固体能带理论II
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
（设为非简并）
T r r + a r ＝1, 2, 3
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和
N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为
N＝N1N2N3 。
周期性边界条件： r r Na
体系的薛定谔方程：
Hˆ
(r, R)
(r, R)
但这是一个 1023cm量3级的多体问题。
首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子
运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为
离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系
统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电
1反映的是沿a1方向，相邻两个原胞中周期对应的两点 之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量 k 表示原胞间
的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。但是，
如果两个波矢量 k 和 k’ 相差一个倒格矢Gn，可以证明，这
两个波矢所对应的平移算符本征值相同。
对于k： eika
对于k’＝ k+Gn：
1 N1
b1
1 N2
b2
1 N3
b3
b N
在k空间中，波矢k的分布密度为
k
N b
N
va
8
3
V
8 3
在简约区中，波矢k的取值总数为
V Nva 晶体体积
k b N 晶体的原胞数
小结：波矢 k 的意义及取值：
Bloch函数中的实矢量 k 起着标志电子状态量子数的作用， 称作波矢，波函数和能量本征值都和 k 值有关，不同的 k 值表
固体物理学：能带理论(三)
k
y
k
x
dZ=2(k)(k空间中能量在E → E+dE两等能面间的体积)
V
2 8 3 Econst dSdk
和自由电子情形不同，这里的等能面 已经不是球面，需要根据等能面形状 具体积分才行。
因为：
dE kE dk
所以：
N ( E )
1 V
dZ dE
1
4 3
dS Econst k E(k )
电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，在 布里渊区边界产生能隙。等能面在布里渊区边界面附近发 生畸变，形成向外突出的凸包 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交； 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决于电 子与晶格相互作用的细节； 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。
证明：在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交，
近代的能带计算也采用建立在密度泛函理论基础上的局域 密度近似（Local density approximation）方法，理论基础是 非均匀相互作用电子系统的基态能量唯一的由基态电子密度确 定，是基态电子密度 n(r) 的泛函。
其计算流程见下表，上面提到的几种模型都可以用来进行 密度泛函计算。
小结：
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没 有接近EA时，N(E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的 增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超 过自由电子，在 EA处达到极大值，之后，等能面开始残破， 面积开始下降，态密度下降，直到 EC时为零。所以近自由 电子近似下的N(E)如图所示。
k
1 2
Gn
沿布里渊区边界面的法线方向上，
En k
1 2
Gn
En k
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
《能带理论学习资料》课件
针对新型功能材料和二维材料等，深入研究其能带结构、电子态和光学性质，为实际应 用提供理论指导。
发展多尺度计算方法
结合微观尺度和宏观尺度，发展多尺度计算方法，以更全面地描述材料的物理性质和化 学反应。
结合实验研究
加强与实验研究的合作与交流，提高能带理论的预测精度和实用性，推动材料科学的发 展。
能带理论面临的挑
05
战与发展前景
能带理论面临的挑战
实验验证困难
能带理论预测的某些能带结构难以通过实验手段进行验证，因为需 要高精度和高分辨率的测量技术。
对强关联体系的适用性有限
能带理论在处理强电子关联体系时遇到困难，因为关联作用导致能 带结构发生畸变和分裂。
对非平衡态体系的描述不足
能带理论主要适用于平衡态体系，对于非平衡态体系（如半导体中 的载流子输运、热传导等现象）的描述不够准确。
热学性质
能带结构影响热传导和热容等热学性质。
能带理论在材料科
03
பைடு நூலகம்
学中的应用
半导体材料能带结构
总结词
半导体材料的能带结构是研究其电子行为和导电性质的基础，具有宽禁带和窄禁 带的区别。
详细描述
半导体材料的能带结构由价带和导带组成，禁带宽度较小，使得电子容易跃迁。 不同半导体材料的能带结构有所不同，宽禁带半导体材料具有高热导率和良好的 耐高温性能，窄禁带半导体材料则具有较高的电子浓度和迁移率。
准粒子模型
准粒子模型是一种将复杂的固体能带结构简化为具有一定有效质量的粒子 运动模型的近似方法。
在准粒子模型中，电子被视为具有一定有效质量和有效势的粒子，通过求 解其运动方程，可以得到能带结构中的能量状态和波函数等信息。
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论
第 四 章 固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
2021/6/20
钠的能带
第 四 章 固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
2021/6/20
势垒
电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
第 四 章 固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
p2 E
1982 1989
80286 80486
13.4万 120万
1993 pentium
320万
1995
pentium MMX
550万
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2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性
能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面
等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
第五章固体能带理论II5.3
5.3 晶体的能带结构1 导体、半导体和绝缘体的能带解释能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。
每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。
N 为原胞数。
考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。
简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。
不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。
复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。
满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即()()k k -=n n E E (5.3.1)因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。
在同一能带中k 和k 态具有相反的速度：()()k k --=υυ(5.3.2)在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。
即使有外加电场或磁场，也不改变k 和k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。
在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。
因此满带电子不导电。
导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。
但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。
根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。
在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。
第五章_固体能带理论
ϕk (x) = ϕk +K (x + a)
n
证明： ˆ 证明： Tϕk (x) = ϕk (x + a) = eikaϕk (x)
ˆ Tϕk +Kn (x) = ϕk +Kn (x + a)
=e
i (k +Kn )a
ϕk +K (x)
n
=e
i 2πn ika
v e ϕk +Kn (x) = e ϕk +K (x) n ika
c) 周期边界条件： ϕ( x + Na) = ϕ(x) 周期边界条件：
ˆϕ(x) = eikNaϕ(x) ϕ(x + Na) = T 2π ikNa k= nx ∆k = 2π = 2π e =1 Na Na L
d) 波矢相差倒格矢整数倍的 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效 因此把波矢限 波等效.因此把波矢限 波等效 制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞 制在第一布区内 且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞 可容纳的电子数为2N. 数N可容纳的电子数为 可容纳的电子数为
ikx ikx
= −ihe + hkxe − hkxe
= −ihe
ikx
ikx
ˆ ˆ 不对易. ∴ P, x 不对易.可以证明 Py , x 是对易的 ˆ 的本征值. ∴ϕ(x) 又是 T 的本征值.
ˆ 的本征函数. ∴ϕ(x) 又是 T 的本征函数
ˆ Tϕ(x) = λϕ(x) λ 为本征值 ˆ(Tϕ(x)) = λTϕ(x) = λ2ϕ(x) ˆ T
∞
求波矢k。 求波矢
m=−∞
(−i)m f (x − ma) ∑
解：（1）方法 ）方法a
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晶体的能带结构1 导体、半导体和绝缘体的能带解释能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。
每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。
N 为原胞数。
考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。
简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。
不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。
复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。
满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即()()k k -=n n E E 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。
在同一能带中k 和 ??k 态具有相反的速度：???????????????????????????????????????????????????????????????()()k k --=υυ 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。
即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。
在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。
因此满带电子不导电。
导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。
但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。
根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。
在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。
由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。
在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。
本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。
本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。
在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。
在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。
V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。
它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。
但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm ??。
是普通金属的10??。
Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。
近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为()k υq - 而且 ()()[]0=-+k k I υq 或 ()()k k I υq = 表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。
存在外加电磁场时，假如在空态k 放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。
在任何时刻有：()()()[]{}()[]{}B k E B k E F k k I ⨯+=⨯+-===***υυυq q mq m q m q dt d q dt d 2 大括号内恰好是一个正电荷q 在电磁场中受的力。
价带顶电子的有效质量*m 为负值，所以在有外加电磁场时，近满带的电流变化，如同一个带正电荷q 、具有正有效质量*m 和速度()k υ粒子的电流。
这个假想的粒子称为空穴。
空穴的概念对于处理近满带导电问题非常方便。
2 费米面构造法哈里森费米面构造法 膺势法在某种程度上使近自由电子模型得到推广。
费米能级是电子占有态和未占有态的边界面。
哈里森（）提出如下自由电子模型构造费米面的方法：这个方法分成两步：第一步先画出自由电子的费米面(1) 利用()k n E 是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的广延图形。
(2) 用自由电子模型画出费米球。
(3) 落在各相同布里渊区的费米球碎片平移一倒格矢到简约布里渊区中的等价位置。
第二步由自由电子费米面过渡到近自由电子费米面必须注意下面事实：(1) 布洛赫电子与晶格周期势场的相互作用在布里渊区边界处产生能隙，(2) 可以证明费米面几乎总是与布里渊区边界面垂直交截，(3) 晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化，(4) 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，而不依赖晶格相互作用的细节。
(a) (b) (c) (d)图 二维自由电子费米面。
(a) 在广延布里渊区中分布在四个布里渊区中。
(b)第一布里渊区的量子态全部被电子填满；(c)第二布里渊区中碎块平移到简约区中。
(d) 第三布里渊区中碎块平移到简约区中。
图 第二布里渊区和第三布里渊区中的费米面。
晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化布里渊区边界处能带的斜率为零 由于能带()k E 在k 空间具有反演对称性，因此：()()k k -=E E ； kk -∂∂-=∂∂k E k E又因为()k E 是k 的周期函数。
周期为K h ，所以：()()h E E K k k +=； hk E k EK k k +∂∂-=∂∂ 在布里渊区边界上2/h K k =，根据上面两组公式有：22h h k E k E K K -∂∂-=∂∂； 22hhk E k E K K -∂∂=∂∂ 两式相加可得：02=∂∂hk EK 如果能带在布里渊区边界上简并，这个论证可能失效。
电子轨道、空穴轨道和开放轨道 在静磁场中，电子在垂直于磁场的平面上沿等能曲线运动。
费米面上的电子沿费米面上的一条曲线运动。
环绕被充满电子能态的轨道是电子轨道；环绕空态的轨道是空穴轨道，从一个布里渊区到另一个布里渊区运动而不封闭的轨道称为开放轨道。
处于近乎被充满的能带顶端的空轨道给出类空穴轨道，开放轨道对磁致电阻有重要影响。
图 空穴轨道、电子轨道和开放轨道。
3 德· 哈斯－范· 阿尔芬效应德· 哈斯－范· 阿尔芬效应 1930年德· 哈斯（De Hass ）和范· 阿尔芬（Van Alphen ）在低温下强磁场中研究了铋单晶的磁化率，发现磁化率随强磁场变化而呈现出振荡。
后来在很多金属中都观察到了类似的振荡现象。
分析表明，磁化率随磁场的倒数呈现周期性的变化。
这种现象称为德· 哈斯－范· 阿尔芬效应。
这种现象必须在低温下才能观测到，因为不希望电子的布居振荡被相邻能态的热布居平均化。
实验用的样品必须非常纯净，否则电子轨道的量子化由于碰撞而模糊。
德· 哈斯－范· 阿尔芬效应和金属费米面附近电子在强磁场中的运动相关，因而同金属费米面结构密切相关，已经成为研究金属费米面的有效方法。
二维自由电子模型 在绝对零度温度下，二维自由电子的能量为：()mk E 222η=k 的取值在k x -k y 平面内。
应用周期性边界条件可得k 的取值为：222111b b k N n N n += 波矢在k 空间的密度为S42π，S 为二维晶体的面积。
波矢0到k 范围内的粒子态总数为：22242ηπππmSE Sk =⨯ 由此可得二维自由电子气的能态密度为2ηπmS，与能量E 无关。
在垂直平面的强磁场中，能量本征值为一系列分立的的朗道能级：E n n =+⎛⎝⎫⎭⎪120ηω 二维自由电子气具有准连续的能谱，在垂直强磁场中，聚集为间隔为ηω0的分立能级，这种改变是量子态的重新组合，量子态的总数应该不变。
图 磁场中二维自由电子气的准连续能级和朗道能级因此每一个朗道能级是高度简并的，包含的量子态的数目等于原来准连续能谱中能量间隔为ηω0内的量子态数，因此朗道能级的简并度D 为：D mS qS B =⨯=πωπηηη20 由此可见，每一个朗道能级的简并度D 与外磁场B 成正比。
如果在某一磁场值B 0，恰好使?朗道能级上填满电子，而?????朗道能级上没有电子，即满足：λD N = 其中N 为总电子数。
此时费米能级为：()E F001=+λωη 磁感应强度的倒数为：10B qS N =λπη 全填满能级中的二维自由电子气系统的能量为：()D n D n ηηωωλλ000212121+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=∑ 图 朗道能级上电子的布居数随磁场的变化如果磁场变小到B 1，朗道能级的间隔减小，每一个朗道能级的简并度也减小，电子将填充到λ+1朗道能级上，因为每一个朗道能级能接纳的电子数就是它的简并度，λ+1朗道能级上电子的填充几率从0开始增加，二维自由电子气系统的能量不断增加，原来准连续能谱中能量小于λω++⎛⎝ ⎫⎭⎪1121η朗道能级的电子的能量被提升到朗道能级，系统的能量在λ+1能级上填充D 2个电子时达到极大值，λ+1能级上填充电子数超过D 2时，由于准连续能谱中高于朗道能级能量的电子要降低能量到朗道能级，因此系统的能量下降。
当磁场降低到恰好使λ+1能级上全部填满电子后，系统能量才停止下降。
当磁场继续减小时，电子开始填充λ+2朗道能级，系统能量开始新一个周期的增加和减小。
因此二维自由电子气系统的能量随外加强磁场周期性变化。
当B 1减小到使λ+1朗道能级完全填满时：()111B qS N=+λπη 因此从填满λ朗道能级到λ+1朗道能级磁场倒数变化为：∆111210B B B qS N q S F⎛⎝ ⎫⎭⎪=-==ππηη 其中 S k N SF F ==πππ22 在绝对零度温度下，系统的磁矩为：B E M ∂∂-= 由于系统总能量随1B 周期性振荡，变化周期为2πq S F η，因此磁化率也随1B 周期性振荡，变化周期也为2πq S F η，这就是德· 哈斯－范· 阿尔芬效应的物理原因。
三维情况 在三维情况下，在外加强磁场沿z 方向时，自由电子能量本征值为：E n k mn z =+⎛⎝ ⎫⎭⎪+122022ηηω 在与磁场垂直的平面内轨道是量子化的。