1.3.2_函数的最大值、最小值
人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
1.3.1.2 函数的最大值、最小值 Word版含解析_1
第2课时 函数的最大值、最小值知识点 函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) -=答案=-：(1)× (2)×2．函数f (x )＝1x 在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：函数f (x )＝1x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.-=答案=-：A3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5.-=答案=-：B4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．-=答案=-：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎨⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示．由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]．利用x 的不同取值先去绝对值，再画图．类型二 利用单调性求函数的最大(小值)例2 已知f (x )＝1x －1，(1)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)求f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．【解析】 (1)函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 2>x 1>1，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由(1)可知f (x )在(1，＋∞)上是减函数，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝13.(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．类型三二次函数最值例3求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2－1－a2，其图象的对称轴为直线x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．方法归纳1．如何求二次函数在闭区间[m，n]上的最值？①确定二次函数的对称轴x＝a；②根据a<m，m≤a<m＋n2，m＋n2≤a<n，a≥n这4种情况进行分类讨论；③写出最值．2．求二次函数的最值常用的数学思想方法数形结合思想、分类讨论思想．跟踪训练3已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．解析：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.-=答案=-：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解析：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎨⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数， 因此f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f (12)＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.-=答案=-：613．求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t ＋1]上为减函数，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t2＋1，t<0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t>1.。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．
1.3.2正弦函数的性质 (2)
正弦函数的性质 定义域 值域 R [-1,1]
奇偶性 周期性
单调性
奇函数 最小正周期2π
-11 在x 2k , 2k 上是增函数； 2 2 (k∈Z) 3 在x 2k , 2k 上是减函数； 2 2
最值
2 (k∈Z) 3 当x 2k 时，ymin 1 2
3 2
2
o
2
-1
3 2
2
5 2
3
7 2
4
9 2
x
一般地，对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使 得对于函数定义域内的任意 X，等式 f(X)=f(x+T)恒成立，那么称 函数 为周期函数.其中常数 T叫做该函数的周期.如果这样的常数 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最 小正周期.
当x 2k
1-1
时，ymax 1
作业： 1.高校作业 2.课本P43 B组第3题 3.预习下节课内容（图像变化）
(1)sin x 2
(2)2sin x 3
1 (3) sin x 2
2
例二 求出下列函数的最大值和最小值：
(1) y 1 sin x
(2) y 2sin x
(3) y 3 sin x (4) y 4sin x
y
1
7 4 2
3
5 2
2
§1.3. 2正弦函数的图象与性质
——第二课时
y
1
7 4 2
3
5 2
2
3 2
2
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1)
2
4
小结：最值的取得点 余弦函 数的值域
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值 1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=sin(x+ )=cosx, xR 2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
((00,,111))
3
((22,1,1))
-
(-o122 ,0)
( 2 ,0)
2
((,,--11))
函数
2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( D )
（A）{0}
(B) [－1,1]
(C) [0,1]
(D) [－2,0]
3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、
b、c的大小关系是 ( )A
(A) c> a > b
(B) a > b> c
(C) a >c> b
减函数；
当 2k
3
x
3
2k
2
时，
23
即4k 4 x 4k 10 时，原函数为
第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1第2课时函数的最大小值
时，y最大值＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利 润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的四个步骤 1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变 量和因变量的条件关系. 2建模：建立数学模型，列出函数关系式. 3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意 自变量的取值范围. 4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝35， 最大值 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝59.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
3．树立 1 种意识——数形结合 通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题 意识． 4．规避 2 个易错 (1)最值 M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
1．函数 y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3]
B．[－1,0]
() () ()
2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小 值、最大值分别是( )
A．－1,0 B．0,2 C．－1,2 D.12，2 C [由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝ －1.]
3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
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就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，
以及这个最大值是多少. 解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐 标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数
h(t ) 4.9t 14.7t 18 我们有：
2
当t
14.7 1.5时，函数有最大值 2 ( 4.9)
4 (4.9) 18 14.7 2 h 29. 4 ( 4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，
这时距地面的高度约为29m.
例4.已知函数 f ( x) 2 ( x [2, 6]) ，求函数f(x)的最大 x 1 值和最小值。
在区间[2,6]的两个端点上分别取得
最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在
x=6时取得最小值，最小值是0.4.
练习:.求函数 f ( x) x 2 在区间[-1,3]上的最大值和最小值. 【答案】最大值是9，最小值是0.
1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数 在其定义域上的整体性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数N满足： （1）对任意的 x I ，都有 f ( x) N ； （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) N . 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
n
O
m
f(n)
x
例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期
望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时
间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多
少（精确到1 m）？
分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意
由2 x1 x2 6, 得x2 x1 0, ( x1 1 ( x2 1) 0, ）
于是f ( x1 ) f ( x2 ) 0,即f ( x1 ) f ( x2 ).
所以，函数 f（x） 2 是区间[2,6]上的减函数. =
x-1
因此，函数
f（x） =
2 x-1
提示：先证明这个函数在区间[2,6]上的单调性，再根据 单调性求最值.
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 x1 1 x2 1
2[( x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1 ) . ( x1 1)( x2 1) ( x1 1)( x2 1)
函数的最大值、最小值
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最 高点或者最低点处的函数值.
最低点处的函数值是0.
最高点处的函数值是0.
探究点:
函数最大（小）值的定义
函数最大值定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满
足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 请同学们仿此 给出函数最小 值的定义
则函数y=f (x) 在区间[m，n]上的最值是什么？
y
f(n)
当x=m时，f (x)有最 小值f (m)，当x=n时,f (x) 有最大值f (n).
m
O
m，n]上单调递减，则函数 y=f(x)在区间 [m，n]上的最值是什么？
y
f(m)
当x=m时，f (x)有最 大值f (m)，当x=n时，f(x) 有最小值f (n).
要证明这个函数的单调性，若是基本的初等函数可以直接
使用函数的单调性.