最新人教版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义精品课件
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2.2.3向量数乘运算及其几何意义
探究一： 探究一：向量的数乘运算及其几何意义
O
A
B
C
OC
uur u OP =
P
N
M
O
-
2
O
A
B
C
P
N
M
O
2 3
- 2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心， 的重心 BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， 分别有什么关系？ A D与 DM 分别有什么关系？
A
1 BD BC 2
M B D C
A D 3DM
探究二: 探究二:向量的数乘运算性质
(3 2)
2
2
思考6 若存在实数λ 思考6：若存在实数λ，使 A B l BC ， 三点的位置关系如何？ 则A、B、C三点的位置关系如何？ A B l BC A、B 、C 共线
3.向量的数乘运算律，不是规定， 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 向量的数乘运算律 可以证明的结论. 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行， 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据. 数量关系的理论依据.
作业： 作业： P90练习 练习： P90练习：3，4，5，6.
高中新课程数学必修④ 高中新课程数学必修④
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
mzgang888@
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 如何求作两个非零向量的和向量 向量？ 向量？
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 3=5×3=15.那么相 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究. 运算呢？这需要从理论上进行探究.
【公开课课件】人教A版数学必修4 ：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2 a ＋2 b ，（3+ 2）a
可分别转化为什么运算？
提示:
r
r
-2× (5 a )= -10 a ；
r 2a＋
(3＋
2
2
r b
=
2(
r a
+
)
r a
=3
ar＋
br )r； 2a.
r 思考2：一r般地，设rλ，r μ为实数，则λ(μa )， (λ＋μ) a ，λ( a ＋b )分别等于什么？
uuur PB
，其中
λ∈R，则点
P
一定在(
B)
A．△ABC 的内部
B．AC 边所在的直线上
C．AB 边所在的直线上
D．BC 边所在的直线上
4.已知|a|＝4，b 与 a 的方向相反，且|b|＝2，a ＝mb，则实数 m＝____-_2___.
rr
rr
5．(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a ，b 不平行，向量 a b
【变式练习】
在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
uuur AB
uuur AD
uuur AO
，则
___2__．
例3.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB
=
r a
，
AD
=
br，你能用
r a
,
r b
表示
M
A
，M
B
，MC
和MD
吗？
D
C
解 :在平行四边形ABCD中， uur uur uur r r
D．若 a＋b＋c＝0，则 a＋b＝－c 【解析】判断 a 与 b 共线的方法是：存在实数 λ， 使 a＝λb.在 A 中，若 b＝0 时不成立．B 正确．在 C 中，m＝2n，∴m∥n，∴C 正确．D 也正确，所 以应选 A.
可分别转化为什么运算？
提示:
r
r
-2× (5 a )= -10 a ；
r 2a＋
(3＋
2
2
r b
=
2(
r a
+
)
r a
=3
ar＋
br )r； 2a.
r 思考2：一r般地，设rλ，r μ为实数，则λ(μa )， (λ＋μ) a ，λ( a ＋b )分别等于什么？
uuur PB
，其中
λ∈R，则点
P
一定在(
B)
A．△ABC 的内部
B．AC 边所在的直线上
C．AB 边所在的直线上
D．BC 边所在的直线上
4.已知|a|＝4，b 与 a 的方向相反，且|b|＝2，a ＝mb，则实数 m＝____-_2___.
rr
rr
5．(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a ，b 不平行，向量 a b
【变式练习】
在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
uuur AB
uuur AD
uuur AO
，则
___2__．
例3.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB
=
r a
，
AD
=
br，你能用
r a
,
r b
表示
M
A
，M
B
，MC
和MD
吗？
D
C
解 :在平行四边形ABCD中， uur uur uur r r
D．若 a＋b＋c＝0，则 a＋b＝－c 【解析】判断 a 与 b 共线的方法是：存在实数 λ， 使 a＝λb.在 A 中，若 b＝0 时不成立．B 正确．在 C 中，m＝2n，∴m∥n，∴C 正确．D 也正确，所 以应选 A.
新课标高中数学人教A版必修四精品课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)
实数与向量的积的定义：
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讲授新课
实数与向量的积的定义：
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注意：
实 数与 向 量a， 可 以 作 积 ， 但 不 可 以 作 加 减 法 ， 即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
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实数与a向量的积的运算律：
BC
aaa
记
作
3
a
,
O
C与
a的
方
向
相
同
，且
3a
3a
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P
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DP
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EDP
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FE D P
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2 a
2b
2(a
b
)
2b
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实数与向量b的积的2运(a算律b：)
2 a
2b
2(a
b
)
2b
(a b ) a b
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实数与向量的积的运算律：
设a
,
b为
任
意
向
量
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
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实数与向量的积的定义：
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注意：
实 数与 向 量a， 可 以 作 积 ， 但 不 可 以 作 加 减 法 ， 即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
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实数与a向量的积的运算律：
BC
aaa
记
作
3
a
,
O
C与
a的
方
向
相
同
，且
3a
3a
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2 a
2b
2(a
b
)
2b
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实数与向量b的积的2运(a算律b：)
2 a
2b
2(a
b
)
2b
(a b ) a b
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实数与向量的积的运算律：
设a
,
b为
任
意
向
量
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
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人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
新课标高中数学人教A版必修四全册课件2 .2.3向量数乘运算及其几何意义(一)
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律： a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律： a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律： a
2a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律：
a
2a
3( 2a )
6a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律：
a
2a
3( 2a )
6a
2.2.3向量数乘运算 及其几何意义
主讲老师：
复习回顾
请
作
出a
a
a和(
a
)
(
a
)
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
复习回顾
请
作
出a
a
a和(
a
)
(
a
)
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
复习回顾
(1) (a) ()a
(2)
(
)a
a
a
(3) (a b ) a b
讲授新课
例 1.
讲授新课
例 2.
讲授新课
练 习1.
练 习2. 教材P.90练习第5题.
讲授新课
思考
a与
a有
何
关
系
？(
a
0)
讲授新课
思考
a与
a有
何
关
系
？(
a
0)
结 论：
如 那
果b 么a，
高中数学人教A必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1 2
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
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共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
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������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
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共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
人教版高中数学必修四2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
是实现线性关系的根据.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 3 已知 O,A,M,B 为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ
∈R,λ≠0,且 λ≠1).
(1)求证:A,B,M 三点共线;
(2)若点 B 在线段 AM 上,求实数 λ 的取值范围.
(1)证明∵=λ+(1-λ),
1
(2)∵a= 6b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
反思感悟向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零
(5)由本性质定理知,若向量=λ,则, 共线.又, 有公
共点 A,从而 A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
一
二
三
四
自主检测
4.做一做:若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的
有
.(填序号)
①a=2e1,b=-2e1;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
4
4
8
∴r=5,s=-5,∴3r+s=5.
答案C
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
向量线性运算的综合应用
角度1 判断三角形的形状
例 6 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足| −
|=| + -2|,则△ABC 的形状为
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 3 已知 O,A,M,B 为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ
∈R,λ≠0,且 λ≠1).
(1)求证:A,B,M 三点共线;
(2)若点 B 在线段 AM 上,求实数 λ 的取值范围.
(1)证明∵=λ+(1-λ),
1
(2)∵a= 6b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
反思感悟向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零
(5)由本性质定理知,若向量=λ,则, 共线.又, 有公
共点 A,从而 A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
一
二
三
四
自主检测
4.做一做:若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的
有
.(填序号)
①a=2e1,b=-2e1;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
4
4
8
∴r=5,s=-5,∴3r+s=5.
答案C
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
向量线性运算的综合应用
角度1 判断三角形的形状
例 6 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足| −
|=| + -2|,则△ABC 的形状为
高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
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数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线B BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答案:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
数乘向量的定义：
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和
方向规定如下：
（1）a a
（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0时， a 0
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b