【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学选修2-3 第三章课时作业21]
【课堂新坐标】高中数学北师大版选修2-3练习：1.4简单计数问题(含答案解析)
学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()A．C25C26B．C25A26C．C25A22C26A22D．A25A26【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种．【答案】 B2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有()A．22种B．56种C．210种D．420种【解析】按第一种方法有C24C27种不同的搭配方法，按第二种方法共有C14C27种不同的搭配方法，故共有C24C27＋C14C27＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C.【答案】 C3．将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有()A．15 B．18C．30 D．36【解析】间接法，所有的不同放法有C24·A33种．A，B两球在同一个盒子中的放法种数为3×A22，满足题意的放法种数为C24A33－3×A22＝6×6－3×2＝36－6＝30.【答案】 C4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360 B．520C．600 D．720【解析】当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35A44＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600，故选C.【答案】 C5．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．23个B ．24个C ．18个D ．6个【解析】 各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有A 33＋C 13A 33＝24个．【答案】 B二、填空题6．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A ，B 风景区门票各2张，C ，D 风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种. 【导学号：62690020】【解析】 6位游客选2人去A 风景区，有C 26种，余下4位游客选2人去B 风景区，有C 24种，余下2人去C ，D 风景区，有A 22种，所以分配方案共有C 26C 24A 22＝180(种)．【答案】 1807．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】 分两种情况：第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有C 13A 33＋C 23A 33C 14＝90个；第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有C 23A 33C 14＋C 13C 23A 33C 13＝234个．共有90＋234＝324个．【答案】 3248．某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种为________种．(结果用数值表示)【解析】 在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C 25＝5×42＝10.因选择方式至少为200种，设素菜为x 种，则有C 2x C 25≥200.即x x －1 2≥20，化简得x (x －1)≥40，解得x ≥7.所以至少应准备7种素菜．【答案】 7三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上，有A34种方法，在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志，有C13种方法，还有2名女同志有A23种安排方法．共有A34C13A23＝432种安排方法．(2)男同志分2组有C23种方法，女同志分2组有C23种分法，将4组安排到4辆车上有A44种方法．共有C23C23A44＝216种安排方法．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C36·C14·A33＋C26·C24·A24＝1 560(种)不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有C14种方法，按2,2,1,1，放入有C24种方法，共有C14＋C24＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C35＝10(种)不同放法．能力提升]1．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个【解析】分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．【答案】 B2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有()A．240种B．180种C．120种D．60种【解析】取一双同色手套有C16种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，有C2522种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有C16C25·22＝240种．【答案】 A3．(2016·孝感高级期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．【解析】若用三种颜色，有C15A34种染法，若用四种颜色，有5·A44种染法，则不同的染色方法有C15A34＋5·A44＝240(种)．【答案】2404．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种．。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.3.3 组合组合数公式课后知能检测 苏教版选修2-3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.3 组合组合数公式课后知能检测 苏教版选修2-3一、填空题1．(2013·大连高二检测)若C 2n ＝28，则n 的值为________．【解析】n （n －1）2＝28，n ∈N *，∴n ＝8. 【答案】82．C 28＋C 38＋C 29＝________．【解析】C 28＋C 38＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120. 【答案】1203．(2012·昆明高二检测)方程C x 28＝C 3x －828的解为________．【解析】∵x ＝3x －8或x ＝28－(3x －8)，∴x ＝4或x ＝9.【答案】4或94．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________．【解析】原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝…＝C 310＋C 210＝C 311＝11×10×93×2×1＝165. 【答案】1655．C 9699＋2C 9799＋C 9899＝________．【解析】原式＝(C 9699＋C 9799)＋(C 9799＋C 9899)＝C 97100＋C 98100＝C 98101＝C 3101＝101×100×993×2×1＝166 650【答案】166 6506．若A 42n ＝120C 2n ，则n ＝________．【解析】∵2n (2n －1)(2n －2)(2n －3)＝120×n ×(n －1)×12∴(2n －1)(2n －3)＝5×3，∴n ＝3.【答案】37．(易错题)已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n ＝________.【解析】∵C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，∴2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， ∴2×n ！5！（n －5）！＝n ！4！（n －4）！＋n ！6！（n －6）！整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝14，n＝7(舍去)， 则C 1214＝C 214＝91.【答案】918．(能力创新题)对所有满足1≤m ≤n ≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋C m n y 2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】因为1≤m ≤n ≤5，所以C m n 可能为C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45，其中C 13＝C 23，C 14＝C 34，C 25＝C 35，C 15＝C 45，所以x 2＋C m n y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】6二、解答题9．如果C 56－C 44＝C 2x 4＋C 2x －14，求x .【解】原方程可化为C 2x5＝5，∴2x ＝1或5－2x ＝1时等式成立，∴x ＝12或2. 10．解不等式：1C 3n －1C 4n <2C 5n. 【解】由组合数公式，原不等式可化为3！（n －3）！n ！－4！（n －4）！n ！<2×5！（n －5）！n ！， 不等式两边约去3！（n －5）！n ！，得(n －3)·(n －4)－4(n －4)<2×5×4，即n 2－11n －12<0，解得－1<n <12.又∵n ∈N *，且n ≥5，∴n ＝5，6，7，8，9，10，11.11．规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C m x (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．【解】(1)C 5－15＝（－15）（－16）（－17）（－18）（－19）5！＝－C 519＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时， C 12有意义，但C 2－12无意义；性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1，x ∈R ，m 为正整数．证明：当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1；当x ≥2时，C m x ＋C m －1x＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！＋ x （x －1）（x －2）…（x －m ＋2）（m －1）！＝x （x －1）…（x －m ＋2）（m －1）！(x －m ＋1m ＋1) ＝（x ＋1）x （x －1）…（x －m ＋2）m ！＝C m x ＋1. 综上，性质②的推广得证．。
【课堂新坐标】高中数学北师大版选修2-3学案：第3章 章末分层突破 含解析
章末分层突破[自我校对]①回归分析②独立性检验③相关系数④相互独立事件(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系？(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？ (3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？【精彩点拨】 本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．【规范解答】 (1)设年龄为x ，身高为y ，则x ＝114(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，y ＝114(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7， ∑14i ＝1x 2i ＝1 491，∑14i ＝1y 2i ＝252 958.2，∑14i ＝1x i y i ＝18 990.6，14x y ≈17 554.1，∴∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝227.5，∑14i ＝1y 2i －14(y )2≈9 075.05， ∑14i ＝1x i y i －14x y ＝1 436.5，∴r ＝∑14i ＝1x i y i －14x y∑14i ＝1x 2i －14(x )2∑14i ＝1y 2i －14(y )2＝1 436.5227.5×9 075.05≈0.999 7.因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b ＝∑14i ＝1x i y i －14x y∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝1 436.5227.5≈6.314，a ＝y －b x ＝131.985 7－6.314×9.5≈72， ∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)．(3)如果身高相差20 cm，年龄相差206.314≈3.168≈3(岁)．[再练一题]1．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出回归直线方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验；(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．【解】(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180， ∴b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.041 5，a ＝y －b x ＝－0.003 88，∴回归直线方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归直线方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.(1)找相关数据，作列联表． (2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【精彩点拨】 提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断． 【规范解答】 由已知得到下表：根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝470×(25×200－185×60)2 210×260×85×385≈9.788.因为χ2＞7.879，所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．[再练一题]2．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)．现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系(χ2值精确到0.01)?参考公式：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d). 【解】(1)χ2＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.33＜2.706，所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系.1．(2015·湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b >0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．【答案】 C2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解析】 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 【答案】 B3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0【解析】作出散点图如下：^＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y^＝a＞0.故a 观察图象可知，回归直线y＞0，b＜0.【答案】 A4．(2016·全国卷Ⅲ)如图3-1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.图3-1(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i＝1y i＝9.32，∑7i＝1t i y i＝40.17，∑7i＝1(y i－y)2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝∑ni＝1(t i－t)(y i－y)∑ni＝1(t i－t)2∑ni＝1(y i－y)2，回归方程y^＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝∑ni＝1(t i－t)(y i－y)∑ni＝1(t i－t)2，a＝y－－b t.【解】(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t＝4，∑7i＝1(t i－t)2＝28，∑7i＝1(y i－y)2＝0.55，∑7 i＝1(t i－t)(y i－y)＝∑7i＝1t i y i－t∑7i＝1y i＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b＝∑7i＝1(t i－t)(y i－y)∑7i＝1(t i－t)2＝2.8928≈0.103.a＝y－b t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章空间向量与立体几何综合检测北师大版选修2-1
第二章 空间向量与立体几何(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和－10【解析】 由a ∥b ，得－42＝x －3＝y5，∴x ＝6，y ＝－10.【答案】 A2．已知直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，下列结论成立的是( ) A ．若a ∥n ，则a ∥α B ．若a ·n ＝0，则a ⊥α C ．若a ∥n ，则a ⊥αD ．若a ·n ＝0，则a ∥α【解析】 由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C ，对于选项D ，直线a 在平面α内，也满足a ·n ＝0.【答案】 C3．平面α的一个法向量n ＝(1，－1,0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为( )A.π6B ．π4C.π3D ．3π4【解析】 y 轴的方向向量s ＝(0,1,0)，cos 〈n ，s 〉＝n ·s |n |·|s |＝－22，即y 轴与平面α所成角的正弦值是22，故其所成的角是π4. 【答案】 B4．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，向量A B →、A D →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|A B →|＝1，|A D →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8【解析】 设A B →＝a ，A D →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，AC 1→＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.【答案】 A5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．637C.607D ．657【解析】 ∵a ，b 不共线，∴存在x ，y ，使c ＝x a ＋y B ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得λ＝657.【答案】 D6．已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n 1，n 2，给出下列结论： ①若n 1∥n 2，则α∥β；②若n 1∥n 2，则α⊥β；③若n 1·n 2＝0，则α⊥β；④若n 1·n 2＝0，则α∥β.其中正确的是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．②④【解析】 由平面的法向量的定义知①③正确． 【答案】 A7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则C M →，D 1N →的值为( )A.19 B ．459C.259D ．23【解析】 设正方体棱长2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知C M →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈C M →，D 1N →〉＝－19，sin 〈C M →，D 1N →〉＝459.【答案】 B8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )A ．(0,0，±2)B ．(0,0，±3)C ．(0,0，±3)D ．(0,0，±1)【解析】 设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝(33，－33，33)，故点M 到直线l 的距离d ＝|O M →|2－|O M →·s 0|2＝z 2－13z 2＝6，解得z ＝±3.【答案】 B9. 如图1，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )图1【解析】 如图，以D 为原点，DA 、DC 分别为x ，y 轴建立如图所示空间直角坐标系，设M (x ，y,0)，设正方形边长为a ，则P (a 2，0，32a )，C (0，a,0)，则|MC |＝x 2＋y －a2，|MP |＝x －a22＋y 2＋32a 2.由|MP |＝|MC |得x ＝2y ，所以M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条直线y ＝12x .【答案】 A10. 如图2，在正三棱锥P －ABC 中，D 是侧棱PA 的中点，O 是底面ABC 的中心，则下列四个结论中正确的是( )图2A ．OD ∥平面PBCB ．OD ⊥PAC ．OD ⊥AC D ．PA ＝2OD【解析】 连接AO 、PO ，依题意PO ⊥AO ，即∠POA ＝90°.∵D 为PA 的中点， ∴点O 在以PA 为直径的圆上， ∴OD ＝DA ＝DP ，即PA ＝2OD ． 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 11．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.【解析】 ∵c ＝(1,1,1)，a ＝(1,1，x )，∴c －a ＝(0,0,1－x )，∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )(2,4,2)＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2.【答案】 212．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角为________．【解析】 由题设，l 与α所成的角θ＝90°－(180°－120°)＝30°. 【答案】 30°13．平面α经过点A (0,0,2)且一个法向量n ＝(1，－1，－1)，则x 轴与平面α的交点坐标是________．【解析】 设交点M (x,0,0)，A M →＝(x,0，－2)，平面α的一个单位法向量是n 0＝(33，－33，－33)，点M 到平面α的距离d ＝|A M →·n 0|＝|33x ＋233|＝0，得x ＝－2，故x 轴与平面α的交点坐标是(－2,0,0)．【答案】 (－2,0,0)14．已知三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别是P (－1,0,0)，A (0,1,0)，B (－4,0,0)，C (0,0,2)，则该三棱锥底面ABC 上的高h ＝________.【解析】 由已知，A P →＝(－1，－1,0)，A B →＝(－4，－1,0)，A C →＝(0，－1,2)．设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，⎩⎨⎧n ·A B →＝－4x －y ＝0，n ·A C →＝－y ＋2z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4x ，y ＝2z .取x ＝－1，得n ＝(－1,4,2)．则h ＝|n ·A P →||n |＝|－－＋－＋0×2|－2＋42＋22＝217. 【答案】217三、解答题(本大题4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小满分12分)如图3，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求A E →与D B →夹角的余弦值．图3【解】 (1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以D B →，D C →，D A →所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)， 所以A E →＝(12，32，－3)，D B →＝(1,0,0)，∴cos<A E →，D B →>＝A E →·D B →|A E →|·|D B →|＝121×224＝2222，所以A E →与D B →夹角的余弦值是2222.16．(本小题满分12分)如图4，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．图4(1)证明：AD ⊥D 1F ； (2)求AE 与D 1F 所成的角； (3)证明：面AED ⊥面A 1FD 1.【解】 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则有A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (0，12，0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)．(1)证明：由A D →＝(－1,0,0)，D 1F →＝(0，12，－1)，A D →·D 1F →＝0，∴AD ⊥D 1F .(2)A E →＝(0,1，12)，A E →·D 1F →＝0，∴AE ⊥D 1F ，AE 与D 1F 所成的角为90°.(3)证明：由以上可知D 1F ⊥平面AED ，又D 1F 在平面A 1FD 1内，∴面AED ⊥面A 1FD 1. 17. (本小题满分12分)如图5所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：图5(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .【证明】 AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)，(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形， ∴C (12，32，0)，E (14，34，12)，设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得A C →·C D →＝0，即y ＝233，则D (0，233，0)，∴C D →＝(－12，36，0)，又A E →＝(14，34，12)，∴A E →·C D →＝－12×14＋36×34＝0，∴A E →⊥C D →，即AE ⊥CD ．(2)法一 ∵P (0,0,1)，∴P D →＝(0，233，－1)，又A E →·P D →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴P D →⊥A E →，即PD ⊥AE ， A B →＝(1,0,0)，∴P D →·A B →＝0，∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB ．法二 A B →＝(1,0,0)，A E →＝(14，34，12)，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)，∵P D →＝(0，233，－1)，显然P D →＝33n .∵P D →∥n ，∴P D →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .18．(2013·辽宁高考)(本小题满分12分)如图6，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图6(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PBA 的余弦值．【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图(1)，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)． 故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP →＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图(1)知二面角C PB A 为锐角，故二面角C PB A 的余弦值为64.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.3 超几何分布课后知能检测 新人教B版选修2-3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.3 超几何分布课后知能检测 新人教B 版选修2-3一、选择题1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615 B.C 310C 35C 615 C.C 410C 25C 615 D.C 410A 25A 615【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为X ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0＜X ≤2) B．P (X ≤1) C ．P (X ＝2) D ．P (X ＝1)【解析】 由已知得X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 222C 226，P (X ＝1)＝C 122·C 14C 226，P (X ＝2)＝C 24C 226.∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122·C 14＋C 222C 226. 【答案】 B3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则p (X ＝3)＝( )A.421 B.921 C.621 D.521【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 D4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )A.3979 B.180 C.12 D.4181【解析】 由题意知所求概率为P ＝C 240＋C 240C 280＝3979.【答案】 A5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的的概率B ．恰有2只是好的的概率C ．4只全是好的的概率D ．至多有2只是坏的的概率【解析】 恰好2只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B 二、填空题6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P (X ＝1)＝________.【解析】 X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35.【答案】 357．某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，求有2人会说日语的概率为________．【解析】 有两人会说日语的概率为C 26C 24C 10＝37.【答案】 378．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的2件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】47245三、解答题9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生合格的概率．【解】 X 可以取1,2,3.P (X ＝1)可以取C 18·C 22C 10＝115；P (X ＝2)＝C 28·C 12C 310＝715；P (X ＝3)＝C 38·C 02C 310＝715.所以X 的分布列为：该考生合格的概率为P (X ＝3)＝715＋715＝1415.10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列．【解】 从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1 225. 选出2人使用版本相同的方法数为 C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350.故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501 225＝27.(2)∵P (X ＝0)＝C 215C 235＝317，P (X ＝1)＝C 120C 115C 235＝60119，P (X ＝2)＝C 220C 235＝38119.∴X 的分布列为11．交5元钱，可以参加一次摸奖，袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽取2个球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【解】 设随机变量X 表示抽奖人所得的钱数，则X 的取值为2、6、10. P (X ＝2)＝C 28C 02C 210＝2845，P (X ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝10)＝C 22C 08C 210＝145.故X 的分布列为。
【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学选修2-3 第一章课时作业3]
![【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学选修2-3 第一章课时作业3]](https://img.taocdn.com/s3/m/0b2c1ce89b89680203d825c1.png)
一、选择题1．已知A2n＝132，则n等于()A．11B．12C．13 D．14【解析】∵A2n＝n(n－1)＝132，∴n＝12或n＝－11(舍)，∴n＝12.【答案】 B2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为()A．A20m B．A21mC．A20m＋20D．A21m＋20【解析】m(m＋1)(m＋2)…(m＋20).＝(m＋20)(m＋19)…[(m＋20)－21＋1]＝A21m＋20【答案】 D3．将五辆车停在5个车位上，其中A车不停在1号车位上，不同的停车方案有()种A．24 B．78C．96 D．120【解析】∵A车不停在1号车位上，∴可先将A车停在其他四个车位中的任何一个车位上，有4种可能，然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有A44种停法，由分步乘法计数原理，得共有4×A44＝4×24＝96种停车方案．【答案】 C4．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7－A2n＝n(n＋1)－n(n－1)＝10,2n＝10，n＝5.【解析】A2n＋1【答案】 B5．不等式x A3x>3A2x的解集是()A．{x|x>3} B．{x|x>4，x∈N}C．{x|3<x<4，x∈Z} D．{x|x>3，x∈Z}【解析】由题意得x[x×(x－1)×(x－2)]>3×[x×(x－1)]，∵x≥3且x∈N*，∴x－1>0，∴x(x－2)>3，即x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1(舍)，∴原不等式的解集为{x|x>3，x∈Z}．【答案】 D二、填空题6．从6个不同元素中取出4个元素的排列数为______；从7个不同元素中取出7个元素的排列数为________．【解析】由排列定义写排列数．【答案】A46A777．从4个疏菜品种中选出3个，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，则不同的种植方法有________种．(用数字作答)【解析】本题可理解为从4个不同元素(4个疏菜品种)中任取3个元素的排列个数，即为A34＝24(种)．【答案】248．集合p＝{x|x＝A m4，m∈N＋}，则p中元素的个数为________．的意义可知，m＝1,2,3,4.【解析】由A m4，m∈N＋当m＝1时，A m4＝A14＝4；当m＝2时，A m4＝A24＝12；当m＝3时，A m4＝A34＝24；当m＝4时，A m4＝A44＝24.由集合元素的互异性可知：p中元素共有3个．【答案】 3三、解答题9．判断下列问题是否是排列问题：(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相加(乘)可得多少种不同的结果？(2)有12个车站，共需准备多少种车票？(3)从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？【解】 (1)与顺序无关，不是排列问题；(2)满足排列的定义，是排列问题；(3)与顺序无关，不是排列问题；(4)由于确定直线时与两点顺序无关，所以不是排列问题，而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题．10．(1)将3张电影票分给5人中的3人，每人1张，求共有多少种不同的分法；(2)从2、3、5、7中任意选两个分别作为分子和分母构成分数，求构成不同的分数的个数．【解】 (1)问题相当于从5张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故共有A 35＝5×4×3＝60种分法．(2)选出的任意两个数分别作为分子、分母时，构成的分数是不一样的，因此是一个有序问题，应用排列去解．故能构成A 24＝4×3＝12个不同的分数．11．解不等式A x 9>6A x －29.【解】 原不等式即为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，化简得x 2－21x ＋104>0， ∴x <8或x >13. 又由⎩⎨⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，得2≤x ≤9，x ∈N ＋， ∴2≤x <8，x ∈N ＋，∴x ＝2,3,4,5,6,7.。
高中数学(北师大版)选修2-3教案：第3章 拓展资料：例谈回归分析的应用
例谈回归分析的应用在解许多实际应用问题时，运用回归分析的基本思想，通过构建回归模型去刻画解释变量与预报变量的关系，并利用模型，利用解释变量的某个值去预测相应预报变量的某个值，从而使问题得到解决．建立回归模型解决实际问题的步骤是：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；（3）由经验确定回归方程的类型，即拟合直线或拟合曲线；（4）按一定规则估计回归方程中的参数，从而求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（5）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策提供依据．下面举例说明．例1某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：x35 40 45 50y56 41 28 11（1）y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程；（2）设经营此商品的日销售利润为Ｐ元，根据（1）写出Ｐ关于x的函数关系式并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．解析：（1）散点图如右图所示，并从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为$y bx a=+，则由公式求得3161.5，．≈-=b a$3161.5=--∴；y x（2）依题意有2=-+-=-+-，(3161.5)(30)3251.54845P x x x x∴当251.5426x =≈时，P 有最大值约为426． 即预测销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．点评：本题主要考查构建线性回归模型在解决实际问题中的应用．例2 某国从1790年至1950年人口数据资料：试利用上述资料预测该国1980年的人口数（假设该国政治、社会、经济环境稳定，且人口数相对于时间是连续的）．分析：以x 轴代表年度，y 轴代表人口数，建立直角坐标系，画出散点图（略），并观察散点图可以发现，从1890年以后散点近似分布在一条直线上；而从散点图的整体趋势来看，也可以认为散点近似分布在一条抛物线上，故可采用线性回归模型拟合，或采用二次函数模型拟合．解法一：由散点图可以看出，1890年以后散点大致分布在一条直线上，设线性回归直线方程为$y bx a =+，由公式求得 1.485b ≈，2747.05a ≈-，即$1.48582747.025y x =-．∴当1980x =时，6194.85910y =⨯，即1980年该国人口预测为194.859百万人． 解法二：从散点的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线1790x =为对称轴，以点(17903.929)，为顶点的抛物经一上，再任意选一点(189062.948)， 确定抛物线方程为20.0059(1790) 3.929y x =-+．∴当1980x =时，216.91910y =⨯6，则该国人口预测为216.919百万人．点评：本题主要考查重视对信息、图表的分析，提取，加工和处理能力．两种解法，由于考虑问题和观察角度不同，所得到结论和答案也不相同，线性回归模型是在依据部分已知数据的基础上作出的，因此精确度比较差；而二次函数模型是根据全部已知数据的分布趋势拟合的，因而有较高的精确度．当然，同学们可以进一步利用回归分析的方法，通过利用相关指数2R 来比较两个模型的拟合效果．。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.3.1 二项式定理课后知能检测 新人教B版选修2-3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.1 二项式定理课后知能检测 新人教B 版选修2-3一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.【答案】 C2．(2012·天津高考)在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40【解析】 T k ＋1＝(－1)k C k 5·(2x 2)5－k ·x －k ＝(－1)k C k 5·25－k ·x 10－3k ，令10－3k ＝1⇒k ＝3，∴x 的系数为－C 35·22＝－40.【答案】 D3．已知(x －1x)7的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A.17 B ．－17C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4(－1x )3＝5，∴x ＝－17. 【答案】 B4．(2013·辽宁高考)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r .依题意得C 5n ·35＝C 6n ·36，即n n －n －n －n －5！ ＝3×n n －n －n －n －n －6！(n ≥6)，得n ＝7.【答案】 B二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2＞T 1，T 2＞T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ C 162x ＞1，162x ＞C 26x 2.解得112＜x ＜15. 【答案】 (112，15) 7．(2013·浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 【解析】 T r ＋1＝C r 5(x )5－r (－13x)r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. 【答案】 －108．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】 二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k 20x20－k ·(43y )k ＝C k 20(43)k x 20－k y k (0≤k ≤20)．要使系数为有理数，则k 必为4的倍数，所以k 可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项．【答案】 6三、解答题 9．已知(3x －23x)10的展开式，求 (1)展开式第四项的二项式系数； (2)展开式中第四项的系数；(3)第四项． 【解】 (3x －23x)10的展开式的通项是T k ＋1＝C k 10(3x )10－k (－23x )k ＝(－23)k ·C k 10·310－k ·x 5－32k . (1)展开式第四项的二项式系数为当k ＝3时，C 310＝120.(2)展开式中第四项的系数为(－23)3·C 310·37＝－77 760. (3)展开式中的第四项为：T 4＝(－23)3·C 310·37·x 5－32×3 ＝－77 760x .10．若二项式(x －a x )6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，求a 的值．【解】 ∵T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x )r ＝(－a )r C r 6x 6－3r 2， 令r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2.11．在二项式(3x －123x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．【解】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r (－123x)r ＝(－12)r C r n x 13n －23r 由前三项系数的绝对值成等差数列，得C 0n ＋(－12)2C 2n ＝2×12C 1n ， 解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)展开式的第4项为： T 4＝(－12)3C 38x 23＝－73x 2.8 3－23r＝0，即r＝4时，常数项为(－12)4C48＝358.(2)当。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题 1．倒指数曲线y ＝
的图像为( )
【解析】 y ＝a e b
x ，当a >0，b >0时，图像为A. 【答案】 A 2．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线贴近这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观地判断两个变量之间的关系是否是线性相关关系；
③通过回归方程y ＝bx ＋a 及其回归系数b ，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
【解析】 由线性回归分析的意义知①、②、③正确，④错误． 【答案】 C
3．幂函数曲线y ＝x b ，当b >1时的图像为( )
【解析】当b>1时，图像为选项A，当0<b<1时为选项B，当b<0时为选项C，当b＝1时为选项D.
【答案】 A
4．对于回归分析，下列说法错误的是()
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)
【解析】由相关系数性质知，B、C正确．A正确，因为拟合函数不是唯一的．D错，因为相关系数|r|≤1.
【答案】 D
5．可以对下列数据x、y之间的关系进行拟合的函数()
A.y＝2＋1
3x B．y＝2e
x
C．y＝2e 1
x D．y＝2＋ln x
【解析】∵y＝2e 1
x为减函数，∴选项C错．
又∵y＝2e x的增长速度极快，∴选项B错误．由增长速度可知A错，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．x，y的取值如下表：
则x
【解析】由x与y值的对应关系可知：该函数应为指数函数，由其近似值可知y＝2x较合适．
【答案】y＝2x
7．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：
【解析】将表中数据代入公式，可得
b＝∑
5
i＝1
x i y i－5x y
∑
5
i＝1
x2i－5x2
≈0.880 9.
【答案】0.880 9
8．下列说法
①当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系；
②把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法；
③当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系；
④当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．
其中正确的序号为________．
【解析】此题考查解决线性相关问题的基本思路，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系，只是要通过适当的变换使其转化为线性相关问题，用线性回归分析问题来解决．因此②③④正确，①错误．【答案】②③④
三、解答题
9．某种书每册的成本费y元与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数1
x之间是否具有线性相关关系？如
有，求出y对x的回归方程．
【解】把1
x置换成z，则有z＝
1
x，从而z与y的数据为：
∴有z＝1
10(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝
0.225 1
y＝1
10(10.15＋5.52＋4.08＋2.85＋2.11＋1.62＋1.41＋1.30＋1.21＋1.15)＝
3.14，
∑
10
i＝1
z2i＝12＋0.52＋0.3332＋0.22＋0.12＋0.052＋0.0332＋0.022＋0.012＋0.0052≈1.415，
∑
10
i＝1
y2i＝10.152＋5.522＋4.082＋2.852＋2.112＋1.622＋1.412＋1.302＋1.212＋1.152＝171.803，
∑
10
i＝1
z i y i＝1×10.15＋0.5×5.52＋0.333×4.08＋0.2×2.85＋0.1×2.11＋0.05×1.62＋0.033×1.41＋0.02×1.30＋0.01×1.21＋0.005×1.15≈15.221，
∴r≈0.999 8.
∵|r|≈0.999 8接近于1，
∴z对y具有很强的线性相关关系．
∴b≈8.976，a≈1.12.
∴所求的z与y的回归方程为y＝8.976z＋1.12.
又∵z＝1
x，∴y＝
8.976
x＋1.12.
10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y 与x 【解】 画出散点图如下图1所示，观察可知y 与x 近似是反比例函数关系． 设y ＝k x (k ≠0)，令t ＝1
x ，则y ＝kt .
图1 图2
可得到y 关于t 的数据如下表：
画出散点图如图线性回归模型进行拟合，易得：
b ＝
∑5
i ＝1t i y i －5t y ∑5
i ＝1
t 2i －5t
2
≈4.134 4，
a ＝y －
b t ≈0.791 7， 所以y ＝4.134 4t ＋0.791 7， 所以y 与x 的回归方程是y ＝
4.134 4
x t ＋0.791 7
11．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖的个数y ，收集数据如下：
(1)(2)试求回归方程．
【解】(1)根据数据得散点图，如图所示．
(2)根据数的散点图可以发现样本点不是分布在某一条直线附近，而是分布在一条曲线附近．根据已学的函数知识，可以发现样本点分布在某一指数型函数y＝c1e c2x(c1>0，c2>0)附近，则将函数两边取对数得ln y＝c2x＋ln c1，则令u＝ln y，得u＝c2x＋ln c1，根据数据可得x和u的数据表：
由上面x
从图中可以发现x和u之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型来拟合它们之间的关系．根据公式得到线性回归方程为：u＝1.112＋0.690 9x，即
ln y＝1.112＋0.690 9x，则得y＝e0.690 9x＋1.112.故我们可以利用y＝e0.690 9x＋1.112来描述天数x与繁殖个数y之间的关系.。