Note 01 - 压电振子的振动模式 山东大学

压电振子的振动模式vibration modes薄长条纵向伸缩振动薄圆片、棒、薄圆环、薄球壳、面切变、弯曲振动，厚度振动，能陷振动模，机电类比和线性机电网络，前几章我们根据晶体的对称性，分析讨论了不同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数、弹性常数、压电常数，以及这些量与电学量—电位移、电场强度等之间的关系，与机械量—应力、应变之间的关系（胡克定律），与电学量和机械量之间的关系（压电方程组）等等，但是未涉及到如何确定这些常数的数值。

在实验上通常是通过测定压电元件的谐振频率和反谐振频率的方法来确定这些常数的，这就要求对晶体的这些常数同晶片的谐振频率和反谐振频率之间的关系进行理论分析。

这种实验的和理论的分析工作，是研究压电晶体的一个重要方面。

确定材料参数另一方面，压电元件常用于振荡器、滤波器、换能器、光调幅器以及延迟线等等。

这些器件都是压电效应来激发压电体的机械振动。

因此，只有通过对压电元件的振动模式的讨论，才能较深入地了解压电元件的工作原理和工作性质。

元器件的设计虽然压电晶体（包括已极化的压电陶瓷）是各向异性体，但是压电元件都是根据工作需要，选择有利的方向切割下来的晶片，这些晶片大多数薄长片、圆片、方片等较简单的形状，它的基本振动模式（如伸缩振动、切变振动等）大体上与各向同性的弹性介质相同，都是在有限介质中以驻波的形式传播，只有在非常简单的情况下，才可能得到波动方程的准确解。

对于稍复杂的情况，只有近似解。

在本章中，不可能对各种振动方式都进行详细讨论，只是对其中最简单最常用的振动模式作较系统而全面的分析讨论，希望通过对特殊性的讨论了解普遍性。

薄长片压电振子的长度伸缩振动薄长片压电振子的长度伸缩振动，又称纵向振动，是压电元件中常采用的一种振动方式，也是最简单的振动方式。

在这一节中除了讨论压电振子的纵向振动特性外，还要讨论压电振子的等效电路以及压电材料的介电常数、弹性常数和压电常数的测量等内容。

薄长片压电振子的压电方程组设d310的压电晶体的zx切割晶片，长度l沿x方向，宽度lw 沿y方向，厚度lt沿z方向，并且有l>>lw 和lt，电极面与z轴垂直，如图6-3所示。

因为l>>lw 和lt，长度方向是主要因素，所以只考虑应力分量X1的作用，其它应力分量X2、X3、X4、X5、X6可以忽略不计。

图5-1 薄长片压电振子因为电极面垂直于z轴，所以只要考虑电场分量E3的作用，其它电场分量E1、E2可以忽略不计。

又因为测量时（或工作时）只是薄片的中心被夹住，片的两端为自由端，即薄片的边界条件为机械自由，在边界上的应力分量X 1|边界=0。

还有电极面是等位面。

在此情况下，可以选X 1、E 3为自变量，用第一类压电方程组，即：111131********EXx s X d E D d X E ε⎫=+⎪⎬=+⎪⎭根据牛顿第二运动定律得到薄长片的运动方程为：212u X t xρ∂∂=∂∂为了得到薄长片压电振子的波动方程，就需要根据压电方程组中应力与应变的关系式，13131133111111111E E E E x d u d X E E s s s x s ∂=-=-∂代入波动方程得：223132211111E Eu u d E t s x s xρ∂∂∂=-∂∂∂111131********EXx s X d E D d X E ε⎫=+⎪⎬=+⎪⎭212u X t xρ∂∂=∂∂因为压电振子的电极面是等位面，电场分量E 3在晶片中是均匀分布的，即有∂E/∂x=0。

将这些关系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方程为：22222E 1122xu c x u s 1t u ∂∂=∂∂ρ=∂∂xE s d x u s 1t u 3E 113122E 1122∂∂-∂∂=∂∂ρ111Ec sρ=声速若压电振子是在交变电场E 3=E 0e j ωt 的激发下，通过压电效应产生纵向振动，则上式的通解为：()[cos()sin()]j tu x t A kx B kx eω=+，式中波矢k=ω/c ；A 、B 为待定系数，由边界条件确定。

满足边界条件的解因为压电振子的两端为自由端，它的机械自由边界条件为:x=0时，有X1|x=0=0；x=l时，有X1|x=l=0;X1=?, u(x)而应力的表达式可以写为：13131133********310111111[sin()cos()]E E E E j t j tE E x d u d X E E s s s x s d kA kx B kx ke E e s s ωω∂=-=-=∂=-+-()[cos()sin()]j tu x t A kx B kx eω=+，代入边界条件得:x=0时,X 1=0：310111110=-j t j tE E d Bke E es s ωω310111110[sin()cos()]=-+-j t j tE E d A kl B kl ke E es s ωωx=l 时, X 1=0：311011111[sin()cos()]j t j tE E d X kA kx B kx ke E es s ωω=-+-31d B E k=稍加整理即得:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⋅==)kl sin(1)kl cos(k E d A k E d B 031031310111110[sin()cos()]=-+-j t j tE E d A kl B kl ke E es s ωω310[sin()cos()]A kl B kl k d E -+=3101sin()cos()A kl B kl d E k=-31d B E k=把A 、B 代回到波动方程的解中，得到满足边界条件的解为:310310313cos()1[cos()sin()]sin()cos(())cos()sin()cos(())cos()sin()j t j t d E kl u kx kx e k kl d E k l x kx e k kl d E k l x kx k kl ωω-=-=--=⋅=--=⋅为了对上式所表示的波形有较具体的了解，在图5-2中，绘出了t=0及t=π/ω=1/2周期时的波形。

从图5-2中可以看出上式代表纵驻波方程式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。

()313cos(())cos()sin()d E k l x kx u x t k kl --=⋅，图5-2 薄长片压电振子的纵向振动310cos()cos(())sin()--=⋅d E kx k l x u k kl t=0时：t=π/ω时：310cos(())cos()sin()--=⋅d E k l x kx u k kl)kl sin()kl cos(1k E d 031-⋅-)kl sin()kl cos(1k E d 031-⋅)kl sin()kl cos(1k E d 031-⋅)kl sin()kl cos(1k E d 031-⋅-x 0l/2lt=0u 0t=π/ωu薄长片压电振子中的应力、应变以及电位移与（x 、t ）的关系为:1313sin(())sin()(,)sin()u k l x kx x x t d E x kl ∂-+==∂式中E 3=E 0e j ωt()313cos(())cos()sin()d E k l x kx u x t k kl --=⋅，313111sin(())sin()(,)1sin()E d E k l x kx X x t s kl ⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦331133331333311(,)sin(())sin()[1]sin()XXE D x t d X E d E k l x kx E s kl εε=+=-+=-+13131133111111111E E E E x d u d X E E s s s x s ∂=-=-∂应力自由式中：313333311sin(())sin()(,)sin()xE d E k l x kx D x t E s kl ε-+=⋅+233333111/xX E d sεε=-或:313333311sin(())sin()(,)[1]sin()XE d E k l x kx D x t E s kl ε-+=-+传统电介质材料（知识回顾）介电常数ε，长l 、宽l w 、厚l t0w tl lC l εε=01t Cw l Z j C j l lωωεε==电容：容抗：0w C tV VI j l lZ l ωεε==电流：电流随频率单调增加，有位相差通过薄长片压电振子的电流因为通过压电振子电极面上的电流I 3等于电极面上的电荷Q 3随时间的变化率，即:dtdQ I 33=而电极面上的电荷Q 3与电位移D 3的关系为()330wll Q D x t dxdy=⎰⎰，(5-15)2313333300112313333110231333311231333311sin(())sin()sin()cos(())cos()sin()22cos()sin()tan()2wll xE lxw w Exw w Ex w w Ed E k l x kx Q E dxdy s kl d E l k l x kx l l E ks kl d E l kl l l E ks kl kl d E l l l E ks εεεε⎡⎤-+=+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤--=⋅+=⎢⎥⎣⎦-=⋅+==⋅+⎰⎰2kl 313333311sin(())sin()(,)sin()xE d E k l x kx D x t E s kl ε-+=⋅+最后得到通过压电振子电极面的电流为:233313333113003tan()2,2[]x w w Ej t j tkl dQ dE l l d dE I l l kl dt dt s dt dE d E e j E e j E dt dtωωεωω⋅==⋅+===所以有:231333311tan()22x w Ekl d I j l l E kl s ωε⎡⎤⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ω薄长片压电振子的等效导纳若通过薄长片压电振子的电流为I 3，两电极之间电压为V 3，则压电振子等效阻抗Z 为，33V I Z =压电振子的等效导纳G 为:33V /I Z /1G ==33/Z V I =或者两电极面之间的电压V 3为:3t l 033E l dz E V t==⎰压电振子的等效导纳为：2313311tan()22x w E t kl l l d G j kl l s ωε⎡⎤⎢⎥⋅=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦231333311tan()22x w E kl d I j l l E kl s ωε⎡⎤⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦牛顿定律压电方程波动方程边界条件质点位移电位移电流，导纳材料参数，等效电路结果分析以上就是如何通过压电方程和波动方程求得压电振子的等效导纳方法。