2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-4 平面向量共线的坐标表示
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-1 平面向量基本定理
基础巩固一、选择题1．向量的夹角θ的范围是()A．0°≤θ<180°B．0°≤θ≤180°C．0°<θ<180°D．0°<θ≤180°[答案] B2．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2－2e1D．e2和e1＋e2[答案] B[解析]因为B中－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，所以为平行向量，不能作为一组基底．3．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[答案] D[解析]由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C才正确．4．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．5．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在[答案] C[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．6．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( )A.π6B.56πC.π3D.23π[答案] D[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π6，所以可推知a 与b 的夹角为2π3.故选D.二、填空题7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表示向量AM →＝______________.[答案] b ＋12a[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . 8．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.[答案] －2[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)． 又∵e 1、e 2不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →.[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →的中点，且DCAB ＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →.[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DCAB ＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2，又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 ∴BC →＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1 ＝e 1＋(k －1)e 2.而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1k＋1＝2e2。
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
∵A→B与A→D不共线，
λ－μ＝0， ∴1－μ－12λ＝0
，∴μλ＝＝2323，.
∴B→E＝μB→D＝23B→D.
∴E为BD(靠近D)的一个三等分点．
同理可证，C与AB中点的连线和BD的交点也为BD(靠近B)
的一个三等分点．
综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等 分此平行四边形的一条对角线．
B看作向量a，观察向量
→ AD
的方向、长度与a的方向、长度之
间有何关系？向量D→A的方向、长度和向量a的方向、长度之间
有何关系？
容易看出，A→D＝a＋a＋a，且|A→D|＝3|a|，A→D与a同向，所
以
→ AD
＝3a， D→A
＝(－a)＋(－a)＋(－a)，且|
→ DA
|＝3|a|，
→ DA
与a
反向，所以
规律总结：在上述证明过程中，由
→ AB
与
→ AD
不共线及(λ
－μ)
A→D ＝(1－μ－
1 2
λ)
→ AB
，知必有(λ－μ)
→ AD
＝(1－μ－
1 2
λ)
→ AB
＝
0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量
共线的条件解题的方法．
如图，O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
|AB| |AC|
所以点 P 在∠BAC 的角平分线上，
所以点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
探索延拓创新
命题方向 4 共线向量与三点共线问题
设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．
2019年最新-2019《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-3-4平面向量共线的坐标表示-精选文档
[错解]
由题意，得 O→D
、
O→B 共线，故存在λ，使
O→D ＝λ
解得xy＝＝－－12
第二章 2.3 2.3.4
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新课引入
第二章 2.3 2.3.4
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贝贝与晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次 经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问 从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
第二章 2.3 2.3.4
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探索延拓创新 命题方向2 根据点的位置求参数
已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及O→P＝O→A＋tA→B. (1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？ (2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
第二章 2.3 2.3.4
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[分析] (1)将O→P用坐标表示，根据坐标系性质可得． (2)只需由O→A＝P→B求出t或无解即可．
第二章 2.3 2.3.4
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[解析] (1)O→P＝O→A＋tA→B＝(1＋3t,2＋3t)， 若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－23； 若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－13； 若点P在第二象限，则需12＋＋33tt<>00，， 解得－23<t<－13.
与OB交点P的坐标． [分析] 由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线，
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
坐标为(2k－1,7)，且 p∥A→B，则 k 的值为( )
A．－190
9 B.10
C．－1190
19 D.10
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴 人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴 地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现 刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难 道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功 ≠成功．
第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
第二章 2.4 2.4.1
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[解析] 由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为 60°，得 m·n＝12. ∵|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7. |b|＝ 2n－3m2＝ 4n2－12m·n＋9m2＝ 7. 所以 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2＝－72， 设 a、b 的夹角为 θ，得 cosθ＝－772＝－12. 所以 a、b 的夹角为 120°.
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
最新【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4资料
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标
3．若点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝4e1，B→C＝
6e2，则 3e2－2e1 等于( )
→ A.AO
→ B.CO
→ C.BO
→ D.DO
[答案] C
4．e1、e2 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量
中，不能作为一组基底的是( )
A．e1 和 e1＋e2
B．e1－2e2 和 e2－2e1
若点 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00 ， λ<－1
∴λ<－47 ，∴λ<－1. 即当 λ<－1 时，点 P 在第三象限内．
解法二：O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋A→B＋λA→C ＝O→B＋λA→C＝(5,4)＋λ(5,7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)，∴P(5＋5λ，4＋7λ)， ∵点 P 在第三象限内，∴54＋ ＋57λλ<<00 ，∴λ<－1.
自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相__垂__直____的向量，叫做 平面向量的正交分解．
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
A.A→B＝O→B－O→A C.A→D＝A→B＋B→D
B.B→D＝A→D－A→B D.A→B＝A→C＋C→B
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．所谓的共线(平行)向量是指________，向量共线定理的 内容是________．
高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理
第二章
2.3 2.3.1
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[解析]
→ 如图， 作OA＝a，
→ OB＝b，且∠AOB＝60° ， 以 OA、OB 为邻边作▱OACB， → → → → → → → → 则OC＝OA＋OB＝a＋b， ＝OA－OB＝a－b， ＝OA＝ BA BC a.
第二章 2.3 2.3.1
②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那 么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③， λ1λ2 当 ＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.
第二章
2.3 2.3.1
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设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
第二章 2.3 2.3.1
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[分析]
应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1
与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的惟一性求解．
第二章
2.3 2.3.1
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[解析]
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于
第二章
2.3 2.3.1
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[特别提醒]
→ → (1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ， 但由向
→ → 量夹角的定义可知OA与BO的夹角不是 θ，而是 π－θ.
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基 础 巩 固
一、选择题
1．下列向量与a ＝(1,3)共线的是( ) A ．(1,2) B ．(－1,3) C ．(1，－3) D ．(2,6)
[答案] D
2．已知向量a ＝(－3,3)，b ＝(3，x )，若a 与b 共线，则x 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．1 D ．－1 [答案] A
[解析] 因为a 与b 共线，则－3x －3×3＝0，解得x ＝－3. 3．若O (0,0)，B (－1,3)，且OA →＝3OB →
，则点A 的坐标为( ) A ．(3,9) B ．(－3,9) C ．(－3,3) D ．(3，－3) [答案] B
[解析] 设A (x ，y )，∵OA →＝3OB →
，∴(x ，y )＝3(－1,3)．∴x ＝－3，y ＝9.
4．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( ) A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线 D ．a ＋b 与c 共线 [答案] C
[解析] a －c ＝(4,2)与b ＝(5,7)中坐标4×7≠2×5，故不共线． b ＋c ＝(7,11)与a ＝(6,6)中坐标6×7≠11×6，故不共线．
b－c＝(3,3)与a＝(6,6)中坐标3×6＝3×6，故共线．
a＋b＝(11,13)与c＝(2,4)中坐标2×13≠11×4.故不共线．∴成立的只有C.
5．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝() A．－5 B．5
C．－1 D．1
[答案] A
6．若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝()
A．13 B．－13
C．9 D．－9
[答案] D
二、填空题
7．(2013北京东城区模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为________．
[答案]1 2
[解析]a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝1 2.
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋u b与a＋b共线，则λ与u的关系为________．
[答案]λ＝u
[解析]∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋u b＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．
又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，
∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题
9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值．
[解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →
＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →
，
∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－2
3.
10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →
|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标．
[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →
|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.
由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →
＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →
时，
(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8. 当AM →＝－3MB →
时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11.
∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭
⎪⎫152，11.。