大学物理 第3章 2013.3.12

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绕质心的转动
3.1.2 刚体的定轴转动
相对于某一惯性参照系（例如地面）固 定不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动. 这条固定不动的直线称之为固定轴.
为研究方便，我们将垂直于固 定轴的平面称之为转动平面.


vi ri

m i
质元 转动平面
固定轴
3.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
1 角速度和角加速度
d dt
定轴转动的特点

>0
z

z

<0

1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
2角量与线量的关系

d dt d d 2
dt dt
2


a
an r
v ret
a r an r
解 受力分析如图所示. 对于上下作平动的两物体， 可以视为质点，由牛顿第 二运动定律得
T1 对m ：T1 mg ma1 T2 对M：Mg T2 Ma2 a1 m 若以顺时针方向转的 M 力矩为正，逆时针转的方 a2 Gm 向为负，则由刚体定轴转 GM 动的转动定律得 1 2 T2 R T1 R M阻 J m R 2
2
2.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R

2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
z
对于绕固定轴oz 转 动的整个刚体而言: N 2 L mi ri J i 角动量的方向沿轴的正向或负向,所以 可用代数量来描述.
2. 角动量定理（动量矩定理）
d d J dL MJ dt dt dt
微分形式：Mdt d J dL
3.1 刚体定轴转动运动学
3.1.1 刚体
3.1.2 刚体的定轴转动
3.1.3 刚体定轴转动的运动学描述 3.1.4 例题分析
3.1.1 刚体
刚体就是有一定的形状和大小，但形状 和大小永远保持不变的物体. 刚体是一种理想模型.
刚体可以看成是由许多质点构成，每一 个质点称之为刚体的一个质元. 可见刚体是 一个特殊的质点组，其特殊性在于在外力作 用下各质元之间的相对位置保持不变.
J m i ri
i
2
适用于离散分布刚体转动惯量的计算
J r 2dm
m
适用于连ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分布刚体转动惯量的计算
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
（1）形状大小分别相同的刚体质量大的 转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴 越远转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴不同，质量 对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同. 注意 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几
何形状及转轴的位置.
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能( 转动动能 ) o 对于第i 个质元,动能为
1 1 2 Eki mi vi mi ri 2 2 2 2 对于整个刚体,动能为
vi ri
m i
Ek E ki
i 1
N
1 1 N 2 2 mi ri J 2 2 2 i 1
o
2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 y dW F dr F ( F cos )ds dr ( Fr sin )d P d r dW Md o W Md
0
x
dW d P M M dt dt
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
积分形式： Mdt J J 0
t0 t t
或 Mdt L L0
t0
3. 角动量守恒定律
若：M 0 即系统所受的合外力矩为零.
——角动量守恒的条件
则：dL d J 0 ， L J 常量. 或
——角动量守恒的内容 如: 滑冰运动员的表演.
1.求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转 动惯量. （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 （1）如图所示，以过A 端垂直于棒的 oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: J 端 点 x 2dm m o x dx B x L m A x 2 dx 0 dm L 1 2 L o mL 3
2
et v a
t
2 a r et r en
3.2 刚体定轴转动动力学
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 3.2.4 例题分析
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律
1. 力矩
对于定点转动而言：
M Fd Fr sin
一 刚体的平动与转动
刚体的运动形式：平动、转动. 平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线. 刚体平动 质点运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .

刚体的平面运动 .
刚体的一般运动 质心的平动
J r 2dm

m R
0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
4.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量 分别为m 和M 的物体，且 M > m . 滑轮可 看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 m， 半径为R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如 图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到 了摩擦阻力矩 M阻的作用. 设绳不可伸长 且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及 绳中的张力.
1. 角动量( 动量矩 ) 对于定点转动而言： L r P r m v
L
P mv
o
r sin
r

m
对于绕固定轴oz的 转动的质元 mi 而言: Li ri mi vi 2 mi ri k
vi m i L ri
F外力ri sin i F内力ri sin i mi ri2
2 F外 力ri sin i F内 力ri sin i mi ri 外力矩为M 内力矩为零 i i i
M J
刚体定轴转动的转动定律
转动惯量 J
3. 转动惯量
转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度 描述.
M
F
o
d
r
M r F

m
对于定轴转动而言： M r F r F
注意:
z
o
r P
F F
(1)力矩是对点或对轴而言的;
(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时M > 0；使刚体顺时针绕定轴转动时 M < 0.
2. 刚体定轴转动的转动定律 z , 对质元 mi ，由 牛顿第二运动定律得 F内力 F外力 F内力 mi ai o i F外力 ri 其中 ai 是质元 mi 绕 m i i 轴作圆运动的加速度， 写为分量式如下：
角坐标
约定
(t )
z
(t )
>0 沿顺时针方向转动 < 0
沿逆时针方向转动
x
(t t) (t) d 角速度矢量 lim t 0
角位移
方向:

t

dt
右手螺旋方向
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角 速度的正负来表示 . 角加速度
o R M阻 m

据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动， 所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的 加速度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得
M阻 ( M m)g R a m M m 2
mM阻 m ( 2 M )mg 2 R T1 m( g a ) m M m 2 MM阻 m ( 2m ) Mg 2 R T2 M ( g a ) m M m 2 注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩 时，此时有 T1 T2 ，物理学中称这样的滑轮 为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德 机.
F外 力 cos i F内 力 cos i mi ain F外 力 sin i F内 力 sin i mi ai
其中 ain 和 ai 是质元 mi 绕轴作圆运动 的法向加速度和切向加速度，所以
法向： F外力 cos i F内力 cos i mi ri 2 法向力的作用线过转轴,其力矩为零. 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: o x dx B x A dm L L o 2 2
J 端 点 x dm
2 m
L 2 L 2
m 1 mL2 x dx L 12