自动控制原理第三章线性系统的时域分析法
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线性系统的时域 分析法
▪ 如果m < n，即开环零点数小于开环极点数，除有m条根轨迹 终止于开环零点外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点。
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标∙稳→基本要求 ∙准→稳态要求↓ss e ：∙快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=s p t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts T s T Ks K s K s Ks -=+=+=+=+=Φλ:)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c tTTc eT t c tT 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-st T s e t h05.095.011=-=-st T e305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系：21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s∙==Φ===时 11 () ()1()ata s a C s h t e s s a ss a∙===-+=-+--时例1 已知系统结构图如右 其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH HH H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为atet h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算