流体力学动力学
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流体力学流体动力学完美版PPT
h ' h
气〔ρ〕-液〔ρ’〕 h ' h
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 99.229.807
汽化压强
pgv 979.3.22891.803070.76m
p 12 v 1 2 ag 注z2意 z ：1 z 2-p z2 1 ——2 v 2 2 下 游p 断w面高 度减上游断面高度〔±〕； ——用相对ρ压a-ρ强—计—算外的界气大体气伯密努度利减方管程内
常与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立 x y z
2.粘性流体运动微分方程〔粘性作用→切应力〕
f 1 p 2 u d u u u u d t t
——纳维-斯托克斯方程〔N-S方程〕
分量式
X 1 p x 2 u x u tx u x u x x u y u y x u z u z x
pAagz2z1v 2 29v 2 2
1 9 2 .8 1 .2 0 .8 9 .8 4 0 0 0 .8 v 2 9 0 .8 v 2
2
2
1 1 18 528 .6 7 2.48 即 27 2 6.6 724 .48
Y 1 p y 2 u y u ty u x u x y u y u y y u z u z y Z 1 p z 2 u z u tz u x u x z u y u y z u z u z z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程 〔1〕推导方法一
将〔1〕、〔2〕、〔3〕各式分别乘以dx、dy、 dz，并相加
g 2g
单位重量流体的机械能守恒〔总水头不变〕
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1pg 12 u1 g 2 z2pg 22 ug 2 2hw'
4-2流体动力学 流体力学
u x dy u y dx = 0
u y u x = y x
ψ ψ , uy = ux = y x
dψ = u x dy u y dx
ψ ψ dψ = dx + dy x y
流函数的极坐标表达式
dψ = ur rdθ uθ dr
ψ 1 ψ , uθ = ur = r θ r
特征1
平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程
(2) 源环流与汇环流 将强度为q的源流和强度为Г 的环流都放置在坐标原点上, 使流体既作圆周运动,又作径 向运动,称为源环流. 水在离心式水泵压水室(蜗 壳)叶轮内的流动,空气在 风机内的流动,均可看作源 环流. 源环流 水在水力涡轮机中的流动为 汇环流.
(3)等强度源流和汇流的叠加——偶极流
Γ ur = 0 , uθ = 2πr
Γ ψ = ln r 2π Γ = θ 2π 环流是圆周运动,但却不是有旋运动.
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
此流动的流线是双曲线族.当ψ>0 时,x,y的符号相同,流线在I,III 象限内;ψ<0时,x,y的符号相 反,流线在II,IV象限内.当ψ = 0 时,x=0或y=0,说明流线是坐标轴, 称为零流线.原点处速度为零,称为 驻点. 若把零流线x,y轴的正值部分用固体壁面来代替,就得到 直角内的流动;若把x轴用固体壁面代替,则表示垂直流 向固体壁面的流动.
q , uθ = 0 ur = 2πr
q q q dr = lnr = ln x 2 + y 2 = ∫ u r dr + uθ rdθ = ∫ 2πr 2π 2π
q q q y arctan ψ = ∫ u r rdθ uθ dr = ∫ rdθ = θ= 2πr 2π 2π x
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体力学 4-4流体动力学
面壁的冲力F是多少？
解：设射流的初始速度为v0，因为
Q1，v0
x
壁面光滑，水平射流的速度只改变 方向不改变大小；
光滑壁面对射流的反力R垂直于壁
y
Q0，v0
θ o
面，合外力在x方向上为0，列x方
F =-R
向的动量方程可得
0 ( ρQ1v0 ρQ2v0 ) ρQ0v0 cos θ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q2，v0 例4－7图
C 断面形心出的流速 D 断面上压力中心处的流速
§4-4 动量方程及其应用
在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量 方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。
一、稳定流动量方程 从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化 等于作用于该物体上外力的总和。
2 2
1
v2 II
1
III
v1 I 1
22
1
图4－15 控制体及系统
如图示是一个稳定流动。首
因此可认为：
（1）控制体内液流的能量损失 hw 0
（2）水平射流与壁面在接触后， 射流只是改变方向，不改变大小；
（3）由于壁面的对称性，水平射 流的反作用力R平行于射流方向。
v
Q/2
Q
θ F=-R
v
θx
Q/2 v
图4－19
例4-6 试求图示的射流对挡板的作用力。
解：设水平射流的流量为Q，因曲面 对称且正迎着射流，则两股流量可 认为相等，都为Q/2，x方向动量方 程为
（4）
考虑到 v1 v1n1及v2 v 2 n2 ，上式可写成
R 1Q1v1n1 2Q2v2n2 p1 A1n1 p2 A2n2 Fb ( p1 A1 1Q1v1 )n1 ( p2 A2 2Q2v2 )n2 Fb
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
第4页 退 出 返 回
（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
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p px, y, z, t
（4—11）
2.应力和变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形 速度有关，切应力则与角变形速度有关。
流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应
力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加
法向应力，以 p' xx, ' yy, p' zz表示，它是流体微团在法线方向
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力 (压力和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式 组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说 粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。
[例4—1] 理想流体速度场为 ux ay,uy bx,uz 0, a,b
u z y
u x z
u y z
u z x
xy
yx
u y x
u x y
（4—13）
3．粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—6）的方 法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应 力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整
理，使得到粘性液体运动微分方程：
上发生线变形(伸长或缩短)引起的。
p p
xx yy
p p
pxx pyy
p
2
u x x
p
2
u y y
pzz
p
pzz
p
2
u z z
（4—12）
切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿
内摩擦定律
u du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出
yz zx
zy xz
的压强为：p M
p
1 2
p x
dx
pN
p
1 2
p x
dx
受压面上的压力为：
PM pM dydz
PN pN dydz
质量力： FBx Xdxdydz
（4—1） （4—2）
（4—3）
（4—4） （4—5）
由牛顿第二定律
Fx
m
dux dt
得：
[(
p
1 2
p x
dx
) -(
p
1 2
p x
dx
)
] dydz
+ Xdxdydz
dxdydz dux
dt
化简得：
X Y
1
1
p x
p y
du x dt
du y dt
Z
1
p z
du z dt
将加速度项展成欧拉法表达式 :
X Y
1
1
p x
p y
u x t
u y t
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u x y
u y y
uz uz
a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。
(3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
1
p x
uy
ux y
abx
1
p y
ux
u y x
aby
将方程组化为全微分形式: 1 (p dx p dy) ab(xdx ydy)
x y
1 dp ab(xdx ydy)
积分，得
p ab x2 y 2 c'
u x z
u y z
Z
1
p z
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
用矢量表示为：
f
1
p
u t
u u
（4—6）
（4—7） （4—8）
上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动 微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是 控制理想流体运动的基本方程式。
1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中 建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性
为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；
（3）等压面方程(质量力忽略不计)
[解] (1)由连续性微分方程 ux uy uz 0
x y z
满足连续性条件，流动是可能实现的。
(2)由流线方程 得：
dx dy
ux
uy
dx dy
ay bx
bxdx aydy
积分得流线方程 bx2 ay2 c
微分方程式。对于理想流体的运动，含 ux, uy, uz 有和
ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本
方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求 解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠 定了理想流体动力学的理论基础。
第二个角标表示应力的方向，则法向应力
p xx p yy p zz
第四章 流体动力学基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
流体的运动微分方程 元流的伯努利方程 总流的伯努利方程 总流的动量方程 理想流体的无旋流动
第一节 流体的运动微分方程
连续性微分方程是控制流体运动的运动 学方程，还需建立控制流体运动的动力学方 程这就是液体的运动微分方程。这就是流体 的运动微分方程这就是液体的运动微分方程。 一、理想流体运动微分方程
进—步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都
不变，即 pxx p yy pzz p p p
（4—9）
据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的
平均值定义为该点的动压强以p表示：
p
1 3
p xx p yy p zz
（4—10）
如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数
式中： 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
——拉普拉斯算子。
自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维
(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力
学家、工程师 )、英国数学家斯托克斯(Stokes 1819~1903 )等人 经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方 程，又称为纳维—斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
2
令p=常数 即得等压面方程
x2 y2 c
等压面是以坐标原点为中心的圆。
X Y
1
1
p x
2 u x
p y
2 u
y
u x t
u y t
ux ux
u x x
u y x
uy uy
u y y
u y y
uz uz
u z z
u y z
Z
1
p z
2uz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
用矢量表示为
f
1
p 2u
u t
u u
（4—14） （4—15）
在运动的理想流体中，取微小平行六面 体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行 于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点
o‘，速度压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向
的受力和运动情况。 1.表面力：理想流体内不存在切应力．只有
压强ｘ方向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心
点
图4—1连续性微分方程