4.2 一次函数和正比例函数 导学案
4、一次函数和正比例函数
x/千克
0
/厘米
3
（2）写出x与y之间的关系式______________________.
2.某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升。
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米
0
1.对一次函数概念内涵和外延的把握：
(1)自变量系数（常数）k______；
2)自变量x的次数为______；
4.一次函数与正比例函数的辨证关系能够用下图来表示：
问题二：（自学2分钟、对学1分钟、群学1分钟、展示1分钟）
1、小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已有20元，从现在开始，每周存入5元，那么小明的存款y与从现在开始的周数x的关系为．
2、下列说法准确的是 （ ）
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数
C．正比例函数不是一次函数 D．一次函数不可能是正比例函数
问题三：（自学4分钟、对学1分钟、群学1分钟、展示1分钟）
1： 写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；____________________________________
-2
-1
0
1
2
……
y
-5
-2
1
4
7
……
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y____x一的次函数,y_____x正比例函数.(后两空填“是”或“不是”)
【检测反馈】
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案一、教学目标1. 理解正比例函数的定义及其图像特征。
2. 掌握一次函数的定义及其图像特征。
3. 能够区分正比例函数和一次函数，并正确应用。
4. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：正比例函数和一次函数的定义及其图像特征。
2. 教学难点：一次函数的图像特征和应用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、黑板、投影仪、教学卡片、练习题。
2. 教学工具：直尺、圆规、彩笔。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如购物时商品的价格与数量的关系，引入正比例函数和一次函数的概念。
2. 讲解：讲解正比例函数的定义及其图像特征，一次函数的定义及其图像特征。
通过示例和图形的展示，让学生直观地理解正比例函数和一次函数的图像特征。
3. 练习：让学生通过练习题，运用所学的正比例函数和一次函数的知识，解决问题。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。
2. 练习题的正确率：检查学生完成练习题的正确率，评估学生对正比例函数和一次函数的理解程度。
3. 学生作品：评估学生在课堂活动中的作品，如绘图和解决问题的能力。
六、教学拓展1. 引入实际问题：通过展示一些实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，让学生运用一次函数和正比例函数的知识解决问题。
2. 函数图像的变换：讲解一次函数图像的平移和缩放变换，让学生理解函数图像的变换规律。
七、课堂活动1. 分组讨论：将学生分成小组，让他们讨论一次函数和正比例函数在实际生活中的应用，并展示给全班同学。
2. 游戏：设计一个有关一次函数和正比例函数的游戏，让学生在游戏中加深对函数的理解和应用。
八、课后作业1. 完成教材中的相关练习题。
2. 选择一个实际问题，运用一次函数和正比例函数的知识解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
九、教学反馈1. 课后与学生交流：通过与学生的交流，了解学生在课堂上的学习情况，以及对一次函数和正比例函数的理解程度。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册4.2一次函数与正比例函数教学课件
知识讲解
3、若y (m 2)x m 2 4 是关于x的正比
例函数，则m= -2 ;若是x的一次函数，则 m ≠2 .
4、若y x m2 3 (m 2) 是关于x的正比
例函数，则m= -2 ;
则y与x的关系式为 y=50+2x；
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
3、某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50km耗油9升。则油箱剩
余油量y（升）与汽车行驶路程x（km)之间的函数关系式为 y=100-0.18x ；
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
随堂训练
4. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，
正比例函数是一种特 殊的一次函数
一次函数 正比例函数
比例系数
X的正比例函数 y = k x (k≠0的常数)
自变量
知识讲解
练一练
1.判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为 正比例函数？
（1）y x 5
（2）y 4 x
（3）y 3x 2
（4）y
x2
（5）y
x
1 2 （6）y
(
2 1)x
第四章 函数
第四章 函数
2 一次函数与正比例函数
学习目标
1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）
知识回顾
1、什么叫函数?
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值, 相应地就确定唯一一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x 是自变量,y是因变量。
4.2一次函数与正比例函数+课件++2023-2024学年北师大版数学八年级上册
D．以上说法都不正确
5．(跨学科)在弹性限度内，某弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量 x(kg)的一次函数．已知该弹簧不挂物体时的长度为10 cm，每挂1 kg物 体，长度增加2 cm.
(1)在弹性限度内，求弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函 数关系式；
(2)当所挂物体质量为3 kg时，求弹簧的长度； (3)当弹簧长度为15 cm时，求所挂物体的质量． 解：(1)由题意，得y＝10＋2x. (2)当x＝3时，y＝10＋2×3＝16(cm). (3)当y＝15时，x＝(15－10) ÷2＝2.5(kg).
|k|越大，直线越陡，y的值随着|k|的增大而增大(或减小)得越快.
知识点 2 正比例函数的图象与性质 【例 2】已知 y＝12x，下列结论正确的是( D ) A．函数图象必经过点(1，2) B．函数图象必经过第二、四象限 C．不论 x 取何值，总有 y>0 D．y 随 x 的增大而增大
【变式2】(北师教材母题改编)对于函数y＝－2x，下列说法中正确 的有__①__②__③__④____．(填序号)
12．(中考热点·社会民生与经济)某种子商店销售玉米种子，为惠民 促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折； 方案二：购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元，若一次性购 买超过3千克，则超过3千克部分的种子价格打七折． (1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)(x>3)和付 款金额y(元)之间的函数表达式；
【变式3】(北师教材母题改编)某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为y元．
(1)y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ (2)当x＝3时，函数值为多少？ (3)当y＝220时，x＝___1_0_0__． 解：(1)y＝2.2x，y是x的一次函数，也是正比例函数． (2)当x＝3时，y＝2.2×3＝6.6.
4.2一次函数与正比例函数-2024-2025学年初中数学八年级上册(北师版)上课课件
课堂小结
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，
b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
一
次
例函
函数
数与
正
比
定义
一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时，
变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
①寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关
列一次函
数关系式
并且以每小时 45 公里的速度匀速行驶，t 小时后张三距离乙地
s 公里，请写出 s 和 t 的函数解析式，并计算 3 小时后，s 的值
为多少？
解：每小时行驶 45 公里，t 小时行驶了45t 公里.
函数解析式为 s = 150 -
10
45t(0≤t≤ ).
3
当 t =3 时，s =150-45×3 =15.
2.点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，则 a 的值为（ B ）.
A. 2
B. 8
C. -2
D. -8
解：因为点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，所以
a=3+5=8. 故应该选 B.
学习目标
1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件
或情境写出正比例函数和简单的一次函数的关系式.
答：y=3+0.5x.
3
4
5
4.5
5
5.5
例2 某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程
x/km
耗油量y/L
0
0
50
100
150
200
一次函数导学案
《4.2一次函数与正比例函数》导学提纲主备人：陈涛祖一、学习目标——目标明确、有的放矢1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系．2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式．课标要求：结合具体情境体会一次函数的意义．二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：一次函数、正比例函数的概念及关系．学习难点：会根据已知信息写出一次函数的表达式．三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. 一般地，在某个变化过程中，有_____变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了___个y 值，那么我们称y是x的函数，其中____是自变量，_____是因变量．2. 函数的表示方法:____________,____________,____________ ．四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究1：一次函数和正比例函数的概念有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看下面的例子：1.某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
⑴计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：千克⑵写出y与x之间的关系式为___________.2.某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶50千米耗油6L．(1) 完成下表耗油量z/L(2) 你能写出耗油量z（L）与汽车行使路程x(km)之间的关系式吗?（3）你能写出油箱剩余油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?在上面的活动中，得到的几个关系式分别是：____________,____________,____________。
请同学们找出这些关系式的共同点，并回答下列问题：①这些变化过程中，自变量分别是__________，因变量分别是_______________②这些关系式是关于自变量的几次式？______________________③关于x的一次式的一般形式是什么？是整式吗？_________________________小结：若两个变量x、y间的对应关系可以表示成____________(其中________)的形式，则称y是x的______函数。
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案【教案】一次函数与正比例函数教学目标：1. 理解一次函数和正比例函数的概念和特点；2. 能够根据给定的问题建立一次函数或正比例函数的数学模型；3. 掌握一次函数和正比例函数的图像特点和性质。
教学重点：1. 一次函数和正比例函数的定义和特点；2. 一次函数和正比例函数的图像特点；3. 理解数学模型的建立过程。
教学难点：1. 能够能够根据给定的问题建立一次函数或正比例函数的数学模型；2. 理解数学模型的建立过程。
教学准备：1. 教师准备课件和黑板；2. 学生准备笔记本和学习资料。
教学过程：Step 1 引入：1. 在黑板上写出以下问题：a) 如果一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，4 小时能行驶多远？b) 如果一辆汽车以每小时 50 公里的速度行驶，几小时能够到达 500 公里的目标地？2. 提问：你能找到这两个问题的相似之处吗？Step 2 导入概念：1. 向学生介绍一次函数和正比例函数的概念。
2. 在黑板上写出一次函数和正比例函数的定义。
Step 3 一次函数的图像特点：1. 讲解一次函数的图像特点：表示一次函数 y=kx+b 的图像为一条直线。
2. 展示一次函数图像特点的例子，并进行解释。
3. 在黑板上绘制一条一次函数的图像，并强调对应关系。
Step 4 正比例函数的图像特点：1. 讲解正比例函数的图像特点：表示正比例函数 y=kx 的图像为通过原点的直线。
2. 展示正比例函数图像特点的例子，并进行解释。
3. 在黑板上绘制一条正比例函数的图像，并强调对应关系。
Step 5 建立数学模型：1. 给出一些需求或问题，让学生根据给定的条件建立一次函数或正比例函数的数学模型。
2. 学生根据问题进行分组讨论，其中一名组员写在黑板上。
Step 6 练习：1. 号召全班一起讨论并解决一些实际问题，让学生运用所学的知识建立数学模型并求解。
2. 选择一些学生上台进行演示，并进行点评和讲解。
4.2 一次函数与正比例函数 北师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
难
题
型
突
破
思路点拨
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4.2 一次函数与正比例函数
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解题通法 根据正比例函数的定义确定字母的值时 ，
重
难
题 需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
清
单
解 入 28 元，如果超额生产一个零件，增加收入 1.5元． 写
读 出该工人在超额完成的情况下一天的收入 y（元）与他生产
的零件个数 x（个）的函数关系式：______________．
［答案］ y=1.5x-2
4.2 一次函数与正比例函数
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重 ■题型 应用函数的定义确定字母的值
难
−
4.2 一次函数与正比例函数
● 考点清单解读
● 重难题型突破
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
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■考点一 一次函数与正比例函数的定义
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成
定义
y=kx+b（k，b 为常数，k≠0） 的形式， 则称 y
是 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
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下列函数 ：①y = -2x + 1，②y= ，③y=
单
解 （x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1
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4.2一次函数和正比例函数
学习目标：
理解一次函数与正比例函数的概念
学习过程：
一、一次函数的概念
1.若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成_______(k,b 为常数，k ≠0)的形式，
则称y 是x 的_______
2.概念理解注意三点；1）.左边是y ，右边是关于自变量x 的整式.
2）.自变量x 的次数是1系数k ≠0；
3）.当b=0时，而k ≠0时，y=kx 仍然为一次函数，当k=0时，它不是一次函数.
3. 下列函数中，是一次函数的有_____________（填序号） （1）x y 8-= （2）x y 8-= （3）652+=x y （4）15.0--=x y （5）x y = （6）)3(2+=x y （7）x y 34-=
4. 在一次函数53--=x y 中，k =_______，b =________
二、正比例函数的概念
1.一次函数b kx y +=（0≠k ），当_______=b 时，变为 _____=y 时，这时把y 叫做x
的正比例函数。
即正比例函数是一种特殊的一次函数。
2.正比例函数y=kx 中，___________≠k
3.下列函数钟，那些是正比例函数？______________ （填序号）
（1）x
y 4= （2）13+=x y （3）1=y （4）x y 8= （5）t v 5-= （6）013=+x （7）x y 2+ （8）)81(82x x x y -+=
4.下列说法正确的是（ ）
A 、b kx y +=是一次函数
B 、一次函数是正比例函数
C 、正比例函数是一次函数
D 、不是正比例函数就一定不是一次函数
5.设圆的面积为s ，半径为R,那么下列说法正确的是（ ）
A.S 是R 的一次函数 B .S 是R 的正比例函数C .S 是2R 的正比例函数 D. 以上说法都不正确
6.当m=_________时，是正比例函数)2(32++=-m x y m
三、列一次函数关系式
1、根据题意写出下列函数的解析式
（1） 有人发现，在20~25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度t （单位：℃）有关，即c 的值约是t
的7倍与35的差；_______________
（2） 某城市的市内电话的月收费为y （单位：元）包括：月租22元，拨打电话x 分的计时费（按
0.1元/分收取）；_______________
（3） 把一个长10cm 、宽5cm 的长方形的长减少xcm ，宽不变，长方形的面积y （单位：cm 2）随
x 的值而变化。
_______________
2、说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是不是一次函数。
① 汽车以40千米/小时的平均速度从A 站出发，行驶了t 小时，那么汽车离开A 站的距离s(千
米)和时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数
② 汽车离开A 站4千米，再以40千米／小时的平均速度行驶了t 小时，那么车离开A 站的距离
s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ，它是 函数
3、容祖贤的爸爸为祖贤存了一份教育储蓄.首次存入1万元,以后每个月存入500元,存满3万元止.
求存款数增长的规律.几个月后可存满全额?
解：设x 个月后存款为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为 ;;
把y= 代入上式，得
四．巩固练习
1、曾子伟叔叔的庄园里已有50棵树，，他决定今后每年栽2棵树，则曾叔叔庄园树木的总数y （棵）
与年数x 的函数关系式为 。
它是 函数
2、圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式
为 ，它是 函数
3、若函数m x m y -+-=2)3(是一次函数，则m__________
4、在一次函数32+-=x y 中，当3=x 时，=y ______；当=x _____时，5=y 。
5、甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y （元）与包裹重量x （千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资。
6．下列函数：（1）y=51+X （2）y=－5X （3）y=－X 2
（4）y=－3－51X （5）y=2X2+X-1 （6）y=－6X+7
是正比例函数的是____________. 是一次函数的是____________________(写序号)
7.油箱中有油价20斤升,油从油箱中均匀流出,每分钟流0.2升,则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t (分)的关系式是 （ ）
A. Q=0.2t
B. Q=20－0.2t C . t=0.2Q D. t=20－0.2Q
8.下列说法中,正确的个数有( )
(1)正比例函数一定是一次函数. (2)一次函数一定是正比例函数
(3)速度一定,路程S 是时间t 的一次函数. (4)圆的面积S 是圆的半径r 的正比例函数.
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
9.若y=(a +3)X+ a －9是正比例函数,则实数a= ______________
10．地面气温是200C ，如果每升高1km,气温下降价60C ，则气温t 与高度h(km)的函数关系为
11.小明用的练习本可在甲，乙两个商店内购买，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商
店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70% 卖，乙商店的优惠条件是：从第一本开始就按标价的 85%卖.
(1)试计算小明想买价20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（2）写出甲乙两个商店中收款y （元）与x （本）（x ﹥10）的函数关系式，它们是正比例函数吗？。