椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；
（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。

推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，
2
2
01)(||y c x PF ++=，由 1
220220=+b y a x 得)1(2202
0a
x b y -=，将其代入 2
0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a
c
PF +=
01||。

所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a
c
PF +=+⋅=
max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。

c a a a a
c
PF -=+-⋅=
)(||min 1。

当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。

1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12
22
=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线2
1
+
=mx y 对称。

（1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。

解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x m
y +-
=1。

联立⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+b
x m y y x 1122
2，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。

因为直线b x m
y +-=1
与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以04
222
2
>+
+-=∆m b 。

-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2
4221+=
+m mb
x x ，
B
A
O
x
y
所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=
+-=+=+=21 22222221m b m b x m y m mb x x x M M M 。

将线段AB 的中点)2,22(2
22++m b m m mb M 代入直线2
1
+=mx y ，解得2
222m m b +-=。

------② 由①②得3
636>-
<m m 或。

(2)令)2
6,0()0,26(1 -∈=
m t ， 则[]
2122124)()1(1||x x x x m AB -+⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=
=2
1
232212242
+
++-⋅+t t t t ，
且O 到直线AB 的距离为1
2122++
=
t t d 。

设AOB ∆的面积为)(t S ，所以2)21(221||21)(22+--=⋅=
t d AB t S 2
2≤， 当且仅当2
1
2
=
t 时，等号成立。

故AOB ∆面积的最大值为22。

2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2＋y 2＝1，
y ＝x ＋m
得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－
52≤m ≤5
2.
(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15
(m 2
－1)， 所以|AB |＝
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝2(x 1－x 2)2＝
2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--154254222m m ＝
2
5
10－8m 2.
所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .
反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
跟踪训练2 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A
且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →
＝9.
(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围. 解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，
即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|.
∵AB
→·AP →＝9， ∴|AB →||AP →|cos 45°＝2|AP →|2cos 45°＝9， ∴|AP
→|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP
→|＝1，|OA →
|＝2，
即b ＝2，且B (3,1).
∵B 在椭圆上，∴9a 2＋1
4＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .
显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得： 9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2
＝3(3－t )23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴
3(3－t )23－2t
>(3－t )2>0.
∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t
3－2t >0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.
二、椭圆中的定点和定值问题
解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。

解决此类问题的方法有两种： （1）进行一般计算、推理求出结果； （2）通过检查特殊位置，探索出“定点”“定值”，然后再进行一般性证明或计算。

2.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：（1）根据题意可设椭圆方程)0( 12222>>=+b a b
y a x ，
由已知得⎩⎨
⎧=-=+13c a c a ，解得⎩⎨⎧==1
2c a 3122
2=-=∴b ，
所以椭圆的标准方程为13
42
2=+y x 。

(2)设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
22y x m kx y 得0)3(48)43(2
22=-+++m mkx x k ，
则由题意得0)3)(43(16642
2
2
2
>-+-=∆m k k m ，
即04322>-+m k ，且⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=
⋅+-=+22
2122
143)3(4438k m x x k mk x x ， 又))((2121m kx m kx y y ++=⋅=2
21212
)(m x x mk x x k +++=2
2243)
4(3k
k m +-， 设椭圆的右顶点为D 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点)0,2(D
1-=⋅∴BD AD k k ，即
12
22211-=-⋅-x y
x y ，04)(2212121=++-+∴x x x x y y ， 04431643)3(443)4(32
22222=++++-++-∴k
mk k m k k m ，化简整理得0416722=++k mk m ， 解得7
2,221k m k m -
=-=,且均满足0432
2>-+m k 。

当k m 21-=时。

l 的方程为)2(-=x k y ，直线过定点)0,2(D ，与已知矛盾；
当721k m -
=时，l 的方程为)72(-=x k y ，直线过定点)0,7
2
(。

所以直线l 过定点，定点的坐标为)0,7
2
(。