29数学分析104二元函数的泰勒公式PPT课件
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二元泰勒展开
与 f xx同号. 又由 f ( x, y)的二阶偏导数的连续性知 f xx 与 A
同号,因此f 与 A同号,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
(2) 设 AC B2 0,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 2 0. (9)
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt
),
(t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
(t ) C h k xy p (n1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
表示 h2 fx x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
h x
k
y
m
f
(
x0 ,
y0
)表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，
同号,因此f 与 A同号,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
(2) 设 AC B2 0,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 2 0. (9)
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt
),
(t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
(t ) C h k xy p (n1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
表示 h2 fx x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
h x
k
y
m
f
(
x0 ,
y0
)表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
8-09二元函数的泰勒公式-PPT精选文档
余 项 .
R 由 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 知 , 绝 对 值 在 n 的 ( x ,y ) M 点 的 某 一 邻 域 内 都 不 超 过 某 一 正 常 数 . 0 0
于 是 , 有 下 面 的 误 差 估 计 式 :
h k f(x ,y ) 表示 一般地,记号 0 0 x y
p h k . C x ,y ) p m p( 0 0 x y p 0
m p p m p m m
m
证
引入函数
( t ) f ( x ht , y kt ), ( 0 t 1 ). 0 0
( 0 )f(x ( 1 )f(x h ,y k )及 将 , 0, y 0) 0 0
( t)直 t 0的 n 上 面 求 得 的 到 阶 导 数 在 值 , 以 及
(n 1 ) t 的 ( t) 在 值 代 入 上 式 . 即 得
f (x0 h , y0 k) f (x0, y0 ) h k f (x0, y0 ) y x 1 h k f (x0, y0 ) 2 ! x y 1 h k f (x0, y0 ) R , n n ! x y
n f ( x ) 意 义 ： 可 用 次 多 项 式 来 近 似 表 达 函 数 ， 且 x x ( x x ) 阶 误 差 是 当 时 比 的 无 穷 小 ． 0 0 高
n
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.
即 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续 且有直到n 1 阶的连续偏导数, ( x0 h, y0 h) 为此邻域内任一点, 能否把函数 f ( x0 h, y0 k )
R 由 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 知 , 绝 对 值 在 n 的 ( x ,y ) M 点 的 某 一 邻 域 内 都 不 超 过 某 一 正 常 数 . 0 0
于 是 , 有 下 面 的 误 差 估 计 式 :
h k f(x ,y ) 表示 一般地,记号 0 0 x y
p h k . C x ,y ) p m p( 0 0 x y p 0
m p p m p m m
m
证
引入函数
( t ) f ( x ht , y kt ), ( 0 t 1 ). 0 0
( 0 )f(x ( 1 )f(x h ,y k )及 将 , 0, y 0) 0 0
( t)直 t 0的 n 上 面 求 得 的 到 阶 导 数 在 值 , 以 及
(n 1 ) t 的 ( t) 在 值 代 入 上 式 . 即 得
f (x0 h , y0 k) f (x0, y0 ) h k f (x0, y0 ) y x 1 h k f (x0, y0 ) 2 ! x y 1 h k f (x0, y0 ) R , n n ! x y
n f ( x ) 意 义 ： 可 用 次 多 项 式 来 近 似 表 达 函 数 ， 且 x x ( x x ) 阶 误 差 是 当 时 比 的 无 穷 小 ． 0 0 高
n
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.
即 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续 且有直到n 1 阶的连续偏导数, ( x0 h, y0 h) 为此邻域内任一点, 能否把函数 f ( x0 h, y0 k )
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
9.二元函数泰勒公式
将上述函数值和导数值代入上式, 即可得证 称 (1) 式为二元函数 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )的 n 阶 泰勒公式,而式中含 项 (记为 Rn ) 称为拉格朗日 型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
10.4二元的泰勒公式
( m) ∂ ∂x ∂ m ∂y
由ϕ(t) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 说明 在泰勒公式⑷中， 1)令a=0,b=0,就得到二元 函数f(x,y) 麦克劳林公式 的麦克劳林公式 (将h与k分别用x与y表示):
∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ f (x, y) = f (0,0) + x + y f (0,0) + x + y f (0,0) 1 ∂x ! ∂y 2! ∂x ∂y
因 fx′′ x, y） f y′′x x, y） (x0 ，0 )连续,故令∆x → 0, （ , （ 在点 y 连续, y ″ ∆y → 0得 f x y (x0 , y0 ) = f y′′ (x0 , y0 ) x
推广:定理1对 元函数的高阶混合偏导数也成立. 推广 定理 对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立 例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 高阶偏导数
例1. 求函数 z = ex+2y 的二阶偏导数及 ∂ z . 2 ∂y∂x ∂z ∂z 解: = 2ex+2y = ex+2y ∂y ∂x
3
∂ z x+2y =e 2 ∂x 2 2 ∂ z ∂ z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 ∂y∂x ∂y 3 2 ∂ z ∂ ∂ z = ( ) = 2 e x +2 y ∂y∂x2 ∂x ∂y∂x ∂2z ∂2z = , 但这一结论并不总成立. 注意: 但这一结论并不总成立. 注意:此处 ∂x∂y ∂y∂x
由ϕ(t) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 说明 在泰勒公式⑷中， 1)令a=0,b=0,就得到二元 函数f(x,y) 麦克劳林公式 的麦克劳林公式 (将h与k分别用x与y表示):
∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ f (x, y) = f (0,0) + x + y f (0,0) + x + y f (0,0) 1 ∂x ! ∂y 2! ∂x ∂y
因 fx′′ x, y） f y′′x x, y） (x0 ，0 )连续,故令∆x → 0, （ , （ 在点 y 连续, y ″ ∆y → 0得 f x y (x0 , y0 ) = f y′′ (x0 , y0 ) x
推广:定理1对 元函数的高阶混合偏导数也成立. 推广 定理 对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立 例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 高阶偏导数
例1. 求函数 z = ex+2y 的二阶偏导数及 ∂ z . 2 ∂y∂x ∂z ∂z 解: = 2ex+2y = ex+2y ∂y ∂x
3
∂ z x+2y =e 2 ∂x 2 2 ∂ z ∂ z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 ∂y∂x ∂y 3 2 ∂ z ∂ ∂ z = ( ) = 2 e x +2 y ∂y∂x2 ∂x ∂y∂x ∂2z ∂2z = , 但这一结论并不总成立. 注意: 但这一结论并不总成立. 注意:此处 ∂x∂y ∂y∂x
10.4 二元函数的泰勒公式2
解得两个稳定点（0，0）与（1，1）. ( x, y) 6x, ( x, y) 3, ( x, y) 6 y. f xx f xy f yy
( x, y)]2 f xx ( x, y) f yy ( x, y) 9 36xy. [ f xy
在点
在点
(0, 0), 9 0, (0, 0) (1,1), 27 0, 且A 6 0,(1,1)
( x3 y 3 3xy )
(1,1)
是函数的极小点，极小值是
1
要设计一个容量为 V0的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
例7
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例如
函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值．
例如
函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
z
o x
y
二元函数取得极值的条件
定理（必要条件） 设函数 z f ( x , y )在点 (a, b) 具有偏导数， 且在点 (a, b) 处有极值，则它在该点的偏导数 必然为零： f x (a, b) 0 ， f y (a, b) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点
例如, 点 ( 0,0) 是函数 z xy 的驻点， 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理（充分条件） 设函数 z f ( x , y )在点 (a, b) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又f x (a, b) 0，f y (a, b) 0， (a, b)是驻点 令f xx (a, b) A，f xy (a, b) B，f yy (a, b) C，
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10
. 证明： 若 z f( x ,y )x , co ,y ssi,则n
2f 2f 2f 12f 1f
x2
y2
222.
f
证明： f f xf y
x y
f cosf sin.
x
y
xy
f f x f y
x y
f sinf cos.
x
y
11
2 f
2
f
f
f fxcosfysin
2f
co2s2f
sincos
x2
xy
2f sincos2fsi2n.
yx
y2
f f ,f
x y
xy
2f2 f f f fxsin fyc o s
2f2si2 n2f2sin c o s fc os
x2
x y
x
2f2sin co s2f2co 2 s fsi.n
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y); y
(z) x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
) 2z yx
fyx(x,
(混合偏导数)
y);y(yz)y2z2 fyy(x,y)
在点 (x , y , z) 连续时, 有
fx y z ( x ,y ,z ) fy z x ( x ,y ,z ) fz x y ( x ,y ,z )
f x z y ( x ,y ,z ) f y x z ( x ,y ,z ) f z y x ( x ,y ,z )
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶偏导
数可以选择方便的求导顺序.
9
例3. 设 w f( x y z ,x y z ) ,f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz
w, f1, f2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
§10.4 二元函数的泰勒公式
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备.
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题
1
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在区域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
limfx(0,y)fx(0,0)
y0
y
lim y 1 y0 y
fyx(0,0) lx i0m fy(x,0 )x fy(0,0)
lim
x0
x x证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
15
定理2. 若函 f(x,数 y)在P 点 (a,b)的某一邻域G内存在
n + 1 阶连续的偏导数 , (ah,bk)为此邻域G内任
一点, 则有
f(a h ,b k ) f(a ,b )(h xk y)f(a,b)
3
例1. 解:
求函数zex2y的二阶偏导数及
z ex2y x
z y
2ex2y
3 y
z x
2
.
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2 r333(x2ry52z2)0
6
推广:定理1对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
• (hxky)2f(x0,y0)表示
h 2 f x x ( x 0 ,y 0 ) 2 h k f x y ( x 0 ,y 0 ) k 2 f y y ( x 0 ,y 0 )
• 一般地, (hxky)mf(x0,y0)表示
pm 0C m phpkm pxp m yfm p(x0,y0)
(混合偏导数)
2
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x22z)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n
x
1 n
z
1
)
nz x n1 y
(n阶偏导数)
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f1 (x y z ,x y z ) y z f2 ( x y z ,x y z )
2w xz
f111f12xyy f2 yz[f211f22xy]
为简便 起f 1 见 ,y 1 引( x 入 z 记) f 号1 f1x 2 y 2 z uff ,2 f 12y 2 f 2 u2fv,
y x
y2
y
12
于是， 2f 1 2f 1f 2 2 2
2f(c2os si2n )2f(s2i n co 2 )s
x2
y2
fxco s fysin fxco s fysin
2 f 2 f . x2 y2
即
2f x2
2f y2
2f212 2f2 1 f.
13
二、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式: f(x 0 h )f(x 0 )f(x 0 )h f2 (x !0 )h 2
f (n) (x0 ) hn f(n1)(x0x)hn1
n!
(n1)!
(01)
推广
多元函数泰勒公式
14
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (hxky)f(x0,y0)表 hf示 x (x 0 ,y 0) kfy (x 0 ,y 0)
4
例如, f(x,y)
xyxx22 yy22, x2y20
0 ,
x2 y2 0
fx(x,y) yx4(x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fy(x, y)
xx4( x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fxy(0,0)