高二第二学期期中测试题

东莞中学2008-2009学年度第二学期期中测试题高二理科数学（满分150分 时间120分钟）第Ⅰ卷 选择题 （50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题各有四个选项，仅有一个选项符合。

） 1．在复平面内，复数1ii-对应的点位于（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是 （ ）．3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）Ａ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度C ． 假设三内角至多有一个大于60度° Ｄ．假设三内角至多有两个大于60度4．函数1(10)()cos (0)2x x f x x x π+-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象与x 轴所围成在封闭图形的面积为（ ）Ａ．12 Ｂ．1 Ｃ．32Ｄ．25．在一次科技创新活动中，记者为5名获奖学生和2名指导老师合照，要求排成一排，2位老师必须相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．30 Ｄ．120 7. 当),0(π∈x 时，下列不等式恒成立的是（ ）Ａ．x x sin 2> Ｂ．x x sin 2> C. xe x > D. xx 1ln> 8．北京《财富》全球论坛期间，某高校有7名志愿者参加开幕式当天的接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，则不同的排班种数为 ( )Ａ． 1260 Ｂ．960 Ｃ．315 Ｄ．630A B C D9．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足1)2()4(=-=f f ，)(x f '为)(x f 的导函数，且导函数)(x f y '=的图象如右图 所示．则不等式1)(<x f 的解集是 （ ）A ．)0,2(-B ．)4,0(C ．)4,2(-D ．),4()2,(+∞--∞10.与“在平面内，过一点有且仅有一直线和已知直线垂直”类比，在空间中，可以得出的正确结论是 （ ）Ａ． 在空间中，过一点有且仅有一直线和已知直线垂直； Ｂ． 在空间中，过一直线有且仅有一个平面和已知平面垂直； Ｃ． 在空间中，过一点有且仅有一直线和已知平面垂直； Ｄ． 在空间中，过一直线有且仅有一平面和已知直线垂直．第Ⅱ卷 非选择题（100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.）11．曲线2x y e x =-在点(02)，处的切线的倾斜角为 .12．某校为高二学生开设8门课程供学生选修，其中,A B 二门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修5门，共有 种不同选修方案。

（用数值作答） 13．设0(sin cos )a xx dx π=+⎰，则二项式6(1)展开式中含2x 项的系数是 . 14．设()f n 为21(*)n n N +∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =，记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2009(8)f = .三、解答题（共80分.）15. （本小题满分12分）在曲线上2(0)y x x =≥上点A 2(,)a a 处作一切线，使该切线与曲线以及x 轴所围成的图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过A 点的切线方程．16.(本题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰直角三角形，090=∠APD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且2,1==AD AB ,E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ； （2）求直线DE 与直线PB 的余弦值； （3）求锐二面角C PD B --的余弦值．17．（本小题满分13分）将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱（⑦为底，①②③④为侧面，⑤+⑥为水箱盖。

其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），设水箱的高为x 米，容积为y 立方米。

（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）如何设计x 的大小，使得水箱的容积最大？18．（本小题满分13分）数列{}n a 满足：1a =16, 前n 项和S n =(1)2n n n a +, （1）求 2a , 3a ,4a ；（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明．19．(本小题满分14分)设函数()()()x x x f +-+=1ln 212.(1)求()x f 的极小值；(2)若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈1,11e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m xf <恒成立,求实数m 的取值范围;(3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2在区间[]2,0上的根的个数.20．（本小题满分14分）已知函数3211()24f x x x x =-++ , 且存在0x ∈(0,12 ) ,使00()f x x =.设1n+1n 1n+1n 1=0, =(),=, =()2x x f x y y f y 其中 n=1,2,……（1）证明： ()f x 是R 上的单调增函数； （2）证明：n n+10n+1n < x x x y y <<<； （3）证明：111< 2n n n n y x y x ++--2008-2009学年度第二学期期中测试题 高二理科数学答案一、选择题（共50分.） C B BCB B A D C C 二、填空题（共20分.） 11．4π12． 36 13．240 14． 5 三、解答题（共80分.15．（本小题满分12分）/2y x =……………………1分∴在A 2(,)a a 处的切线方程为22()y a a x a -=- 即，22y ax a =-，……………………4分切线与x 轴的交点坐标为(,0)2a所以，曲线2(0)y x x =≥与过A x 轴所围成的图形的面积为……………………10分1a ∴=所以A 点的坐标为A(1,1),过A 点切线方程为21y x =-……………………12分16. (本题满分14分) 证明:（1）如图，连接AC ， ∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴AC 必经过F …………………….1分 又E 是PC 的中点，所以，EF ∥AP,………………….2分 ∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF ∥面PAD …………….4分解:（2）取AD 中点为O,连接PO,则PO ⊥平面ABCD ，以OA 为x 轴，以OF 为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系,………………………5分则A （1，0，0），B （1，1，0），C （-1，1，0），D （-1，0，0），P （0，0，1）， 因此，E （-12，12，12），111(,,)222DE =-，(1,1,1)PB =-，…………………… 7分 a22031a S x dx a 22a 11212=-⋅⋅==⎰1cos DE,3||||DE PB PB DE PB ⋅<>==⋅所以，直线DE 与直线PB 的余弦值13…………………9分 （3）解:由（2）知(1,0,1)AP =-是面PCD 的法向量，……………………………10分 又B （1，1，0），D （1-，0，0），(2,1,0)BD =--，(1,0,1)PD =--设面BPD 的法向量(,,)n x y z =，由,n PD n BD ⊥⊥得200x y x z --=⎧⎨--=⎩取1x =，则(1,2,1)n =--,………………………12分向量(1,0,1)AP =-和n 3=- 所以，锐二面角B —PD —C 14分17．（本小题满分13分）解：（1）依题意水箱底的宽为(22)x -米，长为 62(3)2xx -=-米，……3分 则水箱的容积x y x xx x y 关于即为)10()3)(22(<<⋅--=的函数关系式……5分（2）)10(682)3)(22(23<<+-=⋅--=x x x x x x x y37406166,616622-==+-='+-='∴x x x y x x y 得令 ………8分当,,01374;,03740函数单调递减时当函数单调递增时<'<<->'-<<y x y x…………11分)10()3)(22(374<<⋅--=-=∴x x x x y x 时函数当取得最大值， x ∴=，水箱的容积最大 ………13分18．（本小题满分13分） 解：（1）令n=2, 得S 2=22(21)2a ⨯+, 即a 1+a 2=3a 2 , 解得a 2=112. y令n=3, 得S 3=33(31)2a ⨯+，即a 1+a 2+a 3=6a 3, 解得a 3=120. 令n=4，得S 4=44(41)2a ⨯+，即a 1+a 2+a 3+a 4=10a 4, 解得a 4=130. 3分 （2）由（1）的结果猜想a n =1(1)(2)n n ++*)(N n ∈ 5分下面用数学归纳法给予证明：①当n=1时，a 1=116(11)(21)=++，结论成立。

7分 ②假设当n=k 时，结论成立，即a k =1(1)(2)k k ++， 8分则当n=k+1时，S k =(1)2k k k a +， （1） S k+1=1(1)(2)2k k k a +++, （2） 9分 （2）-（1）得a k+1=1(1)(2)2k k k a +++-(1)2k k k a +, 整理得a k+1=13k k a k ++=1113(1)(2)(2)(3)k k k k k k +=+++++=1[(1)1][(1)2]k k ++++， 即当n=k+1时结论也成立。

12分由①、②知对于n ∈N +，上述结论都成立。

13分19．(本小题满分14分)解：（1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1221112++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x x x x f . 1分由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分则在()+∞,0上为增函数,在()0,1-上为减函数.当0x =时()x f 取得极小值，所以()1f x =极小 …………4分 (2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增, ………… 6分 由,21112+=⎪⎭⎫⎝⎛-ee f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , ………… 8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成立. ………… 9分(3)方程(),2a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则()11121+-=+-='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以()x g 在[]1,0上递减;在[]2,1上递增.而()()()3ln 232,2ln 221,10-=-==g g g ,()()()120g g g >>∴ ………… 10分 所以,当1>a 时,方程无解;当13ln 23≤<-a 时，方程有一个解;当3ln 232ln 22-≤<-a 时,方程有两个解; 当2ln 22-=a 时,方程有一个解;当2ln 22-<a 时,方程无解. ………… 13分 综上所述,()()2ln 22,,1-∞-+∞∈ a 时,方程无解;(]1,3ln 23-∈a 或2ln 22-=a 时,方程有唯一解;]3ln 23,2ln 2(--∈a 时,方程有两个不等的解. ………… 14分20．（本小题满分14分）解: （I ）∵f '(x)=3x 2－2x+12 = 3(x －13)2+16 >0 ， ∴f(x)是R 上的单调增函数．………2分（II ）∵0<x 0<12 ， 即x 1<x 0<y 1．又f(x)是增函数， ∴f(x 1)<f(x 0)<f(y 1)．即x 2<x 0<y 2．又x 2=f(x 1)=f(0)=14>0 =x 1， y 2=f(y 1)=f(12)=38<12=y 1，综上， x 1<x 2<x 0<y 2<y 1．………………4分用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时，上面已证明成立．(2)假设当n=k(k≥1)时有x k <x k+1<x 0<y k+1<y k ．……………………5分 当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(x k )<f(x k+1)<f(x 0)<f(y k+1)<f(y k )，∴x k+1<x k+2<x 0<y k+2<y k+1 由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有x n <x n+1<x 0<y n+1<y n ．……………………8分 （III ）y n+1－x n+1y n －x n = f(y n )－f(x n )y n －x n = y n 2+x n y n +x n 2－(y n +x n )+ 12≤(y n +x n )2－(y n +x n )+ 12……………………11分=[(y n +x n )－12]2+14 ． 由(Ⅱ)知 0<y n +x n <1．∴－12 < y n +x n －12 < 12 ，∴y n+1－x n+1y n －x n < (12)2+14 = 12……………………14分。