第九节多元函数的泰勒公式
多元泰勒公式
多元泰勒公式
多元泰勒公式是数学中的一个重要概念，它用于描述一个函数在某一点附近的近似值。
通过多元泰勒公式，我们可以将一个函数在某一点处的导数、二阶导数、三阶导数等信息整合在一起，从而得到一个更加准确的函数近似值。
在实际应用中，多元泰勒公式常常被用来进行函数的近似计算，尤其是在数值分析和优化问题中起到至关重要的作用。
多元泰勒公式的推导过程并不复杂，但是其应用却是非常广泛的。
在实际问题中，我们常常会遇到需要对某个函数在某一点进行近似计算的情况。
这时，多元泰勒公式就可以派上用场了。
通过多元泰勒公式，我们可以将一个函数在某一点处的值用该点处的导数、二阶导数、三阶导数等信息来近似表示，从而得到一个更加精确的近似值。
多元泰勒公式的应用范围非常广泛，几乎涉及到了所有需要进行函数近似计算的领域。
比如，在数值分析中，我们常常需要对某个函数进行数值逼近，以便进行数值计算。
而多元泰勒公式恰好可以提供这样的近似计算方法。
此外，在优化问题中，我们也经常会遇到需要对某个目标函数进行近似求解的情况。
而多元泰勒公式可以帮助我们更好地理解目标函数在某一点处的性质，从而为优化算法的设计提供更加准确的参考。
总的来说，多元泰勒公式是数学中一个非常有用的工具，它可以帮
助我们更好地理解函数的性质，并且为实际问题的近似计算提供了便利。
通过多元泰勒公式，我们可以将一个函数在某一点的值用该点处的导数、二阶导数、三阶导数等信息来近似表示，从而得到一个更加准确的近似值。
在数值分析、优化问题等领域，多元泰勒公式的应用将极大地方便了我们的工作，为数学建模和计算科学的发展提供了重要的支持。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
泰勒公式讲解
泰勒公式讲解
泰勒公式，又称为泰勒展开式，是数学分析中的一种重要工具，它可以用来将某些复杂的函数表示成为一系列简单函数的和的形式。
具体地来说，对于一个可导函数f(x)，在某一点x=a处进行Taylor展开，可以得到以下公式：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-
a)^2+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3+...+\frac{1}{n!}f^n(a)(x-
a)^n+R_n(x)
其中f'(a)、f''(a)、f'''(a)、...、f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，R_n(x)则表示余项，它的表达式为：
R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}
其中\xi在x和a之间，即a<\xi<x。
余项通常被用来判断Taylor公式的收敛性，以及估计近似误差的大小。
Taylor公式在数学分析、物理学、工程学等领域发挥着至关重要的作用，广泛应用于求解微分方程、数值计算、最优化等问题。
多元函数泰勒公式教学案例
多元函数泰勒公式教学案例一、教学目标1. 掌握多元函数的泰勒公式的概念和推导过程；2. 理解多元函数的泰勒公式在数学和实际问题中的应用；3. 能够灵活运用多元函数的泰勒公式解决相关问题。
二、教学内容多元函数的泰勒公式是微积分中的重要内容，它是将多元函数在某一点展开成为无穷级数的一种表示形式。
通过泰勒公式，可以将函数在某一点的性质推广到那一点的邻域内。
三、教学过程1. 引入教师可以从实际问题出发，引入多元函数的泰勒公式。
可以讲述一些实际问题，如研究一个物体的弹性变形，求取函数在某一点的附近的近似值等，引导学生思考多元函数的泰勒公式的应用场景。
2. 概念讲解教师需要向学生介绍多元函数的泰勒公式的概念和表达形式。
讲解完概念后，可以通过一些简单的例子，让学生初步理解多元函数的泰勒公式的求法和应用。
3. 推导过程接下来，教师可以向学生介绍多元函数泰勒公式的推导过程。
通过分析函数在某一点的各阶导数，然后利用泰勒级数逼近的思想，进行展开和推导。
教师需要清晰的展示每一步的推导过程，并引导学生进行思考和讨论。
5. 解题训练教师可以布置一些与多元函数泰勒公式相关的练习题，让学生通过解题来巩固所学知识。
这些练习题可以包括泰勒公式的求法、应用题等，帮助学生提高多元函数泰勒公式的灵活运用能力。
四、教学反思通过以上教学过程，我们可以帮助学生全面了解多元函数的泰勒公式，掌握其概念和推导过程，理解其在实际问题中的应用，提高其灵活运用多元函数泰勒公式解决相关问题的能力。
教师需要注重引导学生思考，培养学生的分析和解决问题的能力，使学生在学习中能够灵活运用所学知识。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
多元函数的Taylor公式
y
f
1, 2
1 2!
x
1
x
y
2
y
2
f
1, 2
f 1, 2 x 1 fx 1, 2 y 2 fy 1, 2
1 ( x 12
2!
f xx
1, 2 2 x 1 y 2
(4) 若函数z f (x, y)在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数.
n阶Taylor公式中关于h和k的n次多项式(或:除去函 数在点(x0+θh,y0+θk)(其中0<θ<1)处所有偏导数项以 后),称为n阶Taylor多项式.
在作近似计算时我们常用以下公式:
(h
x
k
y
)3
f
(0,
0)
3
C3p
p0
h
pk
3
p
x
3 p
f y3
p
(0,0)
2(h k)3
又 f (0, 0) 0,将h x , k y 代入三阶泰勒公式得
其中
R3
ln(1 x y)
(h
x
k
y
)
x
4
y
f ( h,
1 2
(x k)
h
y)2
x
1 3
1 4
(
x y)3
(x
(1 x
R3
y)4
y)4
ky
例2 写出在点(1,-2)附近函数 f x, y 2x2 xy y2
taylor 公式
taylor 公式Taylor公式是数学分析中常用的一种近似计算方法，它通过泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式。
泰勒级数展开是一种用多项式逼近函数的方法，常用于求解函数的近似值以及研究函数的性质。
泰勒级数展开的基本思想是将函数在某一点附近进行展开，然后利用多项式来逼近原函数。
对于一个可导函数f(x)，在某一点a处，可以通过泰勒级数展开来表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，f'''(a)表示f(x)在点a处的三阶导数，以此类推。
泰勒级数展开的优点在于可以通过前几项的近似值来逼近函数的真实值。
当使用更多的项进行展开时，逼近的精度会逐渐提高。
因此，在实际应用中，可以根据需要选择适当的项数来进行计算。
泰勒级数展开在科学计算、工程应用以及物理学等领域中具有广泛的应用。
例如，在数值计算中，可以利用泰勒级数展开来近似计算各种复杂函数的值，从而简化计算过程。
在物理学中，泰勒级数展开可以用于描述物体的运动规律，分析物体的加速度、速度和位移等参数。
除了泰勒级数展开外，还有一些相关的展开方法，如麦克劳林级数展开和泰勒-麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，当展开点a为0时，泰勒级数展开就变成了麦克劳林级数展开。
尽管泰勒级数展开在数学和科学领域中具有重要的应用价值，但在实际计算中也存在一些限制和注意事项。
首先，泰勒级数展开只在给定点附近有效，如果考虑到整个定义域，展开后的级数可能会发散。
其次，泰勒级数展开的逼近精度受到展开点的选择和项数的限制，需要根据具体问题进行调整。
Taylor公式是一种重要的数学工具，通过泰勒级数展开可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而实现对函数的近似计算。
Taylor公式
数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) ≡ 常 .
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例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y) 在 (0,0) 的三阶泰 点 勒公式. 解:
1 f x (x, y) = f y (x, y) = 1+ x + y f xx (x, y) = f x y (x, y) = f y y (x, y) =
多元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f ′′(x0 ) 2 f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′(x0 )h + h +L 2!
f (n) (x0 ) n + h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 <θ <1)
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记号 (设下面涉及的偏导数连续): ∂ ∂ • (h + k ) f (x0 , y0 ) 表 h f x (x0, y0 ) + k f y (x0, y0 ) 示 ∂x ∂y ∂ ∂ 2 • (h + k ) f (x0 , y0 ) 表示 ∂x ∂y 2 2 h f xx (x0, y0 ) + 2hk f x y (x0, y0 ) + k f y y (x0, y0 )
∂ ∂ f (x0 + h, y0 + k) = f (x0, y0 ) + (h ∂x + k ∂ y) f (x0, y0 )
∂ ∂ 1 + 2!(h ∂x + k ∂ y)2 f (x0, y0 ) +L ∂ ∂ 1 + n!(h ∂x + k ∂ y)n f (x0, y0 ) + Rn
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第九节 多元函数的泰勒公式
分布图示
★ 二元函数的泰勒公式
★ 例1
★ 关于极值充分条件的证明
★ 内容小结
★ 习题8—9
★ 返回
内容要点
一、二元函数的泰勒公式
我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数. 对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数. 现以二元函数为例叙述如下：
定理1 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数, ),(00k y h x ++为此邻域内任一点, 则有
),(),(),(000000y x f y k x h y x f h y h x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=++),(!21002
y x f y k x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+ ),(!100y x f y k x h n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++ ),()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+++
).10(<<θ
这个公式称为二元函数),(y x f 在点),(00y x 的n 阶泰勒公式.
推论1 设函数),(y x f 在区域D 上具有连续的一阶偏导数，且在区域D 内，有,0),(≡y x f x 0),(≡y x f y ，则函数),(y x f 在区域D 内为一常数.
二、极值充分条件的证明
例题选讲
例1（E01）求函数)1ln(),(y x y x f ++=的三阶麦克劳林公式.
解 ,11),(y x y x f x ++=,11),(y
x y x f y ++= ),(y x f xx 2)1(1y x ++-
=),(y x f xy =),,(y x f yy =
333)
1(!2y x y x f p p ++=∂∂∂-),3,2,1,0(=p 4
44)1(!3y x y x f p p ++-=∂∂∂-),4,3,2,1,0(=p ∴)0,0(f y y x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂)0,0()0,0(y x yf xf +=,y x += )0,0(2
f y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂)0,0()0,0(2)0,0(22yy xy xx f y xyf f x ++=,)(2y x +-= )0,0(3f y y x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂)0,0(3)0,0(23xxy xxx yf x f x +=)0,0()0,0(332yyy xyy f y f xy ++ ,)(23y x += 又,0)0,0(=f 故
,)(3
1)(21)1ln(332R y x y x y x y x ++++-+=++ 其中 3R ),(!414
y x f y y x x θθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=44)1()(41y x y x θθ+++⋅-=).10(<<θ。