
0
t 0 t<0
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] = F ( s ) = t
0
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
第3章 线性系统时域分析法
C(s)
n2
1
n2
1 A1 A2
s 2 2n s n 2 s s(s s1 )(s s2 ) s s s1 s s2
其中A1 2
1
2 1(
2 1)
1
A2 2
2 1(
2 1)
c(t) 1 1 ( 1
e ( 2 1)nt
1
e ) ( 2 1)nt
2 2 1 2 1
二阶系统的最大超调量只与 有关，阻尼比 越小，超调量越
大。
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第三章 线性系统时域分析法
25
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
26
c() 1
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
7
自动控制原理
3.1.2 稳态指标与动态指标
动态过程又称为过渡过程，是指系统从加入输入信号的瞬时起，到 系统输出量到达稳态值之前的响应过程，它表征系统的稳定性和对 输入信号响应的快速性。稳态过程是指时间趋于无求大时的输出状 态，它表征系统输出量最终复现输入量的准确性。
控制系统中负载的突变；对于随动系统（如火炮方位角控制系
统），相当于加一突变的给定位置信号。
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第三章 线性系统时域分析法
3
自动控制原理
2 斜坡信号
0,
t0
r(t) v0t,
t0
R(s) 1 s2
斜坡信号是一个对时间做均匀变化的信号，可模拟以恒定速度变 化的物理量，例如机械手的等速移动、数控机床加工斜面时的进 给指令、通信卫星跟踪系统的跟踪直线飞行目标等。
1 稳态指标
控制系统在稳态下的精度怎样，是它的一项重要的技术指标，该稳 态指标通常用稳态下系统输出响应的期望值与实际值之间的差来衡 量，称为稳态误差。
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
信号与线性系统分析-第7章
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
第 3页
二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
第 13 页
§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
第 8页
复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
第 6页
系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
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第三章 线性系统的时域分析法3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。
每种方法，各有千秋。
均有他们的适用范围和对象。
本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。
很难用解析的方法表示。
只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。
这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：① 实际系统的输入信号不可知性；② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。
3.1.2 动态过程和稳态过程——瞬时响应和稳态响应Transient Response & Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应指系统从初始状态到最终状态的响应过程。
由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。
控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。
如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。
如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。
如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
图3-1稳定性分析示意图实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。
本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。
对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。
——称动态过程。
·稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。
这个误差表示系统的准确度。
稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
·动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。
通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
tMp 超调量允许误差10.90.50.1t rt pt s图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线t dh(t)0.02或0.05)(∞h )(∞h )(∞h )(∞h① 延迟时间d t ：（Delay Time ）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
② 上升时间:r t （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。
〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
③ 峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
④ 调节时间:s t （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
⑤ 最大超调量:p M （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量h(tp)与终值)(∞h 之差的百分比，即%σ%100)()()(%⨯∞∞-=h h t h p σ 13-r t 或p t 评价系统的响应速度；s t 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%σ评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
图3-3（a ）所示的RC 电路，其微分方程为)(t r U dtdu RC c c=+ )()()(t r t C t C T =+• （3-2）其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。
i(t)+r(t)+（a ） 电路图RC（c ）等效方块图（b ）方块图图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图当初始条件为零时，其传递函数为11)()()(+==TS s R s C s φ （3-3） 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为Ss R 1)(=，则系统的输出由式（3-3）可知为 111111)()()(+-=⋅+==TS S S TS s R s s C φ 对上式取拉氏反变换，得Tt et c --=1)( 0≥t （3-4）t注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在0≥t 时的斜率为T 1，如果系统输出响应的速度恒为T1，则只要t ＝T 时，输出c(t)就能达到其终值。
如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：T t d 69.0=T t r 20.2= 误差带）%5(3Tt s =％不存在和σp t3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 11)(+=TS s C 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为)]([)(1s G L t g -=,其表达式为01)(≥=-t e Tt c Tt（3-5）3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems 当2S1R(s)=TST S T S S TS s R s s C ++-=⋅+==11111)()()(222φ对上式求拉氏反变换，得：t Tt TTeT t eT t t c 11)1()(--+-=--= （3-6）因为)1()()()(1t TeT t c t r t e --=-= （3-7）r(t)c(t)t图3-5 一阶系统的斜坡响应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为T t e e t ss ==∞→)(lim上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 1)(,1)(==⋅∞→⋅t t c t r②由于系统存在惯性，⋅)(t c 从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T ，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T 不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应221)(t t r =31)(Ss R = TS T 11+T S T S T S T S T S DS CSB S A S TS s R s sC 1111)11()()()(2223233+-+-=++++=+==φ)83()0()1(21)(122-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-+-=-t e T Tt t t c t T)83()1()()()(12-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-=-t TeT Tt t c t r t e上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。
因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式微 分微 分11+TS 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。
因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。