鞍山一中,东北育才中学,辽宁省实验中学,大连市第八中学2015届高三上学期联考数学(理)试题

2014—2015学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）参考答案二．填空题13. 10 14. 2513 15. 722516. 35三．解答题17、本小题满分12分解（Ⅰ）2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+--12cos 21+sin(2)26x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)1,6x π+=即22()62x k k Z πππ+=+∈ ，即,6x k k Z ππ=+∈时取到。

所以函数最大值为2时x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ……（6分） （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266A ππ+=， ∴.3π=A 在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号。

又由b+c>a 得a<2.所以a 的取值范围是[1,2 ）。

………………（12分）18、本小题满分12分 解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。

……（4分） （本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A; 事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B则()()()2/7P A B P B A P A ⋅== ……………………（8分）（3）X 的取值为0,1,2,3，期望()5E X =……………………（12分）19、本小题满分12分 证明：（1）底面平行四边形ABCD 中，连接AC,BD ，设AC BD O =因为AB=AD, 60BAD ∠= ，所以AC ⊥BD又DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ，所以AC ⊥平面BDD 1，又因为四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱DD 1与BB 1延长后交于一点， 所以1BB ⊂平面BDD 1，所以AC ⊥BB 1。

即BB 1⊥AC。

…………（4分）（2）因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以1.2OD BD =由棱台定义及AB=AD=2A 1B 1知D 1B 1//DO ，且D 1B 1=DO ，所以边四形D 1B 1OD 为平行四边形， 所以DD 1//B 1O 。

因为DD 1⊥平面ABCD ，所以B 1O ⊥平面ABCD ，即B 1O ⊥AO, B 1O ⊥BO由（1）知AC ⊥BD 于点O,即AO ⊥BO以DB,AC,OB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图：则A(0，,0)，B （1，0,0），D(-1，0，0)，设B 1（0,0，h ），则D 1（-1，0，h ）；设A 1(a,b,h) (h>0)则DA =(1，,0)， 11D A =（a+1,b,0）， 因为11DA =12DA ，所以a=-12,b=. 即A 1(-12，，h) 。

所以11()2AA h =- ，AB =设平面A 1AB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100AA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1020x y hz x ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 取,则x=-3,z=3h-即3()n h=-- ，又已知平面ABC 的一个法向量(0,0,1)m =由二面角A 1-AB-C 大小为60，可得1cos ,2n <=解得：h=32 即棱台的高为32因为B 1O ⊥AO, B 1O ⊥BO ，AO ⊥BO所以三棱锥B 1-ABO 外接球的直径就是以OA,OB,OB 1为三条棱的长方体的体对角线,长为52=，所以外接球半径R=54所以外接球体积为3344512533448V R πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.………（12分）20、本小题满分12分解：（1）椭圆方程22143x y += ……………………（2分）（2）当直线L 与x 轴垂直时，B 1(1，32),B 2(1，-32),又F 1(-1,0), 此时11210B F B F ⋅≠，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1。

不满足条件。

当直线L 不与x 轴垂直时，设L ：y=k(x-1)由()222222(1)3484120143y k x k x k x k x y =-⎧⎪+-+-=⎨+=⎪⎩即因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。

设B 1(x 1,y 1)，B 2（x 2,y 2）,则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以11210B F B F ⋅=，又F 1(-1，0)所以（-1-x 1）(-1-x 2)+y 1y 2=0，即（1+k 2）x 1x 2+(1-k 2)(x 1+x 2)+1+k 2=0 所以解得297k =由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0因为直线L 与抛物线有两个交点，所以0k ≠设A 1(x 3,y 3) ，A 2(x 4,y 4)，则23434222442,1k x x x x k k ++==+=所以12342464229A A x x p k =++=++=…………(8分) （3）存在定圆N ,使得M 与N 恒相切，其方程为：(x+1)2+y 2=16,圆心是左焦点F 1.由椭圆的定义可知：121224,4MF MF a MF MF +==∴=- 所以两圆相内切。

……………………（12分）21、本小题满分12分解：（1）222111()ax x f x a x x x+-'=-+= ,x ∈[1，+∞） 显然a ≥0时，()f x '≥0，函数f(x)在[1，+∞）上是单调增函数，符合要求。

当a<0时，令g(x)=ax 2+x-1, 当x →+∞时g(x) x →-∞时, 所以函数f(x)在[1，+∞）上只能是单调减函数。

所以14a ∆=+≤0或0(1)0112g a⎧⎪∆>⎪≤⎨⎪⎪-≤⎩， 解得14a ≤-综上：满足条件的a 的取值范围是[)1,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦。

…………（3分）（2）不存在满足条件的正实数a 。

因为由 （1）知，a>0时f(x)在[1，+∞）上是单调增函数， 所以f(x)在[1，2]上是单调增函数。

所以对于任意[]11,2x ∈，f(1) ≤f(x 1 )≤f(2)， 即f （x 1）11,ln 222a a ⎡⎤∈+++⎢⎥⎣⎦; ()()22221()1x g x x -'=+，当[]1,2x ∈时，()0g x '≤，所以g(x)在[1,2]上是单调减函数。

所以当[]21,2x ∈时，29(),25g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦若对于任意[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使得f(x 1)=g(x 2)成立， 则11,ln 222a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦9,25⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，此时a 无解。

…………（7分） （3）因为122()11n n n n x x g x x +=-=+，所以x 1>0时，0<x n+1≤1，()n N *∈ （当且仅当x n =1时取等号） 若x n =1，则x 1=1，这与已知矛盾，所以01n x <<。

()12111112144121n n n n n n nn x x x x x x x x ++-=-≤⋅≤=+++-+ （两个等号不能同时成立）所以()211111111()n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++-⎫-=-<-⎪⎭()()()2221223112231122311*********n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++---+++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎫=-⎪⎭又()121101n n n n n n x x x x x x ++-=->+ 所以x n+1>x n ,所以112n x ≤< 又112x =所以()()())2221223112231315221816n n n n x x x x x x x x x x x x +++---+++<-<=……………………（12分） 另解：因为122()11n n n n x x g x x +=-=+，所以x 1>0时，0<x n+1≤1，()n N *∈ （当且仅当x n =1时取等号）若x n =1，则x 1=1，这与已知矛盾，所以01n x <<。

又()121101n n n n n n x x x x x x ++-=->+ 所以x n+1>x n ,所以 112n x ≤< 1221n n n n x x x x x +-=-+ 设x n =t ，则t 1,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭设22()1th t t t =-+ ， 则()()()()22242222222252(1)41()10111t t t t h t ttt-++---+'=-==<+++所以函数h(t)在t 1,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时是单调减函数，所以13()()210h t h ≤= 即1223110n n n nx x x x x +-=-≤+ 所以()2111111311()10n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++-⎛⎫-=-≤- ⎪⎝⎭()()()2221223112231122311131111111031110n n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++---+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为 111,2n n x x x +=> 所以 111,2n x +<< 所以()()()()222122311223133521101016n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<-<< 22、本小题满分10分解： 连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M.因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA;又因为∠OAD=∠DAE,所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC,且DE ⊥AC ，所以BC//DE 。