2017-2018年湖南省常德市芷兰实验学校高一(上)数学期中试卷和答案(b卷)

2017-2018学年湖南省常德市芷兰实验学校高一（上）期中数学试卷（B卷）一、选择题（每小题4分，满分48分）1．（4分）已知集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]2．（4分）函数y=+lg（2﹣x）的定义域是（）A．（1，2） B．[1，4]C．[1，2） D．（1，2]3．（4分）定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（1） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（2）4．（4分）下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）下列计算正确的是（）A．（a3）2=a9B．log26﹣log23=1C．a•a=0 D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）6．（4分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（4分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）8．（4分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣19．（4分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）10．（4分）函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．11．（4分）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈[1，2]与函数y=x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数的解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y=x B．y=|x﹣3|C．y=2x D．y=log x12．（4分）函数f（x）=log a（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，1） C．（1，3]D．[3，+∞）二、填空题（每小题4分，满分16分）13．（4分）设f（x）=，则f[f（2）]的值为．14．（4分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx+1在区间[﹣1，4]上是单调函数，则实数m的取值范围为．15．（4分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是．16．（4分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分56分）17．（8分）（1）计算：；（2）解方程：．18．（8分）已知函数是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数，求f（x）的解析式．19．（10分）已知函数f（x）=﹣3x2+2x﹣m+1．（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．20．（10分）若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最大值及相应的x的值．21．（10分）已知奇函数f（x）是定义域[﹣2，2]上的减函数，若f（2a+1）+f （4a﹣3）＞0，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0，（1）求f（1）与f（﹣1）值；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．2017-2018学年湖南省常德市芷兰实验学校高一（上）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，满分48分）1．（4分）已知集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]【解答】解：∵A={x|1＜x＜4}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：D．2．（4分）函数y=+lg（2﹣x）的定义域是（）A．（1，2） B．[1，4]C．[1，2） D．（1，2]【解答】解：由题意的：，解得：1≤x＜2故选：C．3．（4分）定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（1） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（2）【解答】解：定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则函数f（x）在R上单调递减，∵1＜2＜3，∴f（3）＜f（2）＜f（1），故选：A．4．（4分）下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，因此①错误，③正确；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此②错误；若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，因此④错误．故选：A．5．（4分）下列计算正确的是（）A．（a3）2=a9B．log26﹣log23=1C．a•a=0 D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）【解答】解：（a3）2=a6，A不正确；log26﹣log23=log22=1，B正确；a•a=a0=1，C不正确；log3（﹣4）2=2log3（﹣4），不正确；故选：B．6．（4分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．7．（4分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【解答】解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）•f（4）＜0又∵函数f（x）=log 3x﹣8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选：B．8．（4分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣x）=x+1又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x+1）=﹣x﹣1故选：B．9．（4分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选：B．10．（4分）函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数y=lg（x+1）的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y=lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y=|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．11．（4分）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈[1，2]与函数y=x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数的解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y=x B．y=|x﹣3|C．y=2x D．y=log x【解答】解：A．y=x单调递增，不具备对称性不满足条件．B．y=|x﹣3|关于x=3对称，具备对称性，存在“同族函数”．C．y=2x单调递增，不具备对称性不满足条件．D．y=log x单调递减，不具备对称性不满足条件．故选：B．12．（4分）函数f（x）=log a（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，1） C．（1，3]D．[3，+∞）【解答】解：由题意可得a＞0，故有t=6﹣ax在[0，2]上是减函数，再根据函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上是减函数，故有a＞1．再根据，求得1＜a＜3，故选：A．二、填空题（每小题4分，满分16分）13．（4分）设f（x）=，则f[f（2）]的值为2．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=log3（4﹣1）=1，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故答案为：2．14．（4分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx+1在区间[﹣1，4]上是单调函数，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[16，+∞）．【解答】解：∵对称轴x=，∴≤﹣1，或≥4解得：m≤﹣4，或m≥16，故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[16，+∞）．15．（4分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．【解答】解：由题意设f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=16．（4分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）三、解答题（本大题共6小题，满分56分）17．（8分）（1）计算：；（2）解方程：．【解答】解：（1）原式=+（lg 5）0+=+1+=4．…（6分）（2）由方程log3（6x﹣9）=3得：6x﹣9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2．经检验，x=2是原方程的解．…（12分）18．（8分）已知函数是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数，求f（x）的解析式．【解答】解：因为f（x）是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，解得m=﹣1或m=2∴f（x）=x﹣3或f（x）=x3，又f（x）=x﹣3在（0，+∞）上为减函数，f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）=x3．19．（10分）已知函数f（x）=﹣3x2+2x﹣m+1．（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．【解答】（本小题满分10分）解：（1）因为x=0为函数的一个零点，0是对应方程的根，有1﹣m=0，可解得m=1．（2）函数有两个零点，则对应方程﹣3x2+2x﹣m+1=0有两个根易知△＞0，即△=4+12（1﹣m）＞0，可解得m＜；△=0，可解得m=；△＜0，可解得m＞．故当m＜时，函数有两个零点；当m=时，函数有一个零点；当m＞时，函数无零点．20．（10分）若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最大值及相应的x的值．【解答】解：y=lg（3﹣4x+x2），∴3﹣4x+x2＞0，解得x＜1或x＞3，∴M={x|x＜1，或x＞3}，f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2．令2x=t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2．∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．由二次函数性质可知：当0＜t＜2时，f（t）∈（﹣4，]，当t＞8时，f（t）∈（﹣∞，﹣160），当2x=t=，即x=log2时，f（x）max=．综上可知：当x=log2时，f（x）取到最大值为．21．（10分）已知奇函数f（x）是定义域[﹣2，2]上的减函数，若f（2a+1）+f（4a﹣3）＞0，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：由f（2a+1）+f（4a﹣3）＞0得f（2a+1）＞﹣f（4a﹣3），又f（x）为奇函数，得﹣f（4a﹣3）=f（3﹣4a），∴f（2a+1）＞f（3﹣4a），又f（x）是定义域[﹣2，2]上的减函数，∴2≥3﹣4a＞2a+1≥﹣2解得：．22．（10分）已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0，（1）求f（1）与f（﹣1）值；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）∴f（1）=2f（1）∴f（1）=0（2分）令x1=﹣1，x2=﹣1f（1）=2f（﹣1）=0，∴f（﹣1）=0；（2分）（2）证明：令x1=﹣1∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）∴f（x1•x2）=f（﹣x2）=f（﹣1）+f（x2）又∵f（﹣1）=0∴f（﹣x2）=f（x2）故f（x）是偶函数；（3分）（3）证明：令x1＞1，当x2∈（0，+∞）时，x1•x2＞x2∵当x＞1时f（x）＞0∴f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）＞f（x2）．故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3分）。