演示档：正态分布与假设检验
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概率统计习题 72 演示文稿2
为 t t1- n-1 ，若取显著性水平 =0.05，查表知t0.975 19 =2.0930,
统计算x=0.6620,s=0.0918，由此，检验统计量 t= 20 0.6620 0.618 2.1435 0.0918
由于t值落入拒绝域内，因此在显著性水平 =0.05下拒绝原假设。
标准差s=2.6cm,问该批木材小头的平均值能否认为不低于12cm(取 0.05)?
解 本题与8题类似,只是这里的原假设和备择假设分别为
H0: 12 vs H1: 12,
拒绝域为 ,当取 0.05时0.05 =-1.65,检验统计量
=1011.2-12 3.0769 -1.65,
0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
解 本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用
检验法，欲检验的一对假设为
H0:=70 vs H1: 70
拒绝域为 |t| t1-/2 n-1 ，当显著性水平为0.05时，t0.975 35 2.0301.
证.
2.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N（4.55，0.1082）现在测定了
9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现
在生产的铁水平均含碳量仍为4.5（ 5 0.05）？
解 这是关于总体均值的双侧假设检验问题，原假设Ｈ０和备择假设 Ｈ１分别为
Ｈ０：＝4.55 ｖｓ Ｈ１： 4.55
有用信息，故给出x与s的，等价于给出具体的样本数据.这一现象会在很多
场合里出现. 8.一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每
周看8h电视，”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字，
假设检验PPT课件
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
b
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
两类错误是互相关联的， 当样本容 量固定时，一类错误概率的减少导致另 一类错误概率的增加.
b a
要同时降低两类错误的概率a b，或 者要在 a 不变的条件下降低 b，需要增
加样本容量.
（二）备择假设（alternative hypothesis），与原假设相对立(相反)的假设。 一般为研究者想收集数据予以证实自己观点的假设。 用H1表示。 表示形式：H1：总体参数≠某值 （＜） （＞）
例:H1： 0
（三）两类假设建立原则 1、H0与H1必须成对出现 2、通常先确定备择假设，再确定原假设 3、假设中的等号“=”总是放在原假设中
•
P>α时，H0成立
多重检验及校正
在同一研究中，有时我们会用到二次或多次显著 性检验，从上表可以看出，如果我们将显著性水平确 定为α=0.05水平，做一次显著性检验后我们只能保证 有95%的研究结果与真值是一致的；如果做两次显著 性检验后，研究结果与真值的符合程度就会降至 95%*95%=90.25，当我们进行5次显著性检验后，就 会降至77.4%，即在5次显著性检验后，由α水平所得 到的显著性检验结果的可靠性只有3/4的可靠性。
用于处理生物学研究中比较不同处理效应 的差异显著性。
数据资料中，两个样本的各个变量从各自 总体中抽取，两个样本之间变量没有任何关 联，即两个抽样样本彼此独立，不论两个样 本容量是否相同。
方法1：两个总体方差都已知（或方差未知大样本)
• 假定条件
– 两个样本是独立的随机样本
– 两个总体都是正态分布 – 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和
正态分布均值的假设检验
VS
详细描述
在单样本均值假设检验中，我们首先需要 确定一个期望的均值，然后计算样本的均 值。通过比较这两个值，我们可以判断样 本均值是否显著地偏离了期望的均值。常 用的统计量包括z分数和t分数，用于评估 样本均值与已知期望值之间的差异是否具 有统计学上的显著性。
双样本均值的假设检验
总结词
双样本均值的假设检验是检验两个独立样本的均值是否存在显著差异。
详细描述
在双样本均值假设检验中，我们需要比较两个独立样本的均值。通过计算两组样本的均值，并比较这两个值，我 们可以判断两个样本的均值是否存在显著差异。常用的统计量包括t检验和z分数，用于评估两个样本均值之间的 差异是否具有统计学上的显著性。
配对样本均值的假设检验
总结词
配对样本均值的假设检验是检验两个相关样本的均值是否存在显著差异。
Part
0（H0）
样本数据来自的总体均值等于某一固 定值。
备择假设（H1）
样本数据来自的总体均值不等于该固 定值。
选择合适的检验统计量
• 常用的检验统计量有t统计量、Z统计量等，根据具体情况选择合适的统计量。
确定显著性水平
• 显著性水平（α）：在假设检验中，原假设为真但被拒绝 的概率，通常取值在0.01至0.05之间。
正态分布在统计学中的重要性
基础性
正态分布是统计学中最重要的概 率分布之一，许多统计方法和理 论都基于正态分布。
广泛应用性
正态分布在自然和社会科学领域 都有广泛的应用，如生物学、医 学、经济学、心理学等。
理论依据
正态分布在统计学中提供了理论 依据，许多统计推断和决策方法 都基于正态分布的性质和假设。
1 2
判断假设是否成立
通过假设检验，可以判断一个假设是否成立，从 而为进一步的研究或决策提供依据。
第12章假设检验 《统计学实验》 ppt课程ppt
径
x=read.table(“li12.1.txt”,header=T) #从li11.1.txt中读 入数据，记为x。
(或者：x<c(500,505,482,480,481,501,498,482, 490,481) #输入样本数据x)
t.test(x,mu=500) #检验总体均值是否等于500
Z pˆ p0
p0 1 p0
质量 500 505 482 480 481 501 490 498
频数 20 16 9 1 8 20 8 18
以0.05为显著水平检验：包装机包装出来的茶叶 的平均质量是否为标准质量500克？
2012-6-26
【统计理论】
当样本来自于非正态总体时，要检验总体 均值是否等于某个常数，在原假设成立且n 充分大时，近似地有：
*
《统计学实验》第12章假设检验
(2) 这是一个左侧检验问题，即 H0 : 500 H1 : 500
处理方法与（1）类似，具体程序如下：
x<-c(500,505,482,480,481,501,498,482, 490,481) #输入样本数据x
t.test(x,mu=500,alternative="less") #备择
t = -3.4912, df = 16, p-value = 0.9985
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
-343.1434 Inf
sample estimates:
平均使用寿命短？
2012-6-26
x=read.table(“li12.1.txt”,header=T) #从li11.1.txt中读 入数据，记为x。
(或者：x<c(500,505,482,480,481,501,498,482, 490,481) #输入样本数据x)
t.test(x,mu=500) #检验总体均值是否等于500
Z pˆ p0
p0 1 p0
质量 500 505 482 480 481 501 490 498
频数 20 16 9 1 8 20 8 18
以0.05为显著水平检验：包装机包装出来的茶叶 的平均质量是否为标准质量500克？
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【统计理论】
当样本来自于非正态总体时，要检验总体 均值是否等于某个常数，在原假设成立且n 充分大时，近似地有：
*
《统计学实验》第12章假设检验
(2) 这是一个左侧检验问题，即 H0 : 500 H1 : 500
处理方法与（1）类似，具体程序如下：
x<-c(500,505,482,480,481,501,498,482, 490,481) #输入样本数据x
t.test(x,mu=500,alternative="less") #备择
t = -3.4912, df = 16, p-value = 0.9985
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
-343.1434 Inf
sample estimates:
平均使用寿命短？
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正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
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形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
正态分布假设检验
正态分布假设检验一、概述正态分布假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个数据集是否符合正态分布。
正态分布是指在统计学中，当数据集的频率分布呈钟形曲线时，称其为正态分布。
正态分布在实际应用中非常广泛，因为许多自然现象都遵循这种分布规律。
对于一个数据集而言，如果它符合正态分布，则可以使用一系列的统计方法进行进一步的研究和分析。
二、检验方法1. 假设检验假设检验是指通过样本数据来推断总体参数的方法。
在正态分布假设检验中，我们需要对总体均值和标准差进行假设检验。
具体而言，我们需要提出原假设和备择假设两个假设：原假设：样本数据符合正态分布；备择假设：样本数据不符合正态分布。
在进行实际计算时，我们需要根据样本数据来计算出样本均值和标准差，并使用这些数据来推断总体均值和标准差是否符合正态分布。
2. 正态概率图正态概率图是判断一个数据集是否符合正态分布的常用方法之一。
它通过将数据集的分位数与正态分布的分位数进行比较，来判断数据集是否符合正态分布。
具体而言，正态概率图将数据集的每个值按照从小到大的顺序排列，并计算出每个值对应的标准化值（即该值与样本均值之间的差除以样本标准差）。
然后，将这些标准化值按照从小到大的顺序排列，并绘制在图表上。
如果数据集符合正态分布，则这些标准化值应当近似于一个直线。
3. 偏度和峰度检验偏度和峰度是用来描述一个数据集形态特征的指标。
在正态分布中，偏度为0，峰度为3。
因此，在进行正态分布假设检验时，我们可以通过计算样本偏度和峰度来判断样本是否符合正态分布。
具体而言，如果样本偏度和峰度与正态分布相差不大，则可以认为样本符合正态分布。
三、实例演示以下是一个实例演示，在Python中使用scipy库进行正态分布假设检验：```pythonimport numpy as npfrom scipy import stats# 生成100个随机数data = np.random.normal(0, 1, 100)# 进行正态性检验k2, p = stats.normaltest(data)alpha = 0.05# 输出检验结果print("p = {}".format(p))if p < alpha:print("数据不符合正态分布")else:print("数据符合正态分布")```在上述代码中，我们首先生成了一个包含100个随机数的数据集。
t分布与检验
临界值：接受区域的上界和下界称为临界值。 它们是接受或拒绝零假设的分界线。
归纳：如果参数值在零假设下位于接受区域内， 则不拒绝零假设，若落在接受区域以外（即落 在拒绝区域内），则拒绝零假设。
10.63
12.36
P/E总体均值的95%的置信区间
P/E值
例：坛子里的花生的重量服从正态分布，但均 值和方差是未知的。随机选取20个坛子，发现 其样本均值和样本方差分别为6.5和4。检验零 假设：真实均值为7.5；备则假设：真实均值不 是7.5。给定显著水平1%。
首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67
求：P(Z>1.67)
查正态分布表得：
P(0≦Z≦1.67)=0.4525
则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475
即每天出售面包的数量超过75条的概率为 0.0475。
f(Z)
0.4525
0.0475
0
1.67标准正态变量概率密度来自数95% t =-3.5
=2.5%
=2.5%
-2.0096
0
2.0096
t检验的显著性：双边检验
显然，t值位于t分布的左侧拒绝区域。因此， 拒绝零假设。
零H0
x= 0
t检验小结 备择假设
临界区域，拒绝H0，若
x>0
x= 0
x<0
x= 0
x≠0
最后一列给出了t临界值，第一个下标表示显著水平，d.t代表自由度。
结论：从正态总体中抽取随机样本，若该正态 总体的均值为，但方差²用其估计量S²来代替， 则其样本均值服从t分布。通常用符号tk表示， 其中k表示自由度。
k=120(正态） K=20 K=5
归纳：如果参数值在零假设下位于接受区域内， 则不拒绝零假设，若落在接受区域以外（即落 在拒绝区域内），则拒绝零假设。
10.63
12.36
P/E总体均值的95%的置信区间
P/E值
例：坛子里的花生的重量服从正态分布，但均 值和方差是未知的。随机选取20个坛子，发现 其样本均值和样本方差分别为6.5和4。检验零 假设：真实均值为7.5；备则假设：真实均值不 是7.5。给定显著水平1%。
首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67
求：P(Z>1.67)
查正态分布表得：
P(0≦Z≦1.67)=0.4525
则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475
即每天出售面包的数量超过75条的概率为 0.0475。
f(Z)
0.4525
0.0475
0
1.67标准正态变量概率密度来自数95% t =-3.5
=2.5%
=2.5%
-2.0096
0
2.0096
t检验的显著性：双边检验
显然，t值位于t分布的左侧拒绝区域。因此， 拒绝零假设。
零H0
x= 0
t检验小结 备择假设
临界区域，拒绝H0，若
x>0
x= 0
x<0
x= 0
x≠0
最后一列给出了t临界值，第一个下标表示显著水平，d.t代表自由度。
结论：从正态总体中抽取随机样本，若该正态 总体的均值为，但方差²用其估计量S²来代替， 则其样本均值服从t分布。通常用符号tk表示， 其中k表示自由度。
k=120(正态） K=20 K=5
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计数值数据是不能连续取值，只能以个数计算 的数据。如不合格品数，缺陷数等。
6 Kenneth.Yang
二、随机变量的分布
分布(distribution)：用来描述随机现象的统计规律，说明两个问题： 变异的幅度有多大；出现这么大幅度的概率。
1、常用的离散分布： 二项分布 泊松分布 超几何分布
8 Kenneth.Yang
正态分布的通俗概念：
如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又 称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分 布，每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（ 或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频 数分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中 间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值变量服从或近似服从数学上的正 态分布。
S
1 n 1
n i 1
(X i
X
)2
为修偏系数，可通过查系数表得到：
子组大 小n
2
3
5
8
10
12 15 20 25
修偏系 数C₄
0.798 0.886
0.94
0.965 0.973
0.978 0.982 0.987
0.99
当n 时，
， 越大越接近 。
16 Kenneth.Yang
五、正态总体参数的置信区间
21 Kenneth.Yang
质量检验的两类风险—生产方风险
生产方风险：由于抽样的随机性，本来质量合格的批 被判拒收的风险，称为生产方风险。它是对给定的抽 样方案，当批质量水平为某一指定的可接受值p 时， 但不被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常规定为 。这里的p 称为生产方风险质量。
假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上的一个区 间（a，b），则称此随机变量为连续型随机变量。
4 Kenneth.Yang
产 品
定量
质
量
特
定性
性
连续 离散
计量值
计数值
计
数
计件值
值
5 Kenneth.Yang
计量值数据 计量值数据是可以连续取值，或者说可以用测
量工具具体测量出小数点以下数值的这类数据。 如长度、压力、温度等。 计数值数据
33 Kenneth.Yang
（2）检验均值是否有提高：
由于两总体方差相等，但未知，改用t检验。设 ：
，
：
拒绝域为：｛ 1‐
由样本观测值知：
x - y )/[Sw
结论：由于统计量的值落在拒绝域中，应拒绝原假设，可以 认为改进后的钢条抗拉强度确有提高。
34 Kenneth.Yang
用
进行计算：
1）等方差检验: 改进后, 改进前 ，95% 标准差Bonferroni 置 信区间
用
进行计算，结果如下：
单样本 Z: X
mu = 0.13 与 ≠ 0.13 的检验，假定标准差 = 0.015
变量 N 平均值 标准差 平均值标准误
X 10 0.13580 0.01511 0.00474
95% 置信区间
Z
P
(0.12650, 0.14510) 1.22 0.221
30 Kenneth.Yang
的显著性水平上检验改进前后的方差是否相
等，若可以认为相等的话，再在
的显著性水平上检
验改进后的均值是否增大。
（ ）检验方差是否相等：
用 检验，设原假设 ：
，备择假设 ：
拒绝域为｛
/2 ， 或
由样本观测值求得 x
或 1‐ /2 ，
y
结论：由于样本观测值未落在拒绝域中，所以接受原假设， 认为改进前后的方差相等。
9 Kenneth.Yang
下面我们以某地18岁男大学生100人的身高(cm)资料，来说 明身高变量服从正态分布。
该数值变量资料频数
分布呈现中间频数多，左右
两侧基本对称的分布。所以
30
我们通俗地认为该资料服从
正态分布。
25
20
频数
15 频数
10
5
0 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183
22 Kenneth.Yang
质量检验的两类风险—使用方风险
使用方风险：由于抽样的随机性，本来质量不合格的批 被判接收的风险，称为使用方风险。它是对给定的抽样 方案，当批质量水平为某一指定的不可接受值p 时，但 被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常 规定为 。这里的p 称为使用方风险质量。
七、正态总体参数的假设检验
假设检验亦称“显著性检验 （Test of statistical significance）”，是数理统
计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法 。用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样 误差引起还是本质差别造成的。目的就在于排除抽样 误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事 件发生的概率。
正态曲线在横轴上方均数处最高； 正态分布以均数为中心左右对称； 正态分布有2个关键参数 ： 平均值μ：位置参数 标准差 ：形状参数（变异度参数）
12 Kenneth.Yang
平均值Байду номын сангаас正态曲线的影响
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲 线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ 为位置参数。
正态分布与假设检验
SQE：Kenneth.Yang
提纲：
1. 随机变量； 2. 随机变量的分布； 3. 正态分布； 4. 正态总体参数的估计； 5. 正态总体参数的置信区间； 6. 统计判断的两类错误（质量检验的两类风险）； 7. 正态总体参数的假设检验。
2 Kenneth.Yang
一、随机变量
19 Kenneth.Yang
当用样本标准差 代替总体标准差 ，则 变量改为 变量， 标准正态分布 （ ， ）也随之改为自由度为 的 分布 ，记为 （ ）。自由度为 的 分布的概率密度函数与 标准正态分布 （ ， ）的概率密度函数图形大致类似。 当自由度超过 后，两者的差别已很小，这时可以用 （ ， ）替代 （ ）。
31 Kenneth.Yang
例2、在改进工艺前后，各测量了若干钢条的抗剪强度，数 据如下：改进后：525、531、518、533、546、524、521 、533、545、540；改进前：521、525、533、525、517 、514、526、519。可以认为改进工艺后的平均抗剪强度 有提高吗？
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随 机现象。
表示随机现象结果的变量称为随机变量。 随机现象有两个特点：
1、随机现象的结果至少有两个； 2、至于哪一个出现，事先并不知道。
3 Kenneth.Yang
离散型随机变量和连续型随机变量
假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则 称此随机变量为离散型随机变量；
这里自由度是指样本中可以独立或自由取值的自变量的个 数。
20 Kenneth.Yang
六：统计判断的两类错误
在假设检验中，错误有两类： 第一类错误：拒真错误。原假设H 为真，但是由于抽
样的随机性，样本落在拒绝区域内，从而导致拒绝H ，其发生概率为 ； 第二类错误：取伪错误。原假设H 不真，但是由于抽 样的随机性，样本落在接受区域内，从面导致接受H ，其发生概率为 。
正态分布 均匀分布 对数正态分布 指数正态分布
2、常用的连续分布：
7 Kenneth.Yang
三、正态分布
正态分布的概率密度函数
f (X)
1
e ,
(
X 2 2
)2
2
X
X为连续随机变量，π=3.14159，e为自然对数的底即 2.71828，μ为总体均数，σ为总体标准差，记为X～ N（μ ，σ2）
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2 是标准正态分布的 是样本容量。
分位数；X 是样本均值；
18 Kenneth.Yang
2、总体均值 的置信区间的求法： 当总体标准差 未知时：
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2
表示自由度是 的 分布的
分位数；X 是
样本均值； 是样本容量； 是样本标准差。
σ =1
σ =2
µ
四、正态总体参数的估计
1、正态总体均值 常用的无偏估计为样本均值 ：X
X
X1
X 2 n
Xn
1 n
n i 1
Xi
、正态总体方差 常用的无偏估计为样本方差 ：
n
(Xi X )2
S 2 n 1 n 1
15 Kenneth.Yang
3、正态总体标准差 常用的无偏估计为样本标准差修偏而得：
25 Kenneth.Yang
用样本指标估计总体指标，其结论有的完全可靠，有 的只有不同程度的可靠性，需要进一步加以检验和证 实。通过检验，对样本指标与假设的总体指标之间是 否存在差别作出判断，是否接受原假设。这里必须明 确，进行检验的目的不是怀疑样本指标本身是否计算 正确，而是为了分析样本指标和总体指标之间是否存 在显著差异。从这个意义上，假设检验又称为显著性 检验。
23 Kenneth.Yang
在相同样本量下：要使 小， 就大；要使 小， 就 大。
基本原则：力求在控制 前提下减少 常选 取值0.05，有时也用0.1、0.01等。 为减少损失：如果犯I类错误损失更大， 值取小；如
果犯II类错误损失更大， 值取大。 确定 ，就确定了临界点。
6 Kenneth.Yang
二、随机变量的分布
分布(distribution)：用来描述随机现象的统计规律，说明两个问题： 变异的幅度有多大；出现这么大幅度的概率。
1、常用的离散分布： 二项分布 泊松分布 超几何分布
8 Kenneth.Yang
正态分布的通俗概念：
如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又 称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分 布，每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（ 或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频 数分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中 间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值变量服从或近似服从数学上的正 态分布。
S
1 n 1
n i 1
(X i
X
)2
为修偏系数，可通过查系数表得到：
子组大 小n
2
3
5
8
10
12 15 20 25
修偏系 数C₄
0.798 0.886
0.94
0.965 0.973
0.978 0.982 0.987
0.99
当n 时，
， 越大越接近 。
16 Kenneth.Yang
五、正态总体参数的置信区间
21 Kenneth.Yang
质量检验的两类风险—生产方风险
生产方风险：由于抽样的随机性，本来质量合格的批 被判拒收的风险，称为生产方风险。它是对给定的抽 样方案，当批质量水平为某一指定的可接受值p 时， 但不被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常规定为 。这里的p 称为生产方风险质量。
假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上的一个区 间（a，b），则称此随机变量为连续型随机变量。
4 Kenneth.Yang
产 品
定量
质
量
特
定性
性
连续 离散
计量值
计数值
计
数
计件值
值
5 Kenneth.Yang
计量值数据 计量值数据是可以连续取值，或者说可以用测
量工具具体测量出小数点以下数值的这类数据。 如长度、压力、温度等。 计数值数据
33 Kenneth.Yang
（2）检验均值是否有提高：
由于两总体方差相等，但未知，改用t检验。设 ：
，
：
拒绝域为：｛ 1‐
由样本观测值知：
x - y )/[Sw
结论：由于统计量的值落在拒绝域中，应拒绝原假设，可以 认为改进后的钢条抗拉强度确有提高。
34 Kenneth.Yang
用
进行计算：
1）等方差检验: 改进后, 改进前 ，95% 标准差Bonferroni 置 信区间
用
进行计算，结果如下：
单样本 Z: X
mu = 0.13 与 ≠ 0.13 的检验，假定标准差 = 0.015
变量 N 平均值 标准差 平均值标准误
X 10 0.13580 0.01511 0.00474
95% 置信区间
Z
P
(0.12650, 0.14510) 1.22 0.221
30 Kenneth.Yang
的显著性水平上检验改进前后的方差是否相
等，若可以认为相等的话，再在
的显著性水平上检
验改进后的均值是否增大。
（ ）检验方差是否相等：
用 检验，设原假设 ：
，备择假设 ：
拒绝域为｛
/2 ， 或
由样本观测值求得 x
或 1‐ /2 ，
y
结论：由于样本观测值未落在拒绝域中，所以接受原假设， 认为改进前后的方差相等。
9 Kenneth.Yang
下面我们以某地18岁男大学生100人的身高(cm)资料，来说 明身高变量服从正态分布。
该数值变量资料频数
分布呈现中间频数多，左右
两侧基本对称的分布。所以
30
我们通俗地认为该资料服从
正态分布。
25
20
频数
15 频数
10
5
0 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183
22 Kenneth.Yang
质量检验的两类风险—使用方风险
使用方风险：由于抽样的随机性，本来质量不合格的批 被判接收的风险，称为使用方风险。它是对给定的抽样 方案，当批质量水平为某一指定的不可接受值p 时，但 被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常 规定为 。这里的p 称为使用方风险质量。
七、正态总体参数的假设检验
假设检验亦称“显著性检验 （Test of statistical significance）”，是数理统
计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法 。用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样 误差引起还是本质差别造成的。目的就在于排除抽样 误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事 件发生的概率。
正态曲线在横轴上方均数处最高； 正态分布以均数为中心左右对称； 正态分布有2个关键参数 ： 平均值μ：位置参数 标准差 ：形状参数（变异度参数）
12 Kenneth.Yang
平均值Байду номын сангаас正态曲线的影响
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲 线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ 为位置参数。
正态分布与假设检验
SQE：Kenneth.Yang
提纲：
1. 随机变量； 2. 随机变量的分布； 3. 正态分布； 4. 正态总体参数的估计； 5. 正态总体参数的置信区间； 6. 统计判断的两类错误（质量检验的两类风险）； 7. 正态总体参数的假设检验。
2 Kenneth.Yang
一、随机变量
19 Kenneth.Yang
当用样本标准差 代替总体标准差 ，则 变量改为 变量， 标准正态分布 （ ， ）也随之改为自由度为 的 分布 ，记为 （ ）。自由度为 的 分布的概率密度函数与 标准正态分布 （ ， ）的概率密度函数图形大致类似。 当自由度超过 后，两者的差别已很小，这时可以用 （ ， ）替代 （ ）。
31 Kenneth.Yang
例2、在改进工艺前后，各测量了若干钢条的抗剪强度，数 据如下：改进后：525、531、518、533、546、524、521 、533、545、540；改进前：521、525、533、525、517 、514、526、519。可以认为改进工艺后的平均抗剪强度 有提高吗？
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随 机现象。
表示随机现象结果的变量称为随机变量。 随机现象有两个特点：
1、随机现象的结果至少有两个； 2、至于哪一个出现，事先并不知道。
3 Kenneth.Yang
离散型随机变量和连续型随机变量
假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则 称此随机变量为离散型随机变量；
这里自由度是指样本中可以独立或自由取值的自变量的个 数。
20 Kenneth.Yang
六：统计判断的两类错误
在假设检验中，错误有两类： 第一类错误：拒真错误。原假设H 为真，但是由于抽
样的随机性，样本落在拒绝区域内，从而导致拒绝H ，其发生概率为 ； 第二类错误：取伪错误。原假设H 不真，但是由于抽 样的随机性，样本落在接受区域内，从面导致接受H ，其发生概率为 。
正态分布 均匀分布 对数正态分布 指数正态分布
2、常用的连续分布：
7 Kenneth.Yang
三、正态分布
正态分布的概率密度函数
f (X)
1
e ,
(
X 2 2
)2
2
X
X为连续随机变量，π=3.14159，e为自然对数的底即 2.71828，μ为总体均数，σ为总体标准差，记为X～ N（μ ，σ2）
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2 是标准正态分布的 是样本容量。
分位数；X 是样本均值；
18 Kenneth.Yang
2、总体均值 的置信区间的求法： 当总体标准差 未知时：
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2
表示自由度是 的 分布的
分位数；X 是
样本均值； 是样本容量； 是样本标准差。
σ =1
σ =2
µ
四、正态总体参数的估计
1、正态总体均值 常用的无偏估计为样本均值 ：X
X
X1
X 2 n
Xn
1 n
n i 1
Xi
、正态总体方差 常用的无偏估计为样本方差 ：
n
(Xi X )2
S 2 n 1 n 1
15 Kenneth.Yang
3、正态总体标准差 常用的无偏估计为样本标准差修偏而得：
25 Kenneth.Yang
用样本指标估计总体指标，其结论有的完全可靠，有 的只有不同程度的可靠性，需要进一步加以检验和证 实。通过检验，对样本指标与假设的总体指标之间是 否存在差别作出判断，是否接受原假设。这里必须明 确，进行检验的目的不是怀疑样本指标本身是否计算 正确，而是为了分析样本指标和总体指标之间是否存 在显著差异。从这个意义上，假设检验又称为显著性 检验。
23 Kenneth.Yang
在相同样本量下：要使 小， 就大；要使 小， 就 大。
基本原则：力求在控制 前提下减少 常选 取值0.05，有时也用0.1、0.01等。 为减少损失：如果犯I类错误损失更大， 值取小；如
果犯II类错误损失更大， 值取大。 确定 ，就确定了临界点。