道德风险与基于委托-代理理论的最优保险契约模型

2001年3月系统工程理论与实践第3期　文章编号:100026788(2001)0320026205道德风险与基于委托2代理理论的最优保险契约模型徐　新,邱菀华(北京航空航天大学管理学院,北京100083)摘要:　分别针对事后信息对称和存在道德风险的情况,使用委托—代理理论建立了相应的保险契约分析模型,对两种情况下的最优保险契约的性质进行了研究Λ我们证明了信息对称时,最优保险契约要求完全保险,从而可以达到帕累托最优的风险分担,而且此时最优保险费等于意外事件造成损失的期望值;存在道德风险时,出于激励的目的,最优保险契约要求只提供部分保险,最优保险费小于意外事件造成的期望损失,而且随着意外事件造成损失的增大,投保人所遭受的实际损失也应该增大Λ在两种情况下,最优保险费都与投保财产成反比Λ关键词:　委托2代理;保险契约;道德风险中图分类号:　F840 文献标识码:　A αT he Op ti m al In su rance Con tracts under M o ral2hazard Based on the P rinci pal2agen t T heo ryXU X in,Q I U W an2hua(Schoo l of M anagem en t,Beijing U n iversity of A eronau tics and A stronau tics,Beijing100083,Ch ina) Abstract　T h is paper emp loys the p rinci pal2agen t theo ry to research the op ti m alin su rance con tracts under mo ral hazard.W e con struct tw o p rinci pal2agen t models fo rnon2mo ral hazard and mo ral hazard respectively.T he first model illu strates the mo stfundam en tal resu lt:under the symm etric info rm ati on,the op ti m al in su rance con tractrequ ires fu ll in su rance coverage,and the op ti m al in su rance p rem ium is equ ivalen t to theexpected lo ss.T he mo ral hazard model yields the general con tractual fo rm s that them arket responds to mo ral hazard w ith partial in su rance coverage,and the final lo sssuffered by in su red individuals is increasing w ith the to tal lo ss arou sed by the acciden ts,and the op ti m al in su rance p rem ium is less than the expected lo ss.Keywords　p rinci pal2agen t;in su rance con tract;mo ral hazard1　引言随着信息经济学逐渐成为主流经济学不可分割的一部分,委托2代理理论已成为经济学的研究热点Λ从理论上来说,一个经济管理问题,凡是涉及到契约双方共同分享一个带有不确定性的成果,即存在风险分担,而且该成果的获得受其中一方所付出的私人劳动(不可监督的行动)的影响,即存在激励,那么就可以使用委托2代理理论来分析该问题Λ因此,近年来该理论在制度研究、产权研究、组织管理以及人力资源管理等方面得到了广泛的应用Λ具体来说,委托2代理理论将参与人分为委托人和代理人,委托人想使代理人按照前者的利益选择行动,但委托人不能直接观测到代理人选择了什么行动,能观测到的只是行动的结果,而工作结果由代理人的行动和外生的随机因素(称为自然状态)共同决定,而且自然状态是双方都不能控制和不可确知的,因而充其量只是代理人行动的不完全信息Λ在这种情况下,代理人就可能会向委托人α收稿日期:1999206228资助项目:国家自然科学基金(69674039)隐藏自己的行动,以便从偷懒中来获得一定的附加效用,这种隐藏行动的情况我们称之为道德风险Λ委托人的问题是如何根据工作绩效来奖惩代理人,以激励其选择对委托人最有利的行动Λ保险是经济学的一个重要分支,其主要职能就是分担风险[3]Λ投保人购买某类保险,就等同于他与承保方签定了一个保险契约Λ在契约中,双方就投保人应向承保人支付的保险费率,以及所保的意外事件发生并给投保人造成损失后,承保人应给予投保人的赔偿金等条款达成一致Λ因为所保事件实际上并不完全是由外生的随机因素决定的,还受投保人在购买保险以后的行为的影响,例如对于机动车辆保险来说,车辆的丢失、车祸的发生等意外事件的发生,就与车主(投保人)所采取的防盗措施、开车时是否小心等有关Λ显然,保险中是存在上述的道德风险情况的Λ在保险公司(承保人)不能监督投保人的行动的前提下,一方面,投保人付出努力(如开车时集中精力)或花费(如安装先进的防盗设备),会对他产生直接的负效用,而其潜在的积极影响是可能会避免损失的发生或减少损失的大小Λ但是,由投保人努力所导致的积极影响并不会由投保人独享,而是和承保人共享的Λ所以投保人就会有偷懒(或节省努力负效用)的本能需求Λ另一方面,保险公司提供保险服务,是对施加于投保人身上的不可控制又不可确知的外生风险所造成的损失提供物资补偿Λ如果投保人在签单后就放松自身对意外风险的防范措施,从某种意义上来说,就等于人为地使风险发生的可能性变大,从而使赔付事件发生的可能性增大Λ所以保险公司就会激励投保人在投保后仍然不放松对所保事件的防范措施Λ综上所述,保险契约中既存在风险分担,又存在激励问题,使用委托2代理理论分析保险契约是恰当的Λ根据委托2代理理论的原理和保险的实际情况,可以认为投保人是代理人,而保险公司是委托人Λ2　不存在道德风险时的最优保险契约模型我们先来考虑一种理想情况,即投保人的行为不会影响所保意外事件的发生和所受损失的大小,下面用委托2代理理论来分析这种情况下的最优保险契约Λ我们在这里使用基于“分布函数的参数化方法”[1,2]的委托2代理模型Ζ假设代理人的初始财富为w 0;意外事件所造成的损失为x Ε0,x 为一个随机变量,其分布函数为F (x ),分布密度为f (x ),那么不发生意外事件的概率为f (0);保险费率为∆,投保金额为Π,即投保人应向承保方支付的保险费为∆Π;如果意外事件发生,承保人向投保人支付的赔偿费为g (x )Ε0(当发生了损失即x >0时g (x )>0);如果g (x )=x ,则称为完全保险;g (x )<x ,则称为部分保险Ζ代理人的效用函数为u ,且代理人为风险厌恶的,即u >0′而u ″<0Ζ委托人为风险中性,因此可以假设委托人的效用函数为线性的[4]Ζ保险公司的主要获利手段并不是单纯的保险活动,赚取保险费和赔偿费之间的差价Ζ而是通过保险从大量投保人处吸收资金,再将聚集的巨额资金用于各类投资活动,以便从中获得收益[3]Ζ因此,保险公司为了吸引投保人参加保险,就要使投保人从参加保险中获得最大的效用满足,而公司只要在保险交易中不亏本即可[5,7]Ζ现实生活中,保险是买方市场的现象也说明这一假设是合理的Ζ由于以上的假设,我们可以建立如下的基于委托2代理理论的最优保险契约模型Ζm ax g (x ),∆　f (0)u (w 0-∆Π)+∫x >0u (w 0+g (x )-x -∆Π)f (x )d x s .t .∆Π-∫x >0g (x )f (x )d x Ε0进一步,我们假设保险市场是完全竞争的,即竞争使得保险公司不能从保险活动中赚取超额利润,则上述最优化问题中约束条件中的等号成立Ζ显然,以上的最优化问题中并没有考虑一般委托2代理模型中的代理人参与约束①,这是因为模型中已经确保在满足委托人的参与约束的情况下,最大化投保人参加保险后的期望效用,如果投保人按照此契约得到的参保后的期望效用水平仍然不能高于(至少等于)他不参保时的期望效用,那就说明此类风险是不72第3期道德风险与基于委托2代理理论的最优保险契约模型①在保险中投保人的参与约束可以理解为:投保人参加保险后的期望效用水平会比不参加时的期望效用水平高.可保的Ζ众所周知,生活中确实存在不可保险的风险情况Ζ因此,以上模型实际上已经在可保风险的范围内涵盖了投保人的参与约束Ζ定理1　在没有道德风险的情况下,最优保险契约可以实现风险分担的帕累托最优,投保后如果所保意外事件发生,则投保人所遭受的实际损失g(x)-x与x无关,而且最优契约要求完全保险;最优保险费∆Π等于所受损失的期望值E(x)Ζ证明　针对以上的最优化问题,构造拉格朗日函数如下:L(g(x),∆)=f(0)u(w0-∆Π)+∫x>0u(w0+g(x)-x-∆Π)f(x)d x+Κ∆Π-∫x>0g(x)f(x)d x)令w n=w0-∆Π,w l=w0+g(x)-x-∆Π,对于赔偿方案g(x)和保险费率∆的一阶条件分别为:u′(w1)-Κ=0(1)和f(0)u′(w n)+∫x>0u′(w l)f(x)d x=Κ(2)根据库恩—塔克条件可知Κ为一个正的常数(因为约束条件的等号成立),由(1)式显然可得帕累托最优的风险分担[6]Ζ将(1)式代入(2)式可得①:u′(w n)-Κ=0,因为Κ是个正的常数,显然有w l=w n,且为一常数,即可得:g(x)-x=0(3) 将(3)式代入约束条件就有②:∆Π=E(x),即∆=E (x)Π.证毕从上面的分析可见,在投保人的行为不会影响所保意外事件的发生和所受损失大小的情况下,最优保险契约要求完全保险,即在意外事件发生后,代理人将获得全部赔偿Ζ从委托2代理理论的角度来说,这主要是因为不存在信息不对称的缘故(因为我们这里考虑的是投保人的行为不进入契约的情况)Ζ而且由于委托人的风险态度为中性的,投保人应付给保险公司的保险费恰好等于损失变量的期望值Ζ显然上述最优契约达到了帕累托最优的风险分担Ζ而投保人应支付给承保方的保险费率∆,是E(x)的严格单调递增函数,也就是可能遭受损失的期望值越大,保险费率越高;而与总保险财产成反比,总保险财产越大,保险费率则越低Ζ3　存在道德风险情况下的最优保险契约模型一般来说,所保意外事件的发生是要受到投保人的行为的影响的Ζ例如,对于火灾保险,如果购买了保险后,投保人在防火设备的配置上舍得投入,而且对于可能引发火灾的各种行为都进行较为严格的控制,就可以明显地减少火灾发生的可能性,而且即使发生了火灾也可以使损失程度有效地降低;对于机动车辆保险来说,如果驾驶员在开车时能够集中精力,控制车速不要太高,就可以有效防止车祸的发生Ζ正如第一节所述,如果所保事件的发生要受到投保人的行动的影响,那么在设计契约时就要考虑激励问题Ζ下面我们来分析此类保险契约的设计Ζ用A表示代理人所有可选择的行动的组合,a∈A表示代理人的一个特定行动Ζ理论上讲,行动a可以是任何维的决策向量,但为了分析的方便,我们假定a是代表防范行动水平的一维变量Ζc(a)为代理人的努力负效用,这里假设c(a)为效用化成本,且有c′>0,c″>0Ζ因为这里考虑代理人的行动会影响事故所引起的损失,所以可以假设意外事件所造成的损失x的分布函数为F(x,a),分布密度为f(x,a)Ζ显然代理人付出的努力越多,意外事件所造成的损失就可能越小,这一点我们可以用一阶随机占优条件F a(x,a)>0 82系统工程理论与实践2001年3月①②这里的推导使用了∫x>0x f(x)d x=E(x).这里的推导使用了∫x>0Κ(f(x)d x=Κ(1-f(0)),其中f(0)为不发生意外事件的概率.来表示①,即a 越大,某一损失水平x 发生的概率越小Ζ由以上假设,我们可以认为不发生意外事件的概率为f (0,a )Ζ根据保险的特点,我们有f a (0,a )>0和f a (x ,a x >0)<0[2],即代理人付出的努力越大,意外事件不发生的概率越大,而某一给定损失发生的概率越小Ζ其余的符号采用上一节的解释Ζ在存在隐藏行动的情况下,在委托2代理模型中就要考虑激励相容约束[1]Ζ于是可以建立如下的保险契约模型:m ax ∆,g (x ),a f (0,a )u (w 0-∆Π)+∫x >0u (w 0+g (x )-x -∆Π)f (x ,a )d x -c (a )(4)s .t .∆Π-∫x >0g (x )f (x ,a )d x =0(5)a =arg m ax a f (0,z )u (w 0-∆Π)+∫x >0u (w 0+g (x )-x -∆Π)f (x ,a )d x -c (a )(6)出于与上一节同样的原因,在我们的模型中没有显式地列出投保人的参与约束Ζ而且,在这种情况下,不可避免的道德风险极可能是造成风险不可保的直接原因Ζ如参考文献[1]中所述,我们可以用一阶条件来表示如上模型中第二个约束条件,即f a (0,a )u (w 0-∆Π)+∫x >0u (w 0+g (x )-x -∆Π)f a (x ,a )d x =c ′(a )(7)因此,保险契约可以化为由(4)、(5)和(7)式组成的最优化问题,(4)式为目标函数,(5)式和(7)式为约束条件Ζ对以上问题构造拉格朗日函数,为简便计,令w n =w 0-∆Π,w l =w 0+g (x )-x -∆Π,有:L (g (x ),∆)=f (0,a )u (w n )+∫x >0u (w l )f (x ,a )d x -c (a )+Κ∆Π-∫x >0g (x )f (x ,a )d x +Λf a (0,a )u (w n )+∫x >0u (w l )f a (x ,a )d x -c ′(a )(8)对于赔偿方案g (x )的一阶条件为:u ′(w l )-Κ+Λw ′(w l )f a (x ,a )f (x ,a )=0其中Κ为正的常数,且Λ不能为0,否则激励相容约束将不起作用[1,2]Ζ显然有:u ′(w l )=Κ1+Λf a (x ,a )f (x ,a )(9) 引理　以上最优化问题中第二个约束条件的拉格朗日乘子Λ>0Ζ证明　由(8)式可得:Κ∫x >0g (x )f a (x ,a )d x +Λ(f aa (0,a )u (w n )+∫x >0u (w l )f aa (x ,a )d x -c ″(a ))=0(10)上式隐含地给出了参数Λ的定义,括号内的表达式是代理人激励相容约束的二阶条件,因此肯定小于0Ζ而根据假设x >0时,g (x )>0,f a (x )<0,所以上式左边第一项大于0,故而有Λ>0Ζ证毕根据第二节的讨论我们知道,不存在道德风险的情况下,当意外事件发生时,投保人所受的损失与意外事件造成的损失无关,最优保险契约要求完全保险,而最优保险费小于损失的期望值Ζ那么,存在道德风险时,情况如何呢?定理2　如果意外事件所造成的损失的分布密度函数满足单调似然率特征:f a f是损失x 的递减函数,即较小的x 意味着代理人付出了较大的防范努力,则发生了意外事件后,代理人所受的实际损失x -g (x )是意外事件造成损失的递增函数Ζ而最优保险费小于损失的期望值Ζ证明　由(8)式可得对于保险费率∆的一阶条件为:f (0,a )u ′(w n )+∫x >0u ′(w l )f (x ,a )d x +Λf a (0,a )u ′(w n )+∫x >0u ′(w l )f a (x ,a )d x =Κ92第3期道德风险与基于委托2代理理论的最优保险契约模型①因为x 大于任意给定的x ～的概率为1-F (x ～).将(9)式代入上式,可得①:u′(w n)=Κf(0,a)f(0,a)+Λf a(0,a)(11)由上式可见等式右边是一个与x无关的常数,故而保险费∆Π也是与x无关的常数,可写作∆Π=k,即保险费率与总保险财产成反比Ζ当意外事件造成的损失增大时,由单调似然率特征,有f af变小,由(9)式可得u′(w l)变大,因为u′(w l)是代理人所受实际损失x-g(x)+∆Π的递增函数,由上面的证明可知∆Π是与x无关的常数,所以有x-g(x)变大Ζ另外,由最优化问题的第一个约束条件∆Π-∫x>0g(x)f(x,a)d x=0,以及g(x)<x和如下关系:E(x)=∫x>0x f(x,a)d x,可得∆Π<E(x)Ζ可见,存在道德风险时,投保时代理人所应交纳的保险费率也变小Ζ证毕据定理2可知,当发生了意外事件,即x>0时,必然有g(x)<x,即最优契约要求部分保险Ζ随着意外事件造成的损失x的增大,g(x)与x之间的差距在进一步变大Ζ直观地讲,定理2的结论正是针对现实生活中的道德风险行为提出的激励措施Ζ如果委托人预期到代理人的私人行为会影响到所保事件的发生,则最优契约要求部分保险;而如果承保方预期到投保人的私人行为可能会造成意外事件损失变大,则最优契约要求代理人所承受的损失也在增大,从而有效地遏制代理人的道德风险行为Ζ4　结束语保险具有经济补偿、分担风险和积累资金的重要功能Λ建立科学的保险契约机制,鼓励企业、个人参加各类保险,有利于提高全社会对风险的承受能力,增强社会保障水平Λ当前我国的保险业已经走向市场,各保险公司展开了激烈的市场竞争,但由于种种原因我国的保险市场还不是很规范,国民的保险意识也比较淡漠,影响了投保的积极性,因而在保险理论和实践上有很多问题有待于研究Λ本文分别针对事后信息对称和存在道德风险的情况,使用委托2代理理论建立了相应的保险契约分析模型,对两种情况下的最优保险契约的性质进行了探讨,得到了非常重要的结论,可以为广泛开展各类保险业务提供理论依据Λ应该指出的是,本文只考虑了事后的信息不对称—道德风险的情况,而对于保险业务中重要的事前信息不对称—逆向选择的情况还有待于进一步的研究Λ参考文献:[1]　张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海:上海人民出版社,1996.[2]　Ho l m strom B.M o ral hazard and ob servab ility[J].T he Bell Jou rnal of Econom ics,1979,(1):74-91[3]　上海财经大学保险教研室编.保险学原理[M].上海:百家出版社,1989.[4]　L ou is Eeckhoudt,Ch ristian Go llier.R isk Evaluati on,M anagem en t and Sharing.H arvestW heatsheaf,1996.[5]　W in ter R.M o ral H azard and In su rance Con tracts[A].Con tribu ti on s to In su 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