2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修专题专题18 等比数列(解析版)
【解析】
设这两个数为 ，
因为两个数等差中项是20，等比中项是12，
所以 或 ，
即这两个数为 ，
答案为： ．
14．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 中， ， ，则 ________.
【答案】12
【解析】
设等比数列 公比为 ,则 .
故 .
故答案为：12
15．（2020·湖南省高三三模（理））在数列 中， ，且 ，则 __________.
（2）判断数列 是否是等比数列，并说明理由；
（3）求数列 的前n项和Sn．
【答案】（1） ；（2）数列 是等比数列，理由见解析；（3）
．
【解析】
（1） ，解得 ． ，解得 ．
，解得 ．
（2） 时， ，相减可得： ，
变形为：
由 ．可得： ．
∴数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ．
（3）由（2）可得：
则 ．
【答案】
【解析】
因为 ， ，所以 ，
故数列 是以2为首项、2为公比的等比数列，
由等比数列前n项和公式可得， .
故答案为：
16．（2020·进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
专题18等比数列
一、单选题
1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （）
A．31B．15C．8D．7
【答案】B
【解析】
由于数列是等比数列，故 ，由于 ，故解得 ，所以 .
故选：B.
2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 中，已知 ，那么 （）
A．4B．6C．12D．16
【答案】(1) ;(2)
【解析】
(1)设公差为d，则
解得：
∴
所以数列 的通项公式为 ;
(2)由(1)得
∴
19．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列 的前 项和 满足 ，( 为常数，且 ， ).
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 为等比数列，求 的值.
【答案】（1） .（2）
【解析】
故数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）知 ，∴ ，
若 ， ，
若 ， ，
∴ ．
22．（2020·宁夏回族自治区银川九中高三二模（文））在数列 中， ， ， （ 且 ）.
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
（1）证明：∵ ，
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
【答案】ACD
【解析】
设此人第 天走 里路，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因为 ，所以 ，解得 ，
对于A，由于 ，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
．
21．（2019·福建省莆田一中高三月考（文））设数列 前 项和为 ，且满足 ．
（1）证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设 证明见解析， ；（2） ．
【解析】
（1）当 时， ， ，
当 时， ，与已知式作差得 ，即 ，
又 ，∴ ，∴ ，
② 符合题意.
③ 与题设 矛盾.
④ 与题设 矛盾.
得 ，则 的最大值为 .
B，C，错误.
故选：AD.
10．（2019·临沭第一中学高二开学考试）已知数列 是公比为 的等比数列，则以下一定是等比数列的是（）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为数列 是公比为 的等比数列,则 ,
对于选项A, ,因为 不是常数,故A错误；
当 时， 由 是 与 的等比中项，得 ，即 ，所以 ，
故选：B.
二、多选题
9．（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】AD
【解析】
① ,与题设 矛盾.
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【解析】
由题意，可知这堆货物的总价为 ，则
，
两式相减可得：
，
所以 ，
当 时，
解得： .
故选：B
8．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中项，则 的值为（）
A．1B． C． D．
【答案】B
【解析】
设数列 的公比为 ，则由 ，得 ，易知 ，所以 解得 或 ，当 时， ，这与 是 与 的等比中项矛盾，
（结果保留一位小数，参考数据： ， ）
【答案】2.6．
【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．
则 ，
令 ，
化为： ，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为 日.
四、解答题
17．（2020·江西省高二月考（理））已知数列 是公差为2的等差数列，它的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列。
(1)求 的通项公式。
(2)求数列 的前n项和 。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）由题意，得 ， ，
所以由 ，
得 ，
解得 ，
所以 ，
即 。
（2）由（1）知 ，
则 ， ，
。
18．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列 的前n项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和Tn.
【答案】A
【解析】
由 ,
所以 ,
则 .
故选A.
3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （）
A． B．512C．1024D．
【答案】A
【解析】
.
.
.解得: .
.
故选:A
4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列 中，已知 ， ，则 （）
A．128B．64C．64或 D．128或
故选：D.
6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列 的前 项和为 ， ，则 （）
A．2B．0C． D．
【答案】A
【解析】
, ;
或 ；等比数列公比不能为0，
故选：A
7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 .若这堆货物总价是 万元，则n的值为（）
对于选项B, ,因为 为常数,故B正确；
对于选项C, ,因为 为常数,故C正确；
对于选项D,若 ,即 时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
11．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）
对于C，由于 ，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于 ，所以D正确，
故选：ACD
12．（2019·山东省高三月考）已知 ， ， ， 成等比数列，满足 ，且 ，下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
成等比数列，设公比为 .
，
，
整理得 ，即 .
令 ，则 .
∴ ，
又 ， ， ；
∴ （ ，且 ），
故数列 是首项和公比都是2的等比数列；
（2）解：由（1）可得 ，
则 （ ，且 ），
故
（ ，且 ），
当 时， 满足上式，
∴ .
（1）因为 ，所以 .
当 时， ，
整理得 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
（2）由（1）知， (*)
由数列 是等比数列，则 ，
所以 ，解得 ，
再将 代入(*)式得 ，故数列 为等比数列，
所以 .
20．（2020·广东省高三一模（文））已知数列 的前n项和为Sn，且满足 ，设 ．
（1）求 ；
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
的极大值为 ，极小值为 .
又 ， 在区间 上有一个零点 .
即 时， ， .
， 等比数列 中， 均为负数， 均为正数.
.
故选： .
三、填空题
13．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________.
【答案】D
【解析】
设等比数列 的公比为 ，
由 ，解得 ，
当 时， ，得 ，则 ；
当 时， ，得 ，则
.综上 或 ，
故选：D.
5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列 的公差为 ,若 成等比数列,则 等于()
2020_2021学年新教材高中数学模块综合提升学案含解析新人教A版选择性必修
模块综合提升1．若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)[提示] “常数”必须强调为“同一个常数”． 2．等比数列{a n }的单调性是由公比q 决定的． (×)[提示] 是由a 1和q 共同决定的．3．数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2． (√) 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．(×) 5．满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列． (×)[提示] 必须强调q ≠0.6．G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ．(×)[提示] G 2＝ab 不能得出G 是a ，b 的等比中项，如G ＝0，a ＝0，b ＝1. 7．如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列． (×)[提示] 当a n ＞0时，结论才能成立．8．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a．(×)[提示] 公式成立的条件是a ≠0，且a ≠1.9．若数列{a n }的前n 项和满足S n ＝an 2＋bn ＋c ，则该数列一定为等差数列． (×) [提示] c ≠0时不是等差数列．10．在等差数列{a n }中，由m ＋n ＝p ＋q ＋l 可得a m ＋a n ＝a p ＋a q ＋a l ． (×)[提示] 两边项数必须相同才成立．11．若{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{|a n |}一定是等比数列．(×) 12．若数列{a n }是等差数列，则S n ，S 2n ，S 3n 也成等差数列． (×)[提示] S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 13．在数列中，若a n ＋1a n是一个常数，则该数列一定是等比数列． (×)[提示] 同一个不为零的常数．14．在等差数列{a n }中，若a 8＞0，a 9＜0，则S 8最大．(×) 15．在等比数列{a n }中，若l ，m ，n 成等比，则a l ，a m ，a n 也成等比．(×)[提示] 若l ，m ，n 成等差，则a l ，a m ，a n 成等比．16．一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为at 0．(√) 17．导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．(×)[提示] 如f (x )＝x .定义域为[0，＋∞)，而f ′(x )＝12x ，定义域为(0，＋∞)．18．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． (×)[提示] 参照正弦曲线，可以有多个交点． 19．常数函数f (x )＝2 020没有导数． (×)[提示] 常数函数的导数等于零． 20．若y ＝e 3，则y ′＝3e 2． (×)[提示] e 3为常数，其导数为0.21．函数y ＝log 3(2x ＋1)是由y ＝log 3t 和t ＝2x ＋1两个函数复合而成的． (×) 22．函数 f (x )在定义域上都有 f ′(x )＜0，则函数 f (x )在定义域上单调递减．(×)[提示] 如f (x )＝1x ，其导函数f ′(x )＝－1x2＜0.但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调递减．23．若函数f (x )在(a ，b )内有极值，则f (x )在(a ，b )内一定不单调． (×) 24．若f (x )＝x 3＋1，则x ＝0是函数f (x )的极值点．(×)[提示] 由f ′(x )＝3x 2≥0，得f ′(x )在x ＝0两侧符号相同，∴x ＝0不是函数的极值点．25．在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． (×) 26．函数的最大值为a ，则其值域为(－∞，a ]．(×)[提示] 最值和值域是函数的两个不同的概念，如果自变量是整数，则值域不能用区间表示．27．函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．(×) 28．面积为S 的一切矩形中，周长最小的矩形的边长是S ．(√)29．若f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则f (x )的最值点一定是极值点．(×)[提示] 如单调函数的最值在端点处取得．30．若a ≥f (x )在[a ，b ]上恒成立，那么a ≥f (x )max ．(√)1．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．16 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－5)＋28×2＝16.]2．曲线y ＝cos x －x2在点(0，1)处的切线方程为________．x ＋2y －2＝0 [由题意，可知y ′＝－sin x －12.因为y ′x ＝0＝－sin 0－12＝－12，所以曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0.]3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(e ，1) [设A (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x ，得y ′＝1x，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0，则该曲线在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线经过点(－e ，－1)，所以－1－ln x 0＝－e x 0－1，即ln x 0＝ex 0，则x 0＝e.故A (e ，1)．]4．设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k＜n ＜2k ＋1，b k ，n ＝2k，其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式．②求∑i ＝12na i c i (n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1(n ∈N *)，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n(n ∈N *)． (2)①a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n＋1)(3×2n－1)＝9×4n－1.所以，数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1(n ∈N *)．②∑i ＝12na i c i ＝∑i ＝12n[a i ＋a i (c i －1)]＝∑i ＝12na i ＋∑i ＝1na 2i (c 2i －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n×4＋2n2n－12×3＋∑i ＝1n(9×4n －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×41－4n1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．5．已知实数a ≠0，设函数f (x )＝a ln x ＋1＋x ，x ＞0. (1)当a ＝－34时，求函数f (x )的单调区间；(2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞均有f (x )≤x 2a ，求a 的取值范围． 注：e ＝2.718 28…为自然对数的底数．[解] (1)当a ＝－34时，f (x )＝－34ln x ＋1＋x ，x ＞0.f ′(x )＝－34x ＋121＋x＝1＋x －221＋x ＋14x 1＋x，所以，函数f (x )的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，＋∞)． (2)由f (1)≤12a ，得0＜a ≤24.当0＜a ≤24时，f (x )≤x 2a 等价于x a 2－21＋x a－2ln x ≥0. 令t ＝1a，则t ≥2 2.设g (t )＝t2x －2t 1＋x －2ln x ，t ≥22，则g (t )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫t －1＋1x 2－1＋xx－2ln x . ①当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞时，1＋1x≤22，则g (t )≥g (22)＝8x －421＋x －2ln x .记p (x )＝4x －221＋x －ln x ，x ≥17，则p ′(x )＝2x－2x ＋1－1x＝2x x ＋1－2x －x ＋1x x ＋1＝x －1[1＋x 2x ＋2－1]x x ＋1x ＋1x ＋1＋2x.故x 17⎝ ⎛⎭⎪⎫17，1 1 (1，＋∞)p ′(x )－ 0 ＋ p (x ) p ⎝ ⎛⎭⎪⎫17单调递减极小值p (1)单调递增所以，p (x )≥p (1)＝0.因此，g (t )≥g (22)＝2p (x )≥0.②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，17时，g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x＝－2x ln x －x ＋12x.令q (x )＝2x ln x ＋(x ＋1)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17，则q ′(x )＝ln x ＋2x＋1＞0，故q (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17上单调递增，所以q (x )≤q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17.由①得q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝－277p ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＜－277p (1)＝0.所以，q (x )＜0. 因此g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－q x2x＞0. 由①②得对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，t ∈[22，＋∞)，g (t )≥0， 即对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，均有f (x )≤x 2a .综上所述，所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24.。
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的概念 课件
5.在等比数列an 中， a2 ， a18 是方程 x2 6x 4 0 的两根，则 a4a16 a10 ( )
A.6
B.2
C.2 或 6
D. 2
答案：B
解析：等比数列an 中， a2 ， a18 是方程 x2 6x 4 0 的两根，a2a18 4 ，
且 a2 a18 6 ，a2 0 ，且 a18 0 ，a10 0 ，a4a16 a2a18 4 ， a102 a2a18 4 ， a10 2 ，a4a16 a10 4 2 2 .
，
因此 ba22
a1 d 6 ，所以 b1q 6
a2 b2
1. 故选 B.
7.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1 天它飞出去带回了五个伙伴，第 2 天六只蜜蜂
飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第 6 天所有的蜜蜂归
巢后蜂巢中共有蜜蜂( )
A. 56 只
B. 65 只
C. 55 只
所以只要设法证明当 n 6 时，anbn 递减，且 a13b13 100 即可.
由
an1bn1 anbn
1.05n1 [104 4(n 1)] 1.05n (104 4n)
1 ，得 n
5
，
所以当 n 6 时，anbn 递减.
又 a13b13 98 100 ，所以当13 n 24 时， anbn a13b3 100 .
例 2 已知等比数列an 的公比为 q，试用an 的第 m 项 am 表示 an .
解：由题意得 am a1qm1 ①， an a1qn1 ②，
②的两边分别除以①的两边，得
an am
qnm
，
所以 an amqnm .
例 3 数列an 共有 5 项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第 3 项
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】4.3.1_等比数列的概念1
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念(2)-
分析：实际问题
（1）
“用 10 000元购 买某个理财产品”
12个月能获得的本利和 “12个月能获得的利息”
数学问题
分析：实际问题 （2）“季度利息”
存4个季度的本利和 “存4个季度结算的利息” “按季结算的利息不少 于按月结算的利息”
数学问题
对实际问题抽象、简化 确定“本金”、“利率”、“本利和”、
4.3.1 等比数列的概念（2）
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到 等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数 列的通项公式吗？
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到 等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数 列的通项公式吗？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金， 再计算下一期的利息.
通过证明可知，此性质并不 需要等比数列各项均为正.
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方程思想 建模思想 转化思想
课堂小结
等比数列有关计算问题
将实际问题转化为数学问题，并 加以解决.
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课后作业
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高中新教材数学人课件选择性必修时等比数列的性质及应用
生物繁殖、细胞分裂现象建模
细菌繁殖模型
细菌以指数形式繁殖，可用等比 数列描述其数量增长趋势。
细胞分裂过程模拟
细胞分裂过程中，细胞数量呈指 数增长，可用等比数列进行建模
和预测。
生物种群增长
在生态学中，某些生物种群的增 长也符合等比数列规律，可用于
预测种群数量变化。
其他领域如物理、化学中应用举例
放射性衰变计算
04 等比数列在生活中实际应用
储蓄、贷款问题中计算利息和本金
储蓄复利计算
利用等比数列求和公式， 计算储蓄账户在定期存入 或取出资金后的累计金额 。
贷款分期偿还
通过等比数列模型，计算 贷款分期偿还时每期应还 的本金和利息，以及总还 款额。
投资回报预测
根据投资回报率，利用等 比数列预测投资项目的未 来收益。
任意两项的等比中项等于这两项的平方根之和与平方根 之差的积的一半。
03
等比中项的应用
利用等比中项可以求等比数列的通项公式和求和公式。
等比数列性质总结
01 02 03 04 05
等比数列的任意两项之积等于首项与末项之 积。
等比数列的任意两项之商等于公比。
等比数列中，连续n项的和等于首项乘以(1q^n)/(1-q)，其中q≠1。
等比数列定义及通项公式
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等比数列是指从第二项起，每一 项与它的前一项的比值等于同一 个常数的一种数列。
通项公式
an=a1×q^(n-1)，其中a1为首项 ，q为公比，n为项数。
等比中项与等比数列关系
01
等比中项
在等比数列中，如果a、G、b依次成等比数列，则G叫 做的等比中项。
02
等比中项的性质
4.3.1 等比数列的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选
x
由题意知
从而
x(x d ) 16,
(x d)(x d)2
x
128.
消去d , 整理得
x4 4x2 32 0,
解得
x1 d1
26,,或dx22
-2, -6。
因此所求的四个数为
4,2,8,32
或4,2,8,32.
8.例4. 用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率 0.400 %的复利计息,12个月能获得多少利息 (精确到1元)?
则f (1) ka, f (2) ka2 ,, f (n) kan ,构成一个
等比数列 kan ,其首相为 ka,公比为a.
●
● ● ● ●
四、应用新知
1.例1．若等比数列an的第4项和第6项分别为 48和12,
解法1:求由aan4的第485项 , a.6 12, 得
aa11qq53
48, 12.
所以,12个月后的利息为 10490 .7 104 491元
8.例4. 用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率 0.400 %的复利计息,12个月能获得多少利息 (精确到1元)?
(2)若以季度复利计息 , 存4个季度,则当每季度利率为多少 时,
按季度结算的利息不少 于按月结算的利息 (精确到105 ) ?
(1)若an为等差数列 ,公差d 2, 证明数列 3an 为等比数列 ;
(2)若an
为等比数列,公比q
1 9
,
证明数列log 3
an 为等差数列.
证明： (2)由a1
an
3
3,
(1 9
q 1, 9
)n1 332n.
两边取以3为底的对数 ,得
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：等比数列
则a6等于
A.14
B.12
C.6
√D.3
方法一 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
由题意可得aa12＋ －aa25＋ ＝a432＝，168，
即aa11q1＋1－q＋q3q＝2＝ 421，68，
a1＝96， 解得q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
方法二 设等比数列{an}的公比为q， 易知 q≠1.由题意可得Sa32＝－1a65＝8，42，
选②③作为条件证明①： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1， 又因为aan＋n 1＝2(n≥2)，且 a2＝2a1， 所以{an}为等比数列.
知识梳理
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn， S2n－Sn ， S3n－S2n 仍成等比数列， 其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若a1>0， q>1
或a01<<q0<，1，
则等比数列{an}递
增
.
若a1>0， 0<q<1
或aq1><10，，
则等比数列{an}递 减
.
常用结论
音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程
律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一
个音的频率是最初那个音的 2 倍.设第二个音的频率为 f1，第八个音的频 率为 f2.则 ff21等于
2020-2021学年新教材人教A版选择性必修第二册 4.3.1 等比数列的性质
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 an＝__a_1_q_n－_1___，an ＝__a_m_·q_n_－_m__(m，n∈N*)．
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为_等__比_ 数列，首项为_a_k_＋_1_，公比为_q_；若取出所有的 k 的倍数项，组成的 数列仍为等__比__数列，首项为_a_k__，公比为_q_k__.
第四章 数列
选择性必修第二册
学习目标
核心素养
1.掌握等比数列的性质及其应 1.通过灵活设项求解等比数列问题
用．(重点)
以及等比数列性质的应用，培养数
2.熟练掌握等比数列与等差数列 学运算素养.
的综合应用．(难点、易错点) 2.借助递推公式转化为等比数列求
3.能用递推公式求通项公式．(难 通项，培养逻辑推理及数学运算素
由题意得a－a d2＋a＋d＝21， a－d＋a＝18，
解得ad＝ ＝162，
或a＝247， d＝－92.
故这四个数为 3，6，12，18 或745，445，247，94.
法三：设第一个数为 a，则第四个数为 21－a， 设第二个数为 b，则第三个数为 18－b，
则这四个数为 a，b，18－b，21－a，
【例 2】 已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足 a2a4＝12，求 a1a23a5； (2)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值．
[思路探究] 利用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ ap·aq 求解．
[解] (1)等比数列{an}中，因为 a2a4＝12，所以 a23＝a1a5＝a2a4＝12， 所以 ＝14.
2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册：第4章 4.3 4.3.1 第1课时 等比
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的比为常数，则该数
列为等比数列．
()
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．
()
(3)常数列一定为等比数列．
()
(4)任何两个数都有等比中项．
()
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数 时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列 的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该 数列才是等比数列；(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时 不存在等比中项．
合作 探究 释疑 难
等比数列通项公式的基本运算
【例 1】 在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
[解] 设首项为 a1，公比为 q.
(1)法一：因为aa47＝＝aa11qq36，， 所以aa11qq36＝＝28
①， ②.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列数列是等比数列的是( )
A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．13，16，19，112，115
D．4，－8，16，－32，64
D [A、B、C 均不满足定义中aan＋n 1＝q，只有 D 满足aan＋n 1＝－2. 故选 D.]
③ ④
④ 由③得
q＝12，从而
a1＝32，
又 an＝1，∴32×12n－1＝1. 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 nห้องสมุดไป่ตู้6.
新教材高中数学4数列4.3.1.2等比数列的性质及应用课时作业含解析新人教A版选择性必修第二册
课时功课(八) 等比数列的性子及应用[练根底]1．已知等比数列{a n } , a 1＝1 , a 3＝19, 那么a 5即是( ) A ．±181 B ．－181C.181 D ．±122．已知等比数列{a n }中 , a n >0 , a 1 , a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根 , 那么a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±643．已知数列 : 4 , a,12 , b 中 , 前三个数成等差数列 , 后三个数成等比数列 , 那么b 即是( )A ．20B ．18C ．16D ．144．已知正项等比数列{a n } , 知足a 2·a 27·a 2 020＝16 , 那么a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017C ．41 018D ．21 0185．在12和8之间插入3个数 , 使它们与这两个数挨次构成等比数列 , 那么这3个数的积为________．6．等差数列{a n }中 , a 4＝10 , 且a 3 , a 6 , a 10成等比数列 , 求数列{a n }前20项的和S 20.[提本领]7．(多项选择题)设{a n }(n ∈N *)是各项为正数的等比数列 , q 是其公比 , K n 是其前n 项的积 , 且K 5<K 6 , K 6＝K 7>K 8 , 那么以下选项中建立的是( )A ．0<q <1B ．a 7＝1C ．K 9>K 5D ．K 6与K 7均为K n 的最大值8．等比数列{a n }是递减数列 , 前n 项的积为T n , 假设T 13＝4T 9 , 那么a 8a 15＝________.9．已知数列{a n }和{b n }划分知足 :⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2 a n ＋1＝2a n 和⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝5 b n ＋1＝b n ＋3. 试证实数列{a n }与{b n }的大众项由小到大构成的数列{c n }是等比数列．[战疑难]10．在等差数列{a n }中 , 假设a 10＝0 , 那么有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19 , n ∈N *)．类比上述性子 , 响应地 , 在等比数列{b n }中 , 假设b 9＝1 , 那么有等式________________建立．课时功课(八) 等比数列的性子及应用1．剖析 : 凭据等比数列的性子可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.应选C.谜底 : C 2．剖析 : 由题意得 , a 1a 99＝16 , ∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16 , 又∵a 50>0 , ∴a 50＝4 , ∴a 40a 50a 60＝16×4＝64.应选B.谜底 : B3．剖析 : 由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8 , 又122＝8b ⇒b ＝18.应选B.谜底 : B4．剖析 : 由a 2·a 27·a 2 020＝16可得(a 7a 1 011)2＝16 , 以是a 7a 1 011＝4 , a 509＝2 ,以是a 1·a 2·…·a 1 017＝(a 7a 1 011)508·a 509＝21 017.应选B.谜底 : B5．剖析 : 设插入的3个数挨次为a , b , c , 即12, a , b , c,8成等比数列 , 由等比数列的性子可得b 2＝ac ＝12×8＝4 , 由于a 2＝12b >0 , ∴b ＝2(舍负)．以是这3个数的积为abc ＝4×2＝8. 谜底 : 86．剖析 : 设数列{a n }的公差为d ,那么a 3＝a 4－d ＝10－d ,a 6＝a 4＋2d ＝10＋2da 10＝a 4＋6d ＝10＋6d由a 3 , a 6 , a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2清算得10d 2－10d ＝0解得d ＝0或d ＝1当d ＝0时 , a 1＝a 4＝10 , ∴S 20＝20×10＝200 ;当d ＝1时 , a 1＝a 4－3d ＝10－3＝7∴S 20＝20×7＋20×192×1＝330. 7．剖析 : 凭据题意 , 剖析选项．对付B , 假设K 6＝K 7 , 那么a 7＝K 7K 6＝1 , B 准确 ; 对付A , 由K 5<K 6可得 , a 6＝K 6K 5>1 , 那么q ＝a 7a 6∈(0,1) , 故A 准确 ; 对付C , 由{a n }是各项为正数的等比数列且q ∈(0,1)可得数列单调递减 , 那么有K 9<K 5 , 故C 错误 ; 对付D , 联合K 5<K 6 , K 6＝K 7>K 8 , 可得D 准确．应选ABD.谜底 : ABD8．剖析 : ∵T 13＝4T 9 ,∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9 ,∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15 ,∴(a 8·a 15)2＝4 , ∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列 , ∴q >0 , ∴a 8a 15＝2.谜底 : 29．证实 : 由题设有a n ＝2n , b n ＝3n ＋2 ,经过视察 , 轻易发明c 1＝a 3＝b 2＝8 ,设c n ＝a m ＝b k , 那么c n ＝2m ＝3k ＋2 ,又∵a m ＋1＝2m ＋1＝2·2m ＝2·(3k ＋2)＝3·(2k ＋1)＋1 ,∴a m ＋1∉{b n } ,∵a m ＋2＝2m ＋2＝4·2m ＝4·(3k ＋2)＝3·(4k ＋2)＋2 ,∴a m ＋2∈{b n } ,∴c n ＋1＝2m ＋2＝4·2m ＝4·c n .∴c n ＋1c n＝4. 由此可见 , {c n }是以8为首项 , 公比为4的等比数列．10．剖析 : 对应于等差数列和的性子 , 等比数列具有响应积的性子 , 剖析已知前提 , 注重1＋19＝2×10 , 又1＋17＝2×9 , 猜想 : b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17 , n ∈N *)．究竟上 , 当n ≤8时 , 17－n ≥9 ,有b 1b 2…b 17－n b 1b 2…b n＝b n ＋1b n ＋2…b 8b 9b 10…b 17－n ＝(b n ＋1b 17－n )(b n ＋2b 16－n )…(b 8b 10)b 9＝b 29b 29…b 29b 9＝1 ,∴b 1b 2…b 17－n ＝b 1b 2…b n (n <17 , n ∈N *)．同理 , 当n >8时 , 17－n <9 ,有b 1b 2…b n b 1b 2…b 17－n＝b 18－n b 19－n …b n＝(b18－n b n)(b19－n b n－1)…(b8b10)b9＝b29b29…b29b9＝1. ∴也有b1b2…b17－n＝b1b2…b n(n<17 , n∈N*)．综上所述 , 猜想建立．谜底 : b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17 , n∈N*)。