《最优控制基础》课程技术报告_合工大_STT
最优控制第一章课件 (2)
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确定目标函数，通常是最小化某个性能指标，如时间、 成本等。
确定一个系统在一维空间中的最优运动路径，使得某个 性能指标达到最优。例如，在生产线上，需要控制机器 的速度以达到最大的生产效率。 定义系统的状态变量和动态方程。
应用最优控制算法，如极值原理、庞特里亚金极大值原 理等，求解最优控制策略。
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最优控制问题的分类
总结词
最优控制问题可以根据不同的标准进行分类，如线性与非线性、确定性与不确定 性、连续时间与离散时间等。
详细描述
根据系统动态特性的不同，可以分为线性系统和非线性系统；根据是否存在不确 定性，可以分为确定性和不确定性系统；根据时间变量的不同，可以分为连续时 间和离散时间系统。
最优控制问题的数学模型
龙格-库塔方法
一种高阶数值方法，通过构造一 系列的差分方程来逼近最优控制 方程，具有更高的计算精度和稳 定性。
梯度法
梯度法的基本思想是利用目标函数的梯度信息，通过迭代的方式逐步逼近最优解 。在最优控制问题中，梯度法可以用于求解状态和控制变量的最优解。
梯度法的优点是计算简单、收敛速度快，但需要足够好的初始点才能保证收敛到 全局最优解。
最优控制第一章课件
• 引言 • 最优控制的基本概念 • 最优控制的基本原理 • 最优控制的数值解法 • 案例分析
01
引言
主题简介
01
介绍最优控制的基本概念和背景 ，包括其在工程、经济、金融等 领域的应用。
02
简要说明最优控制理论的发展历 程和主要成果。
课程目标
掌握最优控制的基本 原理和方法。
实际应用的最优控制问题
择合适的性能指标和优化 算法。
将最优控制理论应用于实际工程问题中，解决实际生产 和生活中的控制问题。例如，汽车自动驾驶、无人机飞 行控制、机器人路径规划等。 针对具体问题，建立实际系统的数学模型。
合肥工业大学自动控制控制理论综合实验球杆实验报告
实验一 球杆系统的数学模型实验目的实验内容1) 分析并推导系统的数学模型；2) 求解系统的状态空间方程和传递函数方程； 在matlab 中建立一下m 文件并运行：m=0.028;R=0.0145;g=-9.8;J=0.4*m*R^2;a=-m*g/(J/R^2+m);A=[0 1 0 0;0 0 a 0;0 0 0 1;0 0 0 0] B=[0;0;0;1] C=[1 0 0 0] D=0[n,d]=ss2tf(A,B,C,D);G=tf(n,d); 返回：A = 0 1.0000 0 0 0 0 7.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0B = 0 0 0 1C = 1 0 0 0D = 0Transfer function:-4.441e-016 s^3 + 1.998e-015 s^2 + 3.997e-015 s + 7 --------------------------------------------------- s^4上式即为传递函数方程。
3) 在Matlab 下建立系统的模型并进行阶跃响应仿真。
为得到阶跃响应，输入命令： step(G) 得到阶跃响应曲线如下：Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e实验二球杆系统的数字P 控制器设计实验目的实验原理实验内容：1. 在matlab下仿真比例控制时系统的响应情况。
在matlab中建立m文件并运行：m = 0.028;R = 0.0145;g = -9.8;L = 0.40;d = 0.045;J = 0.4*m*R^2;K = (m*g*d)/(L*(J/R^2+m)); %simplifies input num = [-K];den = [1 0 0];ball=tf(num,den)kp = 1;sys_cl=feedback(kp*ball,1) %建立闭环系统step(0.25*sys_cl) %阶跃响应05101520253035400.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5Step ResponseTime (sec)Amplitude2.进入BallBeamControl 应用控制程序进行实时控制；实验三 球杆系统的数字PD 控制器设计实验目的实验原理：实验内容：1、 在matlab 中仿真PD 控制器下球杆系统的响应情况。
最优控制基础
最优控制基础
最优控制是一种优化思想应用于控制系统的方法，它通过对系统中的反馈信息进行分析和处理，从而使得系统能够在一定的目标函数下达到最优的状态。
最优控制的基础理论包括最优控制问题的建立、最优控制方程的求解、最优控制器的设计等方面。
其中，最优控制的问题建立是最基本的，它需要将实际控制问题转化为数学模型，从而为后续的求解提供基础。
最优控制方程的求解是最优控制的核心内容，它需要根据不同的控制对象和目标函数，选择合适的优化方法进行求解。
在求解最优控制方程的过程中，需要应用一系列数学工具和技术，如动态规划、最小二乘法、拉格朗日乘子法等。
最优控制器的设计是最优控制的重要应用方向，它需要根据系统的动态特性和控制目标，设计合适的控制器结构和参数。
最优控制器的设计需要考虑控制器的稳定性、鲁棒性、响应速度等方面，可以应用不同的控制策略和算法，如比例-积分-微分控制、模型预测控制、最优控制等。
最优控制是现代控制理论的重要分支之一，它在自动控制、机器人控制、航空航天等领域有着广泛的应用。
在实际控制问题中，最优控制能够提高控制效率和控制精度，使得系统能够更好地适应不同的工作环境和要求。
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合工大自动化课程
合工大自动化课程合肥工业大学自动化专业是该校的重点学科之一，拥有一支优秀的教师团队和完备的实验设备。
自动化专业培养的学生具有扎实的理论基础和实践能力，在工业自动化、智能仪器、机器人技术等领域具有较强的竞争力。
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他们将学会如何运用传感器检测物理量、如何使用PLC编程实现自动化控制、如何应用机器人技术完成生产任务等。
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合工大自动化专业注重理论与实践相结合，培养学生的动手能力和创新意识。
学校还为学生提供了丰富的实践机会，如实验课程、实习实训、科研项目等。
通过这些实践活动，学生可以将课堂上学到的知识应用到实际工作中，提升自己的实践能力和解决问题的能力。
除了专业知识和实践能力之外，合工大自动化专业还注重学生的综合素质和创新能力培养。
学校鼓励学生积极参加各类学术竞赛、科技创新活动，提高自己的综合素质和团队合作能力。
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总的来说，合工大自动化专业是一个优质的专业，为学生提供了良好的学习环境和发展机会。
学生在这里不仅可以获得扎实的专业知识和实践能力，还可以培养自己的综合素质和创新能力，成为未来自动化领域的优秀人才。
希望更多的学生能够选择合工大自动化专业，共同努力，为自动化领域的发展做出贡献。
最优控制结课报告
文献阅读与对最优控制的认识Ⅰ文献阅读与理解在课程的学习中，根据老师要求和结合自身以前所学专业（电气工程及其自动化）以及感兴趣的问题，阅读了一些有关最优控制方面的论文，以下是我对其中一些论文整体构架的分析和理解。
由于个人基础知识较差能力有限，对于文献中一些理论和知识无法完全理解，心得中的错误和不足请老师批评指正。
一、中文文献（《登月舱上升段最优轨迹设计》）中文文献中主要对登月舱的上升段中的动力推进段进行最优控制。
文献首先对月面返回运动建立数学模型，构建了状态方程，由于各个变量数量级相差较大，为了便于数值求解，对数据进行了单一化处理。
构建完数学模型后，开始进行最优控制设计，在推进段需按照一定的制导率，使得登月舱达到指定轨道。
这一阶段占据了能量消耗的95%，时间约占400s。
因此为了减少燃料消耗，而在此过程中是横推力无间歇的，因此燃料性能最优在此问题上与时间最优一致。
因此其最优性能指标可以表示为，而后根据最小值原理构建哈密顿方程，列出正则方程，横截条件和极小值条件。
此时问题转化为时间自由的两点边值问题，通过首先采用初值预估，求解终值是否满足横截条件，如不满足则采用前向扫描法对初值修正，当修正量终值满足横截条件，即求出最优控制。
最后进行matlab仿真验证，画出状态变量和最优控制量仿真曲线，结果表明设计的算法收敛速度快，可靠性高与Apollo 11 实际上升时间非常接近。
文献中建立的时间最优控制是课本的延伸，该系统中首端末端均有状态约束，与单边的状态约束，实际情况中双边状态约束情况下，文献中采用了迭代制导求解剩余时间方法来估算上升时间，使得估计值更接近实际值，采用前向扫描方法求解两点边值问题，精确得出修正量。
发现在建立最优控制模型后，工程中往往还需要通过其他方法对于状态量进行修正以满足方程的条件，文献中提供了一个不错的方法。
由于时间有限，个人对于后面的迭代制导和向前扫描方法还存在一些疑惑不懂，在以后的学习中将再仔细阅读查找相关资料尝试实现该问题在matlab上的仿真。
最优控制理论.
最优控制理论
© 2008 HFUT
最优控制理论
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电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
三、研究最优控制的方法 从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值 问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属 于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭 集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。
School of Electrical Engineering and Automation
授课内容
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 引言 用变分法求解最优控制问题 极小值原理及其应用 线性二次型问题的最优控制 动态规划法
最优控制理论
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电气与自动化工程学院
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二、最优控制的发展简史 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输 入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对 控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参 数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原 理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传 递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程 结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最 优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心， 20世 纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。
最优控制结课论文
最优控制结课总结论文非常荣幸今年能够在刘老师班中学习最优控制这门课程，在这门课上，我们了解了最优控制是系统设计的一种方法，研究的中心问题是如何选择控制信号（控制策略），才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。
而最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。
使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法，可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的 。
美国学者R.贝尔曼1957年提出的动态规划和前苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理，两者的创立仅相差一年左右。
对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（ 称为泛函 ） 求取极值（ 极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极小值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。
1 古典变分法研究对泛函求极值的一种数学方法。
古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。
在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。
最优控制应用基础-第一章.
ε是一个很小的数，当ε =0时，x(t)=x*(t)，即此时的容 许函数等于极值函数。
每选择一个(t) 都可作一
端点时间 t0 和tf 固定。
首先研究端点状态固定的情况，即x(t0)=x0和x(tf)=xf。
假设x*(t)是极值曲线，x(t) 是 任一邻近于它的容许曲线。令
(t) x(t) x* (t)
(t) 是t 的连续可微函数，叫 做x(t)的变分(宗量的变分)。
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欧拉方程
则容许函数可表示
x(t) x* (t) (t)
小值。
5
弹头形状问题
例 最小阻力弹头形状问题
在高超音速中零攻角下旋转体在流体中受到的压阻力 可以精确地表示为
J
2q[x(t f )]2
t 0
f
l
4q
xu 2 1 u2
dt
，u
dx dt
x(t)表示旋转体各处半径； a是旋转体最大半径；
l是旋转体的长度；
q为给定常数；
6
泛函的定义
泛函的定义 如果有一类函数集合｛y(x)｝，对每
今欲选择连接P0和P1的曲线C，使
mg P1(x1,y1) 质点在重力作用下沿C以初速度v0
y
从P0运动到P1所需时间最短。
3
捷线问题
根据能量守衡定律
1 2
m(v2
v02
)
mg(y
y0
),
其中m是质点的质量。由此解
v 2g(y y0 ) v02 ,
得即 s 2g(y y0 ) v02 2g(y ),
Mayer形式和Bolza形式时，泛函取极值的问题分别称为
Lagrange问题(如捷线问题)、 Mayer问题(如快速升降问题)
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《最优控制基础》课程技术报告
报告题目：倒立摆系统的LQR控制器设计与仿真分析专业班级：自动化17-3班
姓名学号：孙添添（2017217640）
评阅成绩：
2020年10月
注意事项
1.按照文中格式书写，不缺项；
2.不抄袭他人报告及成果，数据真实有效；
3.本报告占课程成绩20%，评分标准如下：
书写格式：20%；
设计与仿真：60%；
缺项：20%
4.发现抄袭，一律记0分；
5.报告可打印(双面)或书写，一般不超过15页。
一、引言
倒立摆系统（单极或多极）控制问题的描述，控制系统框架，物理模型，控制要求等。
倒立摆控制系统是一个复杂的、高阶次、多变量、不稳定的、非线性并强耦合系统。
特点是重心在上、支点在下，正是这个特点使倒立摆是控制理论、机器人技术、计算机控制等多种技术、多个领域的有机结合，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
，如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定、跟踪问题等。
因此倒立摆系统作为控制理论教学与科研中典型的物理模型，常被用来检验新的控制理论和算法的正确性及其在实际应用中的有效性。
从 20 世纪 60 年代开始，各国的专家学者对倒立摆系统进行了不懈的研究和探索。
倒立摆特性：倒立摆的形式和结构尽管不同，但却都具有相同的特性。
1非线性：倒立摆虽是一个典型的非线性复杂系统。
但实际可以通过线性化得到系统的近似模型，对线性化之后的系统进行控制，也可以不采用线性化处理，利用非线性控制理论直接对其进行控制，由此倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2不确定性：造成不确定性的因素主要是指模型误差、机械传动间隙和各种阻力等。
实际控制中必修通过减少各种误差来解决问题，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，或利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
3强耦合性：在倒立摆的控制中一般都得先在平衡点附近进行解耦计算，次要的耦合量就可在倒立摆的控制中一般都得先在平衡点附近进行解耦计算，次要的耦合量就可以忽略。
4开环不稳定性：倒立摆的稳定状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
5约束限制：倒立摆系统的约束限制主要是机构限制，如电机力矩限制、运动模块行程限制等。
为降低成本和制造方便，倒立摆的结构尺寸及电机功率都尽量要求最。
倒立摆的控制目标:倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
直线倒立摆控制的目的是:小车和摆组成的系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保持垂直位置不倒。
旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立不倒。
平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在XY平台上摆杆能够竖立稳定而不倒，达到动态平衡状态。
倒立摆的控制方法：倒立摆系统的输入为小车的位移(位置)和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动电机实现倒立摆的实时控制。
电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一
端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力平行于轨道的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平导轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置(竖直向下)。
为了使摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
因此，倒立摆系统的控制原理可简述如下:用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使摆杆倒置稳定于小车正上方。
倒立摆刚开始工作时，首先使小车按摆杆的自由振荡频率摆动，摆杆随之大幅度摆动。
经过几次摆动后，摆杆能自动直立起来。
这种被控量既有角度，又有位置，且它们之间又有关联，具有非线性、时变、多变量耦合的性质。
二、系统模型
运用动力学方法建立系统的状态空间模型。
倒立摆系统的物理模型可以描述为:在光滑水平平面上摆放着滑轨，在滑轨上放置着可以左右自由移动的小车，一根视为刚体的摆杆通过其底端的一个不计摩擦的固定端点与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆可以在平行于滑轨的范围内随意摆动。
倒立摆控制系统的目的是在系统的初始状态不为零时，由设计的控制器对小车作用一个力(控制量)，使小车停在给定位置且倒立摆的摆杆仍然保持竖直向上状态。
当小车静止的情况下，由于受到重力的作用，导摆杆仍然保持竖直向上状态。
当小车静止的情况下，由于受到重力的作用，导致倒立摆的稳定性发生不可逆转的
破坏而使倒立摆无法复位，所以小车在平行小车位移对时间的二阶导数存在线性关系，所以说倒立摆系统是一个非线小车位移对时间的二阶导数存在线性关系，所以说单级倒立摆系统是一个非线性系统。
在各种摩擦忽略不计之后，可将倒立摆系统抽象成小车和均匀质量摆杆组成的系统，倒立摆的结构简图如图下所示。
直线一级倒立摆相关假设量
直线一级倒立摆模型
Φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下)
如下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
直线一级倒立摆模型相关参数
三、控制器设计
设计系统的LQR控制器。
设给定系统的状态方程为义= AX+BU, Y=CX + DU,用y,表示系统的期望输出，从系统的输出端定义e(1)=y r(t) - y(t)为系统的误差向量.线性二次型最优算法即使得基于误差向量e构成的指标函数：
取最小值，其中s,Q均为非负实数,R为rxr半正定矩阵.它们是用来权衡向量e(t)以及
控制向量U(t)在指标函数J中重要程度的加权矩阵。
尽管二次型最优控制理论发展日趋成熟，但在工程实际应用中仍然存在不少问题，一个最关键的问题就是二次型性能指标中加权矩阵Q和R的选取。
Q阵的不同选择，会导致系统品质的明显差异。
Q矩阵各元的大小表示相应状态分量在性能指标中所占的比重，Q也因此被称为状态加权矩阵。
但是其中一元的增大，也就意味着其他权值相对地减少，因此导致的情况就是设计者在追求某一参数性能的同时，却发现其他性能在退化。
所以Q矩阵各元的选取要多方面考虑，使所有的性能都尽可能满足设计者要求。
而Q和R 的选取也要折中考虑，在提高性能和降低控制能量之间选取一个平衡点。
过分强调单一性能而导致系统总体性能下降，是一种得不偿失的做法。
由此也可以看出目前普遍采用的试凑法在决定加权矩阵时的弊端，为了使问题简单及加权矩阵具有比较明显的物
理意义，将二级倒立摆的加权矩阵Q选为对角矩阵即:
四、仿真分析
运用MATLAB分析LQR控制时系统的稳定性等性能指标，并与其他控制方法（如PID控制，极点配置等）进行比较。
clear all
A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;
0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;
0 69.81 -19.17 0 0 0;
0 -34.88 34.06 0 0 0]
B=[0;0;0;1;5.17;-0.0752];
C=[1 0 0 0 0 0 ;
0 1 0 0 0 0;
0 0 1 0 0 0];
D=[0; 0; 0];
Q=[10 0 0 0 0 0;
0 10 0 0 0 0;
0 0 10 0 0 0;
0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0];
R=1;
t=0:0.05:5;
[K,P,r]=lqr(A,B,Q,R)
figure(1);step(A-B*K,B,C,D,1,t);
title('状态反馈后输出曲线');
figure(2);[y,x,t]=step(A-B*K,B,C,D,1,t);
plot(t,x);gtext('STT 2017217')
(图)
PD控制中摆杆的角度与角速度振荡比较厉害，小车位置及速度控制效果较好，而LQR控制中可以比较好地控制住摆杆且响应速度较快、超调量较小，但是控制效果却稍差些。
对于PID控制来说，更容易被人理解，PID控制结构简单,调试方便，易于工程上实现。
而对于LQR控制来说，需要求解Riccati方程，确定Q 和R权矩阵，算法较为复杂，计算代价较高，响应时间较长。
比较两种控制结果都可以稳定的控制二级倒立摆,稳定性很好,但LQR控制的动态性能、快速性比PID控制效果好;PID控制误差较LQR控制大。
给系统加上相同干扰后,系统仍处于稳定状态,PID 和LQR控制都具有一定的抗干扰能力,但LQR控制的抗干扰能力更强,再次说明了设计的有效性。
而且将这两种控制算法用于对
倒立摆的实物控制都取得了很好的效果。
五、结论
倒立摆系统就其本身而言，是一个多变量、快速、严重非线性和绝对不稳定系统，必需采用有效的控制法使之稳定，对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远的意义。
仿真结果表明:控制系统性能优良，稳定性好，具有较强的鲁棒性.由此可见，应用线性二次型最优控制对二级倒立摆平衡系统进行控制能够达到良好的效果，为今后的实验研究奠定了基础.。