人教版八年级数学上册 全册全套试卷专题练习(word版

合集下载

人教版八年级上册数学 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学全册全套试卷练习(Word版含答案)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=50°,则∠BOC=_____.【答案】115°.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°,然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB,再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数.【详解】解;∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,∵∠B和∠C的平分线交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12×(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=115°,故答案为:115°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念,关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数.2.若(a﹣4)2+|b﹣9|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______.【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可.【详解】解:根据题意得,a-4=0,b-9=0,解得a=4,b=9,①若a=4是腰长,则底边为9,三角形的三边分别为4、4、9,不能组成三角形,②若b=9是腰长,则底边为4,三角形的三边分别为9、9、4,能组成三角形,周长=9+9+4=22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.3.如果一个n边形的内角和是1440°,那么n=__.【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°,∴(n−2)×180°=1440°,解得:n=10.故答案为:10.4.∠A=65º,∠B=75º,将纸片一角折叠,使点C•落在△ABC外,若∠2=20º,则∠1的度数为 _______.【答案】100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°,再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,即可得到∠3+∠4=80°,然后利用平角的定义即可求出∠1.【详解】如图,∵∠A=65°,∠B=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;又∵将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外,∴∠C′=∠C=40°,而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,∠2=20°,∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°,∴∠3+∠4=80°,∴∠1=180°-80°=100°.故答案是:100°.【点睛】考查了折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也考查了三角形的内角和定理以及外角性质.5.如图,AB∥CD,∠ABE=66°,∠D=54°,则∠E=____度.【答案】12【解析】【分析】利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答.【详解】∵AB∥CD,∴∠BFC=∠ABE=66°.在△EFD中,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,得到∠BFC=∠E+∠D,∴∠E=∠BFC-∠D=12°.故答案是:12.【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质,比较简单.6.如图,直线a∥b,∠l=60°,∠2=40°,则∠3=______.【答案】80°.【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4,再根据三角形内角和定理计算即可.【详解】∵a∥b,∴∠4=∠l=60°,∴∠3=180°-∠4-∠2=80°,故答案为80°.【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理,掌握两直线平行,同位角相等是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题(难)7.若△ABC 内有一个点P 1,当P 1、A 、B 、C 没有任何三点在同一直线上时,如图1,可构成3个互不重叠的小三角形;若△ABC 内有两个点P 1、P 2,其它条件不变,如图2,可构成5个互不重叠的小三角形:……若△ABC 内有n 个点,其它条件不变,则构成若干个互不重叠的小三角形,这些小三角形的内角和为()A .n·180°B .(n+2)·180°C .(2n-1)·180°D .(2n+1)·180°【答案】D【解析】【分析】 当△ABC 内的点的个数是1时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是3;当△ABC 内的点的个数是2时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是5;依此类推得到当△ABC 内的点的个数是3时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是7;当△ABC 内的点的个数是n 时,三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1,所以这些小三角形的内角和为(2n+1)·180° 【详解】】解:图1中,当△ABC 内只有1个点时,可分割成3个互不重叠的小三角形; 图2中,当△ABC 内只有2个点时,可分割成5个互不重叠的小三角形;图3中,当△ABC 内只有3个点时,可分割成7个互不重叠的小三角形;根据以上规律,当△ABC 内有n 个点(P 1,P 2,…,P n )时,可以把△ABC 分割成S=2n+1个互不重叠的三角形,所以这些小三角形的内角和为(2n+1)·180°. 【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化,要求学生通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律,并应用规律解决问题是解题的关键.8.如图,在ABC ∆中,A α∠=.ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ,得1A ∠;1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ,得2A ∠,...,6A BC ∠与6A CD ∠的平分线相交于点7A ,得7A ∠,则7A ∠=( )A .32αB .64αC .128αD .256α 【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=∠=,同理可得2212A α∠=,3312A α∠=,由此可归纳出12n n A α∠=,易知7A ∠. 【详解】 解:ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A1111,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 111ACD A BC A ∠=∠+∠ 11122ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠111222ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 11122A A α∴∠=∠= 同理可得21211112222A A αα∠=∠=⨯=,3231122A A α∠=∠=,…,由此可知12n n A α∠=, 所以7712128A αα∠==. 故选:C.【点睛】本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究,灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.9.已知:如图,D 、E 、 F 分别是△ABC 的三边的延长线上一点,且AB =BF ,BC =CD ,AC =AE ,ABC S ∆=5cm 2,则DEF S ∆的值是( )A .15 cm 2B .20 cm 2C .30 cm 2D .35 cm 2【答案】D【解析】【分析】 连接AD ,BE ,CF .根据等底同高的两个三角形面积相等,得到所有小三角形面积都等于△ABC 的面积,故△DEF 的面积等于7倍的△ABC 面积,即可得出结果.【详解】连接AD ,BE ,CF .∵BC =CD ,∴S △ACD =S △ABC =5,S △FCD =S △BCF .同理S △AEB =S △ABC =5,S △AED =S △ACD =5;S △AEB =S △BEF =5,S △BFC =S △ABC =5;∴S △FCD =S △BCF =5,∴S △EFD =7 S △ABC =35(cm 2).故选D .【点睛】本题是面积及等积变换综合题目,考查了三角形的面积及等积变换,本题有一定难度,需要通过作辅助线,运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果.10.有下列说法:①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;②三边长为、、3的三角形为直角三角形;③等腰三角形的两边长为3、4,则等腰三角形的周长为10;④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形.其中正确的个数是()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】试题分析:根据等边三角形的性质可知,有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,故①正确;根据三边可知:,,3²=9,因此可知:,由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形,故②正确;由等腰三角形的三边可知其边长为:3,3,4或3,4,4,则周长为10或11,故③不正确;由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形,故④不正确.故选:C11.如图,将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上,若∠的大小为()∠=,则1244α-A.14B.16C.90α-D.44【答案】A【解析】分析:依据平行线的性质,即可得到∠2=∠3=44°,再根据三角形外角性质,可得∠3=∠1+30°,进而得出结论.详解:如图,∵矩形的对边平行,∴∠2=∠3=44°,根据三角形外角性质,可得:∠3=∠1+30°,∴∠1=44°﹣30°=14°.故选A.点睛:本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:两直线平行,同位角相等.12.如图,把△ABC沿EF对折,叠合后的图形如图所示.若∠A=60°,∠1=85°,则∠2的度数()A.24°B.25°C.30°D.35°【答案】D【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°,再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°,再根据由折叠可得:∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°,然后计算出∠1+∠2的度数,进而得到答案.【详解】解:∵∠A=60°,∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°,∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°,∵由折叠可得:∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°,∴∠1+∠2=240°-120°=120°,∵∠1=85°,∴∠2=120°-85°=35°.故选:D.【点睛】此题主要考查了翻折变换,关键是根据题意得到翻折以后,哪些角是对应相等的.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BOC =90°+12∠A ; ③点O 到△ABC 各边的距离相等;④设OD =m ,AE +AF =n ,则AEF S mn ∆=.其中正确的结论是____.(填序号)【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形的内角和定理,即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等,故③正确;由角平分线定理与三角形的面积求法,设OD=m ,AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ,④错误. 【详解】在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A , ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB )=90°,故②∠BOC =90°+12∠A 正确; 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC=∠EOB ,∠OCB=∠OCF ,∵EF ∥BC ,∴∠OBC=∠EOB ,∠OCB=∠FOC ,∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF ,即①EF =BE +CF 正确; 过点O 作OM ⊥AB 于M ,作ON ⊥BC 于点N ,连接AO ,∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴ON=OD=OM=m ,即③点O 到△ABC 各边的距离相等正确;∴S △AEF=S △AOE+ S △AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·(AE+AF )=12mn ,故④错误; 故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质,解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.14.已知:如图,△ABC 和△DEC 都是等边三角形,D 是BC 延长线上一点,AD 与BE 相交于点P ,AC 、BE 相交于点M ,AD ,CE 相交于点N ,则下列五个结论:①AD =BE ;②AP =BM ;③∠APM =60°;④△CMN 是等边三角形;⑤连接CP ,则CP 平分∠BPD ,其中,正确的是_____.(填写序号)【答案】①③④⑤.【解析】【分析】①根据△ACD ≌△BCE (SAS )即可证明AD =BE ;②根据△ACN ≌△BCM (ASA )即可证明AN =BM ,从而判断AP ≠BM ;③根据∠CBE +∠CDA =60°即可求出∠APM =60°;④根据△ACN ≌△BCM 及∠MCN =60°可知△CMN 为等边三角形;⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形∴CA =CB ,CD =CE ,∠ACB =60°,∠DCE =60°∴∠ACE =60°∴∠ACD =∠BCE =120°在△ACD 和△BCE 中CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD =BE ;②∵△ACD ≌△BCE∴∠CAD =∠CBE在△ACN 和△BCM 中ACN BCMCA CBCAN CBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN=BM;③∵∠CAD+∠CDA=60°而∠CAD=∠CBE∴∠CBE+∠CDA=60°∴∠BPD=120°∴∠APM=60°;④∵△ACN≌△BCM∴CN=BM而∠MCN=60°∴△CMN为等边三角形;⑤过C点作CH⊥BE于H,CQ⊥AD于Q,如图∵△ACD≌△BCE∴CQ=CH∴CP平分∠BPD.故答案为:①③④⑤.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用,角的计算及角平分线的判定,熟练掌握三角形全等的证明方法,角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.15.如图,∠ACB=90°,AC=BC,点C(1,2)、A(-2,0),则点B的坐标是__________.【答案】(3,-1)【解析】分析:过C和B分别作CD⊥OD于D,BE⊥CD于E,利用已知条件可证明△ADC≌△CEB,再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标.详解:过C和B分别作CD⊥OD于D,BE⊥CD于E,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,在△ADC和△CEB中,∠ADC=∠CEB=90°;∠CAD=∠BCE,AC=BC,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴DC=BE,AD=CE,∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(−2,0),∴AD=CE=3,OD=1,BE=CD=2,∴则B点的坐标是(3,−1).故答案为(3,−1).点睛:本题主要考查了全等三角形的判定与性质,解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.16.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AB边上的中点,点D、E分别是AC、BC边上的动点,连接DM 、ME、CM、DE, DE与CM相交于点F且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形;(2)△DEM是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE;(4)AD2+BE2=DE2;(5)四边形CDME的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理,得出:△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME得出△DEM是等腰三角形,及∠CDM=∠CFE,再逐个判断222AD+BE=DE CEM CDM ADM CDM ACM ABCCDME1S=S+S=S+S=S=S2△△△△△△四边形即可得出结论.【详解】解:如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB中点,AB=BC∴AM=CM=BM,∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°,∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3,∠2=∠4在△AMC和△BMC中AM=BMMC MCAC BC⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AMC≌△BMC在△AMD和△CME中A=MCEAM=CM1=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△AMD≌△CME在△CDM和△BEMDCM=BCM=BM2=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CMD≌△CME共有3对全等三角形,故(1)错误∵△AMD≌△BME∴DM=ME∴△DEM是等腰三角形,(2)正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°,∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°,∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°,∴∠CDM=∠CFE,故(3)正确在Rt △CED 中,222CE CD DE +=∵CE=AD ,BE=CD ∴222AD +BE =DE 故(4)正确(5)∵△ADM ≌△CEM∴ADM CEM S =S △△∴CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 不变,故(5)错误 故正确的有3个故选:B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限,且MA 平分∠BAO ,做射线MB ,若∠1=∠2,则∠M 的度数是_______。

人教版八年级上册数学全册全套试卷专题练习(word版

人教版八年级上册数学全册全套试卷专题练习(word版

人教版八年级上册数学全册全套试卷专题练习(word版一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画个三角形.【答案】10【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形,【点睛】本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏.2. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm,则它的周长为_cm .【答案】22【解析】【分析】底边可能是4,也可能是9,分类讨论,去掉不合条件的,然后可求周长.【详解】试题解析:①当腰是4cm,底边是9cm时:不满足三角形的三边关系,因此舍去.②当底边是4cm,腰长是9cm时,能构成三角形,则其周长=4+9+9=22cm.故填22.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系:已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.3.如图,李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为a,再沿直线前进5米,到达点C 后,又向左旋转a角度,照这样走下去,第一次回到出发地点时,他共走了45米,则每次旋转的角度a为.【答案】40°.【解析】【分析】根据共走了45米,每次前进5米且左转的角度相同,则可计算出该正多边形的边数,再根据外角和计算左转的角度.【详解】连续左转后形成的正多边形边数为:45-5 = 9.则左转的角度是360。

+9 = 40。

.故答案是:40°.【点睛】本题考查了多边形的外角计算,正确理解多边形的外角和是360。

是关键.4.已知a, b, C是△ ABC的三边长,a, b满足|a-7|+ (b-1) 2=0, c为奇数,贝ljc=.【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出c的取值范围,再根据c是奇数求出c的值.【详解】•・y, b 满足|a-7|+(b-1 ]=0,A a - 7=0 , b - 1=0 ,解得a=7 , b=l ,V7 - 1=6 , 7+1=8 ,A 6 < C < 8,又・.・c为奇数,.\c=7 ,故答案为7 .【点睛】本题考查非负数的性质:偶次方,解题的关键是明确题意,明确三角形三边的关系.5.如图,把aABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内时,NA与N1+N2之间有始终不变的关系是________________________________ .【答案】2ZA=Z1+Z2【解析】【分析】根据N1与NAED的2倍和N2与NADE的2倍都组成平角,结合4AED的内角和为180。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)

人教版数学八年级上册 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)

人教版数学八年级上册全册全套试卷测试卷(word版,含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置,但始终满足经过B、C两点.如果△ABC中,∠A=52°,则∠ABX+∠ACX=_________________.【答案】38°【解析】∠A=52°,∴∠ABC+∠ACB=128°,∠XBC+∠XCB=90°,∴∠ABX+∠ACX=128°-90°=38°.2.已知一个三角形的三边长为3、8、a,则a的取值范围是_____________.【答案】5<a<11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边可得8-3<a<8+3,再解即可.【详解】解:根据三角形的三边关系可得:8-3<a<8+3,解得:5<a <11,故答案为:5<a<11.【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的和.3.如图所示,小明从A点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向左转30°,…,照这样下去,他第一次回到出发地A点时,(1)左转了____次;(2)一共走了_____米.【答案】11120【解析】∵360÷30=12,∴他需要走12−1=11次才会回到原来的起点,即一共走了12×10=120米.故答案为11,120.4.如图,在△ABC中,∠A=60°,若剪去∠A得到四边形BCDE,则∠1+∠2=______.【答案】240.【解析】【详解】试题分析:∠1+∠2=180°+60°=240°.考点:1.三角形的外角性质;2.三角形内角和定理.5.如图,AB∥CD,∠ABE=66°,∠D=54°,则∠E=____度.【答案】12【解析】【分析】利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答.【详解】∵AB∥CD,∴∠BFC=∠ABE=66°.在△EFD中,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,得到∠BFC=∠E+∠D,∴∠E=∠BFC-∠D=12°.故答案是:12.【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质,比较简单.6.如图,在△ABC中,∠A=70°,点O到AB,BC,AC的距离相等,连接BO,CO,则∠BOC=________.【答案】125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点,根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB,根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB,即可求出答案.【详解】:∵点O到AB、BC、AC的距离相等,∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴12OBC ABC∠=∠,12OCB ACB∠=∠,∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,∴1110552OBC OCB∠+∠=⨯︒=︒,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°;故答案为:125.【点睛】本题主要考查平分线的性质,三角形内角和定理的应用,能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键.二、八年级数学三角形选择题(难)7.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有()A.104条B.90条C.77条D.65条【答案】C【解析】【分析】n边形的内角和是(2)180n-︒,即内角和一定是180度的整数倍,即可求解,据此可以求出多边形的边数,在根据多边形的对角线总条数公式()32n n-计算即可.【详解】解:22100180113÷=,则正多边形的边数是11+2+1=14. ∴这个多边形的对角线共有()()314143==7722n n --条. 故选:C . 【点睛】 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理;要注意每一个内角都应当大于0︒而小于180度.同时要牢记多边形对角线总条数公式()32n n -.8.如图,在ABC ∆中,A α∠=.ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ,得1A ∠;1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ,得2A ∠,...,6A BC ∠与6A CD ∠的平分线相交于点7A ,得7A ∠,则7A ∠=( )A .32αB .64αC .128αD .256α 【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=∠=,同理可得2212A α∠=,3312A α∠=,由此可归纳出12n nA α∠=,易知7A ∠. 【详解】 解:ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A1111,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 111ACD A BC A ∠=∠+∠ 11122ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠111222ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 11122A A α∴∠=∠= 同理可得21211112222A A αα∠=∠=⨯=,3231122A A α∠=∠=,…,由此可知12n nA α∠=, 所以7712128A αα∠==. 故选:C.【点睛】本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究,灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.9.如图:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于( )A .180°B .360°C .270°D .540°【答案】B【解析】【分析】 先根据三角形的外角,用∠AGE 表示出∠A ,∠B ;用∠EMC 表示出∠E ,∠F ;用∠CNA 表示出∠C ,∠D ,然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解:如图:∵ ∠AGE 是△ABG 的外角∴∠AGE=∠A+∠B ;同理:∠EMC=∠E+∠F ;∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN是△MNG的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选:B.【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和,其中找出三角形的外角是解答本题的关键.10.如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,……,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是()A.140米B.150米C.160米D.240米【答案】B【解析】【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形,根据正多边形的外角和公式可求解.【详解】已知多边形的外角和为360°,而每一个外角为24°,可得多边形的边数为360°÷24°=15,所以小明一共走了:15×10=150米.故答案选B.【点睛】本题考查多边形内角与外角,熟记公式是关键.11.若(a﹣3)2+|b﹣6|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为()A.12 B.15 C.12或15 D.18【答案】B【解析】【分析】根据非负数的和为零,可得每个非负数同时为零,可得a、b的值,根据等腰三角形的判定,可得三角形的腰,根据三角形的周长公式,可得答案.【详解】由(a﹣3)2+|b﹣6|=0,得a﹣3=0,b﹣6=0.则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6,底边长为3,周长为6+6+3=15,故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质,利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键.12.如图,在△ABC中,过点A作射线AD∥BC,点D不与点A重合,且AD≠BC,连结BD 交AC于点O,连结CD,设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为和,则下列说法不正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD和△ACD的面积相等,即可得到,即,同理可得△ABC和△BCD的面积相等,即.【详解】∵△ABD和△ACD同底等高,,,即△ABC和△DBC同底等高,∴∴故A,B,C正确,D错误.故选:D.【点睛】考查三角形的面积,掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,△ABC中,AC=BC=5,∠ACB=80°,O为△ABC中一点,∠OAB=10°,∠OBA =30°,则线段AO的长是_____.【答案】5【解析】【分析】作∠CAO的平分线AD,交BO的延长线于点D,连接CD,由等边对等角得到∠CAB=∠CBA=50°,再推出∠DAB=∠DBA,得到AD=BD,然后可证△ACD≌△BCD,最后证△ACD≌△AOD,即可得AO=AC=5.【详解】解:如图,作∠CAO的平分线AD,交BO的延长线于点D,连接CD,∵AC=BC=5,∴∠CAB=∠CBA=50°,∵∠OAB=10°,∴∠CAD=∠OAD=1(CAB OAB)2∠-∠=()150102︒︒-=20°,∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°,∴∠DAB=30°=∠DBA,∴AD=BD,∠ADB=120°,在△ACD与△BCD中AC BCAD BDCD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCD(SSS)∴∠CDA=∠CDB,∴∠CDA=∠CDB=()1360ADB2︒-∠=()13601202︒︒-=120°,在△ACD与△AOD中CDA ADO120AD ADCAD OAD︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD≌△AOD(ASA)∴AO=AC=5,故答案为5.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.14.在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=70°,若点O到三边的距离相等,则∠BOC=_____°.【答案】115或65或22.5【解析】【分析】先画出符合的图形,再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可.【详解】解:①如图,∵点O到三边的距离相等,∴点O是△ABC的三角的平分线的交点,∵∠ABC=60°,∠ACB=70°,∴∠OBC=12∠ABC=30°,1OCB2∠=∠ACB=35°,∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=115°;②如图,∵∠ABC=60°,∠ACB=70°,∴∠EBC=180°﹣∠ABC=120°,∠FCB=180°﹣∠ACB=110°,∵点O到三边的距离相等,∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点,∴∠OBC=12∠EBC=60°,1OCB2∠=∠FCB=55°,∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=65°;③如图,∵∠ABC=60°,∠ACB=75°,∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=45°,∵点O到三边的距离相等,∴O是∠EBA和∠ACB的角平分线的交点,∴∠OBA=12∠EBA=12×(180°﹣60°)=60°,1OCB2∠=∠ACB=37.5°,∴∠BOC=180°﹣(∠OBA+∠ABC+∠OCB)=180°﹣(60°﹣60°﹣37.5°)=22.5°;如图,此时∠BOC=22.5°,故答案为:115或65或22.5.【点睛】此题主要考查三角形的内角和,解题的关键是根据题意分情况讨论.15.如图,AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=1,则AB与CD 之间的距离等于____.【答案】2【解析】过点O作OF⊥AB于F,作OG⊥CD于G,∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC,∴OE=OF,OE=OG,∴OE=OF=OG=1,∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠EOF+∠EOG=(180°﹣∠BAC)+(180°﹣∠ACD)=180°,∴E、O、G三点共线,∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2.故答案为:2.点睛:本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,平行线的性质,熟记性质是解题的关键,难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线.16.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CDE=55°.如图,则∠EAB的度数为_________【答案】35°【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线,然后求出∠AEB,再根据直角三角形两锐角互余求解即可.【详解】过点E作EF⊥AD于F.∵DE平分∠ADC,∴CE=EF.∵E是BC的中点,∴CE=BE,∴BE=EF,∴AE是∠BAD的平分线,∴∠EAB=∠FAE.∵∠B=∠C=90°,∴∠CDA+∠DAB=180°,∴2∠CDE+2∠EAB=180°,∴∠CDE+∠EAB=90°,∴∠EAB=90°-∠CDE=90°-55°=35°.故答案为:35°.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,角平分线的判定,熟记性质并作辅助线是解题的关键.17.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,以下结论:①∠BAC=70°;②∠DOC=90°;③∠BDC=35°;④∠DAC=55°,其中正确的是__________.(填写序号)【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可.【详解】解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°,①正确;∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=12∠ABC=25°,∴∠DOC=25°+60°=85°,②错误;∠BDC =60°﹣25°=35°,③正确;∵∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ,∴AD 是∠BAC 的外角平分线,∴∠DAC =55°,④正确.故答案为①③④.【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.18.如图,90C ∠=︒,10AC =,5BC =,AM AC ⊥,点P 和点Q 从A 点出发,分别在射线AC 和射线AM 上运动,且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍,当点P 运动至__________时,ABC △与APQ 全等.【答案】AC 中点或点P 与点C 重合【解析】分析:本题要分情况讨论:①Rt △APQ ≌Rt △CBA ,此时AP=BC=5cm ,可据此求出P 点的位置.②Rt △QAP ≌Rt △BCA ,此时AP=AC ,P 、C 重合.详解:根据三角形全等的判定方法HL 可知:①当P 运动到AP BC =的,∵90C QAP ∠=∠=︒,在Rt ABC △和Rt QPA 中,AP BC PQ AB=⎧⎨=⎩, ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ,即5AP BC ==,即P 运动到AC 的中点.②当P 运动到与C 点重合时,AP=AC ,在Rt △ABC 与Rt △QPA 中,AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL ),即AP=AC=10cm ,∴当点P 与点C 重合时,△ABC 才能和△APQ 全等.故答案为:AC 中点或点P 与点C 重合.点睛:本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于( )A .150°B .180°C .210°D .225°【答案】B【解析】【分析】 根据SAS 可证得ABC ≌EDC ,可得出BAC DEC ∠∠=,继而可得出答案,再根据邻补角的定义求解.【详解】由题意得:AB ED =,BC DC =,D B 90∠∠==,ABC ∴≌EDC ,BAC DEC ∠∠∴=,12180∠∠+=.故选B .【点睛】本题考查全等图形的知识,比较简单,解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ..20.如图,把ΔABC 剪成三部分,边AB ,BC ,AC 放在同一直线上,点O 都落在直线MN 上,直线MN ∥AB .在ΔABC 中,若∠AOB =125°,则∠ACB 的度数为( )A .70°B .65°C .60°D .85°【解析】 【分析】利用平行线间的距离处处相等,可知点O 到BC 、AC 、AB 的距离相等,得出O 为三条角平分线的交点,根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论.【详解】如图1,过点O 作OD ⊥BC 于D ,OE ⊥AC 于E ,OF ⊥AB 于F .∵MN ∥AB ,∴OD =OE =OF (平行线间的距离处处相等).如图2:过点O 作OD '⊥BC 于D ',作OE '⊥AC 于E ',作OF '⊥AB 于F '.由题意可知:OD =OD ',OE =OE ',OF =OF ',∴OD '=OE '=OF ',∴图2中的点O 是三角形三个内角的平分线的交点.∵∠AOB =125°,∴∠OAB +∠OBA =180°-125°=55°,∴∠CAB +∠CBA =2×55°=110°,∴∠ACB =180°-110°=70°.故选A .【点睛】本题考查了三角形的内心,平行线间的距离处处相等,角平分线定义,解答本题的关键是判断出OD =OE =OF .21.如图,在等腰△ABC 中,90ACB ︒∠=,8AC =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中,下列结论:(1)DEF 是等腰直角三角形;(2)四边形CDFE 不可能为正方形,(3)DE 长度的最小值为4;(4)连接CF ,CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1:2两部分,则CE =13或143其中正确的结论个数是A .1个B .2个C .3个D .4个【解析】【分析】连接CF,证明△ADF≌△CEF,根据全等三角形的性质判断①,根据正方形的判定定理判断②,根据勾股定理判断③,根据面积判断④.【详解】连接CF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠FCB=∠A=45,CF=AF=FB;∵AD=CE,∴△ADF≌△CEF(SAS);∴EF=DF,∠CFE=∠AFD;∵∠AFD+∠CFD=90∘,∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘,又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小;即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF=故(3)错误).∵△ADF≌△CEF,∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1:2两部分∴S△CEF:S△CDF=1:2 或S△CEF:S△CDF=2:1即S△ADF:S△CDF=1:2 或S△ADF:S△CDF=2:1当S△ADF:S△CDF=1:2时,S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).【点睛】本题考查了全等三角形,等腰直角三角形,以及勾股定理,掌握全等三角形,等腰直角三角形,以及勾股定理是解题的关键.22.如图,在△ABC中,P是BC上的点,作PQ∥AC交AB于点Q,分别作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,若PR=PS,则下面三个结论:①AS=AR;②AQ=PQ;③△PQR≌△CPS;④AC﹣AQ=2SC,其中正确的是()A.②③④B.①②C.①④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.【详解】解:如图连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,△APR≌△APS.AS=AR,又QP/AR,∠2 = ∠3又∠1 = ∠2,∠1=∠3,AQ=PQ,没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.23.如图在ABC △中,P ,Q 分别是BC 、AC 上的点,作PR AB ⊥,PS AC ⊥,垂足分别是R ,S ,AQ PQ =,PR PS =,下面三个结论:①AS AR =;②PQ AB ∥;③BRP △≌CSP △.其中正确的是( ).A .①②B .②③C .①③D .①②③【答案】A【解析】连接AP ,由题意得,90ARP ASP ∠=∠=︒,在Rt APR 和Rt APS 中,AP AP PR PS =⎧⎨=⎩, ∴△APR ≌()APS HL ,∴AS AR =,故①正确.BAP SAP ∠=∠,∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠,在AQP △中,∴AQ PQ =,∴QAP APQ ∠=∠,∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠,∴PQ AB ∥,故②正确;在Rt BRP 和Rt CSP 中,只有PR PS =,不满足三角形全等的条件,故③错误.故选A .点睛:本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定,准确作出辅助线是解决本题的关键.24.如图,BD是∠ABC的角平分线,AD⊥AB,AD=3,BC=5,则△BCD的面积为()A.7.5 B.8 C.10D.15【答案】A【解析】作DE⊥BC于E,根据角平分线的性质,由BD是∠ABC的角平分线,AD⊥AB,DE⊥BC,求出DE=DA=3,根据三角形面积公式计算S△BCD=12×BC×DE=7.5,故选:A.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.【答案】10【解析】利用正多边形的性质,可得点B关于AD对称的点为点E,连接BE交AD于P点,那么有PB=PF,PE+PF=BE最小,根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF的最小值为10.故答案为10.26.如图,点P 是AOB 内任意一点,5OP cm =,点P 与点C 关于射线OA 对称,点P 与点D 关于射线OB 对称,连接CD 交OA 于点E ,交OB 于点F ,当PEF 的周长是5cm 时,AOB ∠的度数是______度.【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线,OB 是PD 的垂直平分线,根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ,12POB DOB POD ,PE=CE ,OP=OC=5cm ,PF=FD ,OP=OD=5cm ,求出△COD 是等边三角形,即可得出答案.【详解】解:如图示:连接OC ,OD ,∵点P 与点C 关于射线OA 对称,点P 与点D 关于射线OB 对称,∴OA为PC的垂直平分线,OB是PD的垂直平分线,∵OP=5cm,∴12COA AOP COP,12POB DOB POD,PE=CE,OP=OC=5cm,PF=FD,OP=OD=5cm,∵△PEF的周长是5cm,∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm,∴CD=OD=OD=5cm,∴△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD,故答案为:30.【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质,轴对称性质和等边三角形的性质和判定,能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键.27.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,点D在边AB上,∠ACD=15°,则ADBC____.【答案】22.【解析】【分析】根据题意作CE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,在CF上截取一点H,使得CH=DH,连接DH,并设AD=2x,解直角三角形求出BC(用x表示)即可解决问题.【详解】解:作CE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,在CF上截取一点H,使得CH=DH,连接DH.设AD=2x ,∵AB=AC ,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=AD=x ,AF 3=, ∵∠ACD=15°,HD=HC ,∴∠HDC=∠HCD=15°,∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,∴DH=HC=2x ,FH 3=,∴3x ,在Rt △ACE 中,EC 12=AC=x 3+,AE 3=3=, ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ,在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =+=2x , ∴2222AD BC x ==. 故答案为:22. 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.28.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,以点A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB ,AC 于点M 和N ,再分别以点M ,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法:①AD 是∠BAC 的平分线;②∠ADC =60°;③点D 在AB 的垂直平分线上;④S △DAC :S △ABC =1:3.其中正确的是__________________.(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP,MP,根据SSS定理可得△ANP≌△AMP,故可得出结论;②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数,再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°,根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°;③根据∠1=∠B可知AD=BD,故可得出结论;④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°,CD=12AD,再由三角形的面积公式即可得出结论.【详解】①连接NP,MP.在△ANP与△AMP中,∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ANP≌△AMP,则∠CAD=∠BAD,故AD是∠BAC的平分线,故此选项正确;②∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=12∠CAB=30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,∴∠ADC=60°,故此选项正确;③∵∠1=∠B=30°,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上,故此选项正确;④∵在Rt△ACD中,∠2=30°,∴CD=12AD,∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD,S△DAC=12AC•CD=14AC•AD,∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD,∴S△DAC:S△ABC=1:3,故此选项正确.故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.29.如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,将△ABC绕点B旋转α(0<α<60°)到△A′BC′,边AC和边A′C′相交于点P,边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时,则α=__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D,过B作BE⊥A'C'于E,根据旋转可得△ABC≌△A'BC',则BD=BE,进而得到BP平分∠A'PC,再根据∠C=∠C'=30°,∠BQC=∠PQC',可得∠CBQ=∠C'PQ=θ,即可得出∠BPQ=12(180°-∠C'PQ)=90°-12θ,分三种情况讨论,利用三角形内角和等于180°,即可得到关于θ的方程,进而得到结果.【详解】如图,过B作BD⊥AC于D,过B作BE⊥A'C'于E,由旋转可得,△ABC≌△A'BC',则BD=BE,∴BP平分∠A'PC,又∵∠C=∠C'=30°,∠BQC=∠PQC',∴∠CBQ=∠C'PQ=θ,∴∠BPQ=12(180°-∠C'PQ)=90°-12θ,分三种情况:①如图所示,当PB=PQ时,∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ,∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°,∴90°-12θ+2×(30°+θ)=180°,解得θ=20°;②如图所示,当BP=BQ时,∠BPQ=∠BQP,即90°-12θ=30°+θ,解得θ=40°;③当QP=QB时,∠QPB=∠QBP=90°-12θ,又∵∠BQP=30°+θ,∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2(90°-12θ)+30°+θ=210°>180°(不合题意),故答案为:20°或40°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用,解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等,得出BP平分∠A'PC,解题时注意分类思想的运用.30.已知,∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A7B7A8的边长为______.【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2,进而得出A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2…从而得到答案.【详解】∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°.∵∠MON=30°,∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°.又∵∠3=60°,∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°.∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=a,∴A2B1=a.∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°.∵∠4=∠12=60°,∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,B 1A 2∥B 2A 3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴A 2B 2=2B 1A 2,B 3A 3=2B 2A 3,∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ,A 4B 4=8B 1A 2=8a ,A 5B 5=16B 1A 2=16a ,以此类推:A 7B 7=64B 1A 2=64a .故答案为:64a .【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质,根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2,A 4B 4=8B 1A 2,A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.已知:如图,点D ,E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上,AE 与BD 相交于点F ,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE ;③AF=BF ;④DF=EF ,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.32.如图,120AOB ∠=︒,OP 平分AOB ∠,且2OP =,若点M N 、分别在OA OB 、上,且PMN ∆为等边三角形,则满足上述条件的PMN ∆有( )A .1个B .2个C .3个D .无数个【答案】D【解析】【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°,只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件,以此进行分析即可得出结论.【详解】解:如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°.∵OP 平分∠AOB ,120AOB ∠=︒,∴∠EOP=∠POF=60°,∵OE=OF=OP ,∴△OPE ,△OPF 是等边三角形,∴EP=OP ,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN ,在△PEM 和△PON 中,PEM PON PE POEPM OPN ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨=== ∴△PEM ≌△PON (ASA ).∴PM=PN ,∵∠MPN=60°,∴△PNM 是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PMN 就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选:D .【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.33.如图,AOB α∠=,点P 是AOB ∠内的一定点,点,M N 分别在OA OB 、上移动,当PMN ∆的周长最小时,MPN ∠的值为( )A .90α+B .1902α+C .180α-D .1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点,在连接两个对称点,此时线段与角两边的交点,构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解:过P 点作OB 的对称点1P ,过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ,交点为M,N ,则此时PMN 的周长最小,且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α;设∠NPM=x°,则180°-x°=2(∠12P PP -x°) 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.34.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角,则符合条件的∠B 有( )个. A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图,当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况:∠B=135°或90°,当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况:∠B=112.5°,所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角,则符合答案的有两个,故本题应选B.点睛:因为不确定这个等腰三角形的底边,所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论:①当以B为顶点时,即以B为圆心,AB长为半径画弧交AC于点D,构成等腰△BAD;②当以点A为顶点时,即以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点D,构成等腰△ABD;或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.35.如图,∠AOB=30º,∠AOB 内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)

人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)

人教版八年级上册数学全册全套试卷测试卷(word版,含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.小明在用计算器计算一个多边形的内角和时,得出的结果为2005°,小芳立即判断他的结构是错误的,小明仔细地复算了一遍,果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________.【答案】1980【解析】【详解】解:设多边形的边数为n,多加的角度为α,则(n-2)×180°=2005°-α,当n=13时,α=25°,此时(13-2)×180°=1980°,α=25°故答案为1980.2.如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=50°,则∠BOC=_____.【答案】115°.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°,然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB,再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数.【详解】解;∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,∵∠B和∠C的平分线交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12×(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=115°,故答案为:115°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念,关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数.3.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°,则这个多边形边数是.【答案】12【解析】试题解析:根据题意,得(n-2)•180-360=1260,解得:n=11.那么这个多边形是十一边形.考点:多边形内角与外角.4.一个多边形的内角和与外角和的差是180°,则这个多边形的边数为_____.【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解:设这个多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°﹣360°=180°,解得n=5.故答案为5.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理,任意多边形的外角和都是360°,与边数无关.5.如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图,若∠1=38°,∠2=23°,则桥面断裂处夹角∠BCD=__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD,构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示,连接BD,∵∠4=∠1=38°,∠3=∠2=23°,∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为:119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD,构△BCD是解题的关键.6.如图,直线a∥b,∠l=60°,∠2=40°,则∠3=______.【答案】80°.【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4,再根据三角形内角和定理计算即可.【详解】∵a∥b,∴∠4=∠l=60°,∴∠3=180°-∠4-∠2=80°,故答案为80°.【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理,掌握两直线平行,同位角相等是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,△ABC 中,E 是 AC 的中点,延长BC 至D,使BC :CD=3:2,以CE,CD 为邻边做▱CDFE,连接 AF,BE,BF,若△ABC 的面积为 9,则阴影部分面积是()A.6 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质结合三角形面积去解答.【详解】解:在ABC 中,E 是 AC 的中点,S ABC 9=, BC :CD =3:2▱CDFE 中,CD=EF 1S BCE 4.52S ABC ∴== 设BCE 的高为1h , ABC 的高为2.h11S BCE 4.52BC h ∴=⨯⨯= 13h =12:1:2h h =26h ∴=S AEF S EFB s ∴=+阴()2111122EF h h EF h =⨯⨯-+⨯⨯ 212EF h =⨯⨯ 1262=⨯⨯ 6.=【点睛】此题重点考察学生对三角形中位线和面积的理解,熟练掌握三角形面积计算方法是解题的关键.8.已知非直角三角形ABC 中,∠A=45°,高BD 与CE 所在直线交于点H ,则∠BHC 的度数是()A .45°B .45° 或135°C .45°或125°D .135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC 是锐角三角形时,先根据高线的定义求出∠ADB=90°,∠BEC=90°,然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD ,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解;②△ABC 是钝角三角形时,根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A ,从而得解.【详解】①如图1,△ABC是锐角三角形时,∵BD、CE是△ABC的高线,∴∠ADB=90°,∠BEC=90°,在△ABD中,∵∠A=45°,∴∠ABD=90°-45°=45°,∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°;②如图2,△ABC是钝角三角形时,∵BD、CE是△ABC的高线,∴∠A+∠ACE=90°,∠BHC+∠HCD=90°,∵∠ACE=∠HCD(对顶角相等),∴∠BHC=∠A=45°.综上所述,∠BHC的度数是135°或45°.故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理,三角形的高线,难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论,作出图形更形象直观.9.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( )A.B.C.D.不能确定【解析】如图,∵等边三角形的边长为3,∴高线AH=3×333 =S△ABC=1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+∴1111 3?3?3?3? 2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯∴PD+PE+PF=AH=33 2即点P到三角形三边距离之和为33.故选B.10.已知一个正多边形的内角是140°,则这个正多边形的边数是()A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】分析:根据多边形的内角和公式计算即可.详解:.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛:本题考查了多边形,熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.11.一个多边形的内角和是900°,则这个多边形的边数为()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°,列出方程,解出即可.解:设这个多边形的边数为n ,则有(n-2)180°=900°,解得:n=7,∴这个多边形的边数为7.故选B .【点睛】本题考查了多边形内角和,熟练掌握内角和公式是解题的关键.12.如图,ABC △是一块直角三角板,90,30C A ∠=︒∠=︒,现将三角板叠放在一把直尺上,AC 与直尺的两边分别交于点D ,E ,AB 与直尺的两边分别交于点F ,G ,若∠1=40°,则∠2的度数为( )A .40ºB .50ºC .60ºD .70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质,即可得到∠1=∠DFG =40°,再根据三角形外角性质,即可得到∠2的度数.【详解】∵DF ∥EG ,∴∠1=∠DFG =40°,又∵∠A =30°,∴∠2=∠A +∠DFG =30°+40°=70°,故选D .【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:两直线平行,内错角相等.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形,点O 是AC 的中点,点D 在射线BO 上,连结OE ,EC ,则∠ACE =_____°;若AB =1,则OE 的最小值=_____.【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC=12AC,∠ABD=30°,根据"SAS"可证△ABD≌△ACE,可得∠ACE=30°=∠ABD,当OE⊥EC时,OE的长度最小,根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解:∵△ABC的等边三角形,点O是AC的中点,∴OC=12AC,∠ABD=30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)∴∠ACE=30°=∠ABD当OE⊥EC时,OE的长度最小,∵∠OEC=90°,∠ACE=30°∴OE最小值=12OC=14AB=14故答案为:30,1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.14.如图,P为等边△ABC内一点,∠APC=150°,且∠APD=30°,AP=6,CP=3,DP=7,则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB,连接EP,由全等三角形的性质可得CE=CP,∠ECB=∠PCA,∠CEB=∠CPA=150°,BE=AP=6,结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°,进而证明△ECP为等边三角形,由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°,最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB,连接EP,∴CE=CP,∠ECB=∠PCA,∠CEB=∠CPA=150°,BE=AP=6,∵等边△ABC,∴∠ACP+∠PCB=60°,∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°,∴△ECP为等边三角形,∴∠CPE=∠CEP=60°,PE=6,∴∠DEB=90°,∵∠APC=150°,∠APD=30°,∴∠DPC=120°,∴∠DPE=180°,即D、P、E三点共线,∴ED=3+7=10,∴BD=22=234.DE BE故答案为34【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定,运用旋转构造全等三角形是解题的关键.15.已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线,分别交BC于E、G.若BC=12,EG=2,则△AEG的周长是________.【答案】16或12.【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE=BE,CG=AG,分两种情况讨论:①DE和FG的交点在△ABC内,②DE和FG的交点在△ABC外.【详解】∵DE,FG分别是△ABC的AB,AC边的垂直平分线,∴AE=BE,CG=AG.分两种情况讨论:①当DE和FG的交点在△ABC内时,如图1.∵BC=12,GE=2,∴AE+AG=BE+CG=12+2=14,△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16.②当DE和FG的交点在△ABC外时,如图2,△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG+EG=BC=12.故答案为:16或12.【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.16.如图,在△ABD中,∠BAD=80°,C为BD延长线上一点,∠BAC=130°,△ABD的角平分线BE与AC交于点E,连接DE,则∠DEB=_____.【答案】40°【解析】【分析】做辅助线,构建角平分线的距离,根据角平分线的性质和逆定理可得:EF=EG=EH,设∠DEG=y,∠GEB=x,根据三角形内角和定理可得:∠GEA=∠FEA=40°,∠FEB=∠HEB,列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论:∠DEB=40°.【详解】如图,过E作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,EH⊥BC于H,∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC=130°,∠BAD=80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y,∠GEB=x,∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°,∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB=40°.故答案为:40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质,正确作辅助线是解题的关键.17.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=56°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为_____度.【答案】112.【解析】【分析】连接OB、OC,根据角平分线的定义求出∠BAO=28°,利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB,再根据等边对等角求出∠OBA,然后求出∠OBC,再根据等腰三角形的性质可得OB=OC,然后求出∠OCE,根据翻折变换的性质可得OE=CE,然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.【详解】如图,连接OB、OC,∵OA平分∠BAC,∠BAC=56°,∴∠BAO=12∠BAC=12×56°=28°,∵AB=AC,∠BAC=56°,∴∠ABC=12(180°﹣∠BAC)=12×(180°﹣56°)=62°,∵OD垂直平分AB,∴OA=OB,∴∠OBA=∠BAO=28°,∴∠OBC=∠ABC﹣∠OBA=62°﹣28°=34°,由等腰三角形的性质,OB=OC,∴∠OCE=∠OBC=34°,∵∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,∴OE=CE,∴∠OEC=180°﹣2×34°=112°.故答案是:112.【点睛】考查了翻折变换,等腰三角形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,三角形的内角和定理,熟记各性质并准确识图是解题的关键.18.已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC; ②∠BCE+∠BCD=180°;③AF2=EC2﹣EF2; ④BA+BC=2BF.其中正确的是_____.【答案】①②③④.【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ,可判定①正确;根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确;证明AD=AE=EC ,再利用勾股定理即可判定③正确;过E 作EG ⊥BC 于G 点,证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ,根据全等三角形的性质可得AF=CG ,所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ,即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线,∴∠ABD=∠CBD ,在△ABD 和△EBC 中,BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△EBC (SAS ),∴①正确;②∵BD 为△ABC 的角平分线,BD=BC ,BE=BA ,∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ,∵△ABD ≌△EBC ,∴∠BCE=∠BDA ,∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,∴②正确;③∵∠BCE=∠BDA ,∠BCE=∠BCD+∠DCE ,∠BDA=∠DAE+∠BEA ,∠BCD=∠BEA , ∴∠DCE=∠DAE ,∴△ACE 为等腰三角形,∴AE=EC ,∵△ABD ≌△EBC ,∴AD=EC ,∴AD=AE=EC ,∵EF ⊥AB ,∴AF 2=EC 2﹣EF 2;∴③正确;④如图,过E 作EG ⊥BC 于G 点,∵E 是BD 上的点,∴EF=EG ,在Rt △BEG 和Rt △BEF 中,BE BE EF EG =⎧⎨=⎩, ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF (HL ),∴BG=BF ,在Rt △CEG 和Rt △AFE 中,EF FG AE CE =⎧⎨=⎩, ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE (HL ),∴AF=CG ,∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ,∴④正确.故答案为:①②③④.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.已知:如图,在长方形ABCD 中,AB=4,AD=6.延长BC 到点E ,使CE=2,连接DE ,动点P 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动,设点P 的运动时间为t 秒,当t 的值为_____秒时,△ABP 和△DCE 全等.A .1B .1或3C .1或7D .3或7 【答案】C【解析】【分析】 分两种情况进行讨论,根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得.【详解】解:因为AB=CD ,若∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE=2,根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ,由题意得:BP=2t=2,所以t=1,因为AB=CD,若∠BAP=∠DCE=90°,AP=CE=2,根据SAS证得△BAP≌△DCE,由题意得:AP=16-2t=2,解得t=7.所以,当t的值为1或7秒时.△ABP和△DCE全等.故选C.【点睛】本题考查全等三角形的判定,判定方法有:ASA,SAS,AAS,SSS,HL.20.下列命题中的假命题是()A.等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B.等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C.等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D.直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解:A、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等,正确,是真命题;B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等,正确,是真命题;C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等,正确,是真命题;D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等,错误,是假命题,故答案为D.【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定,其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.21.已知等边△ABC中,在射线BA上有一点D,连接CD,并以CD为边向上作等边△CDE,连接BE和AE,试判断下列结论:①AE=BD;②AE与AB所夹锐夹角为60°;③当D在线段AB或BA延长线上时,总有∠BDE-∠AED=2∠BDC;④∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的序号有()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°,∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE,利用SAS可证明△BCD≌△ACE,可得AE=BD,①正确;∠CBD=∠CAE=60°,进而可得∠EAD=60°,②正确,当∠BCD=90°时,可得∠ACD=∠ADC=30°,可得AD=AC,即可得CE2+AD2=AC2+DE2,④正确;当D点在BA延长线上时,∠BDE-∠BDC=60°,根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC,进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°,即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED,即∠BDE-∠AED=2∠BDC,当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°,③错误,综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE,又∵AC=BC,CE=CD,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD,∠CBA=∠CAE=60°,∠AEC=∠BDC,①正确,∴∠BAE=120°,∴∠EAD=60°,②正确,∵∠BCD=90°,∠BCA=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴AC=AD,∵CE=DE,∴CE2+AD2=AC2+DE2,④正确,当D点在BA延长线上时,∠BDE-∠BDC=60°,∵∠AEC=∠BDC,∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°,∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC,如图,当点D在AB上时,∵△BCD≌△∠ACE,∴∠CAE=∠CBD=60°,∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°,∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°,③错误故正确的结论有①②④,故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握22.如图,点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点,点B 、B′ 关于 AD 对称,且BB′ 交AD 于 F,交 AC 于 E,连接 FC 、 AB′,下列说法:① ∠BAD=30°; ② ∠BFC=135°;③ AF=2B′ C;正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点,可得tan∠BAD=12,即可得到∠BAD≠30°;连接B'D,即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°,进而得出△ABF≌△BCB',判定△FCB'是等腰直角三角形,即可得到∠CFB'=45°,即∠BFC=135°;由△ABF≌△BCB',可得AF=BB'=2BF=2B'C;依据△AEF与△CEB'不全等,即可得到S△AFE≠S△FCE.【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点,∴BD=12BC=12AB,∴tan∠BAD=12,∴∠BAD≠30°,故①错误;如图,连接B'D,∵B、B′关于AD对称,∴AD垂直平分BB',∴∠AFB=90°,BD=B'D=CD,∴∠DBB'=∠BB'D,∠DCB'=∠DB'C,∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°,∴∠AFB=∠BB'C,又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF,∴∠BAF=∠CBB',∴△ABF≌△BCB',∴BF=CB'=B'F,∴△FCB'是等腰直角三角形,∴∠CFB'=45°,即∠BFC=135°,故②正确;由△ABF≌△BCB',可得AF=BB'=2BF=2B'C,故③正确;∵AF>BF=B'C,∴△AEF与△CEB'不全等,∴AE≠CE,∴S△AFE≠S△FCE,故④错误;故选B.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用,如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.23.如右图,在△ABC中,点Q,P分别是边AC,BC上的点,AQ=PQ,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,且PR=PS,下面四个结论:①AP平分∠BAC;②AS=AR;③BP=QP;④QP∥AB.其中一定正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④【答案】C【解析】试题解析:∵PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,且PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,即AP平分∠BAC,故①正确;∴∠PAR=∠PAQ,∵AQ=PQ,∴∠APQ=∠PAQ,∴∠APQ=∠PAR,QP AB∴,故④正确;在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩,(HL)APR APS∴≌,∴AR=AS,故②正确;△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘,其他条件不容易得到,所以,不一定全等.故③错误.故选C.24.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS,可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等,故A不正确;根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形,符合全等三角形的判定定理HL,能判定全等;若两条直角边对应相等的两个直角三角形,符合全等三角形的判定定理SAS,也能判全等,但是有两边对应相等,没说明是什么边对应,故不能判定,故B正确.根据全等三角形的判定AAS,可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等,故C不正确;根据直角三角形的判定HL,可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等,故D不正确.故选B.点睛:此题主要考查了直角三角形全等的判定,解题时利用三角形全等的判定SSS,SAS,ASA,AAS,HL,直接判断即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.我们知道,经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线,均能把三角形分割成两个三角形(1)如图,在ABC∆中,25,105A ABC∠=︒∠=︒,过B作一直线交AC于D,若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形,则BDA∠的度数是______.(2)已知在ABC∆中,AB AC=,过顶点和顶点对边上一点的直线,把ABC∆分割成两个等腰三角形,则A∠的最小度数为________.【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由题意得:DA=DB,结合25A∠=︒,即可得到答案;(2)根据题意,分4种情况讨论,①当BD=AD,CD=AD,②当AD=BD,AC=CD,③AB=AC,当AD=BD=BC,④当AD=BD,CD=BC,分别求出A∠的度数,即可得到答案.【详解】(1)由题意得:当DA=BA,BD=BA时,不符合题意,当DA=DB时,则∠ABD=∠A=25°,∴∠BDA=180°-25°×2=130°.故答案为:130°;(2)①如图1,∵AB=AC,当BD=AD,CD=AD,∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠BAC=90°.②如图2,∵AB=AC,当AD=BD,AC=CD,∴∠B=∠C=∠BAD,∠CAD=∠CDA,∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,∴∠BAC=3∠B,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,∴∠BAC=108°.③如图3,∵AB=AC,当AD=BD=BC,∴∠ABC=∠C,∠BAC=∠ABD,∠BDC=∠C,∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC,∴∠ABC=∠C=2∠BAC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴5∠BAC=180°,∴∠BAC=36°.④如图4,∵AB=AC,当AD=BD,CD=BC,∴∠ABC=∠C,∠BAC=∠ABD,∠CDB=∠CBD,∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC,∴∠ABC=∠C=3∠BAC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴7∠BAC=180°,∴∠BAC=180 ()7︒.综上所述,∠A的最小度数为:180 ()7︒.故答案是:180 ()7︒.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质,根据等腰三角形的性质,分类讨论,是解题的关键.26.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为______.【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F,过点B′作B′G⊥AD于点G,∵∠B=60°,BE=BD=4,∴△BDE是等边三角形,∵△B′DE≌△BDE,∴B′F=1B′E=BE=2,3,2∴GD=B′F=2,∴3∵AB=10,∴AG=10﹣6=4,∴7考点:1轴对称;2等边三角形.27.如图,在直角坐标系中,点()8,8B -,点()2,0C -,若动点P 从坐标原点出发,沿y 轴正方向匀速运动,运动速度为1/cm s ,设点P 运动时间为t 秒,当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时,直接写出t 的所有值__________________.【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况:PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形,计算出OP 的长度,即可求出t 的值.【详解】解:如图所示,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,作BE ⊥y 轴于点E ,分别以点B 和点C 为圆心,以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ,点H 和点G∵点B (-8,8),点C (-2,0),∴DC=6cm ,BD=8cm ,由勾股定理得:BC=10cm∴在直角三角形COG 中,OC=2cm ,CG=BC=10cm ,∴OP=OG= 2210246(cm)-=,当点P 运动到点F 或点H 时,BE=8cm ,BH=BF=10cm ,∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2(cm )或OP=OH=8+6=14(cm ),故答案为:2秒,46秒或14秒.【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用,通过作图找出要求的点的位置,利用勾股定理来求解是本题的关键.28.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB -2∠ACD ,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ,∴∠ECB=∠ACB -∠ACE=∠ACB -2∠ACD ,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB -2∠ACD=100°,∵AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB-2∠ACD=100°,∴∠ACB-∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.29.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=_____cm.【答案】8cm.【解析】【详解】解:如图,延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=36°,∴NM=2,∴BN=4,∴BC=8.30.如图:在ABC ∆中,D ,E 为边AB 上的两个点,且BD BC =,AE AC =,若108ACB ∠=︒,则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ,用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC,然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080,∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800,∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质,注意两条等边所在三角形,依此判断对应的两个底角相等.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.如图,ABC,分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,连接AF,有以下四个结论:①BE CD=;②FA平分EFC∠;③FE FD=;④FE FC FA+=.其中一定正确的结论有()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC,可得BE=CD,从而得出①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD,由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN,由AAS可证△AME≌△ANC,得到AM=AN,由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC,从而得出②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE,可得AG=CF,即可求得AF=CF+EF,从而得出④正确;根据CF+EF=AF,CF+DF=CD,得出CD≠AF,从而得出FE≠FD,即可得出③错误.【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形,∴∠BAD=∠EAC=60°,AE=AC=EC.∵∠BAE+∠DAE=60°,∠CAD+∠DAE=60°,∴∠BAE=∠DAC,在△BAE和△DAC中,∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD,①正确;过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,如图1.∵△BAE≌△DAC,∴∠BEA=∠ACD,∴∠AEM=∠ACN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,∴∠AME=∠ANC.在△AME和△ANC中,∵∠AEM=∠CAN,∠AME=∠ANC,AE=AC,∴△AME≌△ANC,∴AM=AN.∵AM⊥BF,AN⊥DC,AM=AN,FA平分∠EFC,②正确;在FA上截取FG,使FG=FE,如图2.∵∠BEA=∠ACD,∠BEA+∠AEF=180°,∴∠AEF+∠ACD=180°,∴∠EAC+∠EFC=180°.∵∠EAC=60°,∴∠EFC=120°.∵FA平分∠EFC,∴∠EFA=∠CFA=60°.∵EF=FG,∠EFA=60°,∴△EFG是等边三角形,∴EF=EG.∵∠AEG+∠CEG=60°,∠CEG+∠CEF=60°,∴∠AEG=∠CEF,在△AGE和△CFE中,∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGE≌△CFE(SAS),∴AG=CF.∵AF=AG+FG,∴AF=CF+EF,④正确;∵CF+EF=AF,CF+DF=CD,CD≠AF,∴FE≠FD,③错误,∴正确的结论有3个.故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作辅助线是解答本题的关键.32.如图,AOB α∠=,点P 是AOB ∠内的一定点,点,M N 分别在OA OB 、上移动,当PMN ∆的周长最小时,MPN ∠的值为( )A .90α+B .1902α+C .180α-D .1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点,在连接两个对称点,此时线段与角两边的交点,构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解:过P 点作OB 的对称点1P ,过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ,交点为M,N ,则此时PMN 的周长最小,且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α;设∠NPM=x°,则180°-x°=2(∠12P PP -x°)所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.33.如图,△ABC 的周长为32,点D 、E 都在边BC 上,∠ABC 的平分线垂直于AE ,垂足为Q ,∠ACB 的平分线垂直于AD ,垂足为P ,若BC =12,则PQ 的长为( )A .3B .4C .5D .6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形,从而得出BA =BE ,CA =CD ,由△ABC 的周长为32以及BC =12,可得DE =8,利用中位线定理可求出PQ .【详解】∵BQ 平分∠ABC ,BQ ⊥AE ,∴∠ABQ =∠EBQ ,∵∠ABQ+∠BAQ =90°,∠EBQ+∠BEQ =90°,∴∠BAQ =∠BEQ , ∴AB =BE ,同理:CA =CD ,∴点Q 是AE 中点,点P 是AD 中点(三线合一),∴PQ 是△ADE 的中位线,∵BE+CD =AB+AC =32﹣BC =32﹣12=20,∴DE =BE+CD ﹣BC =8,∴PQ =12DE =4. 故选:B .【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定,解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形,利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线.34.如图,等腰ABC ∆中,AB AC =,120BAC ∠=,AD BC ⊥于点D ,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP OC =.下列结论:①30APO DCO ∠+∠=;②APO DCO ∠=∠;③OPC ∆是等边三角形;④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ,根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ,即可解题;③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°,即可解题;④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ,易证△BQO≌△PAO,可得PA=BQ ,即可解题.【详解】连接OB ,∵AB AC =,AD ⊥BC ,∴AD 是BC 垂直平分线,∴OB OC OP ==,∴APO ABO ∠=∠,DBO DCO ∠=∠,∵AB=AC ,∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒,∴30APO DCO ∠+∠=.故①②正确;∵OBP ∆中,180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠,BOC ∆中,180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠,∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠,∵OPB OBP ∠=∠,OBC OCB ∠=∠,∴260POC ABD ∠=∠=︒,∵PO OC ,∴OPC ∆是等边三角形,故③正确;在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ,则AOQ ∆为等边三角形,则120BQO PAO ∠=∠=︒,在BQO ∆和PAO ∆中,BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== ∴BQO PAO AAS ∆∆≌(),∴PA BQ =,∵AB BQ AQ =+,∴AB AO AP =+,故④正确.故选:D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质,本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键.35.如图钢架中,∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A .15°≤ a <18°B .15°< a ≤18°C .18°≤ a <22.5°D .18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等,可知图中都是等腰三角形,利用等腰三角形底角一定是锐角,可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质,可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得,∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ,∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ,∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ,在△P 4P 3P 5中,∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时,不能再放钢管,∴3180890+-≤a a ,解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角,∴4a <90°,解得a <22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.36.如图,已知等边△ABC 的边长为4,面积为43,点D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,点P 为BD 上一动点,则PE+PC 的最小值为( )A .3B .2C .3D .3【答案】C【解析】【分析】 由题意可知点A 、点C 关于BD 对称,连接AE 交BD 于点P ,由对称的性质可得,PA=PC ,故PE+PC=AE ,由两点之间线段最短可知,AE 即为PE+PC 的最小值.【详解】解:∵△ABC 是等边三角形,点D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,∴BD ⊥AC ,EC =2,连接AE ,线段AE 的长即为PE+PC 最小值,∵点E 是边BC 的中点,∴AE ⊥BC ,∴PE+PC 22AC E C -224223-=故选C .【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)37.已知226a b ab +=,且a>b>0,则a b a b +-的值为( ) A 2B 2C .2 D .±2 【答案】A【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ,变形可得(a+b )2=8ab ,(a-b )2=4ab ,可以得出(a+b )和(a-b )的值,即可得出答案.【详解】∵a 2+b 2=6ab ,∴(a+b )2=8ab ,(a-b )2=4ab ,∵a >b >0,∴8ab 4ab∴a b a b +-824ab ab= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题,观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解,要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系.38.已知a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013,那么a 2+b 2+c 2—ab -bc -ca 的值等于( )A .0B .1C .2D .3【答案】D【解析】【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ,利用提取公因式法因式分解,再把a 、b 、c 代入求值即可.【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac=a (a ﹣b )+b (b ﹣c )+c (c ﹣a )。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷测试题(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 全册全套试卷测试题(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册全册全套试卷测试题(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,∴∠MCN=30º+30º=60º,∴∠MCN=∠DCE,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,∴∠MCF=∠NCG,在△MCF和△NCG中,CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG(ASA),∴CF=CG(全等三角形对应边相等);【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.2.如图1,在ABC∆中,ACB∠是直角,60B∠=︒,AD、CE分别是BAC∠、BCA∠的平分线,AD、CE相交于点F.(1)求出AFC∠的度数;(2)判断FE与FD之间的数量关系并说明理由.(提示:在AC上截取CG CD=,连接FG.)(3)如图2,在△ABC∆中,如果ACB∠不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)∠AFC=120°;(2)FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.理由见解析;(3)AC=AE+CD.理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC,∠ACF即可解决问题;(2)根据在图2的 AC上截取CG=CD,证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF;再根据ASA 证明△AFG≌△AFE,得EF=FG,故得出EF=FD;(3)根据(2) 的证明方法,在图3的AC上截取AG=AE,证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA;再根据ASA证明△FDC≌△FGC,得CD=CG即可解决问题.【详解】(1)解:∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=90°﹣60°=30°,∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,∴∠FAC=15°,∠FCA=45°,∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠ACF)=120°(2)解:FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.理由:如图2,在AC上截取CG=CD,∵CE是∠BCA的平分线,∴∠DCF=∠GCF,在△CFG和△CFD中,CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CFG≌△CFD(SAS),∴DF=GF.∠CFD=∠CFG由(1)∠AFC=120°得,∴∠CFD=∠CFG=∠AFE=60°,∴∠AFG=60°,又∵∠AFE=∠CFD=60°,∴∠AFE=∠AFG,在△AFG和△AFE中,AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AFG≌△AFE(ASA),∴EF=GF,∴DF=EF;(3)结论:AC=AE+CD.理由:如图3,在AC上截取AG=AE,同(2)可得,△EAF ≌△GAF (SAS ),∴∠EFA =∠GFA ,AG =AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC =180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°, ∴∠EFA =∠GFA =180°﹣120°=60°=∠DFC ,∴∠CFG =∠CFD =60°,同(2)可得,△FDC ≌△FGC (ASA ),∴CD =CG ,∴AC =AG+CG =AE+CD .【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用,全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造全等三角形.3.如图,在ABC ∆中,903, 7C AC BC ∠=︒==,,点D 是BC 边上的动点,连接AD ,以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE .(1)填空:ABC ∆的面积等于 ;(2)连接CE ,求证:CE 是ACB ∠的平分线;(3)点O 在BC 边上,且1CO =, 当D 从点O 出发运动至点B 停止时,求点E 相应的运动路程.【答案】(1)212;(2)证明见解析;(3)32【解析】【分析】(1)根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得; (2)如图所示作出辅助线,证明△AEM ≌△DEN (AAS ),得到ME=NE ,即可利用角平分线的判定证明;(3)由(2)可知点E 在∠ACB 的平分线上,当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +,根据CD 的长度计算出CE 的长度即可.【详解】解:(1)903, 7C AC BC ∠=︒==, ∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=, 故答案为:212 (2)连接CE ,过点E 作EM ⊥AC 于点M ,作EN ⊥BC 于点N ,∴∠EMA=∠END=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠MEN=90°,∴∠MED+∠DEN=90°,∵△ADE 是等腰直角三角形∴∠AED=90°,AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°,∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM 与△DEN 中,∠EMA=∠END=90°,∠AEM=∠DEN ,AE=DE∴△AEM ≌△DEN (AAS )∴ME=NE∴点E 在∠ACB 的平分线上,即CE 是ACB ∠的平分线(3)由(2)可知,点E 在∠ACB 的平分线上,∴当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,∵△AEM ≌△DEN∴AM=DN ,即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中,CE=CE,ME=NE,∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+,又∵∠MCE=∠NCE=45°,∠CME=90°,∴CE=22() CN AC CD=+,当AC=3,CD=CO=1时,CE=2(31)22+=当AC=3,CD=CB=7时,CE=2(37)52+=∴点E的运动路程为:522232-=,【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.4.探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE 的度数.【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由见解析;(2)①50;②∠DCE=85°.【解析】【分析】(1)首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①由(1)可得∠A+∠ABX+∠ACX=∠X,然后根据∠A=40°,∠X=90°,即可求解;(3)②由∠A=40°,∠DBE=130°,求出∠ADE+∠AEB的值,然后根据∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC,求出∠DCE的度数即可.【详解】(1)如图,∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX=50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A=40°,∠DBE=130°,∴∠ADE+∠AEB=130°﹣40°=90°,∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB,∴∠ADC+∠AEC=1(ADB AEB)2∠+∠=45°,∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5.如图,A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,动点P从原点O出发,沿x轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.(1)若AB∥x轴,如图1,求t的值;(2)设点A关于x轴的对称点为A′,连接A′B,在点P运动的过程中,∠OA′B的度数是否会发生变化,若不变,请求出∠OA′B的度数,若改变,请说明理由.(3)如图2,当t=3时,坐标平面内有一点M(不与A重合)使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)4;(2)∠OA′B的度数不变,∠OA′B=45︒,理由见解析;(3)点M的坐标为(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质,可证明△AOP为等腰直角三角形,从而求得答案;(2)根据对称的性质得:PA=PA'=PB,由∠PAB+∠PBA=90°,结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B=45°;(3)分类讨论:分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时,点M的坐标的情况;过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线,利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】(1)∵AB∥x轴,△APB为等腰直角三角形,∴∠PAB=∠PBA=∠APO=45°,∴△AOP 为等腰直角三角形,∴OA =OP =4.∴t =4÷1=4(秒),故t 的值为4.(2)如图2,∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45°,∵点A 关于x 轴的对称点为A ′,∴PA =PA ',又AP =PB ,∴PA =PA '=PB ,∴∠PAA '=∠PA 'A ,∠PBA '=∠PA 'B ,又∵∠PAB +∠PBA =90°,∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '=180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°,∴∠AA 'B =45°,即∠OA 'B =45°;(3)当t =3时,M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等, ①如图3,若△ABP ≌△MBP ,则AP =PM ,过点M 作MD ⊥OP 于点D ,∵∠AOP =∠PDM ,∠APO =∠DPM ,∴△AOP ≌△MDP (AAS ),∴OA =DM =4,OP =PD =3,∴M 的坐标为:(6,-4).②如图4,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形, ∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====,∵BG ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF =45︒+1∠,∠MPE =45︒+2∠,∴∠BAF =∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====,∴M 的坐标为:(4,7),③如图5,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点D ,过点B 作BG ⊥x 轴于点E ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====,∵BE ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====,∴M 的坐标为:(10,﹣1).综合以上可得点M 的坐标为:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,第(3)小题要注意分类讨论,作此类型的题要结合图形,构建适当的辅助线,寻找相等的量才能得出结论.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)6.如图,已知DCE ∠与AOB ∠,OC 平分AOB ∠.(1)如图1,DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ,90AOB DCE ∠=∠=︒,试判断线段CD 与CE 的数量关系,并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法:解:CD CE =.理由如下:如图1,过点 C 作 C F OC ⊥,交 O B 于点 F ,则90OCF ∠=︒,…请根据小宇同学的证明思路,写出该证明的剩余部分.(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.(3)若120AOB ∠=︒,60DCE ∠=︒.①如图3,DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时,(1)中的结论成立吗?为什么?线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系?说明理由.②如图4,DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系;如图5,DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时,请回答(1)中的结论是否成立,并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)①成立,理由见解析;②在图4中,(1)中的结论成立,OE OD OC -=.在图5中,(1)中的结论成立,OD OE OC -=【解析】【分析】(1)通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ;(2)过点 C 作CM OA ⊥,CN OB ⊥,垂足分别为 M ,N ,通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ;(3)①方法一:过点 C 作 C M OA ⊥,CN OB ⊥垂足分别为 M ,N ,通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌,进而得到,CD CE DM EN ==,利用等量代换得到=OE OD ON OM ++,在 Rt CMO ∆中,利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC=,同理得到12ON OC=,所以OE OD OC+=;方法二:以CO为一边作60FCO∠=︒,交O B于点F,通过ASA证明CDO CEF∆∆≌,得到,CD CE OD EF==,所以OE OD OE EF OF OC+=+==;②图4:以OC为一边,作∠OCF=60°与OB交于F点,利用ASA证得△COD≌△CFE,即有CD=CE,OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD;图5:以OC为一边,作∠OCG=60°与OA交于G点,利用ASA证得△CGD≌△COE,即有CD=CE,OD=EF,得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解:(1)OC平分AOB∠,145∠=∠2=︒∴,390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中,1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2,过点C作CM OA⊥,CN OB⊥,垂足分别为M,N,∴90CMD CNE∠=∠=︒,又∵OC平分AOB∠,∴CM CN=,在四边形O DCE中,12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒,又∵90AOB DCE∠=∠=︒,∴12180∠+∠=︒,又∵13180∠+∠=︒,∴32∠=∠,在CMD∆与CNE∆中,32CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS∆∆≌,∴CDCE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC+=.理由如下:方法一:如图3(1),过点C作C M OA⊥,CN OB⊥,垂足分别为M,N,∴90CMD CNE∠=∠=︒,又∵OC平分AOB∠,∴CM CN=,在四边形ODCE中,12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒,又∵60120180AOB DCE∠+∠=︒+︒=︒,∴12180∠+∠=︒,又∵23180∠+∠=︒,∴13∠=∠,在CMD∆与CNE∆中,13CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()CMD CNE AAS∆∆≌,∴,CD CEDM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中,1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒, ∴12OM OC =,同理1 2ON OC =, ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二:如图3(2),以CO 为一边作60FCO ∠=︒,交 O B 于点 F ,∵OC 平分AOB ∠,∴1260∠=∠=︒,∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒,∴13∠=∠,32FCO ∠=∠=∠,∴COF ∆是等边三角形,∴CO CF =,∵4560DCE ∠=∠+∠=︒,6560FCO ∠=∠+∠=︒,∴46∠=∠,在CDO ∆与CEF ∆中,1346CO CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA ∆∆≌,∴,CD CE OD EF ==.∴OE OD OE EF OF OC +=+==.②在图4中,(1)中的结论成立,OE OD OC -=.如图,以OC 为一边,作∠OCF=60°与OB 交于F 点∵∠AOB=120°,OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°,∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE(ASA)∴CD=CE,OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中,(1)中的结论成立,OD OE OC如图,以OC为一边,作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°,OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°,∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE(ASA)∴CD=CE,OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用,有一定难度,解题关键在于能够做出辅助线证全等.7.如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC=20°,求∠AEB的度数;(3)连结CE,写出AE,BE,CE之间的数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)补图见解析;(2)60°;(3)CE+AE=BE.【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可;(2)根据轴对称的性质可得AC=AD,∠PAC=∠PAD=20°,根据等边三角形的性质可得AC=AB,∠BAC=60°,即可得AB=AD,在△ABD 中,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数,再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数;(3)CE +AE=BE,如图,在BE上取点M使ME=AE,连接AM,设∠EAC=∠DAE=x,类比(2)的方法求得∠AEB=60°,从而得到△AME为等边三角形,根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB,根据全等三角形的性质可得CE=BM,由此即可证得CE +AE=BE.【详解】(1)如图:(2)在等边△ABC 中,AC =AB ,∠BAC =60°由对称可知:AC =AD ,∠PAC =∠PAD ,∴AB =AD∴∠ABD =∠D∵∠PAC =20°∴∠PAD =20°∴∠BAD =∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB =∠D +∠PAD =60°(3)CE +AE =BE . 在BE 上取点M 使ME =AE ,连接AM ,在等边△ABC 中,AC =AB ,∠BAC =60°由对称可知:AC =AD ,∠EAC =∠EAD ,设∠EAC =∠DAE =x .∵AD =AC =AB ,∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB =60-x +x =60°. ∴△AME 为等边三角形.∴AM=AE ,∠MAE=60°,∴∠BAC=∠MAE=60°,即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中,AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AMB≌△AEC.∴CE=BM.∴CE+AE=BE.【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点,解决第三问时,通过做辅助线,把AE转化到BE 上,再证明CE=BM即可得结论.8.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A.点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为2cm/s,点N的速度为3cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)点M、N运动秒后,△AMN是等边三角形?(2)点M、N在BC边上运动时,运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN?(3)M、N同时运动几秒后,△AMN是直角三角形?请说明理由.【答案】(1)125;(2)485;(3)点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后,△AMN为直角三角形.【解析】【分析】(1)当AM=AN时,△MNA是等边三角形.设运动时间为t秒,构建方程即可解决问题;(2)点M、N在BC边上运动时,满足CM=BN时,可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN.构建方程即可解决问题;(3)据题意设点M、N运动t秒后,可得到直角三角形△AMN,分四种情况讨论即可.【详解】(1)当AM=AN时,△MNA是等边三角形,设运动时间为t秒则有:2t=12﹣3t解得t=125故点M、N运动125秒后,△AMN是等边三角形;(2)点M、N在BC边上运动时,满足CM=BN时,可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有:2t﹣12=36﹣3t解得t=48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN;(3)设点M、N运动t秒后,可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上,N在AB上,∠ANM=90°时,如图∵∠A=60°∴∠AMN=30°∴AM=2AN则有2t=2(12﹣3t)∴t=3;②当M在AC上,N在AB上,∠AMN=90°时,如图∵∠A=60°∴∠ANM=30°∴2AM=AN∴4t=12﹣3t∴t=127;③当M、N都在BC上,∠ANM=90°时,如图CN=3t﹣24=6解得t=10;④当M 、N 都在BC 上,∠AMN =90°时,则N 与B 重合,M 正好处于BC 的中点,如图此时2t =12+6解得t =9;综上所述,点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后,△AMN 为直角三角形. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质,熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.9.小明在学习了“等边三角形”后,激发了他的学习和探究的兴趣,就想考考他的朋友小崔,小明作了一个等边ABC ∆,如图1,并在边AC 上任意取了一点F (点F 不与点A 、点C 重合),过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ,延长CB 到G ,使得BG AF =,连接FG 交AB 于点l .(1)若10AC =,求HI 的长度;(2)如图2,延长BC 到D ,再延长BA 到E ,使得AE BD =,连接ED ,EC ,求证:ECD EDC ∠=∠.【答案】(1)HI =5;(2)见解析.【解析】【分析】(1)作FP ∥BC 交AB 于点P ,证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH , 再证明PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ,于是可得HI =12AB ,即可求解; (2)延长BD 至Q ,使DQ=AB ,连结EQ ,就可以得出BE=BQ ,得出△BEQ 是等边三角形,就可以得出BE=QE ,得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论.【详解】解:如图1,作FP∥BC交AB于点P,∵ABC∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB⊥,∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI∆和BGI∆中,PIF BIGPFI BGIPF BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFI BGI∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB,∴HI=PI+PH =12AB=1102⨯=5;(2)如图2,延长BD至Q,使DQ=AB,连结EQ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC=AC ,∠B=60°.∵AE=BD ,DQ=AB ,∴AE+AB=BD+DQ ,∴BE=BQ .∵∠B=60°,∴△BEQ 为等边三角形,∴∠B=∠Q=60°,BE=QE .∵DQ=AB ,∴BC=DQ .∴在△BCE 和△QDE 中,BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△QDE (SAS ),∴EC=ED .∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键.本题难度较大,需要有较强的综合能力.10.如图,在 ABC 中,已知 AB AC =,AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AB 边上一动点,点 P 是 AD上的一个动点.(1)若 37BAD ∠=,求 ACB ∠ 的度数;(2)若 6BC =,4AD =,5AB =,且 CE AB ⊥ 时,求 CE 的长;(3)在(2)的条件下,请直接写出 BP EP + 的最小值.【答案】(1)53ACB ∠=.(2)245CE =.(3) 245. 【解析】【分析】(1)由已知得出三角形ABC 是等腰三角形,ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线,有AD BC ⊥,求出ABC ∠的度数,即可得出ACB ∠的度数.(2)根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长(3)连接CP ,有BP=CP ,BP+EP=EP+CP ,当点E ,P ,C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值,即CE 的长度.【详解】解:(1)AB AC =,ACB ABC ∴∠=∠,AD 是 BC 边上的中线, 90ADB ∴∠=,37BAD ∠=,903753ABC ∴∠=-=,53ACB ∴∠=.(2)CE AB ⊥, 1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅, 6BC =,4=AD ,5AB =, 245CE ∴=. (3) 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”,三角形的面积公式等,充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.阅读下列解题过程,再解答后面的题目.例题:已知224250x y y x ++-+=,求x y +的值. 解:由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=即22(1)(2)0x y -++=∵2(1)0x -≥,2(2)0y +≥∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩,解得12x y =⎧⎨=-⎩∴1x y +=-.题目:已知22464100x y x y +-++=,求xy 的值.【答案】-32 【解析】【分析】先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式,根据非负数的性质求出x 、y 的值,再代入求出xy 的值.【详解】解:将22464100x y x y +-++=,化简得22694410x x y y -++++=,即()()223210x y -++=.∵()230x -≥,()2210y +≥,且它们的和为0,∴3x = ,12y, ∴12233xy ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用,解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式.12.阅读以下文字并解决问题:对于形如222x ax a ++这样的二次三项式,我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式,但对于二次三项式2627x x +-,就不能直接用公式法分解了。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版数学八年级上册 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版数学八年级上册全册全套试卷练习(Word版含答案)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,△AEF是直角三角形,∠AEF=900,B为AE上一点,BG⊥AE于点B,GF∥BE,且AD=BD=BF,∠BFG=600,则∠AFG的度数是___________。

【答案】20°【解析】根据平行线的性质,可知∠A=∠AFG,∠EBF=∠BFG=600,然后根据等腰三角形的性质,可知∠BDF=2∠A,∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF,因此可得∠AFG=20°.故答案为:20°.2.△ABC的两边长为4和3,则第三边上的中线长m的取值范围是_______.【答案】17 22m<<【解析】【分析】作出草图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等,然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之和小于第三边求出AE的取值范围,便不难得出m的取值范围.【详解】解:如图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴CE=AB,∵AB=3,AC=4,∴4-3<AE<4+3,即1<AE<7,∴1722m<<.故答案为:1722m<<.【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3.若(a﹣4)2+|b﹣9|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______.【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可.【详解】解:根据题意得,a-4=0,b-9=0,解得a=4,b=9,①若a=4是腰长,则底边为9,三角形的三边分别为4、4、9,不能组成三角形,②若b=9是腰长,则底边为4,三角形的三边分别为9、9、4,能组成三角形,周长=9+9+4=22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.4.∠A=65º,∠B=75º,将纸片一角折叠,使点C•落在△ABC外,若∠2=20º,则∠1的度数为 _______.【答案】100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°,再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,即可得到∠3+∠4=80°,然后利用平角的定义即可求出∠1.【详解】如图,∵∠A=65°,∠B=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;又∵将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外,∴∠C′=∠C=40°,而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,∠2=20°,∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°,∴∠3+∠4=80°,∴∠1=180°-80°=100°.故答案是:100°.【点睛】考查了折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也考查了三角形的内角和定理以及外角性质.5.如图,△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过O作EF∥BC交AB、AC于E、F,若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm,O到AB的距离为4cm,△OBC的面积_____cm2.cm.【答案】242【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC,从而可得∠FOC=∠OCF,即得OF=CF;可知△AEF等于AB+AC,所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离,从而能求出△OBC的面积.【详解】∵BE=EO,∴∠EBO=∠EOB=∠OBC,∴EF∥BC,∴∠FOC=∠OCB=∠OCF,∴OF=CF;△AEF等于AB+AC,又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm,∴可得BC=12cm,根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm,∴S△OBC=1×12×4=24cm2.2考点:1.三角形的面积;2.三角形三边关系.6.如图,已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点,若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1,∠2,则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图:∵∠2+∠3=180°,∴∠3=180°﹣∠2.∵直尺的两边互相平行,∴∠4=∠3,∴∠4=180°﹣∠2.∵∠4+∠1=90°,∴180°﹣∠2+∠1=90°,即∠2﹣∠1=90°.故答案为90°.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的外角和等于215°,则∠BOD的度数为()A.20°B.35°C.40°D.45°【答案】B【解析】【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和,由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和,则可求得∠BOD.【详解】解:∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°,∵五边形OAGFE内角和=(5-2)×180°=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,∴∠BOD=540°-505°=35°,故选:B.【点睛】本题主要考查多边形的内角和,利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键.8.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°,这个多边形的边数为()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】设这个多边形的边数为x,根据题意可得:x-=⨯+,180(2)2360180x=.解得:7故选A.9.一个多边形的每个内角都等于120°, 则此多边形是( )A.五边形B.七边形C.六边形D.八边形【答案】C【解析】【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数,然后根据任意多边形外角和等于360°,再用360°除以外角的度数即可得到边数.∵多边形的每一个内角都等于120°,∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°,∴边数n =360°÷60°=6.故选C .【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系,求出每一个外角的度数是解答本题的关键.10.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A .2cm ,3cm ,5cmB .7cm ,4cm ,2cmC .3cm ,4cm ,8cmD .3cm ,3cm ,4cm【答案】D【解析】【详解】A .因为2+3=5,所以不能构成三角形,故A 错误;B .因为2+4<6,所以不能构成三角形,故B 错误;C .因为3+4<8,所以不能构成三角形,故C 错误;D .因为3+3>4,所以能构成三角形,故D 正确.故选D .11.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数 ,则该三角形的周长为( ) A .7B .8C .9D .10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差,而小于两边之和”,求得第三边的取值范围;再根据第三边是整数,从而求得周长.【详解】设第三边为x ,根据三角形的三边关系,得:4-1<x <4+1,即3<x <5,∵x 为整数,∴x 的值为4.三角形的周长为1+4+4=9.故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.12.在ΔABC 中,AB 3=,AC 5=,第三边BC 的取值范围是( )A .10BC 13<<B .4BC 12<< C .3BC 8<<D .2BC 8<<【答案】D【分析】已知两边,则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和,这样就可求出第三边的边长的取值范围.【详解】∵AB=3,AC=5,∴5-3<BC<5+3,即2<BC<8,故选D.【点睛】考查了三角形三边关系,一个三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD ⊥AC 于D ,下列四个结论:①EF =BE +CF ;②∠BOC =90°+12∠A ; ③点O 到△ABC 各边的距离相等;④设OD =m ,AE +AF =n ,则AEF S mn ∆=.其中正确的结论是____.(填序号)【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形的内角和定理,即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等,故③正确;由角平分线定理与三角形的面积求法,设OD=m ,AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ,④错误. 【详解】在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A , ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB )=90°,故②∠BOC =90°+12∠A 正确; 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC=∠EOB ,∠OCB=∠OCF ,∵EF ∥BC ,∴∠OBC=∠EOB ,∠OCB=∠FOC ,∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF ,即①EF =BE +CF 正确; 过点O 作OM ⊥AB 于M ,作ON ⊥BC 于点N ,连接AO ,∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴ON=OD=OM=m ,即③点O 到△ABC 各边的距离相等正确;∴S △AEF=S △AOE+ S △AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·(AE+AF )=12mn ,故④错误; 故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质,解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.14.如图,ABC ∆中,90ACB ∠=︒,8cm AC ,15cm BC =,点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动,终点为B 点,点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动,终点为A 点,点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过M 和N 作ME l ⊥于E ,NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒,要使以点M ,E ,C 为顶点的三角形与以点N ,F ,C 为顶点的三角形全等,则t 的值为______.【答案】235或7或8【解析】【分析】易证∠MEC=∠CFN,∠MCE=∠CNF.只需MC=NC,就可得到△MEC与△CFN全等,然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题.【详解】①当0≤t<4时,点M在AC上,点N在BC上,如图①,此时有AM=2t,BN=3t,AC=8,BC=15.当MC=NC即8−2t=15−3t时全等,解得t=7,不合题意舍去;②当4≤t<5时,点M在BC上,点N也在BC上,如图②,若MC=NC,则点M与点N重合,即2t−8=15−3t,解得t=235;当5≤t<233时,点M在BC上,点N在AC上,如图③,当MC=NC即2t−8=3t−15时全等,解得t=7;④当233≤t<232时,点N停在点A处,点M在BC上,如图④,当MC=NC即2t−8=8,解得t=8;综上所述:当t等于235或7或8秒时,以点M,E,C为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角形全等.故答案为:235或7或8.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想,可能会因考虑不全面而出错,是一道易错题.15.如图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CE,若BE交AD于点F,则∠AFE的大小为_____(度).【答案】60【解析】【分析】根据△ABC为等边三角形得到AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,再利用BD=CE证得△ABD≌△BCE,得到∠BAD=∠CBE,再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE=60°.【详解】∵△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CE,∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,在△ABD和△BCE中,AB BCABD BCEBD CE=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩=,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD=∠CBE,∵∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°,∴∠ABF+∠BAD=60°,∵∠AFE=∠ABF+∠BAD,∴∠AFE=60°,故答案为:60.【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理,题中证明三角形全等后得到∠BAD=∠CBE,再利用外角和内角的关系求∠AFE是解题的关键.16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F,FG∥BC,FH∥AC,下列结论:①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE;④AB+FG=BC,其中正确的结论有________________.(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC=90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ,AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ,FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形∴FG=HC∵△ABF ≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.17.如图,在△ABC 中,AC=AB ,∠BAC=90°,D 是AC 边上一点,连接BD ,AF ⊥BD 于点F ,点E 在BF 上,连接AE ,∠EAF=45°,连接CE ,AK ⊥CE 于点K ,交DE 于点H ,∠DEC=30°,HF=32,则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF交CE于P,证得△ABH≌△APC得出AH=CP,证得△AHF≌△EPF得出AH=EP,得出EC=2AH,解30°的直角三角形AFH求得AH,即可求得EC的长.【详解】如图,延长AF交CE于P,∵∠ABH+∠ADB=90°,∠PAC+∠ADB=90°,∴∠ABH=∠PAC,∵AK⊥CE,AF⊥BD,∠EHK=∠AHF,∴∠HEK=∠FAH,∵∠FAH+∠AHF=90°,∠HEK+∠EPF=90°,∴∠AHF=∠EPF,∴∠AHB=∠APC,在△ABH与△APC中,ABE PACAB ACAHB APC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===,∴△ABH≌△APC(ASA),∴AH=CP,在△AHF与△EPF中,90AHF EPFAFH EFPAF EF∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩====,∴△AHF≌△EPF(AAS),∴AH=EP,∠CED=∠HAF,∴EC=2AH,∵∠DEC=30°,∴∠HAF=30°,∴AH=2FH=2×32=3,∴EC=2AH=6.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.18.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,CB=CD,AC=6,则四边形ABCD的面积是_________.【答案】18.【解析】【分析】根据已知线段关系,将△ACD绕点C逆时针旋转90°,CD与CB重合,得到△CBE,证明A、B、E三点共线,则△ACE是等腰直角三角形,四边形面积转化为△ACE面积.【详解】∵CD=CB,且∠DCB=90°,∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°,CD与CB重合,得到△CBE,∴∠CBE=∠D,AC=EC,∠DCA=∠BCE.根据四边形内角和360°,可得∠D+∠ABC=180°,∴∠CBE+∠ABC=180°,∴A、B、E三点共线,∴△ACE是等腰直角三角形,∴四边形ABCD面积=△ACE面积= 12AC2=18.故答案为:18.【点睛】本题考查了旋转的性质以及转化思想,解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转,使不规则图形转化为规则图形.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF,给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论共有()A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】A【解析】 试题解析:∵BF ∥AC ,∴∠C=∠CBF , ∵BC 平分∠ABF ,∴∠ABC=∠CBF ,∴∠C=∠ABC , ∴AB=AC ,∵AD 是△ABC 的角平分线,∴BD=CD ,AD ⊥BC ,故②③正确,在△CDE 与△DBF 中,{C CBFCD BD EDC BDF∠=∠=∠=∠,∴△CDE ≌△DBF ,∴DE=DF ,CE=BF ,故①正确;∵AE=2BF ,∴AC=3BF ,故④正确.故选A .考点:1.全等三角形的判定与性质;2.角平分线的性质;3.相似三角形的判定与性质.20.如图,在▱ABCD 中,AD =2AB ,F 是AD 的中点,作CE ⊥AB ,垂足E 在线段AB 上,连接EF 、CF ,则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ;②EF =CF ;③S △BEC =2S △CEF ;④∠DFE =3∠AEF .一定成立的是()A .①②B .①③④C .①②③D .①②④【答案】D【解析】①∵F 是AD 的中点,∴AF=FD , ∵在?ABCD 中,AD=2AB ,∴AF=FD=CD ,∴∠DFC=∠DCF ,∵AD ∥BC ,∴∠DFC=∠FCB ,∴∠DCF=∠BCF ,∴∠DCF=12∠BCD ,故此选项正确;延长EF ,交CD 延长线于M ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠A=∠MDF ,∵F 为AD 中点,∴AF=FD ,在△AEF 和△DFM 中,∠A =∠FDMAF =DF ∠AFE =∠DFM ,∴△AEF ≌△DMF (ASA ),∴FE=MF ,∠AEF=∠M ,∵CE ⊥AB ,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF ,∴FC=FM ,故②正确;③∵EF=FM ,∴S △EFC=S △CFM ,∵MC >BE ,∴S △BEC <2S △EFC故S △BEC=2S △CEF 错误;④设∠FEC=x ,则∠FCE=x ,∴∠DCF=∠DFC=90°-x ,∴∠EFC=180°-2x ,∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ,∵∠AEF=90°-x ,∴∠DFE=3∠AEF ,故此选项正确.故正确的有:①②④.故选D.21.如图在ABC △中,P ,Q 分别是BC 、AC 上的点,作PR AB ⊥,PS AC ⊥,垂足分别是R ,S ,AQ PQ =,PR PS =,下面三个结论:①AS AR =;②PQ AB ∥;③BRP △≌CSP △.其中正确的是( ).A .①②B .②③C .①③D .①②③【答案】A【解析】连接AP ,由题意得,90ARP ASP ∠=∠=︒, 在Rt APR 和Rt APS 中,AP AP PR PS =⎧⎨=⎩, ∴△APR ≌()APS HL ,∴AS AR =,故①正确.BAP SAP ∠=∠,∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠,在AQP △中,∴AQ PQ =,∴QAP APQ ∠=∠,∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠,∴PQ AB ∥,故②正确; 在Rt BRP 和Rt CSP 中,只有PR PS =,不满足三角形全等的条件,故③错误.故选A .点睛:本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定,准确作出辅助线是解决本题的关键.22.如图,在Rt△ABC 中,∠CBA=90°,∠CAB 的角平分线AP 和∠ACB 外角的平分线CF 相交于点D ,AD 交CB 于点P ,CF 交AB 的延长线于点F ,过点D 作DE⊥CF 交CB 的延长线于点G ,交AB 的延长线于点E ,连接CE 并延长交FG 于点H ,则下列结论:①∠CDA=45°;②AF -CG=CA ;③DE=DC;④FH=CD+GH;⑤CF=2CD+EG;其中正确的有( )A.①②④B.①②③C.①②④⑤D.①②③⑤【答案】D【解析】试题解析:①利用公式:∠CDA=12∠ABC=45°,①正确;②如图:延长GD与AC交于点P',由三线合一可知CG=CP',∵∠ADC=45°,DG⊥CF,∴∠EDA=∠CDA=45°,∴∠ADP=∠ADF,∴△ADP'≌△ADF(ASA),∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG,故②正确;③如图:∵∠EDA=∠CDA,∠CAD=∠EAD,从而△CAD≌△EAD,故DC=DE,③正确;④∵BF⊥CG,GD⊥CF,∴E为△CGF垂心,∴CH⊥GF,且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形,∴CD,故④错误;⑤如图:作ME⊥CE交CF于点M,则△CEM为等腰直角三角形,从而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,∵∠MFE=∠CGE,∠CEG=∠EMF=135°,∴△EMF≌△CEG(AAS),∴GE=MF,∴CF=CM+MF=2CD+GE,故⑤正确;故选D点睛:本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点,技巧性很强,难度较大,要求学生具有较高的几何素养.对于这一类多个结论的判断型问题,熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键,比如对第一个结论的判定,若熟悉该模型则可以秒杀.23.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS,可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等,故A不正确;根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形,符合全等三角形的判定定理HL,能判定全等;若两条直角边对应相等的两个直角三角形,符合全等三角形的判定定理SAS,也能判全等,但是有两边对应相等,没说明是什么边对应,故不能判定,故B正确.根据全等三角形的判定AAS,可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等,故C不正确;根据直角三角形的判定HL,可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等,故D不正确.故选B.点睛:此题主要考查了直角三角形全等的判定,解题时利用三角形全等的判定SSS,SAS,ASA,AAS,HL,直接判断即可.24.在ABC 中,2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒,CD 平分ACB ∠,P 为AB 的中点,则下列各式中正确的是( )A .AD BC CD =-B .AD BC AC =- C .AD BC AP =-D .AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ,连接DE ,可得△ACD ≌△ECD ,得DE=AD ,进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系.【详解】解:∵∠A=2∠B , ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ,连接DE(如图),∵CD 平分ACB ∠,∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD,CE=CA∴△ACD ≌△ECD ,∴AD=ED ,∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ,∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选:B若A 选项成立,则CD=AC ,∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°, ∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB ≠72°矛盾,故选项A 不正确;假设C 选项成立,则有AP=AC ,作∠BAC 的平分线,连接FP ,∴△CAF ≌△PAF ≌△PBF ,∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°, ∠ACB=90°当∠ACB=90°时,选项C 才成立,∴当∠ACB ≠72°时,选项C 不一定成立;假设D 选项成立,则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°,∠ACB=72这与已知∠ACB ≠72°矛盾,故选项D 不成立.故选:B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系.,,五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.我们知道,经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线,均能把三角形分割成两个三角形(1)如图,在ABC ∆中,25,105A ABC ∠=︒∠=︒,过B 作一直线交AC 于D ,若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形,则BDA ∠的度数是______.(2)已知在ABC ∆中,AB AC =,过顶点和顶点对边上一点的直线,把ABC ∆分割成两个等腰三角形,则A ∠的最小度数为________.【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 (1)由题意得:DA=DB ,结合25A ∠=︒,即可得到答案;(2)根据题意,分4种情况讨论,①当BD=AD ,CD=AD ,②当AD=BD ,AC=CD ,③AB=AC ,当AD=BD=BC ,④当AD=BD ,CD=BC ,分别求出A ∠的度数,即可得到答案.【详解】(1)由题意得:当DA=BA ,BD=BA 时,不符合题意,当DA=DB 时,则∠ABD=∠A=25°,∴∠BDA=180°-25°×2=130°.故答案为:130°;(2)①如图1,∵AB=AC ,当BD=AD ,CD=AD ,∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠BAC=90°.②如图2,∵AB=AC ,当AD=BD ,AC=CD ,∴∠B=∠C=∠BAD ,∠CAD=∠CDA ,∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ,∴∠BAC=3∠B ,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,∴∠BAC=108°.③如图3,∵AB=AC ,当AD=BD=BC ,∴∠ABC=∠C ,∠BAC=∠ABD ,∠BDC=∠C ,∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ,∴∠ABC=∠C=2∠BAC ,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴5∠BAC=180°,∴∠BAC=36°.④如图4,∵AB=AC ,当AD=BD ,CD=BC ,∴∠ABC=∠C ,∠BAC=∠ABD ,∠CDB=∠CBD ,∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC ,∴∠ABC=∠C=3∠BAC ,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴7∠BAC=180°,∴∠BAC=180 ()7︒.综上所述,∠A的最小度数为:180 ()7︒.故答案是:180 ()7︒.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质,根据等腰三角形的性质,分类讨论,是解题的关键.26.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有_____个.【答案】4【解析】【分析】以O为圆心,OA为半径画弧交x轴于点P1、P3,以A为圆心,AO为半径画弧交x轴于点P4,作OA的垂直平分线交x轴于P2.【详解】解:如图,使△AOP是等腰三角形的点P有4个.故答案为4.【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形,掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键.27.在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,∆为等腰三角形,符合条件的C点有∠=︒,在x轴或y轴上取点C,使得ABCABO36__________个.【答案】8【解析】【分析】观察数轴,按照等腰三角形成立的条件分析可得答案.【详解】解:如下图所示,若以点A为圆心,以AB为半径画弧,与x轴和y轴各有两个交点,但其中一个会与点B重合,故此时符合条件的点有3个;若以点B为圆心,以AB为半径画弧,同样与x轴和y轴各有两个交点,但其中一个与点A重合,故此时符合条件的点有3个;线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点,此时符合条件的点有2个.∴符合条件的点总共有:3+3+2=8个.故答案为:8.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,可以观察图形,得出答案.28.如图,己知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,…均为等边三角形,若12OA =,则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ,以及22122A B B A =,得出332212244A B A B B A ===,441288A B B A ==,551216A B B A =⋯进而得出答案.【详解】解:△112A B A 是等边三角形,1121A B A B ∴=,341260∠=∠=∠=︒,2120∴∠=︒,30MON ∠=︒,11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒,又360∠=︒,5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒,130MON ∠=∠=︒,1112OA A B ∴==,212A B ∴= ,△223A B A 、△334A B A 是等边三角形,111060∴∠=∠=︒,1360∠=︒,41260∠=∠=︒,112233////A B A B A B ∴,1223//B A B A , 16730∴∠=∠=∠=︒,5890∠=∠=︒,22122242A B B A =∴==,33232B A B A =,33312428A B B A ∴===,同理可得:444128216A B B A ===,⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ,∴△556A B A 的边长为5232=.故答案为:32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质,根据已知得出33124A B B A =,44128A B B A =,551216A B B A =进而发现规律是解题关键.29.如图,已知,点E 是线段AB 的中点,点C 在线段BD 上,8BD =,2DC =,线段AC 交线段DE 于点F ,若AF BD =,则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ,使EG=DE ,连接AG ,证明BDE AGE ∆≅∆,而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形,即可求出CF 的长,于是可求AC 的长.【详解】解:如图,延长DE 至G ,使EG=DE ,连接AG ,∵点E是线段AB的中点,∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中,BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质,能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.30.如图,△ABC 中, AB=11 , AC= 5 ,∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ,过点 D 分别作 DE⊥AB ,DF⊥AC ,垂足分别为 E 、F ,则 BE 的长为_____.【答案】3【解析】【分析】连接CD,BD,由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质,易得CD=BD,DF=DE,继而可得AF=AE,易证得Rt△CDF≌Rt△BDE,则可得BE=CF,继而求得答案.【详解】如图,连接CD,BD,∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DF=DE ,∠F=∠DEB=90°,∠ADF=∠ADE ,∴AE=AF ,∵DG 是BC 的垂直平分线,∴CD=BD ,在Rt △CDF 和Rt △BDE 中,CD BD DF DE ⎧⎨⎩==,∴Rt △CDF ≌Rt △BDE (HL ),∴BE=CF ,∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ,∵AB=11,AC=5, ∴BE=12(11-5)=3. 故答案为:3.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.如图,ABC ∆中,60BAC ∠=︒,BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ,DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,DF AC ⊥于点F ,现有下列结论:①DE DF =;②DE DF AD +=;③DM 平分EDF ∠;④2AB AC AE +=,其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】①由角平分线的性质可知①正确;②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°,故此可知ED=12AD,DF=12AD,从而可证明②正确;③若DM平分∠EDF,则∠EDM=90°,从而得到∠ABC为直角三角形,条件不足,不能确定,故③错误;④连接BD、DC,然后证明△EBD≌△DFC,从而得到BE=FC,从而可证明④.【详解】解:如图所示:连接BD、DC.①∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ED=DF.∴①正确.②∵∠EAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD=30°.∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.∵∠AED=90°,∠EAD=30°,∴ED=12 AD.同理:DF=12AD . ∴DE+DF=AD .∴②正确. ③由题意可知:∠EDA=∠ADF=60°.假设MD 平分∠EDF ,则∠ADM=30°.则∠EDM=90°,又∵∠E=∠BMD=90°,∴∠EBM=90°.∴∠ABC=90°.∵∠ABC 是否等于90°不知道,∴不能判定MD 平分∠EDF ,故③错误.④∵DM 是BC 的垂直平分线,∴DB=DC .在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩==, ∴Rt △BED ≌Rt △CFD .∴BE=FC .∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ,BE=FC ,∴AB+AC=2AE .故④正确.综上所述,①②④正确,故选:C .【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.32.如图所示,把多块大小不同的30角三角板,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0,30ABO ∠=︒,第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ,第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ,第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ,按此规律继续下去,则点2018B 的坐标为( )A .()20182(3),0-⨯ B .()20180,2(3)-⨯ C .()20192(3),0⨯ D .()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度,根据题意和图象可以发现题目中的变化规律,从而可以求得点B 2018的坐标.【详解】解:由题意可得,OB = 2242-= 23,OB 1= 3 OB= 233⨯ = 22(3)⨯,OB 2= 3 OB 1= 32(3)⨯,…∵2018÷4=504…2,∴点B 2018在y 轴的负半轴上,∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯.故答案为:D .【点睛】本题考查规律型:点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出题目中坐标的变化规律,求出相应的点的坐标.33.如图,在ABC ∆中,120BAC ︒∠=,点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点,边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ,且,DE AB DF AC ⊥⊥,连接AD 、AG 、AH ,现在下列四个结论:①60EDF ︒∠=,②AD 平分GAH ∠,③B ADF ∠=∠,④GD GH =.则其中正确的结论有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【解析】【分析】利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确;;根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒,无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误;由等量代换得B ADF ∠≠∠,故③错误;利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠,故④错误.【详解】∵,DE AB DF AC ⊥⊥,∴∠DEA=∠DFA=90︒,∵120BAC ︒∠=,∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒,故①正确;∵120BAC ︒∠=,∴∠B+∠C=60︒,∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点,,DE AB DF AC ⊥⊥,∴BH=AH ,AG=CG ,∴∠BAH=∠B ,∠GAC=∠C ,∴∠BAH+∠GAC=60︒,∵无条件证明∠GAD=∠HAD,∴AD 不一定平分GAH ∠,故②错误;∵∠ADF+∠DAF=90︒,∠B=∠BAH,90BAH DAF ∠+∠≠,∴B ADF ∠≠∠,故③错误;∵90B BHE ∠+∠=,30B ∠≠ ,∴ 60BHE ∠≠,∴60DHG ∠≠,∴DHG HDG ∠≠∠,∴GD GH ≠,故④错误,故选:A.【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质,利用三角形的内角和,四边形的内角和求角度,利用对顶角相等,等角对等边推导边的关系.34.如图,△ABC 、△CDE 都是等腰三角形,且CA =CB , CD =CE ,∠ACB =∠DCE =α,AD ,BE 相交于点O ,点M ,N 分别是线段AD ,BE 的中点,以下4个结论:①AD =BE ;②∠DOB =180°-α;③△CMN 是等边三角形;④连OC ,则OC 平分∠AOE .正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE (SAS ),由全等三角形的性质得到AD=BE ;故①正确;②设CD 与BE 交于F ,根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ,得到∠DOE=∠DCE=α,根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α,故②正确; ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ,AD=BE ,AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ,根据全等三角形的性质得到CM=CN ,∠ACM=∠BCN ,得到∠MCN=α,推出△MNC 不一定是等边三角形,故③不符合题意;④过C 作CG ⊥BE 于G ,CH ⊥AD 于H ,根据全等三角形的性质得到CH=CG ,根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ,故④正确.【详解】解:①∵CA=CB ,CD=CE ,∠ACB=∠DCE=α,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ,∴∠ACD=∠BCE ,在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨=== ∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴AD=BE ;故①正确;②设CD 与BE 交于F ,∵△ACD ≌△BCE ,∴∠ADC=∠BEC ,∵∠CFE=∠DFO ,∴∠DOE=∠DCE=α,∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α,故②正确;③∵△ACD ≌△BCE ,∴∠CAD=∠CBE ,AD=BE ,AC=BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN=12BE,∴AM=BN,在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===∴△ACM≌△BCN(SAS),∴CM=CN,∠ACM=∠BCN,又∠ACB=α,∴∠ACM+∠MCB=α,∴∠BCN+∠MCB=α,∴∠MCN=α,∴△MNC不一定是等边三角形,故③不符合题意;④过C作CG⊥BE于G,CH⊥AD于H,∴∠CHD=∠ECG=90°,∵∠CEG=∠CDH,CE=CD,∴△CGE≌△CHD(AAS),∴CH=CG,∴OC平分∠AOE,故④正确,故选:B.【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等边三角形的性质和判定等知识点的应用,解此题的关键是根据性质进行推理,此题综合性比较强,有一定的代表性.35.如图,∠AOB=30º,∠AOB 内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)

人教版八年级上册数学全册全套试卷测试卷(word版,含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求∠FAE的度数;(3)求证:CD=2BF+DE.【答案】(1)证明见解析;(2)∠FAE=135°;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件易证∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得△ABC≌△ADE;(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°,再求得∠CAF=45°,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证△AFB≌△AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS证得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.【详解】(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠DAE,在△BAC和△DAE中,AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAC≌△DAE(SAS);(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,∴∠BCA=∠E=45°,∵AF ⊥BC ,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°,∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;(3)延长BF 到G ,使得FG=FB ,∵AF ⊥BG ,∴∠AFG=∠AFB=90°,在△AFB 和△AFG 中,BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AFB ≌△AFG (SAS ),∴AB=AG ,∠ABF=∠G ,∵△BAC ≌△DAE ,∴AB=AD ,∠CBA=∠EDA ,CB=ED ,∴AG=AD ,∠ABF=∠CDA ,∴∠G=∠CDA ,在△CGA 和△CDA 中,GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△CGA ≌△CDA ,∴CG=CD ,∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ,∴CD=2BF+DE .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,解决第3问需作辅助线,延长BF 到G ,使得FG=FB ,证得△CGA ≌△CDA 是解题的关键.2.探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE 的度数.【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由见解析;(2)①50;②∠DCE=85°.【解析】【分析】(1)首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①由(1)可得∠A+∠ABX+∠ACX=∠X,然后根据∠A=40°,∠X=90°,即可求解;(3)②由∠A=40°,∠DBE=130°,求出∠ADE+∠AEB的值,然后根据∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC,求出∠DCE的度数即可.【详解】(1)如图,∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX=50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A=40°,∠DBE=130°,∴∠ADE+∠AEB=130°﹣40°=90°,∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB,∴∠ADC+∠AEC=1(ADB AEB)2∠+∠=45°,∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.3.如图1,已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线,D为CF上一点,且DA=DB.(1)求证:∠ACB=∠ADB;(2)求证:AC+BC<2BD;(3)如图2,若∠ECF=60°,证明:AC=BC+CD.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D分别作AC,CE的垂线,垂足分别为M,N,证明Rt△DAM≌Rt△DBN,得出∠DAM=∠DBN,则结论得证;(2)证明Rt△DMC≌Rt△DNC,可得CM=CN,得出AC+BC=2BN,又BN<BD,则结论得证;(3)在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,可证明△ADP≌△BDC,得出AP=BC,则结论可得出.【详解】(1)证明:过点D分别作AC,CE的垂线,垂足分别为M,N,∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线,∴DM =DN ,在Rt △DAM 和Rt △DBN 中,DA DB DM DN =⎧⎨=⎩, ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN (HL ),∴∠DAM =∠DBN ,∴∠ACB =∠ADB ;(2)证明:由(1)知DM =DN ,在Rt △DMC 和Rt △DNC 中,DC DC DM DN=⎧⎨=⎩ , ∴Rt △DMC ≌Rt △DNC (HL ),∴CM =CN ,∴AC +BC =AM +CM +BC =AM +CN +BC =AM +BN ,又∵AM =BN ,∴AC +BC =2BN ,∵BN <BD ,∴AC +BC <2BD .(3)由(1)知∠CAD =∠CBD ,在AC 上取一点P ,使CP =CD ,连接DP ,∵∠ECF =60°,∠ACF =60°,∴△CDP 为等边三角形,∴DP =DC ,∠DPC =60°,∴∠APD=120°,∵∠ECF=60°,∴∠BCD=120°,在△ADP和△BDC中,APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP≌△BDC(AAS),∴AP=BC,∵AC=AP+CP,∴AC=BC+CP,∴AC=BC+CD.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.4.综合与实践:我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是,乐乐发现:当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等.(1)请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图,已知ABC∆、111A B C∆均为锐角三角形,且11AB A B=,11BC B C=,1C C∠=∠.求证:111ABC A B C∆∆≌.(2)除乐乐的发现之外,当这两个三角形都是______时,它们也会全等.【答案】(1)见解析;(2)钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】(1)过B作BD⊥AC于D,过B1作B1D1⊥B1C1于D1,得出∠BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°,根据SAS证△BDC≌△B1D1C1,推出BD=B1D1,根据HL证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1,推出∠A=∠A1,根据AAS推出△ABC≌△A1B1C1即可.(2)当这两个三角形都是直角三角形时,直接利用HL即可证明;当这两个三角形都是钝角三角形时,与(1)同理可证.【详解】(1)证明:过点B 作BD AC ⊥于D ,过1B 作1111B D A C ⊥于1D ,则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中,1C C ∠=∠,111BDC B D C ∠=∠,11BC B C =,∴111BDC B D C ∆∆≌,∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中,11AB A B =,11BD B D =,∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌,∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中,1C C ∠=∠,1A A ∠=∠,11AB A B =,∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.(2)如图,当这两个三角形都是直角三角形时,∵11AB A B =,11BC B C =,190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆(HL );∴当这两个三角形都是直角三角形时,它们也会全等;如图,当这两个三角形都是钝角三角形时,作BD ⊥AC ,1111B D A C ⊥,与(1)同理,利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌,得到11BD B D =,再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌,得到1A A ∠=∠,再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌;∴当这两个三角形都是钝角三角形时,它们也会全等;故答案为:钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力.解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.5.如图,A (0,4)是直角坐标系y 轴上一点,动点P 从原点O 出发,沿x 轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB .设P 点的运动时间为t 秒.(1)若AB ∥x 轴,如图1,求t 的值;(2)设点A 关于x 轴的对称点为A ′,连接A ′B ,在点P 运动的过程中,∠OA ′B 的度数是否会发生变化,若不变,请求出∠OA ′B 的度数,若改变,请说明理由.(3)如图2,当t =3时,坐标平面内有一点M (不与A 重合)使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等,请直接写出点M 的坐标.【答案】(1)4;(2)∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45︒,理由见解析;(3)点M 的坐标为(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质,可证明△AOP 为等腰直角三角形,从而求得答案;(2)根据对称的性质得:PA =PA '=PB ,由∠PAB +∠PBA =90°,结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B =45°;(3)分类讨论:分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时,点M 的坐标的情况;过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线,利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】(1)∵AB ∥x 轴,△APB 为等腰直角三角形,∴∠PAB =∠PBA =∠APO =45°,∴△AOP 为等腰直角三角形,∴OA =OP =4.∴t =4÷1=4(秒),故t 的值为4.(2)如图2,∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45°,∵点A 关于x 轴的对称点为A ′,∴PA =PA ',又AP =PB ,∴PA =PA '=PB ,∴∠PAA '=∠PA 'A ,∠PBA '=∠PA 'B ,又∵∠PAB +∠PBA =90°,∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '=180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°,∴∠AA 'B =45°,即∠OA 'B =45°;(3)当t =3时,M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等, ①如图3,若△ABP ≌△MBP ,则AP =PM ,过点M 作MD ⊥OP 于点D ,∵∠AOP =∠PDM ,∠APO =∠DPM ,∴△AOP ≌△MDP (AAS ),∴OA =DM =4,OP =PD =3,∴M 的坐标为:(6,-4).②如图4,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形, ∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====,∵BG ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF =45︒+1∠,∠MPE =45︒+2∠,∴∠BAF =∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====,∴M 的坐标为:(4,7),③如图5,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点D ,过点B 作BG ⊥x 轴于点E ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形, ∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====,∵BE ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====,∴M 的坐标为:(10,﹣1).综合以上可得点M 的坐标为:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,第(3)小题要注意分类讨论,作此类型的题要结合图形,构建适当的辅助线,寻找相等的量才能得出结论.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在ABC ∆中,CE 为三角形的角平分线,AD CE ⊥于点F 交BC 于点D (1)若9628BAC B ︒︒∠=∠=,,直接写出BAD ∠= 度(2)若2ACB B ∠=∠,①求证:2AB CF =②若 ,CF a EF b ==,直接写出BD CD= (用含 ,a b 的式子表示)【答案】(1)34;(2)①见详解;②2b a b- 【解析】【分析】 (1)由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案;(2)①证明B BCE ∠=∠,得出BE=CE ,过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠,得出AH=AC ,H EAH ∠=∠,得出AE=HE ,由等腰三角形的性质可得出HF=CF ,即可得出结论;②证明AHF DCF ≅,得出AH=DC ,求出HF=CF=a ,HE=HF-EF=a-b ,CE=a+b ,由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+,进而得出结论. 【详解】 解:(1)∵9628BAC B ︒︒∠=∠=,,∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒,∵CE 为三角形的角平分线,∴1282ACE ACB ∠=∠=︒, ∵AD CE ⊥,∴902862CAF ∠=︒-︒=︒,∴966234BAD ∠=︒-︒=︒.故答案为:34;(2)①证明:∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,如图所示:则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ,H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ;②在AHF △和DCF 中,H DCF HF CFAFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵,CF a EF b == ∴ HF CF a ==,由①得 AE HE HF EF a b ==-=-, BE CE a b ==+∵ //AH BC∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-. 故答案为:2b a b -. 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等,掌握以上知识点是解此题的关键.7.已知:等边ABC ∆中.(1)如图1,点M 是BC 的中点,点N 在AB 边上,满足60AMN ∠=︒,求AN BN的值. (2)如图2,点M 在AB 边上(M 为非中点,不与A 、B 重合),点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠,求证:AM BN =.(3)如图3,点P 为AC 边的中点,点E 在AB 的延长线上,点F 在BC 的延长线上,满足AEP PFC ∠=∠,求BF BE BC-的值. 【答案】(1)3;(2)见解析;(3)32. 【解析】【分析】(1)先证明AMB ∆,MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形,再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半,证明BM=2BN ,AB=2BM ,最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得;(2)过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ,先证明AM=ME ,再证明MEC ∆与NBM ∆全等,最后转化边即得;(3)过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ,先证明M 是AB 的中点,再证明EMP ∆与FCP ∆全等,最后转化边即得.【详解】(1)∵ABC ∆为等边三角形,点M 是BC 的中点∴AM 平分∠BAC ,AM BC ⊥,60B BAC ∠=∠=︒∴30BAM ∠=︒,90AMB ∠=︒∵60AMN ∠=︒∴90AMN BAM ∠+=︒∠,30∠=︒BMN∴90ANM ∠=︒∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠∴在Rt BNM ∆中,2BM BN =在Rt ABM ∆中,2AB BM =∴24AB AN BN BM BN =+==∴3AN BN =即3AN BN=. (2)如下图:过点M 作ME ∥BC 交AC 于E∴∠CME=∠MCB ,∠AEM=∠ACB∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB ∠=∠=︒,120MBN =︒∠∴120CEM MBN∠==︒∠,60AEM A∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB,MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=(3)如下图:过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒,AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=,180120EMP AMP=︒-=︒∠∠,180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形,120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS∆∆≌∴ME FC=∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+= ∴3322BC BF BE BC BC -==. 【点睛】本题考查全等三角形的判定,等边三角形的性质及判定,通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键,将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法.8.(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形,点B D E 、、在同一直线上,连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ,为ADE 中DE 边上的高,连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3,AB 和ADE 均为等腰三角形,BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上,连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示,直接写出结果即可).【答案】(1)①证明见解析;②60°;(2)①90°;②BE =CE+2AF ;(3)∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】 (1)根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =,再根据对应角相等求出BEC ∠的度数;(2)根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出BEC ∠的度数;因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论;(3)根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数,即可得出结论.【详解】(1)①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形(如图1),∴ AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE=60°,∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ,∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE (SAS )∴ BD=CE.② 由△CAE ≌△BAD ,∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.(2)①∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形(如图2),∴ AB=AC ,AD=AE ,∠ADE=∠AED=45°,∵ ∠BAC=∠DAE=90°,∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ,∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE (SAS ).∴ BD=CE ,∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.(3)如图3:∠AEC=90°+12n︒,理由如下,∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=n°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等,掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.9.如图1,△ABD,△ACE都是等边三角形,(1)求证:△ABE≌△ADC;(2)若∠ACD=15°,求∠AEB的度数;(3)如图2,当△ABD与△ACE的位置发生变化,使C、E、D三点在一条直线上,求证:AC∥BE.【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析:(1)由等边三角形的性质可得AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,即可得∠DAC=∠BAE,利用SAS即可判定△ABE≌△ADC;(2)根据全等三角形的性质即可求解;(3)由(1)的方法可证得△ABE≌△ADC,根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°,即可得∠AEB=∠EAC,从而得AC∥BE.试题解析:(1)证明:∵△ABD,△ACE都是等边三角形∴AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,∴∠DAC=∠BAE,在△ABE和△ADC中,∴,∴△ABE≌△ADC;(2)由(1)知△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,∵∠ACD=15°,∴∠AEB=15°;(3)同上可证:△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,又∵∠ACD=60°,∴∠AEB=60°,∵∠EAC=60°,∴∠AEB=∠EAC,∴AC∥BE.点睛:本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质,证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.=. 10.已知ABC为等边三角形,E为射线AC上一点,D为射线CB上一点,AD DE=时,AD是ABC的中线吗?请说明(1)如图1,当点E在AC的延长线上且CD CE理由;AB BD AE之间的数量关系,请说明理(2)如图2,当点E在AC的延长线上时,写出,,由;(3)如图3,当点D在线段CB的延长线上,点E在线段AC上时,请直接写出AB BD AE的数量关系.,,+=,理由详见【答案】(1)AD是ABC的中线,理由详见解析;(2)AB BD AE=+.解析;(3)AB AE BD【解析】【分析】(1)利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°,利用AD=DE,证明∠CAD=∠E =30°,即可解决问题.(2)在AB上取BH=BD,连接DH,证明AHD≌△DCE得出DH=CE,得出AE=AB+BD,(3)在AB上取AF=AE,连接DF,利用△AFD≌△EFD得出角的关系,得出△BDF是等腰三角形,根据边的关系得出结论AB=BD+AE.【详解】(1)解:如图1,结论:AD是△ABC的中线.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°,∴∠E=30°,∵DA=DE,∴∠DAC=∠E=30°,∵∠BAC=60°,∴∠DAB=∠CAD,∵AB=AC,∴BD=DC,∴AD是△ABC的中线.(2)结论:AB+BD=AE,理由如下:如图2,在AB上取BH=BD,连接DH,∵BH=BD ,∠B=60°,∴△BDH 为等边三角形,AB-BH=BC-BD ,∴∠BHD=60°,BD=DH ,AH=DC ,∵AD=DE ,∴∠E=∠CAD ,∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE ,∵∠BHD=60°,∠ACB=60°,∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE ,∴在△AHD 和△DCE ,BAD CDE AHD DCE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD ≌△DCE (AAS ),∴DH=CE ,∴BD=CE ,∴AE=AC+CE=AB+BD .(3)结论:AB=BD+AE ,理由如下:如图3,在AB 上取AF=AE ,连接DF ,∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°,∴△AFE 是等边三角形,∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°,∴EF ∥BC ,∴∠EDB=∠DEF ,∵AD=DE ,∴∠DEA=∠DAE,∴∠DEF=∠DAF,∵DF=DF,AF=EF,在△AFD和△EFD中,AD DEDF DFAF EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△AFD≌△EFD(SSS)∴∠ADF=∠EDF,∠DAF=∠DEF,∴∠FDB=∠EDF+∠EDB,∠DFB=∠DAF+∠ADF,∵∠EDB=∠DEF,∴∠FDB=∠DFB,∴DB=BF,∵AB=AF+FB,∴AB=BD+AE.【点睛】本题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质,解题的关键是正确作出辅助线,运用三角形全等找出对应的线段.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片边长为a的正方形,B中纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为a、宽为b的长方形.并用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2的大正方形.(1)请问两种不同的方法求图2大正方形的面积.方法1:s=____________________;方法2:s=________________________;(2)观察图2,请你写出下列三个代数式:()222,,a b a b ab++之间的等量关系._______________________________________________________;(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:①已知:225,11a b a b+=+=,求ab的值;②已知()()22202020195a a-+-=,则()()20202019a a--的值是____.【答案】(1)()2a b +,222a ab b ++;(2)()2222a b a ab b +=++;(3)①7ab =,②2-【解析】【分析】(1)依据正方形的面积计算公式即可得到结论;(2)依据(1)中的代数式,即可得出(a+b )2,a 2+b 2,ab 之间的等量关系;(3)①依据a+b=5,可得(a+b )2=25,进而得出a 2+b 2+2ab=25,再根据a 2+b 2=11,即可得到ab=7;②设2020-a=x ,a-2019=y ,即可得到x+y=1,x 2+y 2=5,依据(x+y )2=x 2+2xy+y 2,即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-,进而得到()()20202019a a --=2-. 【详解】 解:(1)图2大正方形的面积=()2a b +,图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为:()2a b +,222a ab b ++;(2)由题可得()2a b +,22a b +,ab 之间的等量关系为:()2222a b a ab b +=++故答案为:()2222a b a ab b +=++;(3)①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ,a-2019=y ,则x+y=1,∵()()22202020195a a -+-=,∴x 2+y 2=5,∵(x+y )2=x 2+2xy+y 2, ∴xy=()222()2x y x y +-+=-2, 即()()202020192a a --=-.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.12.阅读下列解题过程,再解答后面的题目.例题:已知224250x y y x ++-+=,求x y +的值.解:由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=即22(1)(2)0x y -++=∵2(1)0x -≥,2(2)0y +≥∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩,解得12x y =⎧⎨=-⎩∴1x y +=-.题目:已知22464100x y x y +-++=,求xy 的值.【答案】-32 【解析】【分析】先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式,根据非负数的性质求出x 、y 的值,再代入求出xy 的值.【详解】解:将22464100x y x y +-++=,化简得22694410x x y y -++++=,即()()223210x y -++=.∵()230x -≥,()2210y +≥,且它们的和为0,∴3x = ,12y, ∴12233xy ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用,解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式.13.探究阅读材料:“若x 满足()()806030x x --=,求()()228060x x -+-的值” 解:设()80x a -=,()60x b -=,则()()806030x x ab --==,()()806020a b x x +=-+-=,所以()()22228060x x a b -+-=+()22220230340a b ab =+-=-⨯=.解决问题:(1)若x 满足()()451520x x --=-,求()()224515x x -+-的值. (2)若x 满足()()22202020184040x x -+-=,求()()20202018x x --的值. (3)如图,正方形ABCD 的边长为x ,20AE =,30CG =,长方形EFGD 的面积是700,四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形,PQDH 是长方形,求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体的数值).【答案】(1)940;(2)2018;(3)2900【解析】【分析】(1)根据材料提供的方法进探究,设(45-x )=a ,(x-15)=b ,则有()()451520x x ab --==-,()()4515=30a b x x +=-+-,据此即可求出()()224515x x -+-的值; (2)(2020-x )=m ,( x-2018)=n ,则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=,则可求出()()20202018x x --的值; (3)根据题意知S 四EFGD =(x-20)(x-30)=700,知S 正MEDQ =(x-20)2,S 正DHNG =(x-30)2,S 四PQDN =(x-20)(x-30)=700,设x-20=a ,30-x=b ,则有-ab=700,据此即可求出阴影部分的面积.【详解】解:(1)设(45-x )=a ,(x-15)=b ,则有()()451520x x ab --==-,()()4515=30a b x x +=-+-∴()()()()2222224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-⨯-=;(2)(2020-x )=m ,( x-2018)=n ,则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=∴()()20202018x x --=-()()20202018x x -- ()()222+-44040-201822m n m n mn +-===∴()()20202018x x --=-mn=2018;(3)根据题意知S 四EFGD =(x-20)(x-30)=700,S 正MEDQ =(x-20)2,S 正DHNG =(x-30)2,S 四PQDN =(x-20)(x-30)=700设x-20=a ,30-x=b ,∴-ab=700,∴()()()()222222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯-=∴S 阴影=1500+700+700=2900故答案为:(1)940;(2)2018;(3)2900【点睛】本题考查完全平方公式,换元法等知识,解题的关键是学会利用换元法解决问题,熟练掌握完全平方公式.14.阅读材料后解决问题:小明遇到下面一个问题:计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题,具体解法如下:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2+1)(2﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24﹣1)(24+1)(28+1)=(28﹣1)(28+1)=216﹣1请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=_____.(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=_____.(3)化简:(m +n )(m 2+n 2)(m 4+n 4)(m 8+n 8)(m 16+n 16).【答案】232﹣1 32312-; 【解析】【分析】(1)原式变形后,利用题中的规律计算即可得到结果;(2)原式变形后,利用题中的规律计算即可得到结果;(3)分m=n 与m≠n 两种情况,化简得到结果即可.【详解】(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=232-1;(2)原式=12(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=32312-;(3)(m+n )(m 2+n 2)(m 4+n 4)(m 8+n 8)(m 16+n 16).当m≠n 时,原式=1m n -(m-n )(m+n )(m 2+n 2)(m 4+n 4)(m 8+n 8)(m 16+n 16)=3232m n m n--; 当m=n 时,原式=2m•2m 2…2m 16=32m 31.【点睛】此题考查了平方差公式,弄清题中的规律是解本题的关键.15.下面是某同学对多项式()()22676114x x x x -+-++进行因式分解的过程.解:设26x x y -=,原式(7)(11)4y y =+++(第一步) 21881y y =++(第二步)2(9)y =+(第三步)()2269x x =-+.(第四步) 请你回答下列问题:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______;A .提公因式法B .平方差公式C .两数和的完全平方公式D .两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_______; (3)仿照以上方法因式分解:()()222221x x x x --++.【答案】(1)C ;(2)4(3)-x ;(3)4(1)x -【解析】【分析】(1)根据公式法分解因式可得答案;(2)先将269x x -+分解因式得2(3)x -,由此得到答案;(3)设22x x y -=,得到原式()21y =+,将22x x y -=代回得到()2221x x -+,再将括号内根据完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解:(1)由21881y y ++2(9)y =+是运用了因式分解的两数和的完全平方公式,故选:C ;(2)∵269x x -+=2(3)x -,∴()2269x x -+=4(3)-x ,故答案为:4(3)-x ;(3)设22x x y -=,原式()21y y =++,221y y =++,()21y =+, ()2221x x =-+, 4(1)x =-.【点睛】此题考查特殊方法分解因式,完全平方公式分解因式法,分解因式时注意应分解到不能再分解为止.四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16.阅读理解:把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式.如何将2131x x --表示成部分分式?设分式2131x x --=11m n x x +-+,将等式的右边通分得:(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-,由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得:31m n m n +=-⎧⎨-=⎩,解得:12m n =-⎧⎨=-⎩,所以2131x x --=1211x x --+-+. (1)把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式,即1(2)(5)x x --=25m n x x +--,则m = ,n = ;(2)请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式. 【答案】(1)13-,13;(2)21212x x ++-. 【解析】【分析】仿照例子通分合并后,根据分子的对应项的系数相等,列二元一次方程组求解.【详解】 解:(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----,∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩, 解得:1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得:()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-, 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-, 得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩, 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.17.为了迎接运动会,某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版数学八年级上册 全册全套试卷练习(Word 版 含答案)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ,P 为CE 中点,连结PF ,若CP=2,15BFP S ∆=,则AB 的长度为_______.【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ,再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积,利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵AE 平分∠BACBAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴∵D 为AC 中点,P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设,15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积,解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积2.小明在用计算器计算一个多边形的内角和时,得出的结果为2005°,小芳立即判断他的结构是错误的,小明仔细地复算了一遍,果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________.【答案】1980【解析】 【详解】解:设多边形的边数为n ,多加的角度为α,则(n-2)×180°=2005°-α,当n=13时,α=25°,此时(13-2)×180°=1980°,α=25°故答案为1980.3.如图,在∆ABC 中, ∠A =80︒, ∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1; ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2;……; ∠A 7BC 与∠A 7CD 的平分线相交于点A 8,得∠A 8,则∠A 8的度数为_________..【答案】516【解析】【分析】 利用外角等于不相邻的两个内角之和,以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ,再依此类推得,∠A 2=212∠A ,……,∠A 8= 812∠A ,即可求解. 【详解】解:根据三角形的外角得:∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1, ∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得,∠A 2= 212∠A ,……,∠A 8= 812∠A=180256⨯=516故答案为5 16.【点睛】本题考查三角形外角、角平分线的性质,解答的关键是弄清楚角之间的关系..4.如图,在△ABC中,∠C=46°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是_____.【答案】92°.【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C,再利用外角性质即可求出所求角的度数.【详解】由折叠的性质得:∠C'=∠C=46°,根据外角性质得:∠1=∠3+∠C,∠3=∠2+∠C',则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°,则∠1﹣∠2=92°.故答案为:92°.【点睛】考查翻折变换(折叠问题),三角形内角和定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.5.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内时,∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是__________.【答案】2∠A=∠1+∠2【解析】【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角,结合△AED的内角和为180°可求出答案.【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠,∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°,∴∠AED=12(180°−∠1),∠ADE=12(180°−∠2),∴∠AED+∠ADE=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)∴△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−12(∠1+∠2)]=12(∠1+∠2),即2∠A=∠1+∠2.故答案为:2∠A=∠1+∠2.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键.6.∠A=65º,∠B=75º,将纸片一角折叠,使点C•落在△ABC外,若∠2=20º,则∠1的度数为 _______.【答案】100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°,再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,即可得到∠3+∠4=80°,然后利用平角的定义即可求出∠1.【详解】如图,∵∠A=65°,∠B=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;又∵将三角形纸片的一角折叠,使点C 落在△ABC 外,∴∠C′=∠C=40°,而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,∠2=20°,∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°,∴∠3+∠4=80°,∴∠1=180°-80°=100°.故答案是:100°.【点睛】考查了折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也考查了三角形的内角和定理以及外角性质.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,ABC ∆中,100ABC ∠=︒,且AEF AFE ∠=∠,CFD CDF ∠=∠,则EFD ∠ 的度数为( )A .80°B .60°C .40°D .20°【答案】C【解析】【分析】 连接FB ,根据三角形内角和和外角知识,进行角度计算即可.【详解】解:如图连接FB ,∵AEF AFE ∠=∠,CFD CDF ∠=∠,∴AEF AFE EFB EBF ∠=∠=∠+∠,CFD CDF BFD FBD ∠=∠=∠+∠∴AFE CFD EFB EBF BFD FBD ∠+∠=∠+∠+∠+∠,即AFE CFD EFD EBD ∠+∠=∠+∠,又∵180AFE EFD DFC ∠+∠+∠=︒,∴2180EFD EBD ∠+∠=︒,∵100ABC ∠=︒,∴180100=402EFD ︒-︒∠=︒, 故选:C .【点睛】此题考查三角形内角和和外角定义,掌握三角形内角和为180°,三角形一个外角等于不相邻两内角之和是解题关键.8.已知:如图,ABC ∆三条内角平分线交于点D ,CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ,则∠DCE=( )A .12BAC ∠ B .12CBA ∠ C .12ACB ∠ D .CDE ∠ 【答案】A【解析】【分析】 根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出DCE ∠与BAC ∠的关系.【详解】 由题意知,ECD BDC 90∠∠=-︒由三角形内角和定理得,BAC 180ABC ACB ∠∠∠=︒-+DBC DCB 180BDC ∠∠∠+=︒-∵点D 是ΔABC 三条内角平分线的交点∴ABC 2DBC ∠∠= ACB 2DCB ∠∠=()BAC 180ABC ACB ∠∠∠=︒-+()1802DBC DCB ∠∠=︒-+()1802180BDC ∠=︒-︒-2BDC 180∠=-︒1BAC BDC 902∠∠=-︒∴1ECD BAC 2∠∠=故答案选A.【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质.9.如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起,若120∠=︒,则2∠的度数是()A .30B .40︒C .50︒D .60︒【答案】C【解析】【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数,再根据平行线的性质得到∠2的度数.【详解】如图,∵∠BEF 是△AEF 的外角,∠1=20︒,∠F=30︒,∴∠BEF=∠1+∠F=50︒,∴∠2=∠BEF=50︒,故选:C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题的关键是掌握三角形外角的性质.10.如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.110︒B.115︒C.120︒D.125︒【答案】A【解析】【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠A+∠C=65°,∠DFE=∠B+∠AEC,进而可得答案.【详解】解:∵∠A=27°,∠C=38°,∴∠AEB=∠A+∠C=65°,∵∠B=45°,∴∠DFE=65°+45°=110°,故选:A.【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.11.如图,在△ABC中,过点A作射线AD∥BC,点D不与点A重合,且AD≠BC,连结BD 交AC于点O,连结CD,设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为和,则下列说法不正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据同底等高判断△ABD 和△ACD 的面积相等,即可得到,即,同理可得△ABC 和△BCD 的面积相等,即. 【详解】 ∵△ABD 和△ACD 同底等高,,, 即△ABC 和△DBC 同底等高, ∴∴故A,B,C 正确,D 错误.故选:D.【点睛】考查三角形的面积,掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.12.如图,把三角形纸片ABC 沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 外部时,则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是( )A .212A ∠=∠-∠B .32(12)A ∠=∠-∠C .3212A ∠=∠-∠D .12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ,根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,用∠2与∠A′表示出∠3,然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.【详解】如图所示:∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到,∴∠A′=∠A ,又∵∠ADA′=180°-∠1,∠3=∠A′+∠2,∵∠A+∠ADA′+∠3=180°,即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°,整理得,2∠A=∠1-∠2.故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质,根据折叠的性质,平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,把∠1、∠2、∠A转化到同一个三角形中是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点O是AC的中点,点D在射线BO上,连结OE,EC,则∠ACE=_____°;若AB=1,则OE的最小值=_____.【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC=12AC,∠ABD=30°,根据"SAS"可证△ABD≌△ACE,可得∠ACE=30°=∠ABD,当OE⊥EC时,OE的长度最小,根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解:∵△ABC的等边三角形,点O是AC的中点,∴OC=12AC,∠ABD=30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE ,且AB =AC ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE (SAS )∴∠ACE =30°=∠ABD当OE ⊥EC 时,OE 的长度最小,∵∠OEC =90°,∠ACE =30°∴OE 最小值=12OC =14AB =14 故答案为:30,14【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.14.如图,△ABC 是等边三角形,AE =CD ,AD 、BE 相交于点P ,BQ ⊥DA 于Q ,PQ =3,EP =1,则DA 的长是________.【答案】7【解析】试题解析:∵△ABC 为等边三角形,∴AB=CA ,∠BAE=∠ACD=60°;又∵AE=CD ,在△ABE 和△CAD 中,AB CA BAE ACD AE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== ∴△ABE ≌△CAD ;∴BE=AD ,∠CAD=∠ABE ;∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°;∵BQ ⊥AD ,∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°-60°=30°;∵PQ=3,∴在Rt △BPQ 中,BP=2PQ=6;又∵PE=1,∴AD=BE=BP+PE=7.故答案为7.15.如图,ABC ∆中,090,,102ACB AC BC AB ∠===,点G 为AC 中点,连接BG ,CE BG ⊥于F ,交AB 于E ,连接GE ,点H 为AB 中点,连接FH ,以下结论:①ACE ABG ∠=∠;②5CF =;③AGE CGB ∠=∠;④FH 平分BFE ∠。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学全册全套试卷练习(Word版含答案)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=74°,∠ABC=46°,且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠BDC的度数为_____.【答案】30°【解析】【分析】延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF,故DE=DF,过D点作DG⊥AC于G点,可得出△ADE≌△ADG,△CDG≌△CDF,进而得出CD为∠ACF的平分线,得出∠DCA=53°,再根据三角形内角和定理即可得出结论.【详解】解:延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中,ABD CBDBD BDAED DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△BDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF,又∵∠BAD+∠CAD=180°∠BAD+∠EAD=180°∴∠CAD=∠EAD,∴AD为∠EAC的平分线,过D点作DG⊥AC于G点,在Rt△ADE与Rt△ADG中,AD ADDE DG=⎧⎨=⎩,∴△ADE≌△ADG(HL),∴DE=DG,∴DG=DF.在Rt△CDG与Rt△CDF中,CD CD DG DF=⎧⎨=⎩,∴Rt△CDG≌Rt△CDF(HL),∴CD为∠ACF的平分线,∠ACB=74°,∴∠DCA=53°,∴∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB=180°﹣23°﹣53°﹣74°=30°.故答案为:30°【点睛】本题考查了多边形的外角和内角,能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键,注意:三角形的内角和等于180°,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.2.一个正多边形的每个外角为60°,那么这个正多边形的内角和是_____.【答案】720°.【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数,然后再根据内角和公式进行求解即可.【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6,所以这个正多边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,故答案为720°.【点睛】本题考查了多边形内角与外角:内角和定理:(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数);多边形的外角和等于360度.3.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC=_____度.【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质,先证△ADC≌△BDF,可得BD=AD,可求∠ABC=∠BAD=45°.【详解】∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°,∠DBF+∠BFD=90°,又∵∠BFD=∠AFE(对顶角相等)∴∠EAF=∠DBF,在Rt△ADC和Rt△BDF中,CAD FBDBDF ADCBF AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ADC≌△BDF(AAS),∴BD=AD,即∠ABC=∠BAD=45°.故答案为45.【点睛】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.4.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,则∠BDC的度数是_____.【答案】85°.【解析】【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°,再利用角平分线得出∠DBC=35°,进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数.【详解】∵在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,∴∠C=60°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=35°,∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°.故答案为85°.5.如图,五边形ABCDE的每一个内角都相等,则外角CBF=∠__________.【答案】72︒【解析】【分析】多边形的外角和等于360度,依此列出算式计算即可求解.【详解】360°÷5=72°.故外角∠CBF等于72°.故答案为:72︒.【点睛】此题考查了多边形内角与外角,关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点.6.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠P=______°.【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°,∠PCM=50°,根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线,CP是∠ACM的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=50°,∴∠PBC=20°,∠PCM=50°,∵∠PBC+∠P=∠PCM,∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°,故答案为:30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被BC所截,E点在BC上,若∠1=45°,∠2=35°,则∠3=()A.65°B.70°C.75°D.80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C,在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3.【详解】解:∵AB∥CD,∴∠C=∠1=45°,∵∠3是△CDE的一个外角,∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°,故选:D.【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行⇔同位角相等,②两直线平行⇔内错角相等,③两直线平行⇔同旁内角互补,④a∥b,b∥c⇒a∥c.8.以下列各组线段为边,能组成三角形的是().A.2cm,3cm,5cm B.5cm,6cm,10cmC.1cm,1cm,3cm D.3cm,4cm,9cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可.【详解】A.∵2+3=5,∴不能组成三角形,故本选项错误;B.∵5+6=11>10,∴能组成三角形,故本选项正确;C.∵1+1=2<3,∴不能组成三角形,故本选项错误;D.∵3+4=7<9,∴不能组成三角形,故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查了三角形的三边关系,熟知三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解答此题的关键.9.一正多边形的内角和与外角和的和是1440°,则该正多边形是()A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形【答案】C【解析】【分析】依题意,多边形的内角与外角和为1440°,多边形的外角和为360°,根据内角和公式求出多边形的边数.【详解】解:设多边形的边数为n,根据题意列方程得,(n﹣2)•180°+360°=1440°,n﹣2=6,n=8.故这个多边形的边数为8.故选:C.【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理,熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键.10.如图,三角形ABC中,D为BC上的一点,且S△ABD=S△ADC,则AD为()A.高B.角平分线C.中线D.不能确定【答案】C【解析】试题分析:三角形ABD和三角形ACD共用一条高,再根据S△ABD=S△ADC,列出面积公式,可得出BD=CD.解:设BC边上的高为h,∵S△ABD=S△ADC,∴,故BD=CD,即AD是中线.故选C.考点:三角形的面积;三角形的角平分线、中线和高.11.如图,在△ABC中,过点A作射线AD∥BC,点D不与点A重合,且AD≠BC,连结BD 交AC于点O,连结CD,设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为和,则下列说法不正确的是()A .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD 和△ACD 的面积相等,即可得到,即,同理可得△ABC 和△BCD 的面积相等,即. 【详解】∵△ABD 和△ACD 同底等高, ,,即△ABC 和△DBC 同底等高, ∴∴故A,B,C 正确,D 错误.故选:D.【点睛】考查三角形的面积,掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.12.如图,把三角形纸片ABC 沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 外部时,则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是( )A .212A ∠=∠-∠B .32(12)A ∠=∠-∠C .3212A ∠=∠-∠D .12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ,根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,用∠2与∠A′表示出∠3,然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.如图所示:∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到,∴∠A′=∠A ,又∵∠ADA′=180°-∠1,∠3=∠A′+∠2,∵∠A+∠ADA′+∠3=180°,即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°,整理得,2∠A=∠1-∠2.故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质,根据折叠的性质,平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD ⊥AC 于D ,下列四个结论:①EF =BE +CF ;②∠BOC =90°+12∠A ; ③点O 到△ABC 各边的距离相等;④设OD =m ,AE +AF =n ,则AEF S mn ∆=.其中正确的结论是____.(填序号)【答案】①②③【分析】由在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,根据角平分线的定义与三角形的内角和定理,即可求出②∠BOC=90°+12∠A正确;由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确;由角平分线的性质得出点O到△ABC 各边的距离相等,故③正确;由角平分线定理与三角形的面积求法,设OD=m,AE+AF=n,则△AEF的面积=12mn,④错误.【详解】在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°,故②∠BOC=90°+12∠A正确;在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠OCF,∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,即①EF=BE+CF正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于点N,连接AO,∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,即③点O到△ABC各边的距离相等正确;∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·(AE+AF)=12mn,故④错误;故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质,解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.14.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CF交AB于E,BD⊥CF,AF⊥CF,则下列结论:①∠ACF=∠CBD②BD=FC③FC=FD+AF④AE=DC中,正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③【解析】【分析】根据同角的余角相等,可得到结论①,再证明△ACF≌△CBD,然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.【详解】解:∵BD⊥CF,AF⊥CF,∴∠BDC=∠AFC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACF=∠CBD,故①正确;在△ACF和△CBD中,BDC AFCACF CBDAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF≌△CBD,∴BD=FC,CD=AF,故结论②正确∴FC=FD+CD=FD+AF,故结论③正确,∵在Rt△AEF中,AE>AF,∴AE>CD,故结论④错误.综上所述,正确的结论是:①②③.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.15.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CDE=55°.如图,则∠EAB的度数为_________【答案】35°【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线,然后求出∠AEB,再根据直角三角形两锐角互余求解即可.【详解】过点E作EF⊥AD于F.∵DE平分∠ADC,∴CE=EF.∵E是BC的中点,∴CE=BE,∴BE=EF,∴AE是∠BAD的平分线,∴∠EAB=∠FAE.∵∠B=∠C=90°,∴∠CDA+∠DAB=180°,∴2∠CDE+2∠EAB=180°,∴∠CDE+∠EAB=90°,∴∠EAB=90°-∠CDE=90°-55°=35°.故答案为:35°.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,角平分线的判定,熟记性质并作辅助线是解题的关键.16.如图,Rt△ABC中,∠C=90°.E为AB中点,D为AC上一点,BF∥AC交DE的延长线于点F.AC=6,BC=5.则四边形FBCD周长的最小值是______.【答案】16【解析】时,四边形FBCD周长最小为5+6+5=16四边形FBCD周长=BC+AC+DF;当DF BC17.如图,四边形ABCD是正方形,直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点,l1∥l2∥l3,若l1与l2之间的距离为4,l2与l3之间的距离为5,则正方形的边长为______.【答案】41【解析】解:过B作直线BF⊥l3于F,交直线l1于点E.∵l1∥l3,∴∠AEB=∠BFC=90°,∴BE=4,BF=5.∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBF=90°.∵∠ABE+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∵∠BAE=∠CBF,∠AEB=∠BFC,AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF=5.在Rt△AEB中,AB=22=41.故答案为41.AE BE=2254点睛:本题考查了全等三角形的性质和判定,正方形的性质的应用,解答本题的关键是能正确作出辅助线,并进一步求出△ABE≌△BCF,难度适中.18.已知△ABC中,AB=BC≠AC,作与△ABC只有一条公共边,且与△ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出_____个.【答案】7【解析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等,以腰为公共边时有6个,以底为公共边时有一个,答案可得.解:以AB为公共边有三个,以CB为公共边有三个,以AC为公共边有一个,所以一共能作出7个.故答案为7四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论中正确的是()A.AB﹣AD>CB﹣CD B.AB﹣AD=CB﹣CDC.AB﹣AD<CB﹣CD D.AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【答案】A【解析】如图,在AB上截取AE=AD,连接CE.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,又AC是公共边,∴△AEC≌△ADC(SAS),∴AE=AD,CE=CD,∴AB-AD=AB-AE=BE,BC-CD=BC-CE,∵在△BCE中,BE>BC-CE,∴AB-AD>CB-CD.故选A.20.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于()A .150°B .180°C .210°D .225°【答案】B【解析】【分析】 根据SAS 可证得ABC ≌EDC ,可得出BAC DEC ∠∠=,继而可得出答案,再根据邻补角的定义求解.【详解】由题意得:AB ED =,BC DC =,D B 90∠∠==, ABC ∴≌EDC ,BAC DEC ∠∠∴=,12180∠∠+=.故选B .【点睛】 本题考查全等图形的知识,比较简单,解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ..21.如图所示,点A 、B 分别是∠NOP 、∠MOP 平分线上的点,AB ⊥OP 于点E ,BC ⊥MN 于点C ,AD ⊥MN 于点D ,下列结论错误的是( )A .AD +BC =ABB .与∠CBO 互余的角有两个C .∠AOB =90°D .点O 是CD 的中点【答案】B【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD =AE ,BC =BE ,利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB 的度数,再利用“HL ”证明Rt △AOD 和Rt △AOE 全等,根据全等三角形对应边相等可得OD=OE,同理可得OC=OE,然后求出∠AOB=90°,然后对各选项分析判断即可得解.【详解】∵点A,B分别是∠NOP,∠MOP平分线上的点,∴AD=AE,BC=BE.∵AB=AE+BE,∴AB=AD+BC,故A选项结论正确;与∠CBO互余的角有∠COB,∠EOB,∠OAD,∠OAE共4个,故B选项结论错误;∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点,∴∠AOE=12∠EOD,∠BOC=12∠MOE,∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°,故C选项结论正确;在Rt△AOD和Rt△AOE中,AO AOAD AE=⎧⎨=⎩,∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),∴OD=OE,同理可得OC=OE,∴OC=OD=OE,∴点O是CD的中点,故D选项结论正确.故选B.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,余角的定义,熟记各性质并准确识图是解题的关键.22.如图,△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△QSP;④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是().A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】如图,连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等,即可说明①正确;由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC,再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,得到∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出OP//AB,即②正确;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等;连接RS,与AP交于点D,先证△ARD≌△ASD,即RD=SD;运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解:如图,连接AP∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR,∠RAP=∠PAC即①正确;又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB,即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图,连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS,∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS,即④正确;故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,角平分线性质的应用,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键23.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图,那么下列各条件中,不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°A选项:AB=A′B′=5,BC=B′C′=3,符合直角三角形全等的判定条件HL ,∴A 选项能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′;B 选项:AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°,不符合符合直角三角形全等的判定条件,∴B 选项不能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′;C 选项符合Rt △ABC 和Rt △A′B′C 全等的判定条件SAS ;∴C 选项能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′;D 选项符合Rt △ABC 和Rt △A′B′C 全等的判定条件ASA ,∴D 选项能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′;故选:B .点睛:此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握,解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定,还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法,才能尽快选出此题的正确答案.24.如图,∠C =∠D =90°,若添加一个条件,可使用“HL”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等,则以下给出的条件适合的是( )A .AC =ADB .AB =ABC .∠ABC =∠ABD D .∠BAC =∠BAD【答案】A【解析】 根据题意可知∠C=∠D=90°,AB=AB ,然后由AC=AD ,可根据HL 判定两直角三角形全等,故符合条件;而B 答案只知道一边一角,不能够判定两三角形全等,故不正确;C 答案符合AAS ,证明两三角形全等,故不正确;D 答案是符合AAS ,能证明两三角形全等,故不正确.故选A.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,在四边形ABCD 中,BC CD = ,对角线BD 平分ADC ∠,连接AC ,2ACB DBC ∠=∠,若4AB =,10BD =,则ABC S =_________________.【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ,然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ,可得CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠,然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ,可得CF=DE ,再根据三角形的面积公式计算即得结果.【详解】解:∵BC CD =,∴∠CBD =∠CDB ,∵BD 平分ADC ∠,∴∠ADB =∠CDB ,∴∠CBD =∠ADB ,∴AD ∥BC ,∴∠CAD =∠ACB ,∵2ACB DBC ∠=∠,2ADC BDC ∠=∠,∠CBD =∠CDB ,∴ACB ADC ∠=∠,∴CAD ADC ∠=∠,∴CA=CD ,∴CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,则152DE BD ==,12BCF ACB ∠=∠, ∵12BDC ADC ∠=∠,ACB ADC ∠=∠,∴BCF CDE ∠=∠, 在△BCF 和△CDE 中,∵BCF CDE ∠=∠,∠BFC =∠CED =90°,CB=CD ,∴△BCF ≌△CDE (AAS ),∴CF=DE =5,∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识,涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.26.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有_____个.【答案】4【解析】【分析】以O为圆心,OA为半径画弧交x轴于点P1、P3,以A为圆心,AO为半径画弧交x轴于点P4,作OA的垂直平分线交x轴于P2.【详解】解:如图,使△AOP是等腰三角形的点P有4个.故答案为4.【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形,掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键.27.在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,∆为等腰三角形,符合条件的C点有36∠=︒,在x轴或y轴上取点C,使得ABCABO__________个.【答案】8【解析】【分析】观察数轴,按照等腰三角形成立的条件分析可得答案.【详解】解:如下图所示,若以点A为圆心,以AB为半径画弧,与x轴和y轴各有两个交点,但其中一个会与点B重合,故此时符合条件的点有3个;若以点B为圆心,以AB为半径画弧,同样与x轴和y轴各有两个交点,但其中一个与点A重合,故此时符合条件的点有3个;线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点,此时符合条件的点有2个.∴符合条件的点总共有:3+3+2=8个.故答案为:8.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,可以观察图形,得出答案.28.如图,△ABC中,AB=8,AC=6,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,则△ADE的周长为_____.【答案】14.【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD =DF ,CE =EF ,则△ADE 的周长=AB +AC =14.【详解】∵BF 平分∠ABC ,∴∠DBF =∠CBF ,∵DE ∥BC ,∴∠CBF =∠DFB ,∴∠DBF =∠DFB ,∴BD =DF ,同理FE =EC ,∴△AED 的周长=AD +AE +ED =AB +AC =8+6=14.故答案为:14.【点睛】此题考查角平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的等角对等边的性质.29.如图,在ABC ∆中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ,过点O 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论:①EF BE CF =+;②点O 到ABC ∆各边的距离相等;③1902BOC A ∠=+∠;④设OD m =,AE AF n +=,则AEF S mn ∆=;⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=12mn,故④错误,根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD,同理可证BM=BN,CD=CN,变形即可得到⑤正确.【详解】∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A;故③正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF.∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA.∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•(AE+AF)=12mn;故④错误;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;∵AO=AO,MO=DO,∴△AMO≌△ADO(HL),∴AM=AD;同理可证:BM=BN,CD=CN.∵AM+BM=AB,AD+CD=AC,BN+CN=BC,∴AD=12(AB+AC﹣BC)故⑤正确.故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.30.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AE平分∠BAC,∠D=∠DBC=60°,若BD=5cm,DE=3cm,则BC的长是 ______cm.【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形,△EFD为等边三角形,从而得出BN的长,进而求出答案.【详解】解:延长DE交BC于M,延长AE交BC于N,作EF∥BC于F,∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠DBC=∠D=60°,∴△BDM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BD=5,DE=3,∴EM=2,∵△BDM为等边三角形,∴∠DMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠ENM=90°,∴∠NEM=30°,∴NM=1,∴BN=4,∴BC=2BN=8(cm),故答案为8.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.已知∠AOB =30°,点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称,则P 1,O ,P 2三点构成的三角形是 ( )A .直角三角形B .钝角三角形C .等边三角形D .等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意,作出相应的图形,然后对相应的角进行标记;本题先证明P 1,O ,P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒,然后证边12OP OP OP ==,得到P 1,O ,P 2三点构成的三角形为等腰三角形,又因为该等腰三角形有一个角为60︒,故得证P 1,O ,P 2三点构成的三角形是等边三角形。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷练习(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学全册全套试卷练习(Word版含答案)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.小明同学探究的方法是:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是(直接写结论,不需证明);(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF是∠BAD的二分之一,上述结论是否仍然成立,并说明理由.(3)如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出三角形DEF的周长.【答案】(1)EF=BE+DF.(2)成立,理由见解析;(3)10.【解析】【分析】(1)如图1,延长FD到G,使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,进一步根据题意得∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,证得△ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,再结合题意得到∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.(3)如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,先证△AEB≌△CGB,得到BE=BG,∠ABE=∠CBG,结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°,再证明△EBF≌△GBF,得到EF=FG,最后求三角形的周长即可.【详解】解答:(1)解:如图1,延长FD到G,使得DG=DC在△ABE和△ADG中,∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;故答案为:EF=BE+DF.(2)解:结论EF=BE+DF仍然成立;理由:如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG在△ABE和△ADG中,∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF ≌△AGF (SAS ),∴EF =FG ,∵FG =DG +DF =BE +DF ,∴EF =BE +DF ;(3)解:如图3,延长DC 到点G ,截取CG =AE ,连接BG ,在△AEB 与△CGB 中,∵AE CG A BOG AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEB ≌△CGB (SAS ),∴BE =BG ,∠ABE =∠CBG .∵∠EBF =45°,∠ABC =90°,∴∠ABE +∠CBF =45°,∴∠CBF +∠CBG =45°.在△EBF 与△GBF 中,∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBF ≌△GBF (SAS ),∴EF =GF ,∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质,灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问,难度不断增加,对提升思维能力大有好处.2.如图,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一动点,连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .(1)若AB AC =,90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系; ②当点D 在线段C 的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中面出相应的图形并说明理由;(2)如图3,若AB AC ≠,90BAC ∠≠︒,45BCA ∠=︒,点D 在线段BC 上运动,试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】(1)①CF ⊥BD ,证明见解析;②成立,理由见解析;(2)CF ⊥BD ,证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ,然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等,②先求出∠CAF=∠BAD ,然后与①的思路相同求解即可;(2)过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ,可得△ACE 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ,∠AED=45°,再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ,然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF ⊥BD .【详解】解:(1)①∵∠BAC=90°,△ADF 是等腰直角三角形,∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,∴∠CAF=∠BAD ,在△ACF 和△ABD 中,∵AB=AC ,∠CAF=∠BAD ,AD=AF ,∴△ACF ≌△ABD(SAS),∴CF=BD ,∠ACF=∠ABD=45°,∵∠ACB=45°,∴∠FCB=90°,∴CF ⊥BD ;②成立,理由如下:如图2:∵∠CAB=∠DAF=90°,∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,∵AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠B,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,∴CF⊥BD;(2)如图3,过点A作AE⊥AC交BC于E,∵∠BCA=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AC=AE,∠AED=45°,∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠EAD,在△ACF和△AED中,∵AC=AE,∠CAF=∠EAD,AD=AF,∴△ACF≌△AED(SAS),∴∠ACF=∠AED=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,∴CF⊥BD.【点睛】本题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.3.如图1,在ABC ∆中,ACB ∠是直角,60B ∠=︒,AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线,AD 、CE 相交于点F .(1)求出AFC ∠的度数;(2)判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由.(提示:在AC 上截取CG CD =,连接FG .)(3)如图2,在△ABC ∆中,如果ACB ∠不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)∠AFC =120°;(2)FE 与FD 之间的数量关系为:DF =EF .理由见解析;(3)AC =AE+CD .理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ,∠ACF 即可解决问题;(2)根据在图2的 AC 上截取CG=CD ,证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ;再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ,得EF=FG ,故得出EF=FD ;(3)根据(2) 的证明方法,在图3的AC 上截取AG=AE ,证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ;再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ,得CD=CG 即可解决问题.【详解】(1)解:∵∠ACB =90°,∠B =60°,∴∠BAC =90°﹣60°=30°,∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,∴∠FAC =15°,∠FCA =45°,∴∠AFC =180°﹣(∠FAC+∠ACF )=120°(2)解:FE 与FD 之间的数量关系为:DF =EF .理由:如图2,在AC 上截取CG =CD ,∵CE 是∠BCA 的平分线,∴∠DCF =∠GCF ,在△CFG 和△CFD 中,CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CFG ≌△CFD (SAS ),∴DF =GF .∠CFD =∠CFG由(1)∠AFC =120°得,∴∠CFD =∠CFG =∠AFE =60°,∴∠AFG =60°,又∵∠AFE =∠CFD =60°,∴∠AFE =∠AFG ,在△AFG 和△AFE 中,AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AFG ≌△AFE (ASA ),∴EF =GF ,∴DF =EF ;(3)结论:AC =AE+CD .理由:如图3,在AC 上截取AG =AE ,同(2)可得,△EAF ≌△GAF (SAS ),∴∠EFA =∠GFA ,AG =AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC =180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°, ∴∠EFA =∠GFA =180°﹣120°=60°=∠DFC ,∴∠CFG =∠CFD =60°,同(2)可得,△FDC ≌△FGC (ASA ),∴CD =CG ,∴AC =AG+CG =AE+CD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用,全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造全等三角形.4.如图,在平面直角坐标系中,A 、B 坐标为()6,0、()0,6,P 为线段AB 上的一点.(1)如图1,若P 为AB 的中点,点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点,且保持AM ON =,则在点M 、N 运动的过程中,探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系,并说明理由.(2)如图2,若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点,过B 点作BD OP ⊥,交OP 、OA 分别于F 、D 两点,E 为OA 上一点,且PEA BDO =∠∠,试判断线段OD 与AE 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)PM=PN ,PM ⊥PN ,理由见解析;(2)OD=AE ,理由见解析【解析】【分析】(1)连接OP .只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题;(2)作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .由△DBO ≌△GOA ,推出OD=AG ,∠BDO=∠G ,再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题;【详解】(1)结论:PM=PN ,PM ⊥PN .理由如下:如图1中,连接OP .∵A 、B 坐标为(6,0)、(0,6),∴OB=OA=6,∠AOB=90°,∵P 为AB 的中点,∴OP=12AB=PB=PA ,OP ⊥AB ,∠PON=∠PAM=45°, ∴∠OPA=90°,在△PON 和△PAM 中,ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PON ≌△PAM (SAS ),∴PN=PM ,∠OPN=∠APM ,∴∠NPM=∠OPA=90°,∴PM ⊥PN ,PM=PN .(2)结论:OD=AE .理由如下:如图2中,作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .∵BD ⊥OP ,∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°,∴∠ODF+∠AOG=90°,∠ODF+∠OBD=90°,∴∠AOG=∠DBO ,∵OB=OA ,∴△DBO ≌△GOA ,∴OD=AG ,∠BDO=∠G ,∵∠BDO=∠PEA ,∴∠G=∠AEP ,在△PAE 和△PAG 中,AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PAE ≌△PAG (AAS ),∴AE=AG ,∴OD=AE .【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.5.在ABC 中,AB AC =,点D 在BC 边上,且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合,且DA DB ≠),在射线DB 上截取DF DE =,连接EF .()1当点E 在线段AD 上时,①若点E 与点A 重合时,请说明线段BF DC =;②如图2,若点E 不与点A 重合,请说明BF DC AE =+;()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时,用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF =AE-CD【解析】【分析】(1)①根据等边对等角,求到B C ∠=∠,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒,推出ABF ACD ∆∆≌,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由△DEF 为等边三角形得到DA =DG ,再推出AE =GF ,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG ,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】(1)①证明:AB AC =B C ∴∠=∠,60DF DE ADB =∠=︒,且E 与A 重合,ADF ∴∆是等边三角形60ADF AFD ∴∠=∠=︒120AFB ADC ∴∠=∠=︒在ABF ∆和ACD ∆中AFB ADC B CAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD ∴∆∆≌∴=BF DC②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G,∵∠ADB=60°DE=DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60°∴∠DAG=∠AGD∴DA=DG∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG=CD∴BF=BG+GF=CD+AE(2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,∴+=+==BF CD BF BG GF AE=-.故BF AE CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.(问题情境)学习《探索全等三角形条件》后,老师提出了如下问题:如图①,△ABC 中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.同学通过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB,从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是.解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.(直接运用)如图②,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,AF是ACD的边CD上中线.求证:BE=2AF.(灵活运用)如图③,在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥DF,DE交AC于点E,DF交AB于点F,连接EF,试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状,并证明你的结论.【答案】(1)2<AD<10;(2)见解析(3)为直角三角形,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据△ADC≌△EDB,得到BE=AC=8,再根据三角形的构成三角形得到AE的取值,再根据D为AE中点得到AD的取值;(2)延长AF到H,使AF=HF,故△ADF≌△HCF,AH=2AF,由AB⊥AC,AD⊥AE,得到∠BAE+∠CAD=180°,又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°,根据∠D=∠FCH,∠DAF=∠CHF,得到∠ACH+∠CAD=180°,故∠BAE= ACH,再根据AB=AC,AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH,故BE=AH,故可证明BE=2AF.(3)延长FD到点G,使DG=FD,连结GA,GE,证明△DBF≌△DAG,故得到FD=GD,BF=AG,由DE⊥DF,得到EF=EG,再求出∠EAG=90°,利用勾股定理即可求解.【详解】(1)∵△ADC≌△EDB,∴BE=AC=8,∵AB=12,∴12-8<AE<12+8,即4<AE<20,∵D为AE中点∴2<AD<10;(2)延长AF到H,使AF=HF,由题意得△ADF≌△HCF,故AH=2AF,∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴∠BAE+∠CAD=180°,又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°,∵∠D=∠FCH,∠DAF=∠CHF,∴∠ACH+∠CAD=180°,故∠BAE= ACH,又AB=AC,AD=AE∴△BAE≌△ACH(SAS),故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.(3)以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形,理由如下:延长FD到点G,使DG=FD,连结GA,GE,由题意得△DBF≌△ADG,∴FD=GD,BF=AG,∵DE⊥DF,∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°,∴∠B+∠CAB=90°,又∠B=∠DAG,∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°,故EG2=AE2+AG2,∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2,则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是根据题意作出辅助线,根据垂直平分线与勾股定理进行求解.7.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.(1)求∠CAM的度数;(2)若点D在线段AM上时,求证:△ADC≌△BEC;(3)当动D在直线..AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断∠AOB是否为定值?并说明理由.【答案】(1)30°;(2)答案见解析;(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD,根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC;(3)分情况讨论:当点D在线段AM上时,如图1,由(2)可知△ACD≌△BCE,就可以求出结论;当点D在线段AM的延长线上时,如图2,可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论;当点D在线段MA的延长线上时,如图3,通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论.【详解】(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵线段AM为BC边上的中线,∴∠CAM12=∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.(2)∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD =∠BCE.在△ADC和△BEC中,∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE(SAS);(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.理由如下:①当点D在线段AM上时,如图1,由(2)可知△ACD≌△BCE,则∠CBE=∠CAD=30°,又∠ABC=60°,∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°.∵△ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线,∴AM平分∠BAC,即11603022BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒,∴∠BOA =90°﹣30°=60°.②当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2. ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACB +∠DCB =∠DCB +∠DCE ,∴∠ACD =∠BCE .在△ACD 和△BCE 中,∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴∠CBE =∠CAD =30°. 由(1)得:∠BAM =30°,∴∠BOA =90°﹣30°=60°. ③当点D 在线段MA 的延长线上时. ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACD +∠ACE =∠BCE +∠ACE =60°,∴∠ACD =∠BCE .在△ACD 和△BCE 中,∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴∠CBE =∠CAD . 由(1)得:∠CAM =30°,∴∠CBE =∠CAD =150°,∴∠CBO =30°,∠BAM =30°,∴∠BOA =90°﹣30°=60°.综上所述:当动点D 在直线AM 上时,∠AOB 是定值,∠AOB =60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.8.如图,在平面直角坐标系中,点B 坐标为()6,0-,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =,点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点,设点P 的坐标为()0m ,.(1)点A 的坐标为___________;(2)当ABP △是等腰三角形时,求P 点的坐标;(3)如图2,过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ,连接OE ,若点A 关于直线OE 的对称点为A ',当点A '恰好落在直线PE 上时,BE =_____________.(直接写出答案) 【答案】(1)()0,8;(2)()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭;(3)425【解析】 【分析】(1)根据勾股定理可以求出AO 的长,则可得出A 的坐标; (2)分三种情况讨论等腰三角形的情况,得出点P 的坐标; (3)根据PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,得到EAGOPG ,利用点A ,A '关于直线OE 对称点,根据对称性,可证'OPG EAO ,可得'8OP OA ,82AP,设BE x =,则有6AE x ,根据勾股定理,有:22222BP BE EP AP AE解之即可. 【详解】解:(1)∵点B 坐标为6,0,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =,∴ABO 是直角三角形,根据勾股定理有:22221068AOAB BO ,∴点A 的坐标为()0,8; (2)∵ABP △是等腰三角形, 当BPAB 时,如图一所示:OP BP BO,∴1064∴P点的坐标是()4,0;=时,如图二所示:当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0;=时,如图三所示:当AP BP设OP x =,则有6AP x∴根据勾股定理有:222OP AO AP += 即:22286x x解之得:73x =∴P 点的坐标是7,03; (3)当ABP △是钝角三角形时,点A '不存在; 当ABP △是锐角三角形时,如图四示:连接'OA ,∵PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,∴AEG △和GOP 是直角三角形,EGAOGP∴EAGOPG ,∵点A ,A '关于直线OE 对称点, 根据对称性,有'8OA OA ,'EAEA∴'FAO FAO,'FAE FAE∴'EAGEAO则有:'OPG EAO∴'AOP 是等腰三角形,则有'8OP OA ,∴22228882APAO OP ,设BE x =,则有6AE x ,根据勾股定理,有:22222BP BE EP AP AE 即:2222688210x x解之得:425BE x【点睛】本题考查了三角形的综合问题,涉及的知识点有:解方程,等腰三角形的判定与性质,对称等知识点,能分类讨论,熟练运用各性质定理,是解题的关键.9.在等边ABC ∆中,点O 在BC 边上,点D 在AC 的延长线上且OA OD =.(1)如图1,若点O 为BC 中点,求COD ∠的度数; (2)如图2,若点O 为BC 上任意一点,求证AD AB BO =+.(3)如图3,若点O 为BC 上任意一点,点D 关于直线BC 的对称点为点P ,连接,AP OP ,请判断AOP ∆的形状,并说明理由.【答案】(1)30;(2)见解析;(3)AOP ∆是等边三角形,理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒,根据OA OD =,等腰三角形的性质得到D ∠的度数,再通过内角和定理求AOD ∠,即可求出COD ∠的度数.(2)过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形,再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒,120DCO ∠=︒,再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆,得到CD EA =,再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过,又因为AD AC CD =+,通过等量代换即可得到答案.(3)通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆,得到OP OD =,又因为OA OD =,得到AO=OP,证得AOP∆为等腰三角形,如解析辅助线,由(2)可知得AOE DOC∆≅∆得到AOE DOC∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE∠=∠=°,即可证得AOP∆是等边三角形.【详解】(1)∵ABC∆为等边三角形∴60BAC∠=︒∵O为BC中点∴1302CAO BAC∠=∠=︒且,90AO BC AOC⊥∠=︒∵OA OD=∴AOD∆中,30D CAO∠=∠=︒∴180120AOD D CAO∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC∠=∠-∠=︒(2)过O作//OE AB,OE交AD于E∵//OE AB∴60EOC ABC∠=∠=︒60CEO CAB∠=∠=︒∴COE∆为等边三角形∴OE OC CE==180120AEO CEO∠=︒-∠=︒180120DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=,∵AB AC=,AD AC CD=+∴AD AB BO=+(3)AOP∆为等边三角形证明过程如下:连接,PC PD,延长OC交PD于F ∵P D、关于OC对称∴,90 PF DF PFO DFO=∠=∠=︒在ODF∆与OPF∆中,PF DFPFO DFOOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS∆≅∆∴OP OD=,POC DOC∠=∠∵OA OD=∴AO=OP∴AOP∆为等腰三角形过O作//OE AB,OE交AD于E 由(2)得AOE DOC∆≅∆∴AOE DOC∠=∠又∵POC DOC∠=∠∴AOE POF∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ,∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒ ∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题,灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系,以及等边三角形的性质是解答此题的关键.10.(阅读理解)截长补短法,是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法,截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等,从而解决问题.(1)如图1,△ABC 是等边三角形,点D 是边BC 下方一点,∠BDC =120°,探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.解题思路:延长DC 到点E ,使CE =B D .连接AE ,根据∠BAC +∠BDC =180°,可证∠ABD =∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ,得出△ADE 是等边三角形,所以AD =DE ,从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.根据上述解题思路,请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________(拓展延伸)(2)如图2,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =A C .若点D 是边BC 下方一点,∠BDC =90°,探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系,并说明理由;(知识应用)(3)如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ,把斜边重叠摆放在一起,则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.【答案】(1)DA DB DC =+;(22DA DB DC =+,理由见详解;(3)7276+ 【解析】【分析】(1)由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=,结合120BDC ︒∠=知180ABD ACD ︒∠+∠=,则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形,等量代换可得结论; (2) 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,由勾股定理得222DA AE DE +=,等量代换即得结论;(3)由直角三角形的性质可得QN 的长,由勾股定理可得MQ 的长,由(2)知2PQ QN QM =+,由此可求得PQ 长.【详解】解:(1)延长DC 到点E ,使CE =B D.连接AE ,ABC 是等边三角形,60AB AC BAC ︒∴=∠=120BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠60BAC ︒∠=60BAD DAC ︒∴∠+∠=60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠=ADE ∴是等边三角形DA DE DC CE DC DB ∴==+=+(2)2DA DB DC =+延长DC 到点E ,使CE =B D.连接AE ,90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠,AB AC CE BD == ()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠90DAE BAC ︒∴∠=∠=222DA AE DE ∴+= 222()DA DB DC ∴=+2DA DB DC ∴=+(3)连接PQ ,14,30MN QMN ︒=∠=172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-== 由(22PQ QN QM =+773727622PQ ++∴=== 【点睛】此题是三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.阅读材料:若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0,求m 、n 的值.解:∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0,∴(m 2﹣2mn+n 2)+(n 2﹣8n+16)=0∴(m ﹣n )2+(n ﹣4)2=0,∴(m ﹣n )2=0,(n ﹣4)2=0,∴n=4,m=4.根据你的观察,探究下面的问题:(1)已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0,求2x+y 的值;(2)已知a ﹣b=4,ab+c 2﹣6c+13=0,求a+b+c 的值.【答案】(1)1;(2)3.【解析】【分析】(1)根据题意,可以将题目中的式子化为材料中的形式,从而可以得到x 、y 的值,从而可以得到2x+y 的值;(2)根据a-b=4,ab+c 2-6c+13=0,可以得到a 、b 、c 的值,从而可以得到a+b+c 的值.解:(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0,∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0,∴(x+y)2+(y+1)2=0,∴x+y=0,y+1=0,解得,x=1,y=−1,∴2x+y=2×1+(−1)=1;(2)∵a−b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0,得b 2+4b+c 2−6c+13=0,∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0,∴(b+2)2+(c−3)2=0,∴b+2=0,c−3=0,解得,b=−2,c=3,∴a=b+4=−2+4=2,∴a+b+c=2−2+3=3.【点睛】此题考查了因式分解方法的应用:利用因式分解解决求值问题;利用因式分解解决证明问题;利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确:用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.12.在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》(1261年)一书中,用下图的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到,在他之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过上述方法,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.杨辉三角两腰上的数都是1,其余每一个数为它上方(左右)两数的和.事实上,这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式(按a 的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如,此三角形中第三行的3个数1,2,1,恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数,第四行的4个数1,3,3,1,恰好对应着+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数,等等.请依据上面介绍的数学知识,解决下列问题:(1)写出4()a b +的展开式;(2)利用整式的乘法验证你的结论.【答案】(1)++++432234a 4a b 6a b 4ab b ;(2)见解析【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出;(2)利用整式的乘法求解验证即可.【详解】(1)4322344()464a b a a b a b ab b +=++++,(2)方法一:()()()43a b a b a b +=+•+=()()322333a b a a b ab b ++++4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++432234464a a b a b ab b =++++方法二:()()()422a b a b a b +=+•+=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解,应用题目中给出的信息解决问题.13.请你观察下列式子:2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……根据上面的规律,解答下列问题:(1)当3x =时,计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________;(2)设201720162015222a =+++…322221++++,则a 的个位数字为 ;(3)求式子201720162015555+++…32555+++的和.【答案】(1)201831-;(2)3;(3)2018554- 【解析】【分析】(1)根据已知的等式发现规律即可求解;(2)先根据x=2,求出a=20182-1,再发现2的幂个位数字的规律,即可求出a 的个位数字;(3)利用已知的等式运算规律构造(5-1)×(2016201520142555...551++++++)即可求解.【详解】(1)∵2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+故x=3时,201720162015(31)(333-+++…323331)++++=201831-故填:201831-; (2)201720162015222a =+++…322221++++=(2-1)201720162015(222+++…322221)++++=201821-∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列,∵2018÷4=504…2,∴20182的个位数为4,∴201821-的个位数为3,故填:3;(3)201720162015555+++…32555+++ =1(51)54-⨯⨯(201620152014555+++…2551+++) =54×(5-1)(201620152014555+++…2551+++) =54×(201751-) =2018554- 【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用,解题的关键是根据已知等式找到规律.14.阅读以下文字并解决问题:对于形如222x ax a ++这样的二次三项式,我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式,但对于二次三项式2627x x +-,就不能直接用公式法分解了。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

人教版八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版一、八年级数学三角形填空题(难)1.有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC交正六边形于点D,则∠ADE的度数为()A.144°B.84°C.74°D.54°【答案】B【解析】正五边形的内角是∠ABC=()521805-⨯=108°,∵AB=BC,∴∠CAB=36°,正六边形的内角是∠ABE=∠E=()621806-⨯=120°,∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°,∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°,故选B.2.如图,在△ABC中,∠C=46°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是_____.【答案】92°.【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C,再利用外角性质即可求出所求角的度数.【详解】由折叠的性质得:∠C'=∠C=46°,根据外角性质得:∠1=∠3+∠C,∠3=∠2+∠C',则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°,则∠1﹣∠2=92°.故答案为:92°.【点睛】考查翻折变换(折叠问题),三角形内角和定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.3.如图,AD是△ABC的中线,CE是△ACD的中线,S△ACE=3cm2,则S△ABC=_____cm2.【答案】12cm2.【解析】【分析】根据三角形的面积公式,得△ACE的面积是△ACD的面积的一半,△ACD的面积是△ABC 的面积的一半.【详解】解:∵CE是△ACD的中线,∴S△ACD=2S△ACE=6cm2.∵AD是△ABC的中线,∴S△ABC=2S△ACD=12cm2.故答案为12cm2.【点睛】此题主要是根据三角形的面积公式,得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分.4.若(a﹣4)2+|b﹣9|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______.【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可.【详解】解:根据题意得,a-4=0,b-9=0,解得a=4,b=9,①若a=4是腰长,则底边为9,三角形的三边分别为4、4、9,不能组成三角形,②若b=9是腰长,则底边为4,三角形的三边分别为9、9、4,能组成三角形,周长=9+9+4=22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.5.如图所示,将△ABC沿着DE翻折,若∠1+∠2=80°,则∠B=_____度.【答案】40.【解析】【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得.【详解】∵△ABC沿着DE翻折,∴∠1+2∠BED=180°,∠2+2∠BDE=180°,∴∠1+∠2+2(∠BED+∠BDE)=360°,而∠1+∠2=80°,∠B+∠BED+∠BDE=180°,∴80°+2(180°﹣∠B)=360°,∴∠B=40°.故答案为:40°.【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理.关键是要理解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化.6.三角形三边长分别为 3,1﹣2a,8,则 a 的取值范围是 _______.【答案】﹣5<a<﹣2.【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;即可求a的取值范围,再将a的取值范围在数轴上表示出来即可.【详解】由三角形三边关系定理得8-3<1-2a<8+3,即-5<a<-2.即a的取值范围是-5<a<-2.【点睛】本题考查的知识点是三角形三边关系,在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式组,解题关键是根据三角形三边关系定理列出不等式.二、八年级数学三角形选择题(难)A B C.再分7.如图,ABC的面积为1.分别倍长(延长一倍)AB,BC,CA得到111A B C.…… 按此规律,倍长2018次后得到的别倍长A1B1,B1C1,C1A1得到222A B C的面积为()201820182018A.20176B.20187D.201886C.2018【答案】C【解析】分析:根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形,然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍,依此类推写出即可.详解:连接AB1、BC1、CA1,根据等底等高的三角形面积相等,△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等,所以,S△A1B1C1=7S△ABC,同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC,依此类推,S△AnBnCn=7n S△ABC.∵△ABC 的面积为1,∴S△AnBnCn=7n,∴S△A2018B2018C2018=72018.故选C.点睛:本题考查了三角形的面积,根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键.8.如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是各边中点,O是四边形ABCD内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10,则四边形DHOG的面积为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】分析:连接OC,OB,OA,OD,易证S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,S△OAE=S△OBE,所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE,所以可以求出S四边形DHOG.详解:连接OC,OB,OA,OD,∵E、F、G、H依次是各边中点,∴△AOE和△BOE等底等高,∴S△OAE=S△OBE,同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE,∵S四边形AEOH=7,S四边形BFOE=9,S四边形CGOF=10,∴7+10=9+S四边形DHOG,解得,S四边形DHOG=8.故选B.点睛:本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.9.一个多边形的每个内角都相等,并且它的一个外角与一个内角的比为1:3,则这个多边形为()A.三角形B.四边形C.六边形D.八边形【答案】D【解析】【分析】一个外角与一个内角的比为1 : 3,则内角和是外角和的3倍,根据多边形的外角和是360°,即可求得多边形的内角的度数,依据多边形的内角和公式即可求解.【详解】解:多边形的内角和是:360°×3=1080°.设多边形的边数是n,则(n-2)•180=1080,解得:n=8.即这个多边形是正八边形.故选D.【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理,注意多边形的外角和不随边数的变化而变化.10.下列多边形中,不能够单独铺满地面的是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【答案】C【解析】【分析】由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角和为360°.【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°,360°÷60°=6,即6个正三角形可以铺满地面一个点,∴正三角形可以铺满地面;∵正方形的内角=360°÷4=90°,360°÷90°=4,即4个正方形可以铺满地面一个点,∴正方形可以铺满地面;∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°,360°÷108°≈3.3,∴正五边形不能铺满地面;∵正六边形的内角=180°-360°÷6=120°,360°÷120°=3,即3个正六边形可以铺满地面一个点,∴正六边形可以铺满地面.故选C.【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.11.如图,将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上,若∠的大小为()244∠=,则1α-A.14B.16C.90α-D.44【解析】分析:依据平行线的性质,即可得到∠2=∠3=44°,再根据三角形外角性质,可得∠3=∠1+30°,进而得出结论.详解:如图,∵矩形的对边平行,∴∠2=∠3=44°,根据三角形外角性质,可得:∠3=∠1+30°,∴∠1=44°﹣30°=14°.故选A.点睛:本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:两直线平行,同位角相等.12.如果一个多边形的内角和是1800°,这个多边形是()A.八边形B.十四边形C.十边形D.十二边形【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,设这个正多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数.【详解】这个正多边形的边数是n,根据题意得:(n﹣2)•180°=1800°解得:n=12.故选D.【点睛】本题考查了多边形的内角和定理.注意多边形的内角和为:(n﹣2)×180°.三、八年级数学全等三角形填空题(难)90,点D在AB上,BC=BD,DE⊥AB交AC于点E,△ABC的周13.如图,在△ABC中,∠C=0长为12,△ADE的周长为6,则BC的长为_______【解析】【分析】 连接BE ,由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆,从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长.【详解】如图:连接BE ,DE ⊥AB ,090BDE ∴∠=,在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中,BE BE BD BC=⎧⎨=⎩, ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆,DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12,△ADE 的周长= AD+AE+DE =6,∴BC=3,故答案为3.【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段,连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.14.如图,在四边形ABCD 中,AD =4,CD =3,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°,则BD 的长为 .41.【解析】作AD′⊥AD ,AD′=AD ,连接CD′,DD′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD 与△CAD′中,BA CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩, ∴△BAD ≌△CAD′(SAS),∴BD=CD′.∠D AD′=90°由勾股定理得DD′=22()=32=42AD AD +',∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=22()=932=41DC DD +'+∴BD=CD′=41,故答案为41.15.如图,已知OP 平分∠AOB ,CP ∥OA ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E .CP =254,PD =6.如果点M 是OP 的中点,则DM 的长是_____.【答案】5.【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ,PC=PD=6,∠PDO=∠PEO=90°,由勾股定理得出2274CE CP PE =-=,由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ,得出∠OPC=∠BOP ,证出254CO CP ==,得出OE=CE+CO=8,由勾股定理求出2210OP OE PE =+=,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案.【详解】∵OP 平分∠AOB ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠AOP =∠BOP ,PC =PD =6,∠PDO =∠PEO =90°,∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==, ∵CP ∥OA ,∴∠OPC =∠AOP ,∴∠OPC =∠BOP ,∴254CO CP ==, ∴725448OE CE CO =+=+=, ∴22228610OP OE PE =+=+=,在Rt △OPD 中,点M 是OP 的中点,∴125DM OP ==; 故答案为:5.【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识;熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质,证明CO=CP 是解题的关键.16.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为F ,DE=DG ,△ADG 和△AED 的面积分别为48和36,求△EDF 的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE 交AC 于M ,作DN ⊥AC ,利用角平分线的性质得到DN=DF ,将三角形EDF 的面积转化为三角形DNM 的面积来求.【详解】作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,∴DF=DN,∵DE=DG,∴DG=DM,∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),∵DG=DM, DN⊥AC,∴MN=NG,∴△DMN≌△DNG,∵△ADG和△AED的面积分别为48和36,∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12,∴S△DEF=12S△MDG=1212=6,故答案为:6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键.17.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,CB=CD,AC=6,则四边形ABCD的面积是_________.【答案】18.【解析】【分析】根据已知线段关系,将△ACD绕点C逆时针旋转90°,CD与CB重合,得到△CBE,证明A、B、E三点共线,则△ACE是等腰直角三角形,四边形面积转化为△ACE面积.【详解】∵CD=CB,且∠DCB=90°,∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°,CD与CB重合,得到△CBE,∴∠CBE=∠D,AC=EC,∠DCA=∠BCE.根据四边形内角和360°,可得∠D+∠ABC=180°,∴∠CBE+∠ABC=180°,∴A、B、E三点共线,∴△ACE是等腰直角三角形,∴四边形ABCD面积=△ACE面积= 12AC2=18.故答案为:18.【点睛】本题考查了旋转的性质以及转化思想,解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转,使不规则图形转化为规则图形.18.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,以下结论:①∠BAC=70°;②∠DOC=90°;③∠BDC=35°;④∠DAC=55°,其中正确的是__________.(填写序号)【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可.【详解】解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°,①正确;∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=12∠ABC=25°,∴∠DOC=25°+60°=85°,②错误;∠BDC=60°﹣25°=35°,③正确;∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,∴AD是∠BAC的外角平分线,∴∠DAC=55°,④正确.故答案为①③④.【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°,AB上一点D,且AD=BC,过点D作DE∥BC且DE=AB,连接EC,则∠DCE的度数为()A.80°B.70°C.60°D.45°【答案】B【解析】【分析】连接AE.根据ASA可证△ADE≌△CBA,根据全等三角形的性质可得AE=AC,∠AED=∠BAC=20°,根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形,根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形,再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解.【详解】如图所示,连接AE.∵AB=DE,AD=BC∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,可得AE=DE∵AB=AC,∠BAC=20°,∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°,在△ADE与△CBA中,DAE ACBAD BCADE B∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===,∴△ADE≌△CBA(ASA),∴AE=AC,∠AED=∠BAC=20°,∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°,∴△ACE是等边三角形,∴CE=AC=AE=DE,∠AEC=∠ACE=60°,∴△DCE是等腰三角形,∴∠CDE=∠DCE,∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°,∴∠DCE=∠CDE=(180-40°)÷2=70°.故选B.【点睛】考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理,平行线的性质,综合性较强,有一定的难度.20.在和中,,高,则和的关系是( ) A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对【答案】C【解析】试题解析:当∠C′为锐角时,如图1所示,∵AC=A′C′,AD=A′D′,AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′,∴∠C=∠C′;当∠C为钝角时,如图3所示,∵AC=A′C′,AD=A′D′,AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′,∴∠C=∠A′C′D′,∴∠C+∠A′C′B′=180°.故选C.21.如图,AC⊥BE于点C,DF⊥BE于点F,且BC=EF,如果添上一个条件后,可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF,则这个条件应该是()A.AC=DE B.AB=DE C.∠B=∠E D.∠D=∠A【答案】B【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中,直角边BC=EF,要利用“HL”判定全等,只需添加条件斜边AB=DE.故选:B.22.如图,在Rt△ABC中,AB AC=,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后,得到△AFB,连接EF.列结论:①△ADC≌△AFB;②△ABE≌△ACD;③△AED≌△AEF;④BE DC DE+=其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】D【解析】解:∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后,得到△AFB,∴△ADC≌△AFB,故①正确;②无法证明,故②错误;③∵△ADC≌△AFB,∴AF=AD,∠FAB=∠DAC.∵∠DAE=45°,∴∠BAE+∠DAC=45°,∠FA E=∠DAE=45°.在△FAE和△DAE中,∵AF=AD,∠FAE=∠DAE,AE=AE,∴△FAE≌△DAE,故③正确;④∵△ADC≌△AFB,∴DC=BF,∵△FAE≌△DAE,∴EF=ED,∵BF+BE>EF,∴DC+BE>ED .故④错误.故选D.23.如图所示,把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是()A.2B.2C.2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后,等腰三角形的底边长为12;第一次折叠后,等腰三角形的底边长为22,腰长为12,所以周长为11221 2222 ++=+.故答案为B.24.已知OD 平分∠MON,点A 、B 、C 分别在OM 、OD 、ON 上(点A 、B 、C 都不与点O 重合),且AB=BC, 则∠OAB 与∠BCO 的数量关系为( )A .∠OAB+∠BCO=180°B .∠OAB=∠BCOC .∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCOD .无法确定【答案】C【解析】根据题意画图,可知当C 处在C 1的位置时,两三角形全等,可知∠OAB=∠BCO ;当点C 处在C 2的位置时,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质,∠OAB+∠BCO=180°.故选C.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,在四边形ABCD 中,BC CD = ,对角线BD 平分ADC ∠,连接AC ,2ACB DBC ∠=∠,若4AB =,10BD =,则ABC S =_________________.【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ,然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ,可得CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠,然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ,可得CF=DE ,再根据三角形的面积公式计算即得结果.【详解】解:∵BC CD =,∴∠CBD =∠CDB ,∵BD 平分ADC ∠,∴∠ADB =∠CDB ,∴∠CBD =∠ADB ,∴AD ∥BC ,∴∠CAD =∠ACB ,∵2ACB DBC ∠=∠,2ADC BDC ∠=∠,∠CBD =∠CDB ,∴ACB ADC ∠=∠,∴CAD ADC ∠=∠,∴CA=CD ,∴CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,则152DE BD ==,12BCF ACB ∠=∠, ∵12BDC ADC ∠=∠,ACB ADC ∠=∠,∴BCF CDE ∠=∠, 在△BCF 和△CDE 中,∵BCF CDE ∠=∠,∠BFC =∠CED =90°,CB=CD ,∴△BCF ≌△CDE (AAS ),∴CF=DE =5,∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识,涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.26.如图,∠MON =30°,点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上,点B 1、B 2,B 3…在射线OM 上,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记a 1,第2个等边三角形的边长记为a 2,以此类推,若OA 1=3,则a 2=_______,a 2019=_______.【答案】6; 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,以及a 2=2a 1=6,得出a 3=4a 1,a 4=8a 1,a 5=16a 1…进而得出答案.【详解】解: 如图,∵△A 1B 1A 2是等边三角形,∴A 1B 1=A 2B 1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA 1=A 1B 1=3,∴A 2B 1=3,∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,B 1A 2∥B 2A 3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴a 2=2a 1=6,a 3=4a 1,a 4=8a 1,a 5=16a 1,以此类推:a 2019=22018a 1=3×22018故答案是:6;3×22018.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出a 2=2a 1=6,a 3=4a 1,a 4=8a 1,a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键.27.如图,在ABC ∆中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ,过点O 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论:①EF BE CF =+;②点O 到ABC ∆各边的距离相等;③1902BOC A ∠=+∠;④设OD m =,AE AF n +=,则AEF S mn ∆=;⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD =m ,AE +AF =n ,则S △AEF =12mn ,故④错误,根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ,同理可证BM =BN ,CD =CN ,变形即可得到⑤正确.【详解】 ∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC =12∠ABC ,∠OCB =12∠ACB ,∠A +∠ABC +∠ACB =180°,∴∠OBC +∠OCB =90°﹣12∠A ,∴∠BOC =180°﹣(∠OBC +∠OCB )=90°+12∠A ;故③正确; ∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC =∠OBE ,∠OCB =∠OCF . ∵EF ∥BC ,∴∠OBC =∠EOB ,∠OCB =∠FOC ,∴∠EOB =∠OBE ,∠FOC =∠OCF ,∴BE =OE ,CF =OF ,∴EF =OE +OF =BE +CF ,故①正确;过点O 作OM ⊥AB 于M ,作ON ⊥BC 于N ,连接OA .∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴ON =OD =OM =m ,∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE •OM +12AF •OD =12OD •(AE +AF )=12mn ;故④错误; ∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴点O 到△ABC 各边的距离相等,故②正确;∵AO=AO,MO=DO,∴△AMO≌△ADO(HL),∴AM=AD;同理可证:BM=BN,CD=CN.∵AM+BM=AB,AD+CD=AC,BN+CN=BC,∴AD=12(AB+AC﹣BC)故⑤正确.故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.28.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,若∠F =30°,DE=1,则EF的长是_____.【答案】2【解析】【分析】连接BE,根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质,说明∠CBE=∠F,进一步说明BE =EF,,然后再根据直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解:如图:连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,∴AE=BE,∠A+∠AED=90°,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠F+∠CEF=90°,∵∠AED=∠FEC,∴∠A=∠F=30°,∴∠ABE=∠A=30°,∠ABC=90°﹣∠A=60°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,∴∠CBE=∠F,∴BE=EF,在Rt△BED中,BE=2DE=2×1=2,∴EF=2.故答案为:2.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质,其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.29.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC的延长线上,G是AC上一点,且CG=CD,F是GD上一点,且DF=DE.若∠A=100°,则∠E的大小为_____度.【答案】10【解析】【分析】由DF=DE,CG=CD可得∠E=∠DFE,∠CDG=∠CGD,再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E,∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G,进而可得∠ACB=4∠E,最后代入数据即可解答.【详解】解:∵DF=DE,CG=CD,∴∠E=∠DFE,∠CDG=∠CGD,∵GDC=∠E+∠DFE,∠ACB=∠CDG+∠CGD,∴GDC=2∠E,∠ACB=2∠CDG,∴∠ACB=4∠E,∵△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∴∠ACB=40°,∴∠E=40°÷4=10°.故答案为10.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义,解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.30.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=_____cm.【答案】8cm.【解析】【详解】解:如图,延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=36°,∴NM=2,∴BN=4,∴BC=8.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.点A 的坐标是(2,2),若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形,这样的点P 共有( )个A .6B .7C .8D .9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质,要使△AOP 是等腰三角形,可以分两种情况考虑:当OA 是底边时,作OA 的垂直平分线,和坐标轴出现2个交点;当OA 是腰时,则分别以点O 、点A 为圆心,OA 为半径画弧,和坐标轴出现6个交点,这样的点P 共8个.【详解】如图,分两种情况进行讨论:当OA 是底边时,作OA 的垂直平分线,和坐标轴的交点有2个;当OA 是腰时,以点O 为圆心,OA 为半径画弧,和坐标轴有4个交点;以点A 为圆心,OA 为半径画弧,和坐标轴出现2个交点;∴满足条件的点P 共有8个,故选:C .【点睛】本题考查了等腰三角形的定义,坐标与图形的性质,解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论,运用数形结合的思想进行解决.32.如图,60AOB ∠=,OC 平分AOB ∠,如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形,那么OEC ∠的度数不可能为( )A .120°B .75°C .60°D .30°【答案】C【解析】【分析】 分别以每个点为顶角的顶点,根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.【详解】∵60AOB ∠=,OC 平分AOB ∠,∠AOC=30︒,当OC=CE 时,∠OEC=∠AOC=30︒,当OE=CE 时,∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒,当OC=OE 时,∠OEC=12(180COE ∠︒- )=75︒, ∴∠OEC 的度数不能是60°,故选:C.【点睛】此题考查等腰三角形的定义,角平分线的定义,根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.33.如图所示,等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,其中1(0,1)A ,(21,13A -,(31,13A ,4(0,2)A ,(52,223A --,……,按此规律排下去,则2019A 的坐标为( )A .()673,6736733-B .()673,6736733--C .(0,1009)D .()674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】 根据等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,及点的坐标特征,每三个点一个循环,2019÷3=673,A 2019的坐标在第四象限即可得到结论.【详解】∵2019÷3=673,∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点,且在第四象限.第673个等边三角形边长为2×673=1346,∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673.点A 2019的纵坐标为673-13463⨯=673﹣6733.故点A 2019的坐标为:()673,6736733-.故选:A .【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质,是点的变化规律,主要利用了等边三角形的性质,确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键.34.如图,在ABC ∆中,120BAC ︒∠=,点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点,边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ,且,DE AB DF AC ⊥⊥,连接AD 、AG 、AH ,现在下列四个结论:①60EDF ︒∠=,②AD 平分GAH ∠,③B ADF ∠=∠,④GD GH =.则其中正确的结论有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【解析】【分析】利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确;;根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒,无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误;由等量代换得B ADF ∠≠∠,故③错误;利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠,故④错误.【详解】∵,DE AB DF AC ⊥⊥,∴∠DEA=∠DFA=90︒,∵120BAC ︒∠=,∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒,故①正确;∵120BAC ︒∠=,∴∠B+∠C=60︒,∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点,,DE AB DF AC ⊥⊥,∴BH=AH ,AG=CG ,∴∠BAH=∠B ,∠GAC=∠C ,∴∠BAH+∠GAC=60︒,∵无条件证明∠GAD=∠HAD,∴AD 不一定平分GAH ∠,故②错误;∵∠ADF+∠DAF=90︒,∠B=∠BAH,90BAH DAF ∠+∠≠,∴B ADF ∠≠∠,故③错误;∵90B BHE ∠+∠=,30B ∠≠ ,∴ 60BHE ∠≠,∴60DHG ∠≠,∴DHG HDG ∠≠∠,∴GD GH ≠,故④错误,故选:A.【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质,利用三角形的内角和,四边形的内角和求角度,利用对顶角相等,等角对等边推导边的关系.35.已知:如图,ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形,且CA CB =,CD CE =,ACB DCE α∠=∠=,AD 、BE 相交于点O ,点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论:①AD BE =;②180DOB α∠=-;③CMN ∆是等边三角形;④连OC ,则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论,故可判断; ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ,故可判断;③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ,∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状;④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,根据ACD BCE ≅△△,可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ,故可判断.【详解】①正确,理由如下:∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD =CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确;②正确,理由如下:由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确;③错误,理由如下:∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知,AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形,故③错误;④正确,理由如下:如图所示,在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO =DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确;故答案为:B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形内角和定理和外角定理,等边三角形的判定,根据已知条件作出正确的辅助线,找出全等三角形是解题的关键.36.如图,已知AD 为△ABC 的高线,AD=BC ,以AB 为底边作等腰Rt △ABE ,连接ED ,EC ,延长CE 交AD 于F 点,下列结论:①△ADE ≌△BCE ;②CE ⊥DE ;③BD=AF ;④S △BDE =S △ACE ,其中正确的有( )A.①③B.①②④C.①②③④D.①③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE,即可求证:△ADE≌△BCE;②根据①结论可得∠AEC=∠DEB,即可求得∠AED=∠BEG,即可解题;③证明△AEF≌△BED即可;④易证△FDC是等腰直角三角形,则CE=EF,S△AEF=S△ACE,由△AEF≌△BED,可知S△BDE=S△ACE,所以S△BDE=S△ACE.【详解】①∵AD为△ABC的高线,∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°.∵Rt△ABE是等腰直角三角形,∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°,AE=BE,∴∠CBE+∠BAD=45°,∴∠DAE=∠CBE.在△DAE和△CBE中,∵AE BEDAE CBEAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE≌△BCE(SAS);故①正确;②∵△ADE≌△BCE,∴∠EDA=∠ECB.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠ECB=90°,∴∠DEC=90°,∴CE⊥DE;故②正确;③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE,∠AFE=∠ADC+∠ECD,∴∠BDE=∠AFE.∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°,∴∠BED=∠AEF.在△AEF和△BED中,∵BDE AFEBED AEFAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△BED(AAS),∴BD=AF;故③正确;④∵AD=BC,BD=AF,∴CD=DF.∵AD⊥BC,∴△FDC是等腰直角三角形.∵DE⊥CE,∴EF=CE,∴S△AEF=S△ACE.∵△AEF≌△BED,∴S△AEF=S△BED,∴S△BDE=S△ACE.故④正确.故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)2x的结果是()37.化简()2A.x4B.2x2C.4x2D.4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘即可.【详解】(2x)²=2²·x²=4x²,故选C.【点睛】本题考查了积的乘方,解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.38.若x2+2(m+1)x+25是一个完全平方式,那么m的值()A.4 或-6B.4C.6 或4D.-6【答案】A【解析】【详解】解:∵x2+2(m+1)x+25是一个完全平方式,∴△=b2-4ac=0,即:[2(m+1)]2-4×25=0整理得,m2+2m-24=0,解得m1=4,m2=-6,所以m的值为4或-6.故选A.39.已知a﹣b=2,则a2﹣b2﹣4b的值为()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】原式变形后,把已知等式代入计算即可求出值.【详解】∵a ﹣b =2,∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4.故选:B .【点睛】此题考查因式分解-运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.40.若33×9m =311 ,则m 的值为 ( )A .2B .3C .4D .5【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的性质,幂的乘方的性质,可得关于m 的方程,解方程即可求得答案.【详解】∵33×9m =311 ,∴33×(32)m =311,∴33+2m =311,∴3+2m=11,∴2m=8,解得m=4,故选C .【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方,理清指数的变化是解题的关键.41.若2149x kx ++是完全平方式,则实数k 的值为( ) A .43 B .13 C .43± D .13± 【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项,根据完全平方式的形式可得出k 的值.【详解】由完全平方式的形式(a±b )2=a 2±2ab+b 2可得: kx=±2•2x•13,解得k=±43. 故选:C 【点睛】本题关键是有平方项求乘积项,掌握完全平方式的形式(a±b )2=a 2±2ab+b 2是关键.42.已知a =96,b =314,c =275,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .b >c >a【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方可得:a =69=312,c =527=315,易得答案.【详解】因为a =69=312,b =143,c =527=315, 所以,c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点:幂的乘方. 解题关键点:熟记幂的乘方公式.八、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题(难)43.“元旦”期间小明去永辉超市购物,恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动,小明准备提前购置一些年货A 和B ,已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数,小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元,不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件,这样就能参加超市的促销活动,最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了,那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元,实际购买x 件,B 单价为b 元,实际购买y 元,根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩,将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=,分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯,由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯,由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元,实际购买x 件,B 单价为b 元,实际购买y 元,130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩, ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=,。

相关文档
最新文档