2020年高中数学必修二《空间直角坐标系》
2020年人教版高中数学---4.3空间直角坐标系
备课人授课时间课题4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课标要求在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离教学目标知识目标1、感受空间直角坐标系建立的背景2、掌握两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离。
技能目标掌握在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离情感态度价值观类比思想的运用重点1、空间直角坐标系中点的表示；2、空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。
难点两点间距离公式的推导。
教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立：如右图，OABC-D’A’B’C’为单位正方体，以_________为原点，以___________________为单位正方向，以______________为单位长，建立三条数轴______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中O为________，x轴、y轴、z轴为_______，__________为坐标平面，分别为__________。
2、右手直角坐标系本书中建立的空间直角坐标系均为___________，右手拇指指向________，食指指向________，中指指向____________3、空间直角坐标系中任意一点M的坐标表示如下图，设点M为空间一定点，过点M分别做垂直于x轴、y轴、z轴的平面依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R，设P、Q、R在x轴、y轴、z轴的坐标分别为x、y、z，则的坐标为（x，y，z）。
O yzxA'C'B'BD'ACO A B A 'C y'D 'A z xB /COx yz 教学过 程 及 方 法反之，给定有序实数组（x ，y ，z ），在x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为x 、y 、z 的点P 、Q 、R ，分别经过各做一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组（x ，y ，z ）确定的点M 。
高中数学 必修2：4.3 空间直角坐标系
4.3 空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是一一对应的关系，有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M纵坐标，z叫做点M的竖坐标．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z Px y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，||MN = 在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，1||||PH MN == 根据勾股定理，得12||PP ==．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P （x ，y ，z ），则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |．当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．【名师点睛】空间中点P 坐标的确定方法 （1）由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y ，P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD 1|=2，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，E ，F 的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12．所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ． 方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点．故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22． 2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为( A )A ．B ．C ．D ． 【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为( C ) A ．B ．C ．D ．【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）；②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）；③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）；④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）；⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）；⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）；⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求：（1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．【例9】如图，已知正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a . 【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--， 当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3． 【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ，则=，即2210(1)3()8z z +-=+-，解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 基础训练1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ B ）A ．（－1，2，3）B ．（1，－2，－3）C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ A ）A ．（－3，4，5）B ．（－3，－4，5）C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为（ D ）A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43） 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为（ B ）A ．9B ．29C ．5D ．2 65．已知点A （1，a ，－5），B （2a ，－7，－2）（a ∈R ）则|AB |的最小值是（ B ）A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的（ C ）A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xOz 面上D ．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P （1，2，3），过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为（ B ）A ．（0，2，0）B ．（0，2，3）C ．（1，0，3）D ．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．9．（1）已知A （1，2，－1），B （2，0，2），①在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．（2）在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+＝2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为（1，0，0）．②设M （x ，0，z ），则有222(1)(2)(1)x z -+-++＝22(2)(2)x z -+-，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0．故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．（2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-＝22(1)51x -+．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）．能力10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ A ）A ．62B ． 3C ．32D ．6311．已知A 点坐标为（1，1，1），B （3，3，3），点P 在x 轴上，且|PA |＝|PB |，则P 点坐标为（ A ）A ．（6，0，0）B ．（6，0，1）C ．（0，0，6）D ．（0，6，0）12．已知M （5，3，－2），N （1，－1，0），则点M 关于点N 的对称点P 的坐标为（－3，－5，2）．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于_2393_． 14．如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a （0<a <2）．（1）求MN 的长度；（2）当a 为何值时，MN 的长度最短？因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N （22a ，22a ，0）． （1（2）由（1），得|当a ＝22（满足0<a 即MN 15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．16．如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1．∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0）， 同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）．∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz ．（1）若点P 在线段BD 1上，且满足3|BP |＝|BD 1|，试写出点P 的坐标，并写出P 关于y 轴的对称点P ′的坐标；（2）在线段C 1D 上找一点M ，使点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标．（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ），则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是（﹣4，3，2）．。
高一数学人必修二课件第四章空间直角坐标系
坐标平面
由任意两个坐标轴确定的 平面称为坐标平面，分别 是xy平面、yz平面和zx平 面。
空间点坐标表示方法
空间中任意一点P的位置可以用三个 实数x、y、z来表示，称为点P的坐标 。
根据点P在三个坐标平面上的投影， 可以确定点P在三个坐标轴上的坐标 值。
点P的坐标记作(x,y,z)，其中x是点P到 y轴和z轴的距离，y是点P到x轴和z轴 的距离，z是点P到x轴和y轴的距离。
空间向量加法
空间向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，即两个向量的和等于以这两 个向量为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量。
空间向量减法
空间向量减法可以转化为加法进行，即减去一个向量相当于加上这个向量的相 反向量。
空间向量数量积运算
空间向量数量积的定义
空间向量的数量积是一个标量，等于两向量的模的乘积与它们之间夹角的余弦的 乘积。
06
空间解析几何初步应用
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量运算和数量积的性质， 推导点到直线距离的公式。
应用举例
利用点到直线距离公式，解决空 间中点到直线的最短距离问题。
两点间距离公式推导及应用
公式推导
根据空间两点坐标，利用向量模长公式推导两点间距离的公 式。
应用举例
应用两点间距离公式，计算空间中任意两点之间的距离。
通过消元法，将空间曲线表示为两个三元一次方程的联立形式。
空间曲线的参数方程
选定适当的参数，将空间曲线上的点的坐标表示为参数的函数。
空间曲线在坐标面上的投影
通过将空间曲线方程中的某一坐标设为常数，可以得到曲线在相应 坐标面上的投影方程。
空间曲面方程
空间曲面的一般方程
01
北师大版高中高一数学必修2《空间直角坐标系》教案及教学反思
北师大版高中高一数学必修2《空间直角坐标系》教案及教学反思教案设计教学目标•能够理解一般空间直角坐标系的概念。
•能够掌握三维直角坐标系的表示方法。
•能够在三维直角坐标系中进行点、向量及直线的表示，并理解它们之间的关系。
•能够应用直角坐标系求解在空间中的几何问题。
教学重点•理解三维直角坐标系的表示方法。
•掌握点、向量及直线在三维直角坐标系中的表示方法。
•应用直角坐标系求解空间中的几何问题。
教学难点•向量与点的坐标化。
•空间直线的表示及其性质。
教学过程第一步：导入为了让学生更好地理解三维空间直角坐标系，我将引导学生回顾二维空间直角坐标系，并鼓励学生回忆二维空间中点、向量、直线和平面的定义及相关性质。
随着学生的回忆，我会巧妙引导学生理解三维空间坐标系。
第二步：讲解在此步骤中，我将详细解释三维空间坐标系的定义和相关概念。
让学生理解三维空间坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，学生应该能够掌握三维空间中点、向量及直线的表示方法，并理解它们之间的关系。
第三步：练习为了让学生更好地掌握三维空间坐标系的相关概念和求解能力，我会打出一些简单的练习题，让学生掌握三维空间中的点、向量及直线的表示方法，并熟悉它们之间的关系。
此处我会通过练习题，加深学生的印象，让学生更快地运用到实际中去。
第四步：课堂交流在此步骤之中，我将要求学生根据自己的认知和实际经验，来分享一些解题思路、技巧和心得。
此时我将提供充足的时间给学生进行交流和讨论。
这样能让学生相互交流，发现共同点和不同之处，锻炼学生的思维能力和语言表达能力。
第五步：总结在这一步骤中，我会对本节课所讲授的知识进行总结，并强调课程重点，确保学生掌握了本节课程所讲的内容。
同时，我会在总结中提到经常出现的错误或盲点，帮助学生加深印象，从而提高学习效果。
教学反思教学收获首先，本节课程所讲授的知识比较抽象，但是由于是空间三维坐标表示，便可以采取类似于平面几何的手段，通过练习题目，让学生更好地掌握相关知识点。
2020届高中数学分册同步讲义(必修2) 第4章 4.3 空间直角坐标系
§4.3 空间直角坐标系 学习目标 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.知识点一 空间直角坐标系1.空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.知识点二 空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2.(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.1.空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式.( × )2.空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式.( √ )3.关于坐标平面yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.( √ )题型一 求空间中点的坐标例1 (1)画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A ，C 的坐标分别为________________；②棱C 1C 中点的坐标为________；③正方形AA 1B 1B 对角线的交点的坐标为________.考点 求空间中点的坐标题点 求空间中点的坐标答案 ①(0,0,0)，(1,1,0) ②⎝⎛⎭⎫1，1，12 ③⎝⎛⎭⎫12，0，12 (2)已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.考点 求空间中点的坐标题点 求空间中点的坐标解 ∵正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为223.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223).反思感悟 (1)建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z ).跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标.考点 求空间中点的坐标题点 求空间中点的坐标解 建立如图所示的空间直角坐标系.点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知|FM |＝12，|FN |＝12， 故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0.因为|CG |＝14|CD |，G ，C 均在y 轴上， 故G 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG ，可得|DK |＝78，|HK |＝12， 故H 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12. 题型二 空间中点的对称问题例2在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12).反思感悟(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.跟踪训练2已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz 的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________.考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案(2，－3,1)解析点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz 的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1).题型三空间中两点间的距离例3已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.考点题点解 (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：(x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.反思感悟 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.跟踪训练3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.考点题点解 如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4).因为M 为BC 1的中点，所以由中点坐标公式得M ⎝⎛⎭⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4).所以由两点间的距离公式得|MN |＝(2－2)2＋(2－0)2＋(2－4)2＝2 2.1.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是()A.1B.2C.3D.14考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案 A2.已知点A(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|P A|＝|PB|，则P点坐标为()A.(6,0,0)B.(6,0,1)C.(0,0,6)D.(0,6,0)考点题点答案 A解析设P(x,0,0)，|P A|＝(x－1)2＋1＋1，|PB|＝(x－3)2＋9＋9，由|P A|＝|PB|，得x＝6.3.在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.考点题点答案 2解析由点(x，y，z)关于y轴的对称点是(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋(－1)2＋02＝ 2.4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________.考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案(1,1，－1)(－1，－1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1).5.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标为________.答案(0，－1,0)解析设点M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0).6.在空间直角坐标系中，已知点P(1,0,1)，Q(4,3，－1)，在z轴上是否存在一点M，使|MP|＝|MQ|？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解假设在z轴上存在点M，设为M(0,0，z).由|MP|＝|MQ|，得12＋0＋(1－z)2＝42＋32＋(－1－z)2，两边平方整理得z2－2z＋2＝z2＋2z＋26，即z＝－6.所以在z轴上存在一点M(0,0，－6)，使|MP|＝|MQ|.1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)考点空间直角坐标系题点空间中点的坐标答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2.点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是()A.在x轴上B.在xOy平面内C.在yOz平面内D.在xOz平面内考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案 C解析∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内.3.设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为()A.10B.10C.38D.38考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案 A解析∵点B是A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B(2，－3，－5)，∴AB的长度是5－(－5)＝10.故选A.4.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与B(2，－1,6)间的距离是()A.86B.9C.221D.243考点题点答案 A解析|AB|＝[2－(－3)]2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86.5.设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为()A.(1,0,0)B.(－1,0,0)C.(1,0,0)或(0，－1,0)D.(1,0,0)或(－1,0,0)考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案 D解析因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x,0,0).由题意，知|PP1|＝2|PP2|，所以(x－0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x－0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2.解得x＝±1.所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).6.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对考点空间中点的对称问题题点关于原点的对称问题答案 C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称.7.在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A.(0，2，0)B.(0，2，3)C.(1,0，3)D.(1，2，0)考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案 B解析由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.8.在空间直角坐标系中，若以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值是()A.－2B.2C.6D.2或6考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用答案 D解析依题意有|AB|＝|AC|，即(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝(x－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2，即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6.二、填空题9.已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，－3，－5)，B(－1,3,2)，对角线的交点是E(4，－1,7)，则C，D的坐标分别为________________.考点空间中点的对称问题题点中点坐标公式及其应用答案(6,1,19)，(9，－5,12)解析由题意知，E为AC与BD的中点，利用中点坐标公式，可得C(6,1,19)，D(9，－5,12).10.如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________. 考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案2或 6解析设P(0,0，z)，由|PO|＝(0－0)2＋(0－0)2＋(z－0)2＝1，得z＝±1，∴P(0,0,1)或P(0,0，－1)，则|P A|＝2或 6.11.空间直角坐标系中，z轴上到点(1,0,2)和(1，－3,1)距离相等的点的坐标是________.题点 求空间中点的坐标答案 (0,0，－3)解析 设所求点的坐标为(0,0，c )，由所求点到点(1,0,2)和(1，－3,1)的距离相等，得12＋02＋(2－c )2＝(1－0)2＋(－3－0)2＋(1－c )2，解得c ＝－3，即所求点的坐标为(0,0，－3).三、解答题12.在yOz 平面上求与点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点P 的坐标. 考点 求空间中点的坐标题点 求空间中点的坐标解 设P (0，y ，z ).由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC |，|PB |＝|PC |， 所以⎩⎨⎧ (0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2，(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2， 所以点P 的坐标为(0,1，－2).13.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝2，连接AP ，BP，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，射线OM ，ON ，OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.若E ，F 分别为P A ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.考点 求空间中点的坐标解 由题意知，点B 的坐标为(1,1,0).由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)，由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)，由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0).又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，所以由中点坐标公式可得E ⎝⎛⎭⎫12，－12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，12，1.14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________.考点 求空间中点的坐标题点 求空间中点的坐标答案 ⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3解析 由题意知A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c ).由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.15.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3).试问：(1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.考点 空间两点间的距离公式及应用题点 空间两点间的距离公式的综合应用解 (1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |.因为M 在y 轴上，所以可设M (0，y,0).由|MA |＝|MB |，得32＋(－y )2＋12＝12＋(－y )2＋(－3)2，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形.由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝25，所以10＋y2＝25，解得y＝±10，故y轴上存在点M使△MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).。
高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。
课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。
本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。
结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。
课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。
教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。
难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。
知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。
能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。
教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。
自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。
考试点：空间中点的确定及坐标表示。
易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。
拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。
教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。
一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
2020高中数学 第二章 解析几何初步 空间直角坐标系
3。
1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 3。
3 空间两点间的距离公式［学习目标］1。
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2。
掌握空间两点间的距离公式。
【主干自填】1．空间直角坐标系（1）右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让四指与大拇指垂直，四指先指向错误!x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向错误!y轴正方向,此时大拇指指向错误!z轴正向，这样的坐标系称右手系．（2）坐标系中相关概念如图所示的坐标系中,错误!O叫作原点，错误!x，y,z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为□06xOy平面、错误!yOz 平面、错误!zOx平面．2．空间直角坐标系中点的坐标（1）空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组（x，y，z)来表示,第一个是错误!x坐标,第二个是错误!y坐标，第三个是错误!z坐标．（2）空间中的点与一个三元有序数组（x，y,z）建立了错误!一一对应的关系．3．长方体的对角线（1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为错误!长方体的对角线．(如图)（2)如果长方体的长、宽、高分别为a,b，c，那么对角线长d＝错误!错误!。
4．空间两点间的距离公式(1）空间任意一点P(x0，y0,z0）与原点的距离|OP|＝□，15错误!。
(2)空间两点A（x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝错误!错误!。
【即时小测】思考下列问题(1）画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？提示:不是．空间直角坐标系中,任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．(2）确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些?提示:确定点的位置一般有三种方法：①在x轴上找点M1（x0,0,0），过M1作与x轴垂直的平面α；再在y 轴上找点M2（0,y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0）,过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．②确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点（x0,y0，z0）的位置．③以原点O为一个顶点，构造棱长分别为｜x0|，｜y0|,｜z0｜的长方体（三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致),则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．（3）空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根,因此，距离公式也可以写成｜P1P2|＝错误!.(4）已知点P（x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？提示：由错误!为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P 到原点的距离为定值｜r｜。
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第 1 页 共 11 页 2020年高中数学必修二《空间直角坐标系》
1．关于空间直角坐标系，下列叙述正确的是( )
A ．P(x ，y ，z)中x ，y ，z 的位置可以互换的
B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应关系
C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分
D ．某点在不同空间直角坐标系中的坐标位置可以相同
答案 B
2．点P(
22，33，66)到原点O 的距离是( ) A.
306 B ．1 C.336
D.356 答案 B
3．点A(1，0，1)关于原点O 的对称点为A ′，则|AA ′|为( )
A ．2 2
B ．1
C ．4 2
D ．2 3
答案 A
4．点B 是点A(2，1，3)在坐标平面yOz 内的投影，则|AB|等于( )
A. 5
B ．2
C ．3
D ．1 答案 B
5．如图，正方体的棱长为1，M 是所在棱上的中点，N 是所在棱上的四分之一分点，则M 、N 之间的距离为
( ) A.
214 B.294 C.212 D.292
答案 B
解析 在空间直角坐标系中，
M(1，0，12)，N(14
，1，0)．。