偏微分方程简介
偏微分方程基础与求解方法
偏微分方程基础与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的一个分支，它描述了自然和物理现象中的变化规律。
本文将介绍偏微分方程的基础知识以及一些常见的求解方法。
一、偏微分方程简介偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
它在数学物理、工程学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
偏微分方程可以分为线性和非线性两大类，其中线性偏微分方程具有特殊的重要性。
二、偏微分方程的分类根据方程中出现的未知函数的阶数、方程中出现的偏导数阶数以及方程的性质，偏微分方程可分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶导数的方程，如线性传热方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶导数的方程，如拉普拉斯方程、扩散方程等。
3. 高阶偏微分方程：包含高于二阶导数的方程，如Schrodinger方程、Navier-Stokes方程等。
4. 椭圆型方程：二阶方程中的主对角项系数为常数，如拉普拉斯方程。
5. 抛物型方程：二阶方程中的主对角项系数只与一个自变量有关，如扩散方程。
6. 双曲型方程：二阶方程中的主对角项系数只与两个自变量有关，如波动方程。
三、常见的偏微分方程求解方法1. 分离变量法：适用于满足边界条件的简单情况，可将多变量的偏微分方程转化为多个单变量的常微分方程，从而解得原偏微分方程的解。
2. 特征线法：适用于一阶偏微分方程和某些二阶偏微分方程的求解，通过引入新的变量将原方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过适当的变换将原偏微分方程转化为常微分方程，再进行求解。
4. 矩阵法：适用于线性偏微分方程组的求解，将偏微分方程组转化为矩阵形式，利用线性代数的方法求解。
5. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，往往无法找到解析解，可以通过数值方法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
四、偏微分方程的应用偏微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
例如：1. 物理学：波动方程用于描述声波、光波等传播过程；热传导方程用于描述物体内部的温度分布。
PDE
2 u ( x, t ) a 2 t
ds dx
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx 2 x x x x x
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
'
T
M
gds
x
x dx x
PDE 简介
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds ma x x
2u ( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) T gdx dx 2 x x t全称Partial Differential Equations 如果一个微分方程中出 现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知 函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
偏微分方程的一般形式
u u mu F ( x1 ,, xn , u, , , ,, m1 m2 )0 mn x1 xn x1 x2 xn
cos T 'cos ' 纵向：T sin T 'sin ' gds ma u
横向：T 其中： cos
1 cos ' 1
ds
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
PDE 简介
波动方程举例
偏微分方程解法
偏微分方程解法导言偏微分方程是数学中一个重要的研究领域，它涉及到物理、工程、经济等众多学科，对于解决现实世界中的问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨偏微分方程的解法，包括常见的求解方法和应用示例。
偏微分方程简介在分析偏微分方程之前，我们先了解一下什么是偏微分方程。
简单来说，偏微分方程是由未知函数及其偏导数构成的方程。
它包含多个自变量和多个偏导数，用于描述有多个变量的物理现象或者其他现象。
常见的偏微分方程求解方法分离变量法分离变量法是解偏微分方程的主要方法之一。
它的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后进行求解。
具体步骤如下： 1. 分离变量：将未知函数表示为多个单变量函数的乘积。
2. 将方程化为两端只含单变量函数的方程。
3. 求解单变量函数的方程。
4. 将求解得到的单变量函数组合在一起，得到原方程的解。
特征线法特征线法是另一种常用的偏微分方程求解方法。
它的基本思想是通过引入曲线方程（特征线），将偏微分方程转化为常微分方程，然后再进行求解。
特征线法的步骤如下： 1. 引入曲线方程，将偏微分方程转化为常微分方程。
2. 求解常微分方程。
3. 将常微分方程的解代回原方程，得到原方程的解。
变换方法除了分离变量法和特征线法，还有一些其他的变换方法可以用来求解偏微分方程。
其中比较常用的有变换坐标法和变换函数法。
变换坐标法的基本思想是通过适当的坐标变换，将原方程转化为更简单的形式，然后再进行求解。
变换函数法的基本思想是通过引入新的未知函数，将原方程转化为只含有新未知函数的形式，然后再进行求解。
偏微分方程解法的应用示例偏微分方程解法广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些应用示例。
热传导方程热传导方程是物理学中的一个重要方程，它描述了热量在物体中的传导过程。
通过对热传导方程进行求解，可以得到物体温度分布随时间的变化规律，从而可以预测物体的热传导行为。
斯托克斯方程斯托克斯方程是流体力学中的一个基本方程，描述了流体在静止或者稳定的情况下的运动规律。
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
高等数学偏微分方程教材解读
高等数学偏微分方程教材解读数学是一门抽象而深奥的学科，其中较为复杂的分支之一就是高等数学中的偏微分方程。
偏微分方程对许多科学领域的研究有着重要的应用价值，并且在工程、物理、经济学等领域中被广泛使用。
为了更好地理解和掌握偏微分方程，学习者需要借助教材进行系统学习。
本篇文章将对高等数学中的偏微分方程教材进行解读，旨在通过对教材内容的梳理和解释，帮助读者更好地理解和应用偏微分方程。
一、偏微分方程简介偏微分方程是描述自变量为多个变量的函数的方程，该函数的偏导数与未知函数之间的关系。
在物理问题的建模和求解中，常常需要对多个变量进行分析和研究，这时就需要用到偏微分方程。
例如，在热传导问题中，涉及到时间和空间的变化，因此需要使用偏微分方程进行描述和求解。
二、偏微分方程教材概述偏微分方程的教材通常包括以下内容：1. 偏微分方程的分类：偏微分方程根据其方程类型和解的性质，可以分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。
教材通常会介绍这三类方程的特点以及其在实际问题中的应用。
2. 常见的偏微分方程：教材会详细介绍常见的偏微分方程，如泊松方程、热传导方程、波动方程等，并对它们的物理背景和解的性质进行阐述。
3. 偏微分方程的解法：教材会介绍偏微分方程的解法，包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。
通过这些解法，学习者可以掌握不同类型偏微分方程的求解技巧。
4. 偏微分方程的数值解法：由于某些偏微分方程难以获得解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
教材通常会对常用的数值方法进行介绍，如有限差分法、有限元法等，帮助学习者理解数值求解的原理和应用。
三、教材内容解读1. 偏微分方程分类的教学目标教材通常会从偏微分方程的分类入手，帮助学习者理解不同类型方程的特点和解的性质。
例如，在介绍椭圆型方程时，会强调其在稳态问题中的应用；而在讲解抛物型方程时，会重点介绍其在热传导问题中的应用。
通过对每一类方程的深入剖析，学习者可以从宏观和微观两个层面全面理解偏微分方程的基本概念和应用。
数学建模第八讲：偏微分方程数值解
2 (t )
其中：u
t
0
(
x
),
u t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。 者均提供时称为波动方程的混合问题
5.3.1 波动方程求解
t
t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置， t
un1 i , j,k
t 2 t nt , xix , y jy,zkz
( t )2
2u x 2
t nt , xix , y jy,zkz
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
2u y2
t nt , xix , y jy,zkz
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
21
A11 I
A
I
A22 I
I AN 2 ,N 2 I
I
R( N 1)2 ( N 1)2
AN 1,N 1
其中
4 1
f ( x, t)
u
t
0
(
x
),
u t
t0
( x)
u
x0
1(t), u xl
2(t)
uin
un1 i
τn
xi
x
un1 i
方程离散化
un1 i
2uin
un1 i
(t )2
a2
un i1
2uin
偏微分方程及其应用
偏微分方程及其应用1.引言偏微分方程是数学中一门重要的分支，其应用范围涉及到自然科学、工程技术等多个领域。
本文将重点探讨偏微分方程及其应用。
2.偏微分方程简介偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是一个或多个未知数的偏导数与自变量的函数之间的方程，它描述的是多元函数的变化规律。
在工程和科学中，偏微分方程的解可以确定物理现象的演变规律，因此它被广泛应用于自然科学、工程技术、计算机科学等领域。
在偏微分方程中，存在一些经典问题，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
这些方程在自然现象中都有着广泛的应用。
3.偏微分方程应用3.1 热传导方程热传导方程在物理学、化学工程等领域中有广泛的应用。
热传导方程描述了物体中温度场的变化过程，即：热量在物体内的传递。
通过对物体内各部分温度变化的分析，可以得出物体内部的温度分布。
这对于热传导器、锅炉等热设备的工作和设计都有着非常重要的意义。
3.2 波动方程波动方程是自然科学、工程技术中一个非常重要的方程。
波动方程描述了波的传播过程，在自然现象中，比如光波、声波、电磁波等都可以通过波动方程进行描述。
在工程设计中，比如电磁波在天线中的传输等问题，都需要对波动方程进行研究。
3.3 扩散方程扩散方程在化学工程、生物医学工程等领域中有着广泛的应用。
扩散是物理过程中常见现象之一，它描述了物理量从高浓度向低浓度传输的过程。
通过对扩散方程进行研究，可以得出物质在环境中的扩散过程和模型，这对于对环境的治理和污染物的处理都有着非常重要的意义。
4.结语偏微分方程是自然科学、工程技术等领域中一个非常重要的研究分支。
通过对偏微分方程的研究，可以更好地理解自然界的物理现象，为科技发展提供技术支持。
相信随着科技的不断进步，偏微分方程在各大领域的应用会越来越广泛，发挥越来越重要的作用。
高等数学偏微分方程教材
高等数学偏微分方程教材引言：高等数学偏微分方程教材是一本专注于讲解偏微分方程的教材。
它旨在帮助学生深入理解该领域的概念和技巧，培养他们的数学思维和解决实际问题的能力。
本教材的编写旨在提供清晰、系统和综合的课程内容，以满足学生对高等数学偏微分方程的学习需求。
第一章偏微分方程简介1.1 偏微分方程的概念与分类- 偏微分方程的定义与基本概念- 常见的偏微分方程分类及其特点1.2 偏微分方程的数学建模- 偏微分方程在自然科学和工程领域的应用- 建立数学模型与偏微分方程的联系第二章一阶偏微分方程2.1 一阶偏微分方程的基本概念与解法- 一阶线性偏微分方程的解法- 一阶齐次与非齐次偏微分方程的解法2.2 传热问题与一维热传导方程- 一维热传导方程的物理背景与模型建立- 定解条件与初值问题解法- 热传导问题的数值解法与应用第三章二阶线性偏微分方程3.1 二阶线性偏微分方程的基本理论- 二阶线性偏微分方程的一般形式与特征方程 - 常系数与变系数二阶线性偏微分方程的解法3.2 波动方程与振动问题- 波动方程的物理背景与模型建立- 结束条件与初值问题的解法- 波动问题的数值解法与应用第四章椭圆型偏微分方程4.1 椭圆型偏微分方程的基本理论- 椭圆型偏微分方程的定义与性质- 球坐标与柱坐标下的椭圆型偏微分方程4.2 热传导问题与二维热传导方程- 二维热传导方程的模型建立与解法- 边值问题与数值解法- 热传导问题的应用案例第五章抛物型偏微分方程5.1 抛物型偏微分方程的基本理论- 抛物型偏微分方程的定义与分析 - 热传导方程与时间相关问题5.2 扩散过程与扩散方程- 扩散方程的模型与解法- 边界条件与初始值问题的解法- 扩散问题的数值解法与应用第六章偏微分方程的数值解法6.1 偏微分方程的数值离散化- 偏微分方程的差分格式与有限元法 - 空间离散化与时间离散化的方法6.2 常见数值解法的实现与应用- 追赶法与矩阵分解法- 迭代法与收敛性分析- 各种数值方法的优缺点与应用领域结语：高等数学偏微分方程教材的编写旨在全面深入地介绍偏微分方程的理论与应用。
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偏微分方程简介
PB06001109,李玉胜1、偏微分方程的起源
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。
结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。
这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。
介质的温度也是这样。
这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。
欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的，所以有人说：偏微分
方程发展的序幕是由傅里叶拉开的！
十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .. Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。
位势方程也称拉普拉斯方程：
2222220u u u u x y z
∂∂∂∆=++=∂∂∂ 拉普拉斯曾采用球面调和函数法解这个方程，不过他得到一个错误的结论，认为这个方程当被吸引的点(x,y,z)位于物体内部时也成立。
这个错误由泊松加以更正。
泊松指出，如果点(x,y,z)在吸引体内部，则满足方程πρ4V -=∆，其中ρ是吸引体密度，它也是x,y,z 的一个函数。
拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体，格林则认识到函数V 的重要性，并赋予它“位势”(potential)的名称，与前人不同的是，格林发展了函数V 的一般理论。
他求解位势方程的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。
他在1828年私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格林公式
()()v u u v v u dx u v d n n σ∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。
至于十九世纪偏微分方程在物理中的应用使得其得到了更深刻的发展，期中最重要的一个应用是麦克斯韦1864年导出的电磁场方程
,)(1rot t
E c H ∂∂=ε ,)(1rot t
H c E ∂∂-=μ ,)(ρε=E div
0)
(=H div μ 是十九世纪数学物理最壮观的胜利！这也使得偏微分方程在十九世纪成为了数学物理方程有相同含义的名词！
进入二十世纪之后，随着泛函分析等学科的发展，以及计算机的产生，对偏微分方程的进展产生了深远的影响，如常义函数推广到广义函数，在广义空间中对偏微分方程的解的推广等！随着计算机的发展，随即产生了偏微分方程的数值解法（numerical method ）——有限差分方法（finite difference method ）等。
同时随着软件的发展，在一些大型的数学软件中，如Matlab ，Mathematica 等中加入了偏微分方程解得工具箱，使得偏微分方程解可视化！
总之，纵观偏微分方程的发展历程，我们坚信它将在更多的学科中起到很大的作用，并且随着科技的进步它的内容也将得到应有的补充！
2、偏微分方程的内容
偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。
弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。
然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。
弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。
演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。
当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。
用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。
偏微分方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。
上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。
因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。
拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。
原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。
天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。
在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。
就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。
边界条件也叫做边值问题。
当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。
在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。
偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。
方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。
求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。
但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。
对不同的方程我们可以结合其他数学学科的知识采取不同的解法。
例如，对于波动方程（一类特殊的双曲型方程），我们可以采取“特征线法”，“分离变量法”，“特征函数展开法”等，对于高维波动方程的初值问题我们可以采取“球面平均法”等；对于热传导方程（一类特殊的抛物型方程），我们可以采取“傅里叶变换”的方式；对于位势方程（一类特殊的椭圆型方程），我们可以借助“基本解”，“Green函数”等方式对其解决。
同样至于微分方程的适定性问题，我们可以采取“能量法”，“变分法”，以及“极值原理”加以证明！
应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。
常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
小总结：随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程的发展和应用将变得更加重要！。