(完整word版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
(完整word版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一. 选择题1．一件工作能够用 2 种方法达成，有 3 人会用第 1 种方法达成，此外 5 人会用第 2 种方法达成，从中选出 1 人来达成这件工作，不一样选法的种数是（）Ａ． 8Ｂ．15Ｃ．16Ｄ．302．从甲地去乙地有 3 班火车，从乙地去丙地有 2 班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅游方式有（）Ａ． 5 种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种3．如下图为一电路图，从 A 到 B 共有（）条不一样的线路可通电（）Ａ． 1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．由数字 0，1， 2， 3， 4 可构成无重复数字的两位数的个数是（Ａ． 25Ｂ．20Ｃ．16Ｄ．12）5．李芳有 4 件不一样颜色的衬衣， 3 件不一样花式的裙子，还有两套不一样款式的连衣裙．“五一”节需选择一套服饰参加歌舞演出，则李芳有（）种不一样的选择方式Ａ． 24Ｂ． 14Ｃ． 10Ｄ． 96．设A，B是两个非空会合，定义，，，，，Q ，，，，则 P* QA B ( a b)| a A b B ，若 P 0 1 2 1 2 3 4中元素的个数是（）Ａ． 4Ｂ． 7Ｃ． 12Ｄ． 16二、填空题7．商铺里有 15 种上衣， 18 种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不一样的选法；要买上衣，裤子各一件，共有种不一样的选法．8．十字路口来往的车辆，假如不一样意回头，共有种行车路线．9．已知a0，3，4 ， b1，2，7，8，则方程 (x a) 2( y b)225表示不一样的圆的个数是．10．多项式(a1a2a3 )·(b1 b2 )( a4 a5 )·(b3b4 ) 睁开后共有项．11．如图，从 A→ C，有种不一样走法．12．将三封信投入 4 个邮箱，不一样的投法有种．三、解答题13．一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，全部这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不一样的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不一样的取法？14．某校学生会由高一年级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人构成．（1）选此中 1 人为学生会主席，有多少种不一样的选法？（2）若每年级选 1 人为校学生会常委，有多少种不一样的选法？（3）若要选出不一样年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不一样的选法？15．已知会合M3， 2， 1，01，，2 ，P(a，b) 是平面上的点，a，b M ．（1）P(a，b )可表示平面上多少个不一样的点？（2）P(a，b )可表示多少个坐标轴上的点？。
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4096 C．5 904 D．8 320 [答案] C [解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个． 7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ) A．26 B．24 C．20 D．19 [答案] D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A．42 B．30 C．20 D．12 [答案] A [解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6×7＝42(种)． 9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( ) A．34 B．43 C．12 D．24 [答案] C [解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C. 10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( ) A．16种 B．15种 C．14种 D．13种 [答案] C [解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)． [答案] 24 [解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个． 12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个． [答案] 36 [解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)． 13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法． 14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种． [答案] 16 [解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题 15．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ [解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种； (2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7＝56种． 16．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． [分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)由x，y∈N*且x＋y≤6，知x，y的取值均不超过6； (2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决． [解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；… x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． [点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类． 17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ [解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照． 18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数． (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？ [解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。
选修23分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题.docx
分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题基础训练1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成一队参加混合双打，共有_________________种不同的选法。
3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种。
4.从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。
5.某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？（2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？(1) (2)6. 3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？7.从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有__________种不同的走法。
8.某电话局的电话号码为3XXXXX ，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_______个。
9.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有________种。
10.将3封信投入4个不同的信箱，共有_________种不同的投法；3名学生走进有4个大门的教室，共有______种不同的进法；11.在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有___________种不同的走法。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习(含答案)
【选修2-3】两种计数原理练习班级： 姓名：1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ3.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）A.24B.34C.43D.4答案：244．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．166．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ4．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（ ）（A ）265个 （B ）232个 （C ）128个 （D ）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（ ）（A ）265个 （B ）232个 （C ）128个 （D ）24个7. 整数630的正约数（包括1和630）共有 个8．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n -9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A→C，有种不同走法．Array答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．答案：347．某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为___12_____．集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。
综合练习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。
高二上册数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)》课时作业
第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)一、选择题1．某小组有8名男生，6名女生，要从中选出一名当组长，不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种解析：由分类加法计数原理共有8＋6＝14(种)选法．答案：C2．将1，2，3，…，9这9个数字填入如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A．6种B．12种C．18种D．24种解析：根据题意，1，2，9的位置是确定的，如图所示，则数字5，6，7，8应位于a，b，c，d中的位置.第一类，若5，6在a，b位置，则7，8在c，d位置．且a＝5, b＝6, c＝7, d ＝8, 或者5，6与7，8换位置，所以共2种情况；第二类，5，6在a，c位置，则7，8在b，d位置，则共有2×2＝4(种)情况．综上所述，空格的填写方法共2＋4＝6(种)，故选A.答案：A3．(2019·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.答案：B4．(2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二期中)4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是()A．81 B．64C．24 D．16解析：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．故选A.答案：A5．将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有()A．480种B．360种C．240种D．120种解析：第一步，先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出两个球放入刚才选到的盒子里，有10种选法；第三步，把剩下的3个球依次放入余下的3个盒子中，有3×2×1＝6(种)放法．由分步乘法原理得不同的放球方法有4×10×6＝240(种)，故选C.答案：C二、填空题6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．解析：若从西来，有南、北、东3种行车路线，同理从南、北、东来也各有3种行车路线．因此共有3＋3＋3＋3＝12种．答案：127．等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的三角形共有________个．解析：可分4类，第一类，等腰三角形底边长为1，腰长可以是1，2，3，4，共4个；第二类，等腰三角形底边长是2，腰长可以是2，3，4，共3个；第三类，等腰三角形底边长是3，腰长可以是2，3，共2个；第四类，等腰三角形底边长是4，腰长可以是3，共1个．∴共有三角形4＋3＋2＋1＝10(个)．答案：108．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种(用数字填空)．解析：先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是余下的1个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在余下的1个盒中，另一球在A球或B球所在的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．答案：30三、解答题9．(2020·唐山市第十一中学高二期中)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解：(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法；根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．10．(2020·宜昌市第二中学高二月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1)因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以a有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．。
(完整word版)高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步练习2
1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1一. 选择题:1．某人射击8枪, 命中4枪, 恰好有3枪是连续命中的, 则符合条件的射击方式有（A）720种（B）480种（C）224种（D）20种2. 某商店有三层, 第一层有4个门, 从第一层到第二层有3个楼梯, 从第二层到第三层有2个通道, 某顾客从商店外直至三层, 不同的走法有（A）9种（B）10种（C）12种（D）24种3. 已知集合A={x| －2≤x≤10, x∈Z}, m, n∈A, 方程表示长轴在x轴上的椭圆, 则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个4. 从4本不同的书中挑选3本, 分别给甲、乙、丙三名同学, 每人一本, 则不同的挑选方法有（A）12种（B）24种（C）64种（D）81种5. 汽车上有十名乘客, 沿途前方有五个车站, 乘客下车的不同方式可能有（）。
（A）510种（B）105种（C）50种（D）以上都不对二. 填空题:6. 十字路口来往的车辆, 若不允许车辆在路口回头往回开, 那么共有种不同的行车路线。
7. 某城市自行车有10000辆, 牌照号码从00001到10000, 则牌照中牌照号码由数字5的自行车共有辆。
8. 不计算乘积, 判断[(a1+a2)(b1+b2+b3)+c1+c2](d1+d2+d3)展开式中共有项。
9．某赛季足球比赛的计分规则是, 胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分, 一球队打完15场, 积33分, 若不考虑顺序, 则该队胜、平、负的情况可能有种。
10. 72含有个正约数, 在这些约数中, 正偶数有个。
11. （1）若x, y∈N且x+y≤6, 则有序自然数对(x, y)有个；（2）若1≤x≤4, 1≤y≤5, 以有序整数对(x, y)为坐标的点有个。
12. 由壹元币3张, 伍元币1张, 拾元币2张, 可以组成种不同的币值。
13．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色, 如果每一区域涂一种颜色, 相邻的区域不能同色, 那末涂色的方法有种。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题某小学有3个年级，每个年级都有若干名学生。
现在需要从这些学生中选取一支代表队，要求该代表队由4位成员组成，其中至少有1名来自1年级，至少有1名来自2年级，至少有1名来自3年级。
请问，有多少种不同的代表队组合方式？解析：这是一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的组合问题。
我们可以采用如下步骤来解决：第一步：确定代表队不同年级的组成情况，列出可能的情况：1名来自1年级，2名来自2年级，1名来自3年级；2名来自1年级，1名来自2年级，1名来自3年级；1名来自1年级，1名来自2年级，2名来自3年级；1名来自1年级，1名来自2年级，1名来自3年级。
第二步：对于每种不同年级的组成情况，分别计算可能的代表队组合方式。
（1）1名来自1年级，2名来自2年级，1名来自3年级。
则有：C(年级1总人数, 1) ×C(年级2总人数, 2) ×C(年级3总人数, 1) 的不同组合方式。
（2）2名来自1年级，1名来自2年级，1名来自3年级。
则有：C(年级1总人数, 2) ×C(年级2总人数, 1) ×C(年级3总人数, 1) 的不同组合方式。
（3）1名来自1年级，1名来自2年级，2名来自3年级。
则有：C(年级1总人数, 1) ×C(年级2总人数, 1) ×C(年级3总人数, 2) 的不同组合方式。
（4）1名来自1年级，1名来自2年级，1名来自3年级。
则有：C(年级1总人数, 1) ×C(年级2总人数, 1) ×C(年级3总人数, 1) 的不同组合方式。
第三步：根据分类加法计数原理，将每种不同年级的组成情况的代表队组合方式相加，得到最终答案。
最终答案为：第一种情况的组合方式+ 第二种情况的组合方式+ 第三种情况的组合方式+ 第四种情况的组合方式。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题(学生卷)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题（学生卷）一、单选题1．现有A ，B 两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A 种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有（ ）A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种2．已知{}{}1,2,4,2,3,5x y ∈∈--，则x y ⋅可表示不同的值的个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．123．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ） A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对4．将3封信投入2个邮箱，共有（ ）种投法A ．4B ．6C ．8D ．95．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种6．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（ ）A ．56B ．65C ．30D ．117．将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（ ）A ．81B ．64C ．14D ．128．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种.A ．9B ．11C ．13D ．15二、多选题 9．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）A ．从中任选1个球，有15种不同的选法B ．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C ．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D ．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法10．某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）A ．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法B ．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法C ．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法D ．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法11．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ，则下列结论正确的是（ ）A ．最高处的树枝为G ，I 中的一个B ．最低处的树枝一定是FC ．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D ．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种12．我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“——”，其中“——”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，其转化原理与“逢二进一”的法则相通，如符号“”对应的二进制数()2011转化为十进制数的计算为()21020110212123=⨯+⨯+⨯=．若从两类符号中任取2个符号排列，则组成的十进制数可以为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6三、填空题13．在如图①的电路中，只合上一只开关以接通电路，有___________种不同的方法；在如图②的电路中，合上两只开关以接通电路，有___________种不同的方法.14．用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答）15．从3名女同学和2名男同学中，选出1人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．16．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_______种不同的选法.（用数字作答）四、解答题17．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？18．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？19．某小组有3名女生、4名男生，从中选出3名代表，要求女生与男生都至少要有一名，共有多少种不同的选法？20．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？21．如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可1,1,0,1,0，则可得不同的数组共有多少个？记为()22．用4种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色.（1）有多少种不同的涂法？（2）若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？参考答案1．C【详解】若选甲、乙两人，包括甲操作A 车床，乙操作B 车床，或甲操作B 车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法.若选甲、丙二人，则只有甲操作B 车床，丙操作A 车床这1种选派方法.若选乙、丙二人，则只有乙操作B 车床，丙操作A 车床这1种选派方法，故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法.故选：C2．B【详解】因为{}{}1,2,4,2,3,5x y ∈∈--，所以x 1,y 2==-时，2x y ⋅=-；1,3x y ==-时，3x y ⋅=-；1,5x y ==时，5x y ⋅=；2,2-==y x 时，4x y ⋅=-；2,3x y ==-时，6x y ⋅=-；2,5x y ==时，10x y ⋅=；4,2x y ==-时，8x y ⋅=-；4,3x y ==-时，12x y ⋅=-；4,5x y ==时，20x y ⋅=；一共有9个不同结果.故选：B3．B【详解】根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9种. 故选：B.4．C【详解】第一步：投递第一封信，有2种投递方式，第二步：投递第二封信，有2种投递方式，第三步：投递第三封信，有2种投递方式，所以一共有8中投法.故选：C5．C【详解】解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3(种)．故选：C.6．A【详解】第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次选择，第六名同学也有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．故选A ．7．B【详解】解：对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种不同的放法，根据分步乘法计数原理知共有44464⨯⨯=种放法，故选：B.8．C【详解】解：按照可能脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，若脱落2个，则有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6种情况，若脱落3个，则有()1,2,3，()1,2,4，()2,3,4，()1,3,4共4种情况，若脱落4个，则有()1,2,3,4共1种情况，综上共有264113+++=种情况.故选：C.9．AB【详解】++=种不同的选法，故A正确；解：对于A，从中任选1个球，共有56415⨯⨯=种不同的选对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有564120法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，⨯+⨯+⨯=种不同的选法，故C错误；再进行各类分步选择，共有56546474对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有1514210⨯=种不同的选法，故D错误．故选：AB．10．BC【详解】对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，⨯=种不同的选法，故A 先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10990错误；⨯=种不同的选法，对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7321故B正确；+=种不同的选对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7310法，故C正确；对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有10=种不同的报名方法，故D错21024误．故选：BC．11．AC【分析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GABCEF，还剩下D，H，I，且树枝I比C高，树枝D在树枝B，E之间，树枝H比D低，根据I的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.【详解】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GABCEF，还剩下D，H，I，且树枝I比C高，树枝D 在树枝B ，E 之间，树枝H 比D 低，最高可能为G 或I ，最低为F 或H ，故A 选项正确，B 错误；先看树枝I ，有4种可能，若I 在B ，C 之间，则D 有3种可能：①D 在B ，I 之间，H 有5种可能；②D 在I ，C 之间，H 有4种可能；③D 在C ，E 之间，H 有3种可能，此时树枝的高低顺序有54312++=（种）。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新同步练习(含解析)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业一、选择题1．“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1，m2，…，m n种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”要解决上述问题，应用的原理是()A．加法原理B．减法原理C．乘法原理D．除法原理解析：根据分步计数原理的概念可知，完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别用m1，m2，…，m n种方法时，应用的是乘法原理，故选C.答案：C2．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数()A．7 B．64 C．12 D．81解析：根据题意，由于有四件不同颜色的上衣与三件不同颜色的长裤，所以先选择裤子有3种，再选择上衣有4种，根据分步乘法计数原理得到结论为3×4＝12，故答案为C.答案：C3．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有() A．8种B．15种C．35种D．53种解析：由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有3×3×3×3×3＝35种不同的方法，故选C.答案：C4．如图1，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为()图1A．12 B．28 C．54 D．63解析：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案：D5.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图2方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有()图2A．48种B．72种C．96种D．216种图3解析：方法一：按照以下顺序涂色，A：C14→B：C13→D：C12→C：C12→E：C11→F：C12，所以由乘法分步原理得总的方案数为C 14·C 13·C 12·C 12·C 12＝96种．所以总的方案数为96.方法二：以图形的对称中心为公共顶点的四个方格颜色各不相同，有A 44种涂色方案，A 、F 各有2种涂色方案，所以共有A 44×2×2＝96种方案．答案：C6．将标号分别为1，2，3，4，5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为( )A ．150B ．180C ．240D ．540解析：①若5个小球分为1，1，3三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为C 15C 14C 33A 22·A 33＝60种； ②若5个小球分为1，2，2三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为C 15C 24C 22A 22·A 33＝90种．所以由分类加法计数原理可得不同的分法有60＋90＝150种．故选A.答案：A7．将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30解析：根据题意，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有C 35＝10种情况，剩下有2个盒子，2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理，共有1×10＝10种，故选B.答案：B8．现有A ，B ，C ，D ，E ，F 六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛)，第一周的比赛中A ，B 各踢了3场， C ，D 各踢了4场， E 踢了2场，且A 队与C 队未踢过， B 队与D 队也未踢过，则在第一周的比赛中， F 队踢的比赛的场数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依据题意： C 踢了4场， A 队与C 队未踢过，则C 队参加的比赛为： BC ，CD ，CE ，CF ；D踢了4场，B队与D队也未踢过，则D队参加的比赛为：AD，CD，ED，FD；以上八场比赛中，CE，DE包含了E队参加的两场比赛，分析至此，C，D，E三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在A，B，F中进行，已经得到的八场比赛中，A，B各包含一场，则在A，B，F进行的比赛中，A，B各踢了2场，即余下的比赛为：AB，AF，BF，综上可得，第一周的比赛共11场：BC，CD，CE，CF，AD，CD，ED，FD，AB，AF，BF则F队踢的比赛的场数是4.本题选择D选项．答案：D9．某体育彩票规定：从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为()A．2 000元B．3 200 元C．1 800元D．2 100元解析：第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法．由分步计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7＝1 050注，故至少要花1 050×2＝2 100，故选D.答案：D10．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数．()A．6 B．9 C．10 D．8解析：由题意知本题是一个分类计数问题，首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33＝6个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有A22＝2种结果，前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，所以数字12 340前面有6＋2＋1＝9个数字，数字本身就是第十个数字．答案：C11．已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是()A．24 B．72 C．96 D．360解析：根据题意，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，需要分2种情况讨论：①2件次品一件在前3次测试中找到，另一件在第四次找到，有C12×C24×A33＝72种情况，②前4次没有一次发现次品，即前4次都是正品，第四次测试后剩下2件就是次品，有A44＝24种情况，则不同测试方法数为72＋24＝96种；本题选择C选项．答案：C12．有六种不同颜色，给如图4的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有()图4A．4 320 B．2 880 C．1 440 D．720解析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6×5×4×3×4×3＝4 320，故选A.答案：A二、填空题13．6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有___________种．解析：根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6×6×6＝216.答案：21614．今年暑假，小明一家准备从A城到G城自驾游，他规划了一个路线时间图如图6，箭头上的数字表示所需的时间(单位：小时)，那么从A城到G城所需的最短时间为__________小时．图6解析：由题意得，小明从A城到G城，可经过路径分别为：①A→B→E→F→G，共用2＋4＋3＋2＝11小时；②A→E→F→G，共用5＋3＋2＝10小时；③A→D→F→G，共用4＋4＋2＝10小时；④A→C→D→F→G，共用3＋2＋4＋2＝11小时，所以小明从A城到G城所需的最短时间为10个小时．答案：1015．建造一个花坛，花坛分为4个部分(如图5)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有________种(以数字作答)．图5解析：先栽种第一块地，有4种情况，然后栽种第二块地，有3种情况，栽种第三块地的时候考虑1和3相同，以及1和3不同的两种情况，则有4×3×(1×3＋3×2)＝12×9＝108.答案：10816．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图7所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有________种．图7解析：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有A＝3×6＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．答案：30三、解答题17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？解：(1)C25·C24＝60；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：C49－C47＝91(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有C37种，乙在内甲不在内有C37种，甲、乙都在内有C27种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：2C37＋C27＝91(种)．(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：C49－C45－C44＝120(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：C15C34＋C25C24＋C35C14＝120(种)．18．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C 24C 12C 12＝24种．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种，因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30种．19．已知n ∈N *，n ≥2，k 1，k 2，k 3…k n ∈{－1，1}，A ＝{x |x ＝k 1·2＋k 2·22＋…＋k n ·2n ，x >0}，记A (n )为集合A 中所有元素之和．(1)求A (3)的值；(2)求A (n )(用n 表示)．解：(1)n ＝3，A 中元素有4个：2＋22＋23，－2＋22＋23，2－22＋23，－2－22＋23，其和为32，∴A (3)＝32.(2)先证明：2＋22＋…＋2n －1<2n (n ≥2，n ∈N *)，2＋22＋…＋2n －1＝2－2n 1－2＝2n －2<2n ， 要使集合A 中元素x >0，须使k n ＝1，从而k 1，k 2，k 3，…，k n －1可任意取1或－1，由乘法原理知：k i ＝1(1≤i ≤n －1)的x 值共有2n －2个，同样k i ＝－1(1≤i ≤n －1)的x 值也共有2n －2个，从而集合A 中元素除了2n 这一项外，其余项恰好正负相消，于是集合A 中所有元素的和为：2n ×2n －1＝22n －1，∴A (n )＝22n －1.。
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
一.选择题
1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）
Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30
2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）
Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种
3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）
Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12
5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式
Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9
6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，
，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）
Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16
二、填空题
7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．
8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．
9．已知{}{}0341278a b ∈∈，
，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．
11．如图，从A →C ，有 种不同走法．
12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．
三、解答题
13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？15．已知集合{}
=---
，，，，，，，是平面上的点，a b M
M P a b
321012()
，．
∈
（1）()
，可表示平面上多少个不同的点？
P a b
（2）()
，可表示多少个坐标轴上的点？
P a b。