高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

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高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量专题复习向量是高考的一个亮点,因为向量知识,向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积 (一)基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。

4、向量形式的三角形不等式:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问:取等号的条件是什么?);向量形式的平行四边形定理:2(|a |2+|b |2)=|a -b |2+|a +b |25、实数与向量的乘法(即数乘的意义)实数λ与向量的积是一个向量,记λ,它的长度与方向规定如下:(1)|λa |=|λ|²|a |;(2)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用:若≠,则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)) (二)典型例题例1、O 是平面上一 定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心+是在∠BAC 的平分线上,∴选B例2、对于任意非零向量与,求证:|||-|||≤|±|≤||+||证明:(1)两个非零向量与不共线时,+的方向与,的方向都不同,并且||-||<|±|<||+||(3)两个非零向量a 与b 共线时,①a 与b 同向,则a +b 的方向与a 、b 相同且|a +b |=|a |+|b |.②a 与b 异向时,则a +b 的方向与模较大的向量方向相同,设|a |>||,则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

专题11 平面向量专项高考真题总汇(带答案及解析)

专题11 平面向量专项高考真题总汇(带答案及解析)

专题11平面向量1.【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ,则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】若a c b c ⋅=⋅ ,则()0a b c -⋅=r r r ,推不出a b = ;若a b =,则a c b c ⋅=⋅ 必成立,故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选:B.2.【2021·全国高考真题】已知O 为坐标原点,点()1cos ,sin P αα,()2cos ,sin P ββ-,()()()3cos ,sin P αβαβ++,()1,0A ,则()A .12OP OP = B .12AP AP =C .312OA OP OP OP ⋅=⋅D .123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ,2OP 、1AP uuur ,2AP uuu r 的坐标,利用坐标公式求模,即可判断正误;C 、D 根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简,即可判断正误.【详解】A :1(cos ,sin )OP αα=,2(cos ,sin )OP ββ=- ,所以1||1OP == ,2||1OP == ,故12||||OP OP = ,正确;B :1(cos 1,sin )AP αα=- ,2(cos 1,sin )AP ββ=-- ,所以1||2|sin |2AP α=====,同理2||2|sin |2AP β== ,故12||,||AP AP 不一定相等,错误;C :由题意得:31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+,12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ,正确;D :由题意得:11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=,23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+,故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误;故选:AC3.【2020年高考全国III 卷理数】6.已知向量a ,b 满足||5a =,||6b =,6a b ⋅=-,则cos ,=+a a b A .3135-B .1935-C .1735D .1935【答案】D【解析】5a = ,6b = ,6a b ⋅=-,()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b +== ,因此,()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ .故选:D .【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.4.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP AB⋅的取值范围是A .()2,6-B .()6,2-C .()2,4-D .()4,6-【答案】A 【解析】如图,AB的模为2,根据正六边形的特征,可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-,结合向量数量积的定义式,可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积,所以AP AB⋅的取值范围是()2,6-,故选:A .【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.5.【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为A .π6B .π3C .2π3D .5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ,所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0,所以2⋅=a b b ,所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ,所以a 与b 的夹角为π3,故选B .【名师点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为[0,]π.6.【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3),AC =(3,t ),BC =1,则AB BC ⋅=A .−3B .−2C .2D .3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=- ,1BC == ,得3t =,则(1,0)BC = ,(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=.故选C .【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大.7.【2019年高考北京卷理数】设点A ,B ,C 不共线,则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC的夹角为锐角,所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅ ,即22||||AB AC AC AB +>- ,因为AC AB BC -= ,所以|AB +AC |>|BC |;当|AB +AC |>|BC |成立时,|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0,又因为点A ,B ,C 不共线,所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件,故选C .【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8.【2021·浙江高考真题】已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅= .记向量d 在,a b方向上的投影分别为x ,y ,d a - 在c方向上的投影为z ,则222x y z ++的最小值为___________.【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===,,由平面向量的知识可得22x y +=,再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意,设(1,0),(02),(,)a b c m n === ,,则()20a b c m n -⋅=-=,即2m n =,又向量d 在,a b方向上的投影分别为x ,y ,所以(),d x y = ,所以d a - 在c 方向上的投影()||d a c z c -+-⋅===,即22x y +=,所以(()()222222222211221210105x y z x y z x y ⎡⎤++=++++≥+=⎢⎥⎣⎦ ,当且仅当2122x y x y ⎧==⎪⎨⎪+=⎩ 即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时,等号成立,所以222x y z ++的最小值为25.故答案为:25.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系,再结合柯西不等式变形即可求得最小值.9.【2021·全国高考真题(理)】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ .若a c ⊥ ,则k =________.【答案】103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标,利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯= ,解得103k =-,故答案为:103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量垂直的条件,属基础题,利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.10.【2021·全国高考真题】已知向量0a b c ++= ,1a =,2b c == ,a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______.【答案】92-【分析】由已知可得()20a b c++=,展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=,因此,92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为:92-.11.【2021·全国高考真题(理)】已知向量()()1,3,3,4a b == ,若()a b b λ-⊥,则λ=__________.【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程,即可解出.【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--,所以由()a b b λ-⊥ 可得,()()3134340λλ-+-=,解得35λ=.故答案为:35.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示,设()()1122,,,a x y b x y ==,121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=,注意与平面向量平行的坐标表示区分.12.【2021·北京高考真题】(2,1)a = ,(2,1)b =-,(0,1)c = ,则()a b c +⋅=_______;a b ⋅=_______.【答案】03【分析】根据坐标求出a b +,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=,()4,0a b ∴+= ,()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=,()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为:0;3.13.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设,a b 为单位向量,且||1+=a b ,则||-=a b ______________.【解析】因为,a b 为单位向量,所以||||1==a b所以||1+====a b ,解得:21⋅=-a b ,所以||-===a b ,故答案为:.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.14.【2020年高考全国II 卷理数】已知单位向量a →,b →的夹角为45°,k a b →→-与a →垂直,则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得:11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=,由向量垂直的充分必要条件可得:0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭,即:202k a a b k →→→⨯-⋅=-=,解得:2k =.故答案为:22.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.【2020年高考天津】如图,在四边形ABCD 中,60,3B AB ∠=︒=,6BC =,且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ,则实数λ的值为_________,若,M N 是线段BC 上的动点,且||1MN = ,则DM DN ⋅的最小值为_________.【答案】(1).16;(2).132【解析】AD BC λ=,//AD BC ∴,180120BAD B ∴∠=-∠= ,cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭,解得16λ=,以点B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ,()66,0BC C =∴ ,,∵3,60AB ABC =∠=︒,∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC = ,则5,22D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,设(),0M x ,则()1,0N x +(其中05x ≤≤),5,22DM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,3,22DN x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,所以,当2x =时,DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为:16;132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.16.【2020年高考北京】已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足1()2AP AB AC =+,则||PD = _________;PB PD ⋅=_________.;1-【解析】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ,()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ,则点()2,1P ,()2,1PD ∴=- ,()0,1PB =-,因此,PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算,建立平面直角坐标系,求出点P 的坐标是解答的关键,考查计算能力,属于基础题.17.【2020年高考浙江】已知平面单位向量1e ,2e满足122||-≤e e .设12=+a e e ,123=+b e e ,向量a ,b 的夹角为θ,则2cos θ的最小值是_______.【答案】2829【解析】12|2|e e -≤u r u r Q 124412e e ∴-⋅+≤u r u r,1234e e ∴⋅≥u r u r ,222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅u r u r u r u r r r u r u r u r u r u r u rr r 12424228(1(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯u r u r .故答案为:2829.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.18.【2020年高考江苏】在△ABC 中,43=90AB AC BAC ==︒,,∠,D 在边BC 上,延长AD 到P ,使得AP =9,若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数),则CD 的长度是▲.【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线,∴可设()0PA PD λλ=>,∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ,即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ,若0m ≠且32m ≠,则,,B D C 三点共线,∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=,即32λ=,∵9AP =,∴3AD =,∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒,∴5BC =,设CD x =,CDA θ∠=,则5BD x =-,BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅,()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-,∵()cos cos 0θπθ+-=,∴()()2570665x x x --+=-,解得185x =,∴CD 的长度为185.当0m =时,32PA PC = ,,C D 重合,此时CD 的长度为0,当32m =时,32PA PB = ,,B D 重合,此时12PA =,不合题意,舍去.故答案为:0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=> .19.【2019年高考全国III 卷理数】已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0,若2=c a ,则cos ,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=-c a ,0⋅=a b ,所以22⋅=-⋅a c a b 2=,222||4||5||9=-⋅+=c a b b ,所以||3=c ,所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c .【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.20.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中,,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ⋅= ___________.【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系,∠DAB =30°,5,AB AD ==则B,5(,)22D .因为AD ∥BC ,30BAD ∠=︒,所以30ABE ∠=︒,因为AE BE =,所以30BAE ∠=︒,所以直线BE 的斜率为33,其方程为3(3y x =-,直线AE 的斜率为33-,其方程为33y x =-.由(333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x 1y =-,所以1)E -.所以35(,)1)122BD AE =-=- .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.21.【2019年高考江苏卷】如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ,则AB AC的值是___________.3【解析】如图,过点D 作DF //CE ,交AB 于点F ,由BE =2EA ,D 为BC 的中点,知BF =FE =EA ,AO =OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ,()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭,得2213,22AB AC = 即,AB = 故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.22.【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1,当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时,123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 的最小值是___________;最大值是___________.【答案】0; 0所以当1256341,1λλλλλλ======-时,有最大值max y ===故答案为0;【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想,从“基向量”入手,最后求不等式最值,是一道向量和不等式的综合题.。

平面向量高考试题精选(含详细答案)

平面向量高考试题精选(含详细答案)

平面向量高考试题精选(一)一.选择题(共14小题)1.(2015•XX)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B.C.D.2.(2015•XX)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.213.(2015•XX)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()A.20 B.15 C.9 D.64.(2015•XX)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是()A.||=1 B.⊥C.•=1 D.(4+)⊥5.(2015•XX)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是()A.||≤|||| B.||≤|||﹣|||C.()2=||2D.()•()=2﹣26.(2015•XX)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A.B.C.D.π7.(2015•XX)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()A.B.C.D.8.(2014•XX)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值X围是()A.[4,6]B.[﹣1,+1]C.[2,2]D.[﹣1,+1] 9.(2014•桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于()A.2 B.C.D.110.(2014•XX)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.11.(2014•XX)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为()A.B.C.D.012.(2014•XX)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.213.(2014•新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B. C.D.14.(2014•XX)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()A.B.2C.3D.4二.选择题(共8小题)15.(2013•XX)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于.16.(2013•)已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为.17.(2012•XX)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则=.18.(2012•)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为.19.(2011•XX)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为.20.(2010•XX)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则||的取值X围是.21.(2010•XX)如图,在△ABC中,AD⊥AB,,,则=.22.(2009•XX)若等边△ABC的边长为,平面内一点M满足=+,则=.三.选择题(共2小题)23.(2012•XX)定义向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设g(x)=3sin(x+)+4sinx,求证:g(x)∈S;(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;(3)已知M(a,b)(b≠0)为圆C:(x﹣2)2+y2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值X围.24.(2007•XX)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的作标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值X围.平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2015•XX)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B.C.D.解:由已知得到如图由===;故选:A.2.(2015•XX)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21解:由题意建立如图所示的坐标系,可得A(0,0),B(,0),C(0,t),∵,∴P(1,4),∴=(﹣1,﹣4),=(﹣1,t﹣4),∴=﹣(﹣1)﹣4(t﹣4)=17﹣(+4t),由基本不等式可得+4t≥2=4,∴17﹣(+4t)≤17﹣4=13,当且仅当=4t即t=时取等号,∴的最大值为13,故选:A.3.(2015•XX)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()A.20 B.15 C.9 D.6解:∵四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,,∴根据图形可得:=+=,==,∴=,∵=•()=2﹣,2=22,=22,||=6,||=4,∴=22=12﹣3=9故选:C4.(2015•XX)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是()A.||=1 B.⊥C.•=1 D.(4+)⊥解:因为已知三角形ABC的等边三角形,,满足=2,=2+,又,所以,,所以=2,=1×2×cos120°=﹣1,4=4×1×2×cos120°=﹣4,=4,所以=0,即(4)=0,即=0,所以;故选D.5.(2015•XX)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是()A.||≤|||| B.||≤|||﹣|||C.()2=||2D.()•()=2﹣2解:选项A正确,∵||=|||||cos<,>|,又|cos<,>|≤1,∴||≤||||恒成立;选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||;选项C正确,由向量数量积的运算可得()2=||2;选项D正确,由向量数量积的运算可得()•()=2﹣2.故选:B6.(2015•XX)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A.B.C.D.π解:∵(﹣)⊥(3+2),∴(﹣)•(3+2)=0,即32﹣22﹣•=0,即•=32﹣22=2,∴cos<,>===,即<,>=,故选:A7.(2015•XX)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()A.B.C.D.解:由已知非零向量满足||=4||,且⊥(),设两个非零向量的夹角为θ,所以•()=0,即2=0,所以cosθ=,θ∈[0,π],所以;故选C.8.(2014•XX)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值X围是()A.[4,6]B.[﹣1,+1]C.[2,2]D.[﹣1,+1]】解:∵动点D满足||=1,C(3,0),∴可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).又A(﹣1,0),B(0,),∴++=.∴|++|===,(其中sinφ=,cosφ=)∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,∴=sin(θ+φ)≤=,∴|++|的取值X围是.故选:D.9.(2014•桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于()A.2 B.C.D.1解:∵,∴的夹角为120°,设,则;=如图所示则∠AOB=120°;∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A,O,B,C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时,模最大,最大为2故选A10.(2014•XX)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故答案为:.11.(2014•XX)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为()A.B.C.D.0解:由题意,设与的夹角为α,分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2,不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα,不满足;③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2,满足题意,此时cosα=∴与的夹角为.故选:B.12.(2014•XX)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2解:∵向量=(1,2),=(4,2),∴=m+=(m+4,2m+2),又∵与的夹角等于与的夹角,∴=,∴=,∴=,解得m=2,故选:D13.(2014•新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B. C.D.【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴+=(+)+(+)=+=(+)=,故选:A14.(2014•XX)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()A.B.2C.3D.4解:∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,则=,∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,∴=2=4故选:D.二.选择题(共8小题)15.(2013•XX)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于2.解:∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=.∵非零向量=x+y,∴||===,∴====,故当=﹣时,取得最大值为2,故答案为2.16.(2013•)已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为3.解:设P的坐标为(x,y),则=(2,1),=(1,2),=(x﹣1,y+1),∵,∴,解之得∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDEF与其内部其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0)∵|CF|==,点E(5,1)到直线CF:2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3,即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为:317.(2012•XX)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则= 18.【解答】解:设AC与BD交于点O,则AC=2AO∵AP⊥BD,AP=3,在Rt△APO中,AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6,由向量的数量积的定义可知,=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为:1818.(2012•)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为1.【解答】解:因为====1.故答案为:119.(2011•XX)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为5.解:如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)设P(0,b)(0≤b≤a)则=(2,﹣b),=(1,a﹣b),∴=(5,3a﹣4b)∴=≥5.故答案为5.20.(2010•XX)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则||的取值X围是(0,].解:令用=、=,如下图所示:则由=,又∵与的夹角为120°,∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得:||=≤∴||∈(0,]故||的取值X围是(0,]故答案:(0,]21.(2010•XX)如图,在△ABC中,AD⊥AB,,,则=.【解答】解:,∵,∴,∵,∴cos∠DAC=sin∠BAC,,在△ABC中,由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB,,=|BC|sinB==,故答案为.22.(2009•XX)若等边△ABC的边长为,平面内一点M满足=+,则=﹣2.解:以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得,∴,,∵=+=,∴M,∴,,=(,)•(,)=﹣2.故答案为:﹣2.三.选择题(共2小题)23.(2012•XX)定义向量=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设g(x)=3sin(x+)+4sinx,求证:g(x)∈S;(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;(3)已知M(a,b)(b≠0)为圆C:(x﹣2)2+y2=1上一点,向量的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值X围.【解答】解:(1)g(x)=3sin(x+)+4sinx=4sinx+3cosx,其‘相伴向量’=(4,3),g(x)∈S.(2)h(x)=cos(x+α)+2cosx=(cosxcosα﹣sinxsinα)+2cosx=﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx∴函数h(x)的‘相伴向量’=(﹣sinα,cosα+2).则||==.(3)的‘相伴函数’f(x)=asinx+bcosx=sin(x+φ),其中cosφ=,sinφ=.当x+φ=2kπ+,k∈Z时,f(x)取到最大值,故x0=2kπ+﹣φ,k∈Z.∴tanx0=tan(2kπ+﹣φ)=cotφ=,tan2x0===.为直线OM的斜率,由几何意义知:∈[﹣,0)∪(0,].令m=,则tan2x0=,m∈[﹣,0)∪(0,}.当﹣≤m<0时,函数tan2x0=单调递减,∴0<tan2x0≤;当0<m≤时,函数tan2x0=单调递减,∴﹣≤tan2x0<0.综上所述,tan2x0∈[﹣,0)∪(0,].24.(2007•XX)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的作标;(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值X围.】解:(Ⅰ)易知a=2,b=1,.∴,.设P(x,y)(x>0,y>0).则,又,联立,解得,.(Ⅱ)显然x=0不满足题设条件.可设l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立∴,由△=(16k)2﹣4•(1+4k2)•12>016k2﹣3(1+4k2)>0,4k2﹣3>0,得.①又∠AOB为锐角,∴又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4===∴.②综①②可知,∴k的取值X围是.。

高考数学 试题解析分项之专题07 平面向量学生 文 试题

高考数学 试题解析分项之专题07 平面向量学生 文 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考试题解析数学〔文科〕分项之专题07平面向量--学生一、选择题:1.(2021年高考卷文科3)假设向量AB=〔1,2〕,BC=〔3,4〕,那么AC=〔〕A〔4,6〕B(-4,-6)C(-2,-2)D(2,2)3.〔2021年高考卷文科1〕向量a=(1,—1),b=(2,x).假设a·b=1,那么x=〔〕(A)—1(B)—12(C)12(D)14.(2021年高考卷文科7)设a,b是两个非零向量〔〕|a+b|=|a|-|b|,那么a⊥b⊥b,那么|a+b|=|a|-|b||a+b|=|a|-|b|,那么存在实数λ,使得b=λaλ,使得b=λa,那么|a+b|=|a|-|b|7.(2021年高考卷文科3)向量a=〔x-1,2〕,b=〔2,1〕,那么a ⊥b 的充要条件是〔〕 A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0 8.(2021年高考全国卷文科9)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,假设CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,那么AD =〔〕〔A 〕1133a b -〔B 〕2233a b -〔C 〕3355a b -〔D 〕4455a b - 二、填空题:11.〔2021年高考全国卷文科15〕向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;那么_____b = 12.〔2021年高考卷文科11〕设向量(1,2),(1,1),(2,).a m b m c m a c ==+=+若()⊥b ,那么a =____________.13.(2021年高考卷文科13)正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,那么CB DE ⋅的值是________,DC DE ⋅的最大值为______。

16.(2021年高考卷文科15)如图4,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为P ,3AP =且AP AC =.17.(2021年高考卷文科13)向量a =〔1,0〕,b =〔1,1〕,那么 〔Ⅰ〕与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; 〔Ⅱ〕向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________。

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十四讲向量的应用答案

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十四讲向量的应用答案

专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案部分2019年1.解析 因为()-⊥a b b ,所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ,所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈,a b ,所以π,3<>=a b .故选B . 2.解析 因为(2,3)=a ,(3,2)=b ,所以-(1,1)=-a b ,所以-==a b A.3.解析 ()8264⋅⨯-+⨯=-a b =2,==a10==b,cos ,==a b . 4.解析 因为⊥a b ,所以()4630m ⋅=-⨯+⨯=a b ,得8m =.5.解析 因为AB BE =,//AD BC ,30A ∠=o ,所以在等腰三角形ABE 中,120BEA ∠=o ,又AB =,所以25BE AD =-u u u r u u ur .因为AE u u u r 25AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r .又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r ,所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2272cos 55AB AB AD A AD-+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u ur 72125251525-+⨯⨯-⨯=-. 6.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ,1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ,13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r , 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以221322AB AC =u u ur u u u r ,所以223AB AC=u u u r u u u r ,所以3AB AC =. 7.解析:正方形ABCD 的边长为1,可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ,BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ,0AB AD ⋅=u u ur u u u r ,123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++,由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=2,3,4,5,取遍1±,可得13560λλλλ-+-=,24560λλλλ-++=,可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=,可得所求最小值为0;由13564λλλλ-+-=,24564λλλλ-++=,可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为52010-2018年1.A 【解析】解法一 设O 为坐标原点,OA =u u u r a ,(,)OB x y ==u u u rb ,=(1,0)e ,由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=,即22(2)1x y -+=,所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心,l 为半径的圆.因为a 与e 的夹角为3π,所以不妨令点A在射线y =(0x >)上,如图,数形结合可知min ||||||1CA CB -=-u u u r u u u ra b .故选A .解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e .设OB =u u u r b ,OE =u u u r e ,3OF =u u u r e ,所以EB -=u u u r b e ,3FB -u u u r b e =,所以0EB FB ⋅=u u u r u u u r,取EF 的中点为C .则B 在以C 为圆心,EF 为直径的圆上,如图.设OA =u u u r a ,作射线OA ,使得3AOE π∠=,所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||1CA BC ---=-u u u r u u u ra e eb .故选A .2.C 【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO AF <,而90AFB ∠=o ,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角.根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos 0OB CA AOB ∠<u u u r u u u r,∴12I I <,同理23I I >.做AG BD ⊥于G ,又AB AD =.∴OB BG GD OD <=<,而OA AF FC OC <=<,∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,而cos cos 0AOB COD ∠=∠<,∴OA OB OC OD ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,即13I I >,∴312I I I <<,选C .EB3.B【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则((0,3)B C A ,则点P 的轨迹方程为22(3)1x y +-=.设(,)P x y ,00(,)M x y ,则02x x =,02y y =,代入圆的方程得220031(()24x y -+-=,所以点M 的轨迹方程为2231(()24x y -+-=, 它表示以3)2为圆心,以12为半径的圆,所以max 17||22BM ==u u u u r ,所以2max 49||4BM =u u u u r .4.A 【解析】由(3,1)AC AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r ,得(2,1)(3,1)5AD AC ⋅=⋅-=u u u r u u u r.5.B 【解析】由题意,AC 为直径,所以24PA PB PC PO PB PB ++++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,已知B为(1,0)-时,4PB +u u u r取得最大值7,故选B .6.A 【解析】设(1,0),(0,1)a b ==r r,则(cos ,sin )OP θθ=u u u r ,(2,2)OQ =u u u r所以曲线C 是单位元,区域Ω为圆环(如图)∵||2OQ =u u u r,∴13r R <<<.7.C 【解析】因为120BAD?o ,所以cos1202AB ADAB AD ?鬃=-o u u u r u u u ru u u r u u u r .因为BE BC l =,所以AE AB AD l =+u u u r u u u r u u u r ,AF AB AD m =+u u u r u u u r u u u r.因为1AE AF?u u u r u u u r ,所以()()1AB AD ABAD l m +?=u u u r u u u r u u u ru u u r ,即3222l m l m +-=①同理可得23l m l m --=- ②,①+②得56l m +=. 8.B 【解析】如图,设,AB b AC c ==u u u r r u u u r r,CBQP则1,2,0b c b c ==•=r r r r,又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-u u u r u u u r u u u r r r ,CP CA AP c b λ=+=-+u u u r u u u r u u u r r r,由2-=•CP BQ 得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-•-+=--=--=-r r r r r r ,即32,23==λλ,选B.9.A 【解析】方法一 设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==u u u r则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-u u u r .方法二 将向量(6,8)OP =u u u r 按逆时针旋转32π后,可知Q 点落在第三象限,则可排除B 、D ,代入A ,由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-,∴34QOP π∠=. 10.C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭,从而分析a b o和b a o 的范围如下:∵(0,)4πθ∈,∴cos 12θ<<,而||cos ||θ⋅==⋅o b a b b a a a a , 且||||0>…a b ,可得||0cos 1||θ<<b a ,又∵∈o b a {|}2∈nn Z 中,∴||1cos ||2θ=b a , 从而||1||2cos θ=b a ,∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅o a b a a b b b b ,所以12<<o a b , 且a b o 也在集合{|}2∈nn Z 中,故有32=o a b . 11.D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-,即(,0)(1,0)c λ=,从而得c λ=;(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-,即(,0)(1,0)d μ=,得d μ=,根据112λμ+=,得112c d+=.线段AB 的方程是0y =,[0,1]x ∈.若C 是线段AB 的中点,则12c =,代入112c d +=,得10d=.此等式不可能成立,故选项A 的说法不成立;同理选项B 的说法也不成立;若,C D 同时在线段AB 上,则01c <≤,01d <≤,此时11c ≥,11d≥,112c d +≥,若等号成立,则只能1c d ==,根据定义,,C D 是两个不同的点,故矛盾,故选项C 的说法也不正确,若,C D同时在线段AB 的延长线上,若1c >,1d >,则112c d +<,与112c d+=矛盾, 若0,0c d <<,则11c d +是负值,与112c d +=矛盾,若1c >,0d <,则11c<,10d <,此时111c d +<,与112c d+=矛盾,故选项D 的说法是正确的. 12.3-【解析】设(0,)E t ,(0,2)±F t ,所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±u u u r u u u rAE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ,当1=±t 时,AE BF ⋅u u u r u u u r取得最小值3-.13.6【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值是6. 14.4,,a b r r的夹角为θ,由余弦定理有:a b -==r ra b +==r r则:a b a b ++-=r r r r,令y =[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin4a b a ba b a b++-==++-==r r r rr r r r,即a b a b ++-r r r r的最小值是4,最大值是15.[-【解析】设(,)P x y ,由20PA PB ⋅u u u r u u u r≤,得250x y -+≤,x如图由250x y -+≤可知,P 在¼MN上, 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩,解得(1,7)M ,(5,5)N --, 所以P 点横坐标的取值范围为[-.16.7【解析】由1⋅=a b ,||1,||2==a b 可得两向量的夹角为60o,建立平面直角坐标,可设(1,0)=a ,(1,3)=b ,(cos ,sin )θθ=e , 则|||||cos ||cos 3sin |θθθ⋅+⋅=++≤a e b e|cos ||cos |3|sin |3|sin ||cos |7θθθθθ++=+≤,所以||||⋅+⋅a e b e 的最大值为7. 17.32【解析】在平面直角坐标系xOy 中,作出圆221x y +=及其切线,PA PB ,如图所示,连结,OA OP ,由图可得||||1OA OB ==,||2OP =,||||3PA PB ==u u u r u u u r, 6APO BPO π∠=∠=,则,PA PB u u u r u u u r 的夹角为3π,所以3||||cos 32PA PB PA PB πu u u r u u u r u u u r u u u r ⋅==.18.3-【解析】由题意得:29,282,5,3m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-. 19.2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2AB =,1BC =,60ABC ∠=o, 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB=u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21312AB BC AD AB u u ur u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221131218AB AD BC AD AB BC AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⋅+⋅++⋅111291331818=++-=.20.①④⑤【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2, 2AB =u u u ra ==21=⇒,故①正确;∵+=+=2 ∴2=⇒=,故②错误,④正确;由于2AB =u u u r a ,BC =u u u r b ,则a 与b 的夹角为ο120,故③错误;又∵21(4)(4)4|412()402BC +⋅=+⋅=⋅=⨯⨯⨯-+=u u u r a b a b b a b+|b∴(4)BC +⊥u u u ra b ,故⑤正确 因此,正确的编号是①④⑤.21.2【解析】因为120BAD?o,菱形的边长为2,所以2AB AD?-u u u r u u u r.因为113AE AFAB AD AD AB λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur 骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫,由1AE AF?u u u r u u u r ,所以4412(1)133λλ+-+=,解得2λ=.22.1+(,)D x y ,由||1CD =u u u r ,得22(3)1x y -+=,向量OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r(1,x y =-+,故||OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值,其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径,11=23.2【解析】以A 为坐标原点,AB ,AD 所在的直线分别为,y 轴建立直角坐标系,BAC E则B (2,0),E (2,1),D (0,2),C (2,2).设(,2)F x (0≤≤2),由1AB AF x ⋅=⇒=u u u r u u u r ,∴(1,2)F ,AE BF u u u r u u u rg =()1,2(1–2,2)=2.24.(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作轴的垂线,垂足为E ,过C 作y 轴的垂线,垂足为A ,根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长,∴2PCD ∠=,可知22PCB π∠=-,此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ,且223,2-==∠πθPCD ,则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x , 即)2cos 1,2sin 2(--=OP .25.14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r ,所以AD BE ⋅=u u u v u u u v1()2AB AC +⋅u u u r u u u r (23AC AB -u u u r u u u r )=1211(1)2334AB AC --⋅=-u u u r u u u r . 26.【解析】(1)因为(cos ,sin )x x =a,(3,=b ,∥a b ,所以3sin x x =.若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-. 又[0,]x π∈,所以56x π=. (2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()6x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-27.【解析】(Ⅰ)因为m ∥n ,所以sin cos 0a B A -=,由正弦定理,得sin sin cos 0A B B A -=又sin 0B ≠,从而tan A =0<A <π,所以A =3π. (Ⅱ)解法一 由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+-, 而a,b =2,A =3π,得2742c c =+-,即2230c c --=, 因为0c >,所以 3c =.故ΔABC的面积为1sin =22bc A . 解法二由正弦定理,得2sin sin3Bπ=,从而sin B=7,又由a b >,知A >B ,所以cos B=7, 故sin C =sin()A B +=sin +3B π⎛⎫⎪⎝⎭=sin coscos sin33B B ππ+. 所以ΔABC的面积为1sin 2ab C =. 28.【解析】(Ⅰ)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ) .又点P 的坐标为(0,1),且PC PD ⋅u u u r u u u r =-1,于是2222112b ca abc ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩,解得a =2,b.所以椭圆E 方程为22142x y +=. (Ⅱ)当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为1y kx =+. A ,B 的坐标分别为(1,y 1),(2,y 2),联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得(22+1)2+4-2=0, 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>, 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++,从而12121211=[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅+++--u u u r u u u r u u u r u u u r21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++=22(24)(21)21k k λλ--+--+=-21221k λλ---+所以,当1λ=时,-212321k λλ----=-+, 此时,3OA OB PA PB λ⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r为定值.当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD .此时213OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r, 故存在常数1λ=-,使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r为定值-3.29.【解析】(Ⅰ)已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ,)(x f Θ过点)2,32(),3,12(-ππ,∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴121222m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m(Ⅱ)由(Ⅰ)知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=.所以00x =,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又∵0ϕπ<<,所以6πϕ=,因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈, 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ.30.【解析】(Ⅰ)∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==•===u u u r u u u r ,且222cos 2a c b B ac+-=,∴c 6,5a a c =+=,∵a c >,∴解得3,2a c ==.所以3,2a c ==.(Ⅱ)∵1cos 3B =,∴sin 3B =,∵3,3,2a b c ===,2227cos 29a b c C ab +-==,sin C =,∴23cos()cos cos sin sin 27B C B C B C -=+=,故23cos()27B C -=. 31.【解析】(1)-a b =(cos cos ,sin sin )αβαβ--,2||-a b =22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-=22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=.所以,cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=,所以,b a ⊥.(2)⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα,①2+②2得:1cos()2αβ-=-.所以,αβ-=π32,α=π32+β,带入②得:sin (π32+β)+sin β=23cos β+12sin β=sin (3π+β)=1, 所以,3π+β=2π.所以,α=65π,β=6π.32.【解析】由题意,抛物线E 的焦点为(0,)2p F ,直线1l 的方程为12py k x =+.由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=.设A ,B 两点的坐标分别为11(,)A x y ,22(,)B x y , 则1x 、2x 是上述方程的两个实数根.从而1212x x pk +=,212121()2y y k x x p pk p +=++=+.所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +,211(,)FM pk pk =u u u u r .同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +,222(,)FN pk pk =u u u r .于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+u u u u r u u u r .由题设,有1+2=2,1>0,2>0,1≠2, 所以212120()12k k k k +<<=. 故222(11)2FM FN p p ⋅<+=u u u u r u u u r .(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+,2||2p FB y =+, 所以2121||22AB y y p pk p =++=+, 从而圆M 的半径211r pk p =+.故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+. 化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=. 同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=. 于是圆M ,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=.又2-1≠0,1+2=2,则l 的方程为+2y =0. 因为p >0,所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时,d.=5,解得8p=.故所求的抛物线E的方程为216x y=.33.【解析】(I)由2222)(sin)4sinx x x=+=a,222(cos)(sin)1x x=+=b,及2,4sin1x==得a b又1[0,],sin22x xπ∈=从而,所以6xπ=.(II)2()cos sinf x x x x=⋅=⋅+a b1112cos2sin(2)2262x x xπ-+=-+.当[0.]sin2 1.326x xπππ=∈-时,()取最大值所以3().2f x的最大值为34.【解析】(1)由(2,1)MA x y=---u u u r,(2,1)MB x y=--u u u r,MA MB+=u u u r u u u r()(,)(0,2)2OM OA OB x y y⋅+=⋅=u u u u r u u u r u u u r,22y+.化简得曲线C的方程:24x y=.(2)假设存在点(0,)(0)P t t>满足条件,则直线PA的方程是12ty x t-=+,PB的方程是12ty x t-=+.曲线C在Q处的切线l的方程是20024x xy x=-,它与y轴的交点为2(0,)4xF-由于22x-<<,因此0112x-<<.①当10t-<<时,11122t--<<-,存在(2,2)x∈-,使得0122x t-=.即l与直线PA 平行,故当10t-<<时不符合题意.②1t-„时,011,22xt--<„01122xt->…,所以l与直线,PA PB一定相交.分别联立方程组21224ty x txxy x-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得,D E的横坐标分别是20042(1)D x t x x t +=+-,20042(1)E x t x x t +=+-,则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--,有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--, 又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=, 于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t ⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++, 对任意0(2,2)x ∈-,要使QAB PDES S ∆∆为常数,即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t ⎧---=⎨-=⎩,解得1t =-,此时2QAB PDES S ∆∆=,故存在1t =-,使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2.35.【解析】(1)(方法一)由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r,则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r所以|||AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r故所求的两条对角线的长分别为、(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D ,两条对角线的交点为E ,则E 为B 、C 的中点,E (0,1)又E (0,1)为A 、D 的中点,所以D (1,4) 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=(2)由题设知:OC u u u r =(-2,-1),(32,5)AB tOC t t -=++u u u r u u u r.由(t -)·OC =0,得:(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=,从而511,t =-所以115t =-. 或者:2· AB OC tOC =u u u r u u u r u u u r ,(3,5),AB =u u u r2115||AB OC t OC ⋅==-u u u r u u u r u u u r .。

高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》全集汇编附答案解析

高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》全集汇编附答案解析

新高考数学《平面向量》专题解析一、选择题1.已知()4,3a =r ,()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A .165-B .165C .1613-D .1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-,再求出b r ,代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ,()5,12b =-r,4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r,则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ,故选:C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ,向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr2.在ABC ∆中,0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,2AE EB =u u u r u u u r,AB AC λ=u u u r u u u r ,若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则实数λ=( )A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示,再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r,知O 为ABC ∆的重心,所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ,又2AE EB =u u u r u u u r ,所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2223AB AC=u u u r u u u r ,||||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选:D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.3.下列说法中说法正确的有( )①零向量与任一向量平行;②若//a b rr,则()a b R λλ=∈rr;③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ;⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ,则A ,B ,C为一个三角形的三个顶点;⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; A .①④ B .①②④C .①②⑤D .③⑥【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①:零向量与任一向量平行,故①正确;对于②:若//a b r r ,则()a b R λλ=∈r r ,必须有0b ≠r r,故②错误;对于③:()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ,a r 与c r不共线,故③错误;对于④:a b a b +≥+r r r r,根据三角不等式的应用,故④正确;对于⑤:若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ,则,,A B C 为一个三角形的三个顶点,也可为0r,故⑤错误;对于⑥:一个平面内,任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底,故⑥错误. 综上:①④正确. 故选:A. 【点睛】本题考查的知识要点:向量的运算的应用以及相关的基础知识,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题.4.在ABC ∆中,已知8AB =,4BC =,6CA =,则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为( )A .22B .19C .-19D .-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211 cos216AB BC ACBAB BC+-==⋅,又()11cos482216AB BC AB BC Bπ⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=-⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v,故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1)2222cosa b c bc A=+-;(2)222cos2b c aAbc+-=,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.5.如图,在ABCV中,AD AB⊥,3BC BD=u u u v u u u v,1AD=u u u v,则AC AD⋅=u u u v u u u v()A.3B.32C.33D3【答案】D【解析】∵3AC AB BC AB=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v,∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v,又∵AB AD⊥,∴0AB AD⋅=uuu r,∴33cos3cos33 AC AD AD AD ADB BD ADB ADu u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==,故选D.6.已知菱形ABCD的边长为2,60ABC∠=︒,则BD CD⋅=u u u v u u u v()A.4 B.6 C.23D.43【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【详解】如图所示,菱形形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,∴120C ∠=︒,∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=, ∴23BD =30BDC ∠=︒,∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选B . 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..7.已知向量,a b r r 满足||3a =r ||4=r b ,且()4a b b +⋅=r r r ,则a r 与b r的夹角为( )A .6π B .3π C .23π D .56π 【答案】D 【解析】 【分析】由()4a b b +⋅=r r r ,求得12a b ⋅=-r r ,再结合向量的夹角公式,求得3cos ,2a b 〈〉=-r r,即可求得向量a r 与b r的夹角. 【详解】由题意,向量,a b r r 满足||3a =r||4=r b ,因为()4a b b +⋅=r r r ,可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r,解得12a b ⋅=-r r ,所以3cos ,2||||234a b a b a b ⋅〈〉===-⨯r rr r r r又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈,所以a r 与b r的夹角为56π. 故选:D . 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用,其中解答中熟记向量的数量积的计算公式,以及向量的夹角公式,准确计算是解答的关键,着重考查了计算能力.8.已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ,||2b =r ||||5a b a b +⋅-=r r r r ,则向量a r与向量b r的夹角为( )A .4π或34π B .6π或56πC .3π或23πD .2π 【答案】A 【解析】 【分析】设向量a r ,b r的夹角为θ,则2||1282cos a b θ+=+r r ,2||1282cos a b θ-=-r r ,即可求出2cos θ,从而得到向量的夹角; 【详解】解:设向量a r ,b r的夹角为θ,222||||||2||||cos 4882cos a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r 1282cos θ=+,222||||||2||||cos 4882cos 1282cos a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r r,所以2222||||144128cos (45)80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ,21cos 2θ∴=,因为[0,)θπ∈,故4πθ=或34π,故选:A. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律,及夹角的计算,属于中档题.9.如图,在等腰直角ABC ∆中,D ,E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点B ),过E 作AD 的垂线,垂足为F ,则AF =u u u v( )A .3155AB AC +u u uv u u u vB .2155AB AC +u u uv u u u vC .481515AB AC +u u uv u u u v D .841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长,由此结合余弦定理求得各边长,并求得cos DAE ∠,由此得到45AF AD =u u u r u u u r,进而利用平面向量加法和减法的线性运算,将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =,则2AB AC BD DE EC =====,AD AE ===,101044cos 2105DAE +-∠==⨯, 所以45AF AF AD AE ==,所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r , 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选:D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查利用基底表示向量,属于中档题.10.在ABC V 中,4AC AD =u u u r u u u r,P 为BD 上一点,若14AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ,则实数λ的值( )A .34B .320C .316D .38【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,可得出144λ=+u u u r u u u r u u u rAP AB AD ,由于B ,P ,D 三点共线,根据向量共线定理,即可求出λ. 【详解】解:由题知:4AC AD =u u u r u u u r ,14AP AB AC λ=+u u ur u u u r u u u r ,所以144λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ,由于B ,P ,D 三点共线,所以1414λ+=, ∴316λ=. 故选:C.【点睛】本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.11.已知A ,B ,C 是抛物线24y x =上不同的三点,且//AB y 轴,90ACB ∠=︒,点C 在AB 边上的射影为D ,则CD =( )A .4B .2C .2D 2【答案】A 【解析】 【分析】画出图像,设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12y y >, 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=,结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图:设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12y y >, 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ,222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ,()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=(0舍去),所以222212124444y y y y CD -=-==故选:A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用,计算能力,逻辑推理能力,属于中档题12.在ABC V 中,D 为边AC 上的点,若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ,AD DC λ=u u u v u u u v,则λ=( )A .13B .12C .3D .2【答案】B 【解析】 【分析】根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ,将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BABC u u u r u u u r ,表示,再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ,所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ,因为AD DC λ=u u u v u u u v ,所以λ= 12, 故选:B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理,还考查运算求解的能力,属于中档题.13.如图所示,ABC ∆中,点D 是线段BC 的中点,E 是线段AD 的靠近A 的三等分点,则AC =u u u v( )A .43AD BE +u u uv u u u vB .53AD BE +u u uv u u u vC .4132AD BE +u u uv u u u vD .5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意,2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选B . 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算,是基础题14.已知向量m =r(1,cosθ),(sin ,2)n θ=-r,且m r ⊥n r,则sin 2θ+6cos 2θ的值为( ) A .12B .2C .2D .﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ,而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+,分子分母同除以cos 2θ,代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1,cosθ),n =r(sinθ,﹣2),所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ,所以sin 2cos 0θθ-=,即tanθ=2,所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2.故选:B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换,还考查运算求解的能力,属于中档题.15.如图,在ABC V 中,已知D 是BC 边延长线上一点,若2B C C D =u u u v u u u v,点E 为线段AD 的中点,34AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v,则λ=( )A .14B .14-C .13D .13-【答案】B 【解析】 【分析】由12AE AD =u u u r u u u r ,AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u ur u u u r u u u r ,32BD BC =u u u r u u u r ,代入化简即可得出.【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v,带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,可得14λ=-,故选B. 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ,直线l :2x =,点∈A l ,线段AF 交椭圆C于点B ,若3FA FB =u u u v u u u v,则AF u u u v =( )A 2B .2C 3D .3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ,()00,B x y ,易知F (1,0),根据3FA FB =u u u v u u u v,得043x =,013y n =,根据点B 在椭圆上,求得n=1,进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图:设点()2,A n ,()00,B x y .由椭圆C :2212x y += ,知22a =,21b =,21c =,即1c =,所以右焦点F (1,0).由3FA FB =u u u v u u u v,得()()001,31,n x y =-. 所以()0131x =-,且03n y =. 所以043x =,013y n =. 将x 0,y 0代入2212x y +=,得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =, 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质,考查了向量的模的求法,考查了向量在解析几何中的应用;正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.17.已知,a r b r 是平面向量,满足||4a =r ,||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ,则cos ,a b 〈〉rr 的最小值是( ) A .1116B .78C .158D 315【答案】B【解析】 【分析】设OA a =u u u r r ,3OB b =u u u r r,利用几何意义知B 既在以O 为圆心,半径为3的圆上及圆的内部,又在以A 为圆心,半径为2的圆上及圆的内部,结合图象即可得到答案. 【详解】设OA a =u u u r r ,3OB b =u u u r r,由题意,知B 在以O 为圆心,半径为3的圆上及圆的内部,由|3|2b a -≤r r,知B 在以A 为圆心,半径为2的圆上及圆的内部,如图所示则B 只能在阴影部分区域,要cos ,a b 〈〉rr 最小,则,a b <>r r 应最大,此时()222222min4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯rr .故选:B. 【点睛】本题考查向量夹角的最值问题,本题采用数形结合的办法处理,更直观,是一道中档题.18.已知A ,B 是圆224+=O: x y 上的两个动点,||2AB =u u u r,1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ,若M 是线段AB 的中点,则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为( ).A 3B .3C .2D .3【答案】D 【解析】 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形,以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ,由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r的值.【详解】圆O 圆心为()0,0,半径为2,而||2AB =u u u r,所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点,所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r.所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OAO O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB=+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选:D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量,考查向量的数量积运算,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.19.已知向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ,2OA =u u u r ,1OB =uu u r ,=u u u r u u u r OP tOA ,()1OQ t OB =-u u u r u u u r ,PQ u u u r 在t t =0时取得最小值,则当0105t <<时,夹角θ的取值范围为( )A .0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得,()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ,根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+,再由0105t <<,可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r,()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ,∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值,所以012cos 54cos t θθ+=+,又0105t <<,则12cos 1054cos 5θθ+<<+,得1cos 02θ-<<,∵0θπ≤≤,所以223ππθ<<,故选:C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示,以及二次函数的最值和分式不等式的求解,关键在于由向量的模的平方等于向量的平方,得到关于角度的三角函数的不等式,属于中档题.20.已知向量()1,3a =-v ,()3,b m =v ,若a b ⊥v v ,则2a b +vv 等于( )A .10B .16C .D .【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值,得出向量b r 的坐标,并计算出向量2a b +r r,最后利用向量模的坐标运算得出结果. 【详解】()1,3a =-r Q ,()3,b m =r ,a b ⊥r r,则1330a b m ⋅=⨯-=r r ,得1m =,()3,1b ∴=r ,则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ,因此,2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算,意在考查学生对这些公式的理解掌握情况,考查运算求解能力,属于中等题.。

向量高考经典试题(附详细答案)

向量高考经典试题(附详细答案)

向量高考经典试题一、选择题1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与bA .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向 解.已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,30300a b ⋅=-+=,则a 与b 垂直,选A 。

2、(文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a ( )A .1BC .2D .4【答案】:C 【分析】:2(3,)n -a b =,由2-a b 与b 垂直可得:2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。

3、(文4理10)若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°,则a a a b ⋅+⋅=______; 答案:32;解析:1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=, 4、(天津理10) 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩,设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭,再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、(理11)在直角ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2AC AC AB =⋅ (B ) 2BC BA BC =⋅ (C )2AB AC CD =⋅ (D ) 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】: 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=,A 是正确的,同理B 也正确,对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅,通过等积变换判断为正确.6、(全国2 理5)在∆ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB ,CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解.在∆ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB ,=CB CA λ+31,则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +,4 λ=32,选A 。

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案部分1.A 【解析】通解 如图所示,CB 11111()()22222=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC .故选A . 优解 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC .故选A . 2.B 【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ,故选B .3.C 【解析】由2BM MA =u u u u r u u u r ,可知||2||BM MA =u u u u r u u u r ,∴||3||BA MA =u u u r u u u r . 由2CN NA =u u u r u u u r ,可知||2||CN NA =u u u r u u u r ,∴||3||CA NA =u u u r u u u r ,故||||3||||BA CA MA NA ==u u u r u u u r u u u r u u u r , 连接MN ,则BC MN ∥,且||3||BA MN =u u u r u u u u r ,∴33()BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-o u u u r u u u u r u u u u r .故选C .4.A 【解析】由+=-a b a b 两边平方得,222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ,即0⋅=a b ,则⊥a b ,故选A .5.A 【解析】因为,m n 为非零向量,所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n .因为0λ<,则由λ=m n 可知,m n 的方向相反,,180<>=o m n ,所以cos ,0<><m n ,所以“存在负数λ,使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”;而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ,但不一定推出,m n 的方向相反,从而不一定推得“存在负数λ,使得λ=m n ”,所以“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件.6.B 【解析】设BA a =u u u r r ,BC b =u u u r r ,∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ,33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r , 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r , ∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ,故选B. 7.A【解析】由题意得112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以30ABC ∠=o,故选A .8.C 【解析】由题意,得2(2)20+=+⋅=a a b a a b ,即22⋅=-a b a , 所以cos ,||||⋅<>=a b a b a b 222142-==-a a ,所以23π<⋅>=a b ,故选C . 9.B 【解析】对于A 选项,设向量a 、b 的夹角为θ,∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ,∴A 选项正确;对于B 选项,∵当向量a 、b 反向时,||||||||--≥a b a b ,∴B 选项错误;对于C 选项,由向量的平方等于向量模的平方可知,C 选项正确;对于D 选项,根据向量的运算法则,可推导出22()()+⋅-=-a b a b a b ,故D 选项正确,综上选B .10.C 【解析】由题意可得22=a ,3⋅=-a b ,所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C .11.A 【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 12.A 【解析】由2()10+=a b ①,2()6-=a b ②,①②得1⋅=a b . 13.Bcos 6π==,两边平方化简得18=,解得m =14.B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r ,若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ,则2222S a b =+r r ,记为1S ,若S 的表达式中有2个a b ⋅r r ,则22222S a b a b =++⋅r r r r ,记为2S ,若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ,则4S a b =⋅r r ,记为3S ,又||2||b a =r r ,所以222132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ,222122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ,223()0S S a b -=->r r ,∴321S S S <<,故min 34S S a b ==⋅r r ,设,a b r r 的夹角为θ,则22min 48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ,即1cos 2θ=,又[0,]θπ∈,所以3πθ=. 15.B 【解析】对于A ,C ,D ,都有1e ∥2e ,所以只有B 成立.16.B 【解析】由于2222||2t t t +=++gb a b a b a ,令222()2f t t t =+⋅+b a b a ,而t 是任意实数,所以可得()f t 的最小值为2222222222224(2)44cos 4sin 1444θθ--===a b ab a b a b b a a , 即22||sin 1θ=b ,则知若θ确定,则||b 唯一确定.17.C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ,(23)-⊥a b c ,所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=.解得3k =,选C18.C 【解析】因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ,所以⊥,所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅,故选C . 19.D 【解析】由题意,设||4AB =u u u r ,则0||1P B =u u u r ,过点C 作AB 的垂线,垂足为H ,在AB 上任取一点P ,设0HP a =,则由数量积的几何意义可得,||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r ,于是00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥恒成立,相当于(||(1))||PB a PB a -+-u u u r u u u r ≥恒成立, 整理得2||(1)||PB a PB a -++u u u r u u u r ≥0恒成立,只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可,于是1a =,因此我们得到2HB =,即H 是AB 的中点,故△ABC 是等腰三角形,所以AC BC =.P 0P H CB A20.A 【解析】(3,4)AB =-u u u r ,所以||5AB =u u u r ,这样同方向的单位向量 是134(,)555AB =-u u u r . 21.A 【解析】=(2,1),CD =(5,5),则向量在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ 22.C 【解析】建立平面直角坐标系,令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ,又设(),x y =c ,代入1--=c a b1=, 又c 的最大值为圆()()22111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值,即圆心(1,1)1.23.D 【解析】因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ,所以可以A 为原点,分别以1AB u u u r ,2AB u u u u r 所在直线为轴,y 轴建立平面直角坐标系.设B 1(a,0),B 2(0,b ),O (,y ), 则AP u u u r =1AB u u u r +2AB u u u u r =(a ,b ),即P (a ,b ). 由|1OB u u u r |=|2OB u u u u r |=1,得(-a )2+y 2=2+(y -b )2=1.所以(-a )2=1-y 2≥0,(y -b )2=1-2≥0. 由|OP uuu r |<12,得(-a )2+(y -b )2<14, 即0≤1-2+1-y 2<14. 所以74<2+y 2≤2<≤所以|OA uu u r |的取值范围是2⎛ ⎝,故选D . 24.B 【解析】利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以a 的终点作长度为μ的圆,这个圆必须和向量λb 有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须=+λμλμ+≥b c a ,所以④是假命题.综上,本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何.25.C 【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是C .26.C 【解析】2222||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ,则 ||||0=-≠ab a b ,所以,a b 不垂直,A 不正确,同理B 也不正确;||||=-ab a b ,则cos ,1>=-<a b ,所以,a b 共线,故存在实数λ,使得λ=b a , C 正确;若=b a ,则1λ=,此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ,所以D 不正确.27.B 【解析】(1,2)λλ+=+a b ,由()λ+a b ∥c ,得64(1)0λ-+=,解得λ=12 28.D 【解析】∵2(5,2)k -=-a b ,由(2)0⋅-=a a b ,得(2,1)(5,2)0k ⋅-=,∴1020k +-=,解得12k =.29.C 【解析】三角形的面积S=12||sin ,<>a ||b a b ,而=11||||||||sin ,22a b a b a b =<> 30.B 【解析】若a 与b 共线,则有==0mq np -e a b ,故A 正确;因为pn qm =-e b a ,而=mq np -e a b ,所以有≠e e a b b a ,故选项B 错误,故选B .31.12【解析】2(4,2)+a b =,因为(1,)λ=c ,且(2)+∥c a b , 32.1-【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-,根据向量垂直的充要条件可得1(1)0()0m m ⨯++⨯-=,所以1m =-.所以124λ⨯=,即12λ=. 33.7【解析】∵(1,3)m +=-a b ,∴()=0+⋅a b a所以(1)230m --+⨯=,解得7m =.34.2【解析】由题意0⋅=a b ,所以2330m -⨯+⨯=,即2m =.35.311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ,1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则 12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 311λ=. 36.3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-37.3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o ocos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o所以4531cos(45)102102m n αα++===++o o 所以3m n +=.38.23-【解析】因为(,1),(1,2),x x =+=⊥a b a b ,所以2(1)0x x ++=,解得23x =-. 39.6-【解析】由题意2120m --=,所以6m =-.40.-3【解析】由题意得:29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 41.9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•.42.1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ,=x ,解得1a =.431(1,0)e =u r,21(2e =u u r ,设(,)b x y =r , 则11b e x ⋅==r r,2112b e x y ⋅=+=r r,所以b =r ,所以3b ==r 44.90o 【解析】由1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,得O 为BC 的中点,故BC 为圆O 的直径, 所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为90o .45.16【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ,∴由cos tan AB AC A A ⋅=uu u r uuu r , 得23AB AC ⋅=uu u r uuu r ,故ABC V 的面积为11||||sin 266AB AC π=u u u r u u u r . 46.②④【解析】S 有下列三种情况:222221S a a b b b =++++r r r r r ,2222S a a b a b b b =+⋅+⋅++r r r r r r r ,23S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r r∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥r r r r r r r r,∴min 3S S =, 若a b ⊥r r ,则2min 3S S b ==r ,与||a r 无关,②正确;若a b r r P ,则2min 34S S a b b ==⋅+r r r ,与||b r 有关,③错误;若||4||b a >r r ,则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=r r r r r r r r ,④正确;若2min ||2||,8||b a S a ==r r r ,则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=r r r r r r ∴1cos 2θ=, ∴3πθ=,⑤错误. 47【解析】∵||1=a ,∴可令(cos ,sin )θθ=a ,∵0λ+=a b ,∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩,即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得25λ=得||λ= 48.12【解析】∵∥a b ,∴2sin 2cos θθ=,∴22sin cos cos θθθ=, ∵(0,)2πθ∈,∴1tan 2θ=. 49.2【解析1】(4,22)c m m =++r因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅r r r r r r ,cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅r r r r r r ,所以||||||||c a c b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r r r , 又||2||b a =r r ,所以2c a c b ⋅=⋅r r r r即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒=.【解析2】由几何意义知c r 为以ma r ,b r 为邻边的菱形的对角线向量,又||2||b a =r r ,故2m =50.2【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0,解得t =2. 51.2【解析】在正方形中,12AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 52.712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o ,且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-o u u u v u u u v u u u v u u u v .由AP BC ⊥u u u v u u u v 得,0AP BC ⋅=u u u v u u u v , 即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v , 即493(1)0λλ---=,解得712λ=. 53.【解析】||||x ===b==||||x b 的最大值为2. 54.12【解析】因为E 为CD 的中点,所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ,因为·1AC BE =u u u r u u u r , 所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 即2111cos60122AB AB -+=o u u u r u u u r ,所以211024AB AB -+=u u u r u u u r ,解得12AB =u u u r . 55.4【解析】如图建立坐标系,则()1,1a =-r ,()6,2b =r ,()1,3c =-r由c a b λμ=+r r r ,可得12,2λμ=-=-,∴4λμ= 56.b=r222(2)1044cos 4510a b a b b b ︒-=⇔-=⇔+-=r r r r r rb ⇔=r 57.(Ⅰ)⎝⎭(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由()()1,0,1,1a =b =,得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =,则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y>,解得1010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1010⎛ ⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为⎝⎭.(Ⅱ)由()()1,0,1,1a =b =,得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ,则()32,11,0cos 3θ-⋅-⋅===-b a a b a a58.98-【解析】2223494a b a b a b -≤⇔+≤+r r r r r r g 2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⋅⇒+⋅≥-⋅⇔⋅≥-r r r r r r r r r r r r . 59.5[,]66ππ【解析】如图,向量α与β在单位圆O 内,因|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为12,故以向量α,β为边的三角形的面积为14,故β的终点在如图的线段AB 上(α∥AB ,且圆心O 到AB 的距离为12),因此夹角θ的取值范围为5[,]66ππ.60.54【解析】由题意知1212(2)()0k ⋅=-+=a b e e e e ,即22112122220k k +--=e e e e e e , 即22cos 2cos 2033k k ππ+--=,化简可求得54k =. 61.1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直,∴()()0k +⋅=a b a -b ,化简得(1)(1)0k -⋅⋅+=a b ,易知0⋅≠a b ,故1k =.62.3π【解析】设a 与b 的夹角为θ,由题意有()()22+2⋅-=+⋅-2a b a b a a b b cos θ=-7+2=-6,所以1cos 2θ=,因此0θπ≤≤,所以3πθ=. 63.-1【解析】(1,1)m +=-a b ,由()+∥a a c ,得12(1)(1)0m ⨯--⨯-=,所以m =-1.。

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向 量1.向量的概念(1)向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a ;坐标表示法 a =xi+yj =(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a |. (4)特殊的向量:零向量a =O ⇔|a |=O .单位向量a O 为单位向量⇔|a O |=1.(5)相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2)⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量:a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的 减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔= 向 量 的 数 量 积a b •是一个数1.00a b ==或时,0a b •=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时,1212a b x x y y •=+a b b a •=•()()()a b a b a b λλλ•=•=•()a b c a c b c +•=•+• 2222||||=a a a x y =+即||||||a b a b •≤3.向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+;②结合律:()()a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=.⑸坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++. 4.向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--. 5.向量数乘运算:⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ=;②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=. ⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③()a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==.6.向量共线定理:向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=.设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()0b b ≠共线. 7.平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底)8.分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当baCBAa b C C -=A -AB =B12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭.(当时,就为中点公式。

)1=λ 9.平面向量的数量积:⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质:设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=.②当a 与b 同向时,a b a b ⋅=;当a 与b 反向时,a b a b ⋅=-;22a a a a ⋅==或a a a =⋅.③ab a b ⋅≤.⑶运算律:①a b b a ⋅=⋅;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅. ⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+. 若(),a x y =,则222a x y=+,或2a x y =+. 设()11,a x y =,()22,b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =,()22,b x y =,θ是a 与b 的夹角,则121cos a b a bx θ⋅==+.⑤线段的定比分点公式:(0≠λ和1-)设 P 1P =λPP 2 (或P 2P λ1P 1P ),且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x )(,则121211y y y x x x λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩推广1:当1=λ时,得线段21P P 的中点公式:121222y y y x x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 推广2λ=则λλ++=1PB PA PM (λ对应终点向量).三角形重心坐标公式:△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,重心坐标()y x G ,:12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩注意:在△ABC 中,若0为重心,则0=++OC OB OA ,这是充要条件.⑥平移公式:若点P ()y x ,按向量a =()k h ,平移到P ‘()'',y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ky y h x x ''4.(1)正弦定理:设△ABC 的三边为a 、b 、c ,所对的角为A 、B 、C ,则R CcB b A a 2sin sin sin ===.B(2)余弦定理:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 (3)正切定理:2tan 2tan B A B A b a b a -+=-+ (4)三角形面积计算公式:设△ABC 的三边为a ,b ,c ,其高分别为h a ,h b ,h c ,半周长为P ,外接圆、内切圆的半径为R ,r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c②S △=Pr③S △=abc/4R④S △=1/2sin C·ab=1/2ac·sin B=1/2cb·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2(b+c-a )r a [如下图]=1/2(b+a-c )r c =1/2(a+c-b )r b[注]:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.如图:图1中的I 为S △ABC 的内心, S △=Pr ,图2中的I 为S △ABC 的一个旁心,S △=1/2(b+c-a )r a图1 图2 图3附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.(5)已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若BC =a ,AC =b ,AB =c [注:s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++],则:①AE=a s -=1/2(b+c-a )②BN=b s -=1/2(a+c-b ) ③FC=c s -=1/2(a+b-c )综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图4). 特例:已知在Rt △ABC ,c 为斜边,则内切圆半径r =cb a abc b a ++=-+2(如图3). BIABC DEF IABCDE Frar ar ab caa bc CDACB图5(6)在△ABC 中,有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++.证明:因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ,所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+,∴结论!(7)在△ABC 中,D 是BC 上任意一点,则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222.证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=① 在△ABC 中,由余弦定理有 BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②,②代入①,化简可得,DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222(斯德瓦定理)①若AD 是BC 上的中线,2222221a cb m a -+=; ②若AD 是∠A 的平分线,()a p p bc cb t a -⋅+=2,其中p 为半周长; ③若AD 是BC 上的高,()()()c p b p a p p ah a ---=2,其中p 为半周长.(8)△ABC 的判定:⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c <⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B<2π 2c >⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B>2π 附:证明:abc b a C 2cos 222-+=,得在钝角△ABC 中,222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔(9)平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.)2=09-13高考真题09.7. 函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /,F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a 可以等于 A.(,2)6π- B.(,2)6π C.(,2)6π-- D.(,2)6π- 【答案】D09.1. 若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=A. 3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b 【答案】B10.8. 已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AM AC mAM +=成立,则m =BA.2B.3C.4D.511.2. 若向量)2,1(=a ,)1,1(-=b ,则b a +2与b a -的夹角等于A .4π-B .6πC .4π D .43π【详细解析】 分别求出2+a b 与-a b 的坐标,再求出a ,b ,带入公式求夹角。

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