第7章 图像重建(1)

G (u ) y



g y ( x ) exp( 2 j π ux ) dx



f ( x , y ) exp( 2 j π ux ) dxdy
它恰与二维傅氏变换的表达式一致。即：
F (u ,0 )



f ( x , y ) exp( j 2 ux ) dxdy
在
g ( , )
求偏导的变换式。这种解
释的重要性在于：若取样值个数为有限的，则 积分值为有限的，也就是收敛。应注意到，前 面所写的含有| R |的积分表达式(7—19)不总 是收敛的。
• 另外，这样求导也可推出一种很简便的图像重 建方法。假定将投影数据
g ( , )
都存放于一
等量矩形空间内，这种存放数据的方式称 为
现在假设将函数投影到一条经过旋转的直线上， 该直线的旋转角度为 。
图 7—2 投影几何关系
定义旋转坐标为：
s x cos y sin , t x sin y cos
而将函数投影的直线选为 x 轴。投影点通过对 距离 t 轴为 s 1 处的一平行线进行函数积分， 因此，该投影可如下表示：
s
或
g ( , )
a H
kl k 0 l 0 s
K 1 L 1
kl
( x , y ) ds
系数 a kl 需选择一定的值才可以满足上述条件。 当然，由于变量取值是有限的，这种条件并不 总能得到满足。最后，我们希望仅通过一系列
离散的点来得到估计图像。

f ( x i , y j ),
如图7—3所示。图中（a）是投影数据，(b)是 傅里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极 坐标
F ( R , )
中计算得到的投影变换推出在矩 中的傅里叶变换并不困难。
形平面
F (u , v )
图 7—3 傅里叶变换的几何原理
• 但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变
换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一
• 这一处理就是所谓的 Rho
filtered
layergram
方法。为得到最终的重建图像，只需将 Rho
filtered
layergram
对 在一特定
r cos( )
值作积分，即：
f (r , )


0
g ( r cos( ), ) d ,
此处
g ( , ) g ( , ) * h ( ).
这个处理过程如图7—5所示。图中（a）是投 影数据卷积，(b)是对于卷积的Rho滤波。
图 7—5 卷积技术图示，（a）为卷积技术的几何表示， (b)为Rho滤波
• 因为这一重建技术只需用到一维滤波和积分， 因而在重建处理中具有极大吸引力。另外，该 方法可以很容易产生与极坐标中的图像 相对应的矩形值。
维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像 重建则需要二维反变换。由此，我们得出一个推论， 即：三维图像不能在得到部分投影数据过程中
局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获 得之后才能重建。
7.
3 卷积法重建
极坐标中的傅里叶反变换表达式。
x r cos a
y r sin ,
2
数字图像处理学
第7章 图像重建
（第一讲）
7． 1 概述 图像处理中一个重要研究分支是物体图像的重 建，它被广泛应用于检测和观察中，而这种重 建方法一般是根据物体的一些横截面部分的投 影而进行的。在一些应用中，某个物体的内部 结构图像的检测只能通过这种重建才不会有任 何物理上的损伤。
由于这种无损检测技术的显著优点，因此，它
g ( m , n ); m 1, 2 , , M , n 1, 2 , , N
其次，可以直接使用下面的积分式
f
x,
y
a r , s H x , y , r , s drds
• 如果积分是进行数字化计算，可以用级数来表 示函数估值


f x, y
发射也可用来确定物体的位置，并且这种方法
已经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的
方向分解散射的两束伽码射线来实现的。这两
束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。
反射模型 能量反射也可用来测定物体的表面特性，例如， 光线、电子束、激光或做为能量源的超声波等
都可以用来进行这种测定。
7． 2 傅立里叶变换重建
而变换的核心部分是
F ( u1 , u 2 ,0 )
[




f ( x1 , x 2 , x 3 ) d x 3 ]
exp[ 2 π j ( u 1 x1 u 2 x 2 )] dx 1 dx 2
通过定义，纵剖面或在
f 3 ( x1 , x 2 )
x1 , x 2
傅里叶变换重建的原理如下： 令f(x,y)代表一图像函数，则此二维函数的傅里 叶变换为：
F (u , v )



f ( x , y ) exp[ j 2 ( ux vy )] dxdy
而图像在x轴上的投影为：
g y ( x)



f ( x , y ) dy
投影的一维傅氏变换为：
• 这些结论很容易推广到三维情形中。令:
f ( x1 , x 2 , x 3 )
表示一物体,这里 f 可为实数或复数。它的三维傅氏
变换由下式给出它的三维傅氏变换由下式给出
F ( u1 , u 2 , u 3 )



f ( x1 , x 2 , x 3 )
exp[ 2 π j ( u 1 x1 u 2 x 2 u 3 x 3 )] dx y ) ds
s
这里 ds 是光线几何路径中的微分长度。
傅里叶变换的结论由下面给出：

F ( R , )


g ( , ) exp( j 2 R ) d
f ( x, y )



F ( u , v ) exp[ j 2 ( ux vy )] dudv
u R cos R sin
v R sin R cos
f (r , )

0

F ( R , ) R exp[ j 2 Rr sin) )] dRd
图 7—4 傅里叶变换的极坐标表示
由对称共轭特性可得到 ：

f (r , )
面上的投影是：



f ( x1 , x 2 , x 3 ) dx 3
注意到 f 3 ( x1 , x 2 ) 的二维傅里叶变换 正好等于上述三维变换的核心部分。
这也说明如果投影在 x1 , x 2 平面上旋转了 角 度，相应的傅里叶变换部分正好也将在变换域 内的 u 1 , u 2 平面内转过 角。这样，投影可以

2 2


| R | F ( R , ) exp[ j 2 Rr sin( )] dRd
令
| R | R sgn( R ) j 2 [ j sgn( R )] / 2
2
这里:
1, R 0 , sgn R 0 , R 0 , 1, R 0 ,
采用不同的方向角 插入到三维变换域中。
建立一个傅里叶变换空间需要很多的投影。最 后,通过傅里叶反变换重建图像
f ( x1 , x 2 , x 3 )
。
既然在三维空间中的任意平面都可以被重建， 那么，一个二维图像 般性。
f ( x1 , x 2 )
的重建也不失一
我们可重写二维投影方程，定出 及投影平 面 ：
方法。然而,在许多情况下这样做是不实际的，
比如说，医疗检查，天文观察，工业中的无损 检测，光传导中的测量等一些应用都不能采用 这种破坏性方法。
透射模型： 建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收 的基础之上， 透射模型经常用在射线、电子射
线及光线和热辐射的情况下，这些都遵从一定
的吸收法则。
发射模型：
k 1 L 1
f ( x, y )
a
k 0 l 0
kl
H
kl
( x, y )
此处，系数 a kl 及激励函数 定的方法来决定。
H kl x , y
由重建选
级数估值应同时满足投影方程，即，
g ( , )


f ( x , y ) ds
s

f ( x , y ) ds
g ( s1 , )

f ( x , y ) ds
• 这里,积分路径是沿着
s1 x cos y sin
直线进行。此投影的一维付氏变换为:
G (r , )



g ( s1 , ) exp( j 2 rs 1 ) ds 1
展开后为:
G (r , )

z r sin( ).
则，
f (r , ) 1 2
2


2 2


[ j sgn( R )] F ( R , ) exp( j 2 Rz ) dRd
此表达式亦可写成下列形式：
f ( r , ) 1 2
2


/ 2
g ( z , ) 1 * z d / 2 z
图像重建也扮演重要角色。
在三维重建中的数据形式有三种 （1）透射模型 （光，x射线） （2）发射模型 （核磁共振等）
（3）反射模型 （光电子，雷达，超声波）