2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修专题专题18 等比数列(解析版)

【答案】
【解析】
设这两个数为 ，
因为两个数等差中项是20，等比中项是12，
所以 或 ，
即这两个数为 ，
答案为： ．
14．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 中， ， ，则 ________.
【答案】12
【解析】
设等比数列 公比为 ,则 .
故 .
故答案为：12
15．（2020·湖南省高三三模（理））在数列 中， ，且 ，则 __________.
（2）判断数列 是否是等比数列，并说明理由；
（3）求数列 的前n项和Sn．
【答案】（1） ；（2）数列 是等比数列，理由见解析；（3）
．
【解析】
（1） ，解得 ． ，解得 ．
，解得 ．
（2） 时， ，相减可得： ，
变形为：
由 ．可得： ．
∴数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ．
（3）由（2）可得：
则 ．
【答案】
【解析】
因为 ， ，所以 ，
故数列 是以2为首项、2为公比的等比数列，
由等比数列前n项和公式可得， .
故答案为：
16．（2020·进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
专题18等比数列
一、单选题
1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （）
A．31B．15C．8D．7
【答案】B
【解析】
由于数列是等比数列，故 ，由于 ，故解得 ，所以 .
故选：B.
2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 中，已知 ，那么 （）
A．4B．6C．12D．16
【答案】(1) ;(2)
【解析】
(1)设公差为d，则
解得：
∴
所以数列 的通项公式为 ;
(2)由(1)得
∴
19．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列 的前 项和 满足 ，( 为常数，且 ， ).
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 为等比数列，求 的值.
【答案】（1） .（2）
【解析】
故数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）知 ，∴ ，
若 ， ，
若 ， ，
∴ ．
22．（2020·宁夏回族自治区银川九中高三二模（文））在数列 中， ， ， （ 且 ）.
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
（1）证明：∵ ，
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
【答案】ACD
【解析】
设此人第 天走 里路，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因为 ，所以 ，解得 ，
对于A，由于 ，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
．
21．（2019·福建省莆田一中高三月考（文））设数列 前 项和为 ，且满足 ．
（1）证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设 证明见解析， ；（2） ．
【解析】
（1）当 时， ， ，
当 时， ，与已知式作差得 ，即 ，
又 ，∴ ，∴ ，
② 符合题意.
③ 与题设 矛盾.
④ 与题设 矛盾.
得 ，则 的最大值为 .
B，C，错误.
故选：AD.
10．（2019·临沭第一中学高二开学考试）已知数列 是公比为 的等比数列，则以下一定是等比数列的是（）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为数列 是公比为 的等比数列,则 ,
对于选项A, ,因为 不是常数,故A错误；
当 时， 由 是 与 的等比中项，得 ，即 ，所以 ，
故选：B.
二、多选题
9．（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】AD
【解析】
① ,与题设 矛盾.
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【解析】
由题意，可知这堆货物的总价为 ，则
，
两式相减可得：
，
所以 ，
当 时，
解得： .
故选：B
8．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中项，则 的值为（）
A．1B． C． D．
【答案】B
【解析】
设数列 的公比为 ，则由 ，得 ，易知 ，所以 解得 或 ，当 时， ，这与 是 与 的等比中项矛盾，
（结果保留一位小数，参考数据： ， ）
【答案】2.6．
【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．
则 ，
令 ，
化为： ，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为 日.
四、解答题
17．（2020·江西省高二月考（理））已知数列 是公差为2的等差数列，它的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列。
(1)求 的通项公式。
(2)求数列 的前n项和 。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）由题意，得 ， ，
所以由 ，
得 ，
解得 ，
所以 ，
即 。
（2）由（1）知 ，
则 ， ，
。
18．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列 的前n项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和Tn.
【答案】A
【解析】
由 ,
所以 ,
则 .
故选A.
3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （）
A． B．512C．1024D．
【答案】A
【解析】
.
.
.解得: .
.
故选:A
4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列 中，已知 ， ，则 （）
A．128B．64C．64或 D．128或
故选：D.
6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列 的前 项和为 ， ，则 （）
A．2B．0C． D．
【答案】A
【解析】
, ;
或 ；等比数列公比不能为0，
故选：A
7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 .若这堆货物总价是 万元，则n的值为（）
对于选项B, ,因为 为常数,故B正确；
对于选项C, ,因为 为常数,故C正确；
对于选项D,若 ,即 时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
11．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）
对于C，由于 ，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于 ，所以D正确，
故选：ACD
12．（2019·山东省高三月考）已知 ， ， ， 成等比数列，满足 ，且 ，下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
成等比数列，设公比为 .
，
，
整理得 ，即 .
令 ，则 .
∴ ，
又 ， ， ；
∴ （ ，且 ），
故数列 是首项和公比都是2的等比数列；
（2）解：由（1）可得 ，
则 （ ，且 ），
故
（ ，且 ），
当 时， 满足上式，
∴ .
（1）因为 ，所以 .
当 时， ，
整理得 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
（2）由（1）知， (*)
由数列 是等比数列，则 ，
所以 ，解得 ，
再将 代入(*)式得 ，故数列 为等比数列，
所以 .
20．（2020·广东省高三一模（文））已知数列 的前n项和为Sn，且满足 ，设 ．
（1）求 ；
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
的极大值为 ，极小值为 .
又 ， 在区间 上有一个零点 .
即 时， ， .
， 等比数列 中， 均为负数， 均为正数.
.
故选： .
三、填空题
13．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________.
【答案】D
【解析】
设等比数列 的公比为 ，
由 ，解得 ，
当 时， ，得 ，则 ；
当 时， ，得 ，则
.综上 或 ，
故选：D.
5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列 的公差为 ,若 成等比数列,则 等于()