高考复数的知识题型总结归类

高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念（1）复数1.定义：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.（i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i,i4n=1）2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R），叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.（注意b是虚部而不是bi）（2）复数集1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2.表示：大写字母C.（3）复数的分类复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系( 4 )复数相等的充要条件a＋b i＝c＋d i?a＝c且b＝da＋b i＝0?a＝b＝0.（a,b,c,d均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为z＝a＋b i（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)三、复数的两种几何意义（1）复数z＝a＋b i（a，b∈R）→对应复平面内的点Z（a，b）.（2）复数z＝a＋b i（a，b∈R）→平面向量→ OZ四、复数的模复数z＝a＋b i（a，b∈R）对应的向量为→OZ，则→OZ的模叫做复数z 的模，记作|z|，且注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.五、复数的运算设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.z1与z2的乘法运算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.z1与z2的除法运算律：z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=（分母要利用平方差实数化）六、共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。

例如=3＋5i 与=3－5i 互为共轭复数2.共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 七、常用结论 （1），（2）()i i 212-=- （3）i i-=1 （4） i ii=-+11 （5）i i i-=+-11 （6）()()22b a bi a bi a +=-+题型分类题型一：复数定义的考查1.设有下面四个命题：2.：若复数z满足，则；3.：若复数z满足，则；4.：若复数，满足，则；5.：若复数，则．6.其中的真命题为? ? ?A. ，B. ，C. ，D. ，解：若复数z满足，则，故命题为真命题；：复数满足，则，故命题为假命题；：若复数，满足，但，故命题为假命题；：若复数，则，故命题为真命题．故选B．2.下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.①B.②C.③D.④解：对于复数a＋b i（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误②，两个虚数不能比较大小，则②错误.③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.④，显然正确.故选D.3.给出下列命题：若，则；若a，，且，则；若，则是纯虚数；若，则在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________填上所有正确命题的序号．解：若，则不成立．比如；因为复数不能比较大小，所以不成立；，则不一定是纯虚数，比如就不是纯虚数，故不成立；，则对应的点在复平面内的第一象限，故成立．故答案为：．4.关于复数，下列命题：若，则；若z是实数，则；若zi是纯虚数，则；若，则．其中真命题个数为? ? ? ?A. 1B. 2C. 3D. 4解：若，即，得，所以，故为真命题；因为，若z是实数，则，故为真命题；因为，，若zi是纯虚数，则，故为真命题；因为，即，从而可得，解得：，即，故假命题．综上，其中真命题有：，共3个．题型二、复数分类1.设，．2.若是纯虚数，求实数x的取值范围；3.若，求实数x的取值范围．解：依题意得所以实数x的取值范围是依题意得所以检验：当时，，满足符合题意．所以实数x的取值范围是．2.当实数a为何值时．为纯虚数；为实数；对应的点在第一象限．解：复数z是纯虚数，则由，得，即．若复数z是实数，则，得或．在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，则，即，解得或．3.当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.4． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )．(1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．解：(1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ?m －1?＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ?m －1?>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.题型三、复数的相等 1.已知i 是虚数单位，a ，，得“”是“”的?? ? ?A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解：当“”时，“”成立，故“”是“”的充分条件； 当“”时，“”或“”，故“”不是“”的必要条件；综上所述，“”是“”的充分不必要条件．2.（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；解： （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝± 2.题型四：复平面1、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.解：（1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.2、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）. （1）由点Z 位于第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）.（2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.题型五、复数的模1.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .解：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.2.已知复数z 满足，则______ ．解：由，得，设，由，得，即，解得：．．则．题型六、共轭复数1.复数为虚数单位的共轭复数是A. B. C. D. 解：化简可得，的共轭复数2.若复数z满足，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数A. B. C. 4 D. 5解：复数，a、，，，即，解得，，，．3.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解：复数，则复数的共轭复数为即共轭复数对应点的坐标在第四象限．题型七、复数的运算1.复数为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为? ? ．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解：，复数在复平面对应的点的坐标是，它对应的点在第四象限，2.若复数z满足，则z的虚部为A. B. C. 4i D. 4解：由题意，，的虚部为．3.设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于A. B. C. 2 D. 3解：的实部与虚部相等，可得：，解得．4.设，则A. 2B.C.D. 1解：由，得．5.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为______．解：，i为虚数单位，由为实数，可得，解得．是虚数单位，复数z满足，则z的实部为______．解：由，得，的实部为1．题型八、复数的几何意义1.已知复数，是实数，i是虚数单位．2.求复数z；3.若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：，，是实数，，，即，，，复数所表示的点在第一象限，，解得，即．2.复数，，则的最大值是___________．解：根据题意，有，则表示的点为距离原点距离为3的点，即以原点为圆心，的圆，那么的几何意义为圆上的点与点的距离，设，由点与圆的位置关系，分析可得的最大值是，即3.复数z满足，则的最小值是___________．解：复数z满足，复数z到点的距离为1，的几何意义是复数对应点，与的距离，所求的最小值为：，4.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．Ⅰ求D点对应的复数；Ⅱ求平行四边形ABCD的面积．解：Ⅰ由题意，点A对应的复数为，对应的复数为，得，，可得，又对应的复数为，得，可得，设D点对应的复数为，x，，得，，四边形ABCD为平行四边形，，解得，，故D点对应的复数为．Ⅱ，，，可得：，，又，，故平行四边形ABCD的面积为．5.已知，问复数所对应的点在第几象限复数z对应点的轨迹是什么解：由，．知z的实部为正数，虚部为负数，所以复数z的对应点在第四象限．设，则，且，消去，得，所以复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为．。