高考数学二轮复习小题专项练习(三)三角函数的图像与性质文
高考数学(理)二轮专题练习【专题3】(1)三角函数的图象与性质(含答案)
第 1 讲三角函数的图象与性质考情解读 1.以图象为载体，考察三角函数的最值、单一性、对称性、周期性.2.考察三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，要点考察剖析、办理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与引诱公式(1) 定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，则 sin α＝ y， cos α＝ x，ytan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)22sin αα.同角关系： sin α＋ cos α＝ 1，＝ tancos αkπ(3)引诱公式：在2＋α， k∈Z的引诱公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sin x y＝ cos x y＝ tan x 图象单一性对称性ππ在 [－2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z )在[ －π＋ 2kπ， 2kπ](k∈Z )ππ3π上单一递加；在 [2kπ，π＋在( －＋ kπ，＋kπ)(k∈Z )π22上单一递加；在 [ ＋ 2kπ，222kπ ](k∈Z )上单一递减上单一递加＋ 2kπ](k∈Z )上单一递减π对称中心： (kπ， 0)(k∈Z )；对称中心： (2＋ kπ，对称中心：π0)(k∈Z)；kπ对称轴： x＝2＋ kπ(k∈Z)( 2， 0)(k∈Z)对称轴： x＝kπ(k∈Z )3.三角函数的两种常有变换向左 φ 或向右 φ(1) y ＝sin x ―————————―→平移 |φ|个单位y ＝ sin(x ＋φ)纵坐标变成本来的 A 倍y ＝ sin( ωx＋ φ)―———————―→横坐标不变y ＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)．(2) y ＝sin x向左 φ或向右 φy ＝ sin ωx―———————φ―→平移| |个单位ω纵坐标变成本来的 A 倍y ＝ sin( ωx＋ φ)―———————―→横坐标不变y ＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)．热门一三角函数的观点、引诱公式及同角三角函数的基本关系例 1(1)点 P 从22逆时针方向运动 2π (1,0)出发，沿单位圆 x ＋ y＝ 1弧长抵达 Q 点，则 Q 点的坐3标为 ()1 ， 3B ．(－3 ，－ 1)A ．(－ 2 )2221，－3D ．(－31C ． (－2 )2， )22(2) 已知角 α 的极点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P( － 4,3) ，则π－ π－ α＋ α2的值为 ________．11π9π2－ α＋ α2思想启示 (1) 正确掌握三角函数的定义． (2)利用三角函数定义和引诱公式．答案(1)A(2)－34分析(1) 设 Q 点的坐标为 (x ， y)，2π1， y ＝ sin 2π3则 x ＝ cos＝－＝3232.1 3∴ Q 点的坐标为 (－ 2， 2 )．－ sin α·sin α＝ tan α.(2) 原式＝－ sin α·cos α 依据三角函数的定义，得 tan α＝ y ＝－ 3，x 4∴ 原式＝－ 34.思想升华 (1) 波及与圆及角相关的函数建模问题(如钟表、 摩天轮、 水车等 )，经常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边地点相关，与终边上点的地点没关．(2) 应用引诱公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要按照必定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以 Ox 为始边作角 α(0< α<π)，终边与单位圆订交于点 P ，已知点 P 的坐标为 － 3，4，则 sin 2α＋ cos 2α＋ 1＝________.5 5 1＋ tan α (2) 已知点 P sin3π 3π 4， cos落在角 θ的终边上，且 θ∈ [0,2 π)，则 θ的值4为 ()π3π5π 7πA. 4B. 4C. 4D. 418答案(1) (2)D分析 (1) 由三角函数定义，得 cos α＝－ 3， sin α＝ 4，552α2cos αα＋ cos α∴ 原式＝ 2sin αcos α＋ 2cos＝sin αsin α＋ cos α1＋cos αcos α＝ 2cos 2α＝ 2× － 3 2 ＝18.5 25cos 3 －cos ππ 4＝－ 1，(2)tan θ＝4 ＝3πsin 4πsin 43π3π又 sin 4 >0， cos4 <0，7π因此 θ为第四象限角且θ∈ [0,2 π)，因此 θ＝ 4 .热门二 函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的图象及分析式例 2π 则将 y ＝f(x)的图象向(1)函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0，|φ|< )的部分图象如下图，2π右平移 个单位后，获得的图象分析式为( )6A ． y ＝ sin 2xB ． y ＝ cos 2x2ππC ． y ＝ sin(2 x ＋ 3)D ． y ＝sin(2x － 6)π(2) 若函数 y ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ a 在 [0 ， 2]上有两个不一样的零点，则实数 a 的取值范围为________． 思想启示(1) 先依据图象确立函数f(x)的分析式，再将获得的π f(x)中的 “x ”换成 “x － ”即可．6(2) 将零点个数变换成函数图象的交点个数．答案 (1)D (2)( －2，－ 1]分析 (1) 由图知， A ＝1，3T＝11π π2π － ，故 T ＝ π＝，4126ω因此 ω＝ 2，又函数图象过点π，代入分析式中，( ，1)6π ππ得 sin( ＋ φ)＝ 1，又 |φ|< ，故 φ＝.326π π则 f(x)＝ sin(2x ＋ 6)向右平移 6后，π π π获得 y ＝sin[2( x － )＋ )＝ sin(2x － )，选 D.666π(2) 由题意可知 y ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ a ，ππ π 该函数在 [0， ]上有两个不一样的零点，即 y ＝－ a ，y ＝2sin(2 x ＋)在 [0 ， ]上有两个不一样的交点．262联合函数的图象可知 1≤－a<2 ，因此－ 2<a ≤－ 1.思想升华(1) 已知函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)(A>0， ω>0) 的图象求分析式时，常采纳待定系数法，由图中的最高点、最低点或特别点求A ；由函数的周期确立ω；确立 φ常依据 “五点法 ”中的五个点求解，此中一般把第一个零点作为打破口，能够从图象的起落找准第一个零点的地点．(2) 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，仍是先周期变换．变换不过相对于此中的自变量 x 而言的，假如 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确立变换的单位长度和方向．π(1) 如图，函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(此中 A>0， ω>0， |φ|≤P 、2)与坐标轴的三个交点πQ 、R 知足 P(2,0)，∠ PQR ＝ 4， M 为 QR 的中点， PM ＝ 25，则 A 的值为()816 A. 3 3 B. 3 3C ． 8D ．16πππ (2) 若将函数 y ＝ tan(ωx＋ )( ω>0) 的图象向右平移个单位长度后，与函数 y ＝ tan(ωx＋ )的图象466重合，则 ω的最小正当为 ()11 A. 6 B. 41 1 C.3D. 2答案 (1)B (2)D分析(1) 由题意设 Q( a,0)， R(0，－ a)( a>0) ．a a 则 M( ，－ )，由两点间距离公式得，22a2a 2T πPM ＝－ 2 ＋2＝ 2 5，解得 a ＝ 8，由此得，2＝ 8－ 2＝6，即 T ＝ 12，故 ω＝6，π由 P(2,0)得 φ＝－，代入 f(x)＝Asin( ωx＋ φ)得，3π πf(x)＝ Asin( 6x － 3)，π从而 f(0)＝ Asin(－ 3)＝－ 8，16得A ＝33.πππ ωπ π(2) y ＝tan(ωx＋ 4)的图象向右平移 ，获得 y ＝tan(ωx＋ －)的图象，与 y ＝ tan(ωx＋ 6) 重合，64 6 π ωπ π1， k ∈ Z ，得 － ＝k π＋ ，故 ω＝－ 6k ＋4 6 6 21∴ ω的最小正当为 2.热门三 三角函数的性质例 3 设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋ sin 2x ＋ a(a ∈ R )．(1) 求函数 f(x)的最小正周期和单一递加区间；π(2) 当 x ∈ [0， 6]时， f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 y ＝ f(x)( x ∈R )的对称轴方程．思想启示 先化简函数分析式，而后研究函数性质 (可联合函数简图 )．2π 解 (1)f(x)＝ 2cos x ＋ sin 2x ＋a ＝ 1＋ cos 2x ＋ sin 2x ＋a ＝ 2sin(2 x ＋ ) ＋1＋ a ，4则 f(x)的最小正周期2πT ＝ ＝π，2π πππ 且当 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋ (k ∈ Z )时 f(x)单一递加，即 k π－3π≤x ≤k π＋(k ∈ Z )．2 4 288因此 [k π－3π π， k π＋ 8 ](k ∈ Z )为 f(x)的单一递加区间．8πππ 7π(2) 当 x ∈ [0， 6]时 ?≤2x ＋ ≤ ，44 12π π ππ当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时 sin(2x ＋ )＝ 1.4 284因此 f(x)max ＝ 2＋ 1＋ a ＝ 2? a ＝ 1－ 2.π π k π π由 2x ＋ ＝ k π＋ 得 x ＝＋ (k ∈ Z )，422 8k π π 故 y ＝ f(x)的对称轴方程为x ＝＋ ， k ∈ Z .28思想升华函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin( ωx＋ φ)＋B 的形式；第二步：把 “ωx＋ φ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B 的单一性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋ 2 3sin 2ωx－ 3( ω>0) 的最小正周期为 π.(1) 求函数 f(x)的单一增区间；π1 个单位长度，获得函数y ＝ g(x) 的图(2) 将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移6象；若 y ＝ g(x)在[0， b]( b>0) 上起码含有 10 个零点，求 b 的最小值．解 (1)由题意得： f( x)＝ 2sin ωx cos ωx＋ 2 3sin 2ωx－ 3π＝ sin 2ωx－ 3cos 2ωx＝ 2sin(2ωx－3)，π由周期为 π，得 ω＝1，得 f(x) ＝2sin(2 x －3)，函数的单一增区间为π π π 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ ， k ∈Z ，232整理得 k π－π 5π12≤x ≤k π＋ ， k ∈Z ，12π5π因此函数 f(x)的单一增区间是[k π－ 12， k π＋12]， k ∈ Z .π1 个单位长度，获得y ＝ 2sin 2x ＋1 的(2) 将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移6图象，因此 g(x)＝ 2sin 2x ＋ 1，令 g(x)＝ 0，得 x ＝ k π＋ 7π 11π12 或 x ＝ k π＋ 12 (k ∈ Z )，因此在 [0，π]上恰巧有两个零点，若 y ＝ g(x)在 [0，b] 上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可， 即 b 的最小值为 4π11π 59π ＋12＝ 12.1．求函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)(或 y ＝ Acos(ωx＋φ)，或 y ＝ Atan(ωx＋ φ)) 的单一区间(1) 将 ω化为正．(2) 将 ωx＋ φ当作一个整体，由三角函数的单一性求解． 2．已知函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋B(A>0，ω>0) 的图象求分析式(1) A ＝ y max － ymin ，2y max ＋ y min B ＝2 .2π(2) 由函数的周期 T 求 ω， ω＝ T .(3) 利用与 “五点法 ”中相对应的特别点求 φ.3．函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的对称轴必定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1) 将三角函数式化为 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B 的形式，从而联合三角函数的性质求解．(2) 将三角函数式化为对于 sin x ， cos x 的二次函数的形式，从而借助二次函数的性质求解．5．特别提示进行三角函数的图象变换时，要注意不论进行什么样的变换都是变换变量自己．真题感悟π π1．(2014 辽·宁 ) 将函数 y ＝ 3sin(2x ＋3) 的图象向右平移 个单位长度， 所得图象对应的函数 ()2π 7πA ．在区间 [ 12，12]上单一递减π 7πB ．在区间 [12， 12] 上单一递加π πC ．在区间 [－ 6，3] 上单一递减π πD ．在区间 [ － 6， 3]上单一递加答案 B分析π π π π 2π)． y ＝3sin(2 x ＋ )的图象向右平移个单位长度获得 y ＝ 3sin[2( x － )＋ ]＝ 3sin(2x －32 2 33 ππ π 7 π， ∈ ，则 ＝－ 2π)的增区间 令 2k π－ ≤ －2π≤ π＋ ，k ∈ Z ，得 k π＋≤≤ π＋2 2x3 2k212 x k 12 k Z y 3sin(2x 3π7为 [k π＋ 12，k π＋ 12π]，k ∈ Z .令 k ＝ 0 得此中一个增区间为 [ π， 7π]，故 B 正确．12 122π π画出 y ＝3sin(2 x －3π)在[ －6， 3]上的简图，如图，π π可知 y ＝3sin(2 x －2π)在[ － ，3 ]上不拥有单一性，36故 C ，D 错误．π π2．(2014 北·京 )设函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A ，ω，φ是常数， A>0，ω>0)．若 f(x)在区间 ，上 6 2 π 2π π拥有单一性，且 f 2 ＝f3 ＝－ f 6 ，则 f(x)的最小正周期为 ________．答案 ππ π分析 ∵ f(x)在，上拥有单一性，6 2T π π ∴ ≥－，2 262π∴T ≥3 .π2π∵ f 2 ＝ f 3，π 2π＋ 2 3 7π∴ f( x)的一条对称轴为 x ＝ 2 ＝ 12.ππ又 ∵ f 2 ＝－ f 6 ，π π＋26 π∴ f( x)的一个对称中心的横坐标为2＝3.1 7π π π∴ T ＝12－ ＝ ，∴ T ＝ π.43 4押题精练1．函数 f(x) ＝2sin(ωx＋ φ)( ω>0)的部分图象如图，此中 M(m,0)， N(n,2)， P( π，0) ，且 mn<0，则 f(x)在以下哪个区间中是单一的 ()ππ 2πA ．(0， )B ． (， )4 4 3 π 3πD ． ( 2πC ． ( ，)，π)24 3答案 B分析∵ mn<0，因此当左右挪动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时 T ＝ π，则 ωπ 3ππ＝ 2，∴ f(x)＝ 2sin(2x)，在 (4， 4 ) 上为减函数， (0，4)上为增函数； 当图象的最高点在 y 轴上时，3 3 3 2π 2π即 N 点在 y 轴上， T ＝ π，ω＝，∴f(x)＝ 2sin( x)，在(0， 3)上是减函数， (，π)上为增函数． 所4223π 2π以 f(x)在 (，43 )上是单一的．2．已知函数 f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ 3cos 2ωx－3(ω>0) ，直线 x ＝ x 1，x ＝ x 2 是 y ＝ f(x)图象的任2π意两条对称轴，且|x 1－ x 2|的最小值为 4.(1) 求 f(x)的表达式；π (2) 将函数f(x) 的图象向右平移个单位长度后，再将获得的图象上各点的横坐标伸长为本来的8π2 倍，纵坐标不变，获得函数 y ＝ g(x)的图象，若对于 x 的方程 g(x)＋ k ＝ 0 在区间 [0，2] 上有且只有一个实数解，务实数 k 的取值范围． 解(1)f(x)＝ 11＋ cos 2ωx 32 sin 2ωx＋ 3×2 －2＝13πsin 2ωx＋2 cos 2ωx＝ sin(2ωx＋)，23π π 由题意知，最小正周期T ＝2× ＝ ，4 22π π π πT ＝ 2ω＝ ω＝2，因此 ω＝ 2， ∴ f(x) ＝sin 4x ＋3 .(2) 将 f(x)的图象向右平移π π 个单位长度后，获得 y ＝ sin(4x － )的图象，86再将所得图象全部点的横坐标伸长到本来的2 倍，纵坐标不变，π获得 y ＝sin(2x － 6)的图象．π因此 g(x)＝ sin(2x － 6)．π π π 5π令 2x － ＝ t ， ∵ 0≤x ≤ ， ∴ －6≤t ≤6 .62 πg(x) ＋k ＝ 0 在区间 [0， 2] 上有且只有一个实数解，π 5π即函数 g(t)＝ sin t 与 y ＝－ k 在区间 [ － 6， 6 ]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－1≤－ k<1或－ k ＝ 1. 2 21 1 ∴ － <k ≤ 或 k ＝－ 1.22(介绍时间： 50 分钟 )一、选择题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，成立如下图的坐标系，设秒针针尖地点 P(x ， y)．若初始地点为 P 03，1 ，当秒针从 P 0 (此时 t ＝2 20)正常开始走时，那么点P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ()ππA ． y ＝ sin 30t ＋ 6π π B ． y ＝ sin －60t － 6C ． y ＝ sin － π πt ＋ 630 D ． y ＝ sin －π π30 t － 3答案CP 0 的弧度为 ππ分析 由三角函数的定义可知，初始地点点6，因为秒针每秒转过的弧度为－ 30，针尖地点 P 到坐标原点的距离为1，故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可能为 y ＝ sin －ππ30t ＋ 6 .2． (2014·四川 )为了获得函数y ＝ sin(2 x ＋ 1)的图象，只要把函数y ＝ sin 2x 的图象上全部的点( )1A ．向左平行挪动个单位长度1B ．向右平行挪动 2个单位长度C ．向左平行挪动 1 个单位长度D ．向右平行挪动 1 个单位长度答案 A分析y ＝sin 2x 的图象向左平移 1个单位长度获得函数 y ＝ sin 2(x ＋1)的图象，即函数 y ＝ sin(2x2 2＋ 1)的图象．π π 2π 1 减小到－ 1，那3．函数 y ＝ sin(ωx＋ φ)(ω>0 且|φ|< )在区间 [ ，3] 上单一递减，且函数值从26么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为 ()12A. 2B. 236＋ 2C. 2D.4 答案 A分析依题意知 T＝ 2π π2ππ π － ， ∴ T ＝ π＝， ∴ ω＝ 2，将点 ( ， 1)代入y ＝sin(2x ＋ φ)得 sin( ＋ φ)23 6ω 63π π π＝ 1，又 |φ|< ， φ＝ ，故 y ＝ sin(2x ＋ )，与 y 轴交点纵坐标为 1.2662π4．若函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)(A>0，ω>0，|φ|<2) 在一个周期内的图象如下图，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，→ →且OM ·ON ＝ 0，则 A ·ω等于 ()π7π7π7πA. 6B. 12C. 6D. 3答案 C分析由题中图象知T π π4 ＝ －，3 12因此 T ＝ π，因此 ω＝ 2.π7π则M ，A ，N，－A12122 →→7π2由 OM ·ON ＝0，得 122＝ A ，因此 A ＝7π 7π，因此 A ·ω＝6.125．已知函数f(x)＝ sin(2x ＋φ)，此中 |φ|<π，若 πf(x) ≤|f()|对6x ∈ R恒成立，且πf(2)<f( π)，则以下结论正确的选项是( )11A ． f(12π)＝－ 17π πB ． f(10)>f(5)C ． f(x)是奇函数D ． f(x)的单一递加区间是 π π[k π－ ， k π＋ ](k ∈ Z )3 6 答案 D分析π ππ π π 由 f(x)≤|f( )|恒成立知 x ＝ 是函数的对称轴， 即 2× ＋ φ＝ ＋ k π，k ∈ Z ，因此 φ＝ ＋ k π，66626ππ k ∈ Z ，又 f()<f( π)，因此 sin( ＋πφ)<sin(2＋πφ)，即－ sin φ<sin φ.因此 sin φ>0，得 φ＝ ，即 f(x)26π＝ sin(2x ＋6)，ππ π由－ ＋2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π，k ∈ Z ，2 6 2 π π得－ ＋k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z ，36即函数的单一递加区间是π π [k π－ ， k π＋ ](k ∈ Z )．36π6．已知 A ，B ，C ，D ，E 是函数 y ＝ sin(ωx＋ φ)(ω>0,0< φ<2)一个周期内的图象上的五个点，如π图所示， A(－ ，0)，B 为 y 轴上的点， C 为图象上的最低点， E 为该函数图象的一个对称中心， 6→ π B 与 D 对于点 E 对称， CD 在 x 轴上的投影为，则 ω， φ的值为 ()12ππA ．ω＝ 2， φ＝3B ． ω＝ 2， φ＝ 6C ． ω＝1， φ＝πD ． ω＝1， φ＝π2 326答案 A分析π 因为 A ， B ，C ，D ，E 是函数 y ＝sin( ωx＋ φ)(ω>0,0< φ< )一个周期内的图象上的五个点，2πE 为该函数图象的一个对称中心，B 与 DA(－，0)，B 为 y 轴上的点， C 为图象上的最低点，6→ππ π对于点 E 对称， CD 在 x 轴上的投影为，因此 T ＝ 4×(＋ )＝ π，因此 ω＝ 2，12126 因为ππππ πA(－ ， 0)，因此 f(－ )＝ sin(－ ＋ φ)＝0,0<φ< ， φ＝ .6 6 3 23二、填空题π7． (2014 ·安徽 )若将函数 f(x) ＝sin(2x ＋ 4) 的图象向右平移 φ个单位，所得图象对于y 轴对称，则 φ的最小正当是 ________．答案3π8分析π φ个单位获得π π∵ 函数 f(x)＝ sin(2x ＋ )的图象向右平移g(x)＝ sin[2( x －φ)＋ ] ＝ sin(2x ＋444－ 2φ)，π π又 ∵ g(x)是偶函数， ∴ － 2φ＝ k π＋(k ∈ Z )．42∴ φ＝－k π π2－ (k ∈ Z )．8当 k ＝－ 1 时， φ获得最小正当3π8.ππ π 8．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(A>0，ω>0 ，|φ|< )的部分图象如下图，若 x 1，x 2∈ (－ ， )，且 f(x 1)26 3＝ f( x 2)，则 f(x 1＋ x 2) ＝________.3 答案2分析察看图象可知， A ＝ 1， T ＝ π， ∴ ω＝ 2，f(x)＝ sin(2x ＋ φ)．π ππ π将 (－ ， 0)代入上式得sin(－ ＋φ)＝ 0，由已知得 φ＝ ，故 f(x)＝sin(2x ＋)．63 33π π 函数图象的对称轴为x ＝ － 6＋3＝ π212.π π又 x 1， x 2∈ (－ ， ) ，且 f(x 1)＝ f( x 2)，63 ∴ f( x ＋ xπ π π π 3× )＝ f( )＝ sin(2 ＋ )＝ .12)＝f(2×32 12 6 6π9．已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx－ 6)( ω>0) 和 g(x)＝ 3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完整同样， 若 x ∈ [0，π2] ，则 f(x) 的取值范围是 ________．答案[－3， 3]2分析 由两三角函数图象的对称中心完整同样，可知两函数的周期同样，故ω＝ 2，因此 f(x)＝ 3sin(2x － ππππ 5π6)，那么当 x ∈ [0， 2]时，－ 6≤2x －6≤6 ，1 π 3因此－ 2≤sin(2 x －6)≤1，故 f(x)∈ [－ 2， 3]．10．给出命题：①函数 y ＝2sin( π π1；②函数 y ＝－ x)－ cos( ＋ x)(x ∈ R )的最小值等于－3 6π πsin xcos ππx 是最小正周期为 2 的奇函数；③函数y ＝ sin(x ＋ 4)在区间 [0，2] 上单一递加的；④若 sin 2α<0， cos α－ sin α<0 ，则 α必定为第二象限角．则真命题的序号是 ________．答案 ①④ππ分析对于 ① ，函数 y ＝ 2sin(3－ x)－ cos(6＋ x)π ＝ sin( － x)，因此其最小值为－1；31对于 ②，函数 y ＝ sin πxcos πx ＝2sin 2 x π是奇函数，但其最小正周期为1；ππ π π对于 ③，函数 y ＝ sin(x ＋)在区间 [0， ]上单一递加，在区间[ ， ] 上单一递减； 444 2sin 2α<0? cos α<0 ， sin α>0，因此 α必定为第二象限角．对于 ④，由cos α－ sin α<0三、解答题π11．已知函数 f(x)＝ Asin(3 x ＋ φ)( A>0 ， x ∈ (－ ∞，＋ ∞)， 0<φ<π)在 x ＝12时获得最大值4.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)的分析式；2π 12(3) 若 f(3α＋ 12)＝ 5 ，求 sin α.2π解(1)f(x)的最小正周期 T ＝ 3 .(2) 由函数的最大值为 4，可得 A ＝ 4.因此 f(x)＝4sin(3 x ＋ φ)．当 x ＝ππ 时， 4sin(3× ＋ φ)＝ 4，1212π因此 sin( ＋ φ)＝ 1，4π 因此 φ＝ 2k π＋ ，k ∈ Z ，4π因为 0<φ<π，因此 φ＝ 4.π因此 f(x)的分析式是f(x)＝ 4sin(3x ＋ 4)．2π 12(3) 因为 f(3α＋ 12)＝ 5 ，π π 3故 sin(2α＋4＋ 4)＝ 5.因此 cos 2α＝3，即 1－ 2sin 2α＝ 3，55215故 sin α＝5.因此 sin α＝ ±5 .12．设函数 f(x)＝ sin 2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－ cos 2ωx＋ λ(x ∈ R )的图象对于直线 x ＝ π对称，其中 ω， λ为常数，且 ω∈ (1， 1)．2(1) 求函数 f(x)的最小正周期；π π (2) 若 y ＝ f( x)的图象经过点 ( ， 0)，求函数f(x)在 x ∈ [0，] 上的值域．42解(1) 因为 f(x) ＝ sin 2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－ cos 2ωx＋ λ＝－ cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋ λ＝π2sin(2 ωx－6)＋λ，由直线 x ＝ π是 y ＝ f(x)图象的一条对称轴，可得πsin(2ωπ－ 6) ＝±1，ππ因此 2ωπ－6＝ k π＋ 2(k ∈ Z )，k 1即 ω＝ 2＋3(k ∈ Z )．又 ω∈ (1， 1)， k ∈Z ，因此 k ＝ 1，故 ω＝ 5 .26 因此 f(x)的最小正周期是 6π5 .π π (2) 由 y ＝ f( x)的图象过点 ( ， 0) ，得 f( )＝ 0，44即 λ＝－π ππ 2，2sin(5×－ )＝－ 2sin＝－6 2 64即 λ＝－2.5π故 f(x)＝ 2sin(3x －6 )－ 2，π5ππ 2π∵ x∈ [0， ] ，∴ x－∈ [－，] ，23663∴函数 f(x)的值域为 [ －1－2，2－ 2]．。
高考数学大二轮复习 微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”
π
,
π
2
因此 sin
,所以
π
+4
所以 2sin
12
1
于是 t +t2
2
∈ -
π
+4
=
π
θ+4
∈
π
+
4
3π 5π
,
4 4
2 2
,
2 2
,
,
,
∈(-1,1),即 t∈(-1,1).
1
(t+1)2-1∈(-1,1).
2
故 sin θ+cos θ+sin θcos θ 的取值范围是(-1,1).
考查角度
角度一 变角
5π
12
[例 1—1](2021·山东淄博月考)已知 θ∈(0,π),cos 6 - =-13,则 tan +
π
=
6
.
5
答案
12
解析 由于
又因为 cos
π
θ∈(0,π),所以-6
5π
-
6
<
12
π
=- ,所以
13
2
因此 sin
5π
-
6
=
所以 tan
5π
-
6
5
=-12,
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值
范围是
.
答案 (-1,1)
2 -1
θ= ,于是
2
三角函数的图象和性质(小题速做,大题细做)-2022届高考数学二轮复习
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11
①两个相邻对称中心之间的距离等于T2；②两条相邻对称轴之间的距离等于T2；③对称 中心与相邻对称轴的距离等于T4.
(3)由点的坐标定 φ.把图象上的一个已知点的坐标代入(此时 A，ω，B 已知)求解． 2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其 中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长 度数和方向．
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14
当 f(x)＞1 时，2cos2x－π6＞1， 解得 x∈－1π2＋kπ，π4＋kπ，k∈Z， 此时最小正整数 x＝3. 当 f(x)＜0 时，2cos2x－π6＜0， 解得 x∈π3＋kπ，56π＋kπ，k∈Z， 此时最小正整数为 2. 综上满足题意的最小正整数为 x＝2. 答案：2
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9
＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得 φ＝43π＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin－2x＋43π，但当 x＝0 时，y＝
sin－2x＋43π＝－ 23＜0，与图象不符合，舍去．综上，选 BC.
(2) 解 析 ： 先 将 函 数
y
＝
sin
x－4π
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
，
得
到
函
数
y＝
sinx＋3π－π4＝sinx＋1π2的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵
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24
好题精练——练技巧、练规范 2．(多选题)(2021·湖南、河北新高考联考)已知函数 f(x)＝sin2x－π6，则下列结论正确 的是( ) A．f(x)的最小正周期为 π B．f(x)的图象关于直线 x＝－67π 对称 C．f(x)在－π4，π6上单调递增 D．y＝f(x)＋fx＋4π的最小值为－ 2
高考数学二轮复习专题04 三角函数的图像与性质(解析版)
3、求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时， 都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解。
C．在区间 上单调递增D．在区间 上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为 ，
则函数的单调递增区间满足 ，即 ，令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得函数的一个单调递减区间为 ，选项C，D错误.
题型二求 的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝ ；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝ ；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
【答案】A
【解析】由题意知， 的周期 ，解得 ．故选A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．
4、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数 在[0，2π]的零点个数为（）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】B
【解析】由 ，
得 或 ，
， ．
例2、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点 ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则f 的值为________．
高考数学二轮复习小题专项练习三三角函数的图像与性质文
小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质上的最小值是( )A ．1－ 2B ．0C ．1D ．27．[2018·南昌二中模拟]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋328．[2018·福建高中毕业班适应性练习]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 9．[2018·莆田一中月考]设ω>0，函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5图象重合，则ω的最小值是( ) A.12 B.32 C.52 D.7210．[2018·广东阳春一中月考]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，56＋2k ，k ∈Z 11．[2018·南宁二中月考]将曲线C 1：y ＝sin x －π6上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π2个单位长度，得到曲线C 2：y ＝g (x )，则g (x )在[－π，0]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，0 D ．[－π，0] 12．[2018·安徽池州一中月考]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω的值为( )A.23B.23或2 C.13 D ．1或13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·江苏数学模拟]将函数f (x )＝tan x ＋π4图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到函数g (x )的图像，若g (x 0)＝2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4的值是________． 14．[2018·学海大联考]若函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是132，则m 的值是________．15．[2018·云南高三第八次月考]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的部分图像如图所示，若图中在点A ，D 处f (x )取得极大值，在点B ，C 处f (x )取得极小值，且四边形ABCD 的面积为32，则ω的值是________．16．[2018·河北衡水月考]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，则实数ω的最小值为________．。
2022年高考数学二轮复习强化训练 4三角函数的图象与性质
强化训练4 三角函数的图象与性质——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω∈R )的最小正周期为π，则实数ω＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±12．函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到函数y ＝2sin 2x 图象，则f (x )的表达式为( )A ．2cos 4xB ．－2cos xC ．－2sin 4xD ．2sin x3．古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A ．ω＝3，φ＝π6B ．ω＝6，φ＝π3C ．ω＝3，φ＝π4D ．ω＝6，φ＝5π64．已知函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ()ω>0 的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0 对称B ．关于直线x ＝π8 对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0 对称 D ．关于直线x ＝π3对称 5．已知函数f ()x ＝cos ()ωx ＋φ ⎝⎛⎭⎫ω>0，||φ<π2 的图象如图所示，为了得到y ＝cos ωx 的图象，只需把y ＝f ()x 的图象上所有点( )A.向左平移π12 个单位长度B ．向右平移π12 个单位长度C ．向左平移π6 个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．[2021·辽宁沈阳三模]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2 <φ<π2)的部分图象如图所示，B ，D 两点为函数f (x )图象上的一个最高点和一个最低点，直线BC ，DE 与x 轴垂直，四边形BCDE 为边长为4的正方形，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4 B. f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 C ．f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4 D. f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x －3π47．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53D ．238．已知函数g (x )＝3 sin (ωx ＋φ)，g (x )图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f (x )的图象，f (x )的部分图象如图所示，若AB → ·BC → ＝||AB→ 2，则ω等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2021·河北秦皇岛二模]已知函数f (x )＝cos ωx －3 sin ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．ω＝2B ．函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12 (k ∈Z )C ．函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫7π12，0 中心对称D ．函数f (x )的图象可由y ＝2cos ωx 图象向右平移π6 个单位长度得到10. [2021·石家庄二模]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的图象为曲线E ，则( ) A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，则||x 1－x 2 的最小值为π211．[2021·广东大联考]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π6 )(ω∈N *)的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若f (x )的所有对称中心与g (x )的所有对称中心重合，则ω可以为( )A ．3B ．6C ．9D ．1212．[2021·山东德州二模]已知函数f (x )＝A cos (x ＋φ)＋1(A >0，|φ|<π2)，若函数y ＝|f (x )|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6 对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－5π6，1 对称 C ．将函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位可得函数f (x )的图象D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0 上的值域为[3 ＋1，3] 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·广东大联考]写出一个最小正周期为2的偶函数f (x )＝__________．14．已知函数y ＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．15．若函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12 ，则新图象对应的函数解析式是________________．16．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝4，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则g (x )＝________，x 1－2x 2的最大值为________．1．解析：因为f ()x ＝sin ωx －cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4 ， 所以f （x ）的最小正周期T ＝2π||ω ＝π，解得ω＝±2.故选C. 答案：C2．解析：函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，得到f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ，即f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ＝2sin 2x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－π ， ∴f ()x ＝2sin ()4x －π ＝－2sin 4x ， 故选C. 答案：C3．解析：由图象知，T ＝2⎝⎛⎭⎫1112π－712π ＝2π3， ∴2πω ＝2π3，则ω＝3. 又A sin ⎝⎛⎭⎫3×7π12＋φ ＝0，sin ⎝⎛⎭⎫74π＋φ ＝0， ∴74π＋φ＝2k π（k ∈Z ）， 由φ∈（0，π），得φ＝π4.故选C. 答案：C4．解析：∵函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ()ω>0 的最小正周期为2πω＝π，∴ω＝2，∴f ()x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ， 令x ＝π3 ，求得f ()x ＝sin 11π12 ≠0，且f ()x 不是最值，故A 、D 错误；令x ＝π8 ，求得f ()x ＝2 ，为最大值，故函数f ()x 的图象关于直线x ＝π8对称，故B正确，C 错误；故选B. 答案：B5．解析：由图象可知：T 4 ＝7π12 －π3 ＝π4 ⇒T ＝π，则ω＝2πT＝2，所以f ()x ＝cos ()2x ＋φ ，将点⎝⎛⎭⎫π3，0 代入解析式可得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝0， 由图象可知：2π3 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又||φ <π2 ，所以令k ＝0，φ＝－π6所以f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，只需将函数f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 向左平移π12个单位长度 则可得到y ＝cos 2x 的图象， 故选A. 答案：A6．解析：由题意有A ＝2，T ＝2πω ＝8，可得ω＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ ，f （0）＝2sin φ＝2 ，有sin φ＝22 ，又由－π2 <φ<π2 ，得φ＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 . 故选B. 答案：B7．解析：函数f （x ）＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，可得y ＝sinω⎝⎛⎭⎫x －π4 ， 因为平移后的函数图象关于直线x ＝π对称，所以ω⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝π2 ＋k π()k ∈Z ，则ω＝23 ＋43k ()k ∈Z ， 又ω>0，所以ω的最小值是23.故选D. 答案：D8．解析：根据AB → ·BC → ＝||AB → 2⇒||AB → ||BC → cos ()180°－∠ABC ＝||AB→ 2 ⇒－2cos ∠ABC ＝1，可得cos ∠ABC ＝－12，故∠ABC ＝120°，所以AD ＝6，故g （x ）的周期为24，所以2πω ＝24，ω＝π12，故选A. 答案：A9．解析：f （x ）＝cos ωx －3 sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ， 由图象得：3T4 ＝π3 －⎝⎛⎭⎫－5π12 ＝3π4， 故T ＝π＝2πω，故ω＝2，故A 正确；令2k π－π≤2x ＋π3 ≤2k π得：k π－2π3 ≤x ≤k π－π6，故函数f （x ）的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6 （k ∈Z ），故B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫7π12 ＝0，故C 正确；∵f （x ）的图象可由y ＝2cos ωx 图象向左平移π6个单位长度得到，故D 错误；故选AC. 答案：AC10．解析：A ：曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π＋π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故A 不正确；B ：由曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ，故B 正确；C ：因为f ⎝⎛⎭⎫－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－π3 ＝－1≠0，所以点⎝⎛⎭⎫－π12，0 不是该函数的对称中心，故C 不正确；D ：由f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝0，可得2x －π3 ＝k π（k ∈Z ）⇒x ＝k π2 ＋π6（k ∈Z ）， 因为f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，所以x 1＝k 1π2 ＋π6 （k 1∈Z ），x 2＝k 2π2 ＋π6（k 2∈Z ），所以||x 1－x 2 ＝π2||k 1－k 2 ，因为x 1≠x 2，k 1，k 2∈Z ，所以||k 1－k 2 的最小值为1，即||x 1－x 2 的最小值为π2，故D 正确，故选BD. 答案：BD11．解析：将函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 （ω∈N *）的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π6 的图象， 若f （x ）的所有对称中心与g （x ）的所有对称中心重合， 故f （x ）的图象和g （x ）的图象相差半个周期的整数倍， ∴π6 ＝k ·12 ·2πω ＝k ·πω ，即ω＝6k ，k ∈Z ， 则ω可等于6，12， 故选BD. 答案：BD12．解析：结合函数 y ＝|f （x ）|的图象易知，函数f （x ）的最大值3，最小值为－1, 则A ＝2，f （x ）＝2cos （x ＋φ）＋1，代入点（0，2），则2cos φ＋1＝2，cos φ＝12 ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝π3，f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1， x ＋π3 ＝k π（k ∈Z ），即x ＝－π3 ＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于x ＝－π3＋k π（k ∈Z ）对称，A 不符合题意；x ＋π3 ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），即x ＝π6＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于点⎝⎛⎭⎫π6＋k π，1 （k ∈Z ）对称，B 符合题意；函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位，得出f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6 ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π2 ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1，C 符合题意； 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0 时，x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3 ，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤12，1 ，f （x ）∈[2，3]，D 不符合题意．故选BC. 答案：BC13．解析：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数， 可以联想余弦函数， 则f （x ）＝cos （πx ）， 答案：cos （πx ）（答案不唯一）14．解析：由函数y ＝sin （2x ＋φ）⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝±1.因为－π2 <φ<π2 ，所以π6 <2π3 ＋φ<7π6 ，则2π3 ＋φ＝π2 ，φ＝－π6. 答案：－π615．解析：函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到的图象的对应函数的解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ，再将该图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12，得到新图象对应的函数解析式是y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 .答案：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 16．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋π6 ＋1＝－cos 2x ＋1的图象，故g （x ）的最大值为2，最小值为0，若g （x 1）g （x 2）＝4，则g （x 1）＝g （x 2）＝2，即cos 2x 1＝cos 2x 2＝－1.又x 1，x 2∈[－2π，2π]，∴2x 1，2x 2∈[－4π，4π]，要使x 1－2x 2取得最大值，则应有2x 1＝3π，2x 2＝－3π，此时x 1－2x 2的最大值为3π2 ＋3π＝9π2.答案：－cos 2x ＋1 9π2。
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 cos α＝－4－42＋32＝－45.答案 D2．(xx·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只需把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．答案 A3．(xx·北京东城一模)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)错误!sin 错误!＝sin 错误!是偶函数，即错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.答案 C4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.答案 D5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴直线x ＝π12为函数图象的对称轴．故选B.答案 B6．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由已知得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案 C 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －798．(xx·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 解析 利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案π69．(xx·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π，记T 为最小正周期，则12T ≥π2－π6⇒T ≥23π，从而712π－π3＝T4，故T ＝π.答案 π 三、解答题10．(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 11．(xx·山东菏泽一模)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象， 所以g (x )＝2sin2x ＋1. 令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.B 级——能力提高组1．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析 f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图象关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．答案 B2．(xx·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令t ＝sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1是减函数，∴对称轴t ＝a 4≤12，∴a ≤2.答案 (－∞，2]3．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温． 36014 8CAE 貮33058 8122 脢39755 9B4B 魋21980 55DC 嗜34759 87C7 蟇 30825 7869 硩f33504 82E0 苠 ?" y。
2020版高考数学大二轮复习专题一小题考法课二三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质[课时跟踪检测]［错误!级-—基础小题提速练]一、选择题1．函数f（x）＝tan错误!的单调递增区间是（) A.错误!（k∈Z）B。
错误!（k∈Z)C。
错误!(k∈Z）D。
错误!(k∈Z）解析：选B 由kπ－π2<2x－错误!<kπ＋错误!(k∈Z)得，错误!－错误!〈x<错误!＋错误!（k∈Z）,所以函数f(x)＝tan2x－错误!的单调递增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!(k∈Z)，故选B。
2．（2019·杭州四中高考仿真）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ)(ω＞0)，则f(x)的奇偶性（)A．与ω有关，且与φ有关B．与ω有关，但与φ无关C．与ω无关，且与φ无关D．与ω无关,但与φ有关解析：选D 若函数f（x)＝sin(ωx＋φ）为奇函数，则f（0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝kπ，k∈Z；若函数f（x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则f （0）＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝错误!＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)＝sin （ωx＋φ）的奇偶性与ω无关,但与φ有关，故选D。
3.函数f(x）＝sin（ωx＋φ）x∈R，ω>0,｜φ|〈错误!的部分图象如图所示，则函数f(x）的解析式为( ) A．f(x）＝sin错误!B．f(x）＝sin错误!C．f（x）＝sin错误!D．f(x)＝sin错误!解析：选A 由题图可知，函数f(x)的最小正周期为T＝错误!＝错误!×4＝π,所以ω＝2，即f（x）＝sin(2x＋φ)．又函数f（x）的图象经过点错误!，所以sin错误!＋φ＝1，则错误!＋φ＝2kπ＋错误!(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋错误!（k∈Z）,又｜φ|〈错误!，所以φ＝错误!,即函数f（x）＝sin2x ＋错误!，故选A.4．(2019·宁波模拟)将函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是（)A．x＝错误!B．x＝－错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：选A 将函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位长度，可得y＝sin错误!＝sin错误!的图象，令2x＋错误!＝kπ＋错误!，求得x＝错误!＋错误!，k∈Z，可得所得函数图象的对称轴方程为x＝错误!＋错误!,k∈Z，令k＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x＝错误!,故选A。
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( ) ( ) C．y＝sin 2x－3π D．y＝sin 2x－6π
( ) 4．[2018·辽宁重点高中第三次模拟]将函数 f(x)＝－12cos2x 的图象向右平移6π个单位长
度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的
2
倍，得到函数
y＝g(x)的图象，则
g
3π 4
＝( )
A.
3 2
B．－
3 2
C．－12 D.12
11．[2018·南宁二中月考]将曲线 C1：y＝sinx－6π上各点的横坐标缩短到原来的12倍，
纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线 C2：y＝g(x)，则 g(x)在[－π，
0]上的单调递增区间是( )
[ ] [ ] A. －56π，－6π B. －23π，－6π
[ ] C. －23π，0
( ) A．y＝f(x)在区间 －4π，4π 单调递增，其图象关于直线 x＝4π对称
( ) B．y＝f(x)在区间 －4π，4π 单调递增，其图象关于直线 x＝2π对称
( ) C．y＝f(x)在区间 －4π，4π 单调递减，其图象关于直线 x＝4π对称
( ) D．y＝f(x)在区间 －4π，4π 单调递减，其图象关于直线 x＝2π对称
( ) 5．[2018·丹东市高三总复习质量测试]设 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，若 f π ＝1，则函数 y 4
( ) ＝f 4π－x ( ) ( ) A．是奇函数 B．图象关于点 2π，0 对称
C．是偶函数 D．图象关于直线 x＝2π对称
( ) ( ) [ ] 6．[2018·四川联考]函数 f(x)＝2sin2 x＋4π ＋2sin4π－xcos 4π－x 在区间 2π，34π 上的最
0，0
<
φ
<
π 2
，f(x1)＝
( ) 2，f(x2)＝0，若|x1－x2|的最小值为12，且
f
1 2
＝1，则
f(x)的单调递增区间为( )
[ ] [ ] A. －16＋2k，56＋2k ，k∈Z
B. －56＋2k，16＋2k ，k∈Z
[ ] [ ] C. －56＋2kπ，16＋2kπ ，k∈Z D. 16＋2k，56＋2k ，k∈Z
D．[－π，0]
2
[ ] 12．[2018·安徽池州一中月考]函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若 f(x)在区间 0，2π ( ) 上是单调函数，且 f(－π)＝f(0)＝－f π ，则 ω 的值为( )
2 A.23 B.23或 2 C.13 D．1 或13 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上．
可知T＝π，∴T＝π，故选 C.
( ) ( ) 2 2
3．D 函数 y＝sin 2x＋6π ，y＝sin 2x－3π ，
( ) y＝sin 2x－6π 的最小正周期为 π，
( ) y＝sin
2x＋6π
小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·全国卷Ⅰ高考压轴卷]为得到 y＝2sin3x＋6π的图象，只需把函数 y＝2sinx 的图 象上所有的点( )
A．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)
B．向右平移π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)
6
3
C．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
D．向右平移π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
( ) 6
2．[2018·唐山一中强化提升考试]已知函数 f(x)＝sin ωx＋6π (ω>0)满足：∀x1，x2∈R，
( ) ( ) 16．[2018·河北衡水月考]已知函数
f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)．若
f
π 3
＝0，f
π 2
＝2，则
实数 ω 的最小值为________．
3
小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质
1.C
2．C 由|f(x1)－f(x2)|＝2，可知 x1，x2 是 f(x)的最大值，最小值点，又|x1－x2|min＝2π，
当|f(x1)－f(x2)|＝2 时，|x1－x2|min＝2π，那么 f(x)的最小正周期是( )
A.4π
018·河北景县第一次月考]下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线 x＝π对 3
称的是( )
( ) ( ) A．y＝sin 2x＋6π B．y＝sin 2x＋3π
是123，则 m 的值是________．
( ) 15．[2018·云南高三第八次月考]已知函数 f(x)＝2sin ωx＋3π (ω>0)的部分图像如图所示，
若图中在点 A，D 处 f(x)取得极大值，在点 B，C 处 f(x)取得极小值，且四边形 ABCD 的面积 为 32，则 ω 的值是________．
( ) 13．[2018·江苏数学模拟]将函数 f(x)＝tanx＋4π图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2
倍得到函数 g(x)的图像，若 g(x0)＝2，则 f x0－4π 的值是________．
[ ] 14．[2018·学海大联考]若函数 f(x)＝ 3sinxcosx＋cos2x＋m 在区间 0，2π 上的最大值
( ) 9．[2018·莆田一中月考]设 ω>0，函数 y＝2cosωx＋5π的图象向右平移5π个单位长度后
与函数 y＝2sin ωx＋5π 图象重合，则 ω 的最小值是( )
A.12 B.32
C.5 D.7
22
( ) 10．[2018·广东阳春一中月考]已知函数
f(x)＝2sin(ωx＋φ)
ω
>
小值是( ) A．1－ 2 B．0
1
C．1
D．2
( ) 7．[2018·南昌二中模拟]函数
f(x)＝2sin(ωx＋φ)
ω
>
0，|φ|
<
π 2
的部分图象如图所示，
( ) 则 f(0)＋f
17π 12
的值为( )
A．2－ 3 B．2＋ 3
( ) ( ) C．1－
3 2
D．1＋
3 2
8．[2018·福建高中毕业班适应性练习]已知函数 f(x)＝sin 2x＋4π －cos 2x＋4π ，则( )