2[1].4.3十字相乘、选主元、双十字相乘法(一).讲义学生版
八年级数学上册十字相乘法培优讲义(优质讲义)
十字相乘法分解因式学生/课程年级学科授课教师日期2020-12-04 时段核心内容用十字相乘法分解二次三项式课型教学目标1、理解十字相乘法的根据；2、能用十字相乘法分解二次三项式；重、难点1、掌握十字相乘法分解因式；2、理解并熟练掌握二次项项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．知识导图知识梳理1．二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式 (a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．导学一：二次项系数为1的十字相乘法知识点讲解 1例 1. [单选题] 如果二次三项式可分解为，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．1 D．2例 2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）a2－7a+6；例 3. 用十字相乘法分解下列因式（1）a2－4ab-5 ；（2）例 4. 阅读材料：分解因式：x2+2x-3解：原式=x2+2x+1-1-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2-4mn+3n2；（2）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值．我爱展示1. [单选题] 两整式相乘的结果为-a-12 的是（）A．(a+3)(a-4) B．(a-3)(a+4) C．(a+6)(a-2) D．(a-6)(a+2)2.把下列各式分解因式：（1）y2+5y+4；（2）b2－7b-8；3.用十字相乘法分解下列因式（1）(ab)2－4ab-5；（2）(a+1)2－4(a+1)+34.阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．导学二：二次项系数不为1的十字相乘法知识点讲解 1：例 1. [单选题] 如果二次三项式2可分解为(2x-1)(x+a)，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．4 D．2例 2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）．例 3. 用十字相乘法分解下列因式（1）2a2－ab- ；（2）例 4. 阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2= ．我爱展示1. [单选题] 如果二次三项式2 可分解为(2x+1)(x+a)，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．3 D．22.把下列各式分解因式：（1）6x2－11x+3；（2）3a2－7a－63.用十字相乘法分解下列因式（1）4a2－3ab- ；（2）4.如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a，宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2图③（1）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+5ab+2b2，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式3a2+5ab+2b2分解因式为．（2）如图③，是用B类长方形（4个）拼成的图形，其中四边形ABCD是大正方形，边长为m，里面是一个空洞，形状为小正方形，边长为n，观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）①= 2 （a2+b2 ）；②；③= 4ab限时考场模拟： __分钟完成1.[单选题] 下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）2.[单选题] 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．B．C．D．3.[单选题] 把多项式分解因式，结果正确的是（）A．2（-8）B．2 C．2（x+2）（x-2）D．2x（x-4）4.[单选题] 已知多项式因式分解为，则b、c的值为（）．A．B．C．D．5. 分解因式（1）a2（x﹣y）+（y﹣x）= ；（2）2m2﹣8n2=．6.两名同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成，另一位同学看错了常数项而分解成，请写出原多项式并将它因式分解.7.分解因式：（1）（2）8. 用十字相乘法分解下列因式（1）x 2－11x+10；； （2）a 2－2a －3； （3）2x 2－11x+5；； （4）4a 2－7a －2； （5）x 2－3xy+2 ； （6）3a 2－8ab -3自主学习1. [单选题] 下列由左到右的变形中，不属于因式分解的是（ ）.B ．D ．2. [单选题] 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．B ．C ．D ．3. [单选题] 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）.A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bxB ．C ． ﹣1=（y+1）（y ﹣1）D ．ax+by+c=x （a+b ）+c4. [单选题] 将（﹣2）2015+（﹣2）2016因式分解后的结果是（ ） A ．22015B ．﹣2C ．﹣22015D ．﹣15. 已知x+y=6，xy=4，则x 2y+xy 2的值为 ．6. 因式分解：（1）； （2）．7. 已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k 的值．A ． C ．8.（1）用乘法公式计算①；②（2）根据= ，分解因式。
十字相乘法讲课版
= (a+b+1)(a–b+3)
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
怎因么为结它果还 与可刚以才继不续 一因样式呢分？解
= (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] = (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
双十字相乘法适用于二次六项式的因式 分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
2 4 –3 15 3 1206–+–1435==13–43
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
拆项添项法
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
十字相乘法： 简记口诀： 对于二首次尾三项分式解的，分交解因叉式相，乘借，用一个十字
十字相乘法(1)PPT课件
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解能写成 二次三项式。
例1、把 x2-6x+8 分解因式
2020/10/13
1
例2、把 y4-7y2-18 分解因式 例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
练一练： 把下列各式分解因式
1、x2-11x-12 2 、x2+4x-12
3、x2-x-12
4、x2+5x-6
5、x2-5x-14
6、y2-11y+24
2020/10/13
2
用十字相乘法分解下列因式
1、p2+10p+16 2、x4-13x2+36
3、a8+7a4-98
4、x2+3xy-4y2
5、x2y2+16xy+48 6、(2+a)2+5(2+a)-36 7、x4-2x3-48x2
2020/10/13
3
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14、10(y+1)2-29(y+1)+10
2020/10/13
4
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
6
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 分解因式
十字相乘法课件
分享一些有关十字相乘法的在线资源链接，供学生自主学习和练习。
实际应用
展示十字相乘法在实际问题中的应用场景。
十字相乘法的步骤
1
步骤一
画出方程中每一项的系数，并找到两个数相乘得出这个系数的方法。
2
步骤二
将相乘的两个数分别填在十字相乘法表格中对应的位置。
3
步骤三
计算十字相乘法表格中的结果，并将结果相加得出方程的答案。
实战演练
1 案例一
学生们将会通过参与实战演练来掌握十字相乘法的具体步骤。
十字相乘法ppt课件
# 十字相乘法PPT课件 ## 引言 - 到底什么是十字相乘法？为什么它在数学中如此重要？这篇PPT将会给你全面的解答。 - 引出学习十字相乘法的必要性，为学生们营造好奇心。
什么是十字相乘法？
背景概述
介绍十字相乘法的历史背景和发展情况。
核心思想
解释十字相乘法的基本原理和解题思路。
2 思考题
提供一道思考题，要求学生自行应用十字相乘法求解方程。
小结
核心思想
总结十字相乘法的核心思想和基本原理。
应用场景
指明十字相乘法在数学和实际生活中的应用场 景。
参考资料
1 教材
推荐一本深入讲解十字相乘法的数学教材，供学生参考。
2 文章
提供一篇有关十字相乘法的深入文章，供学生进一步学习和探索。
十字相乘法(详细教案)
因式分解的一点补充——十字相乘法（适用于新课标人教版八年级数学上册）青山初级中学李鑫教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点：灵活运用十字相乘法因分解式。
教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).课前练习：下列各式因式分解1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。
答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。
十字相乘法完整版
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十字相乘法完整版
目录
01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
双十字相乘法上课讲义
双十字相乘法双十字相乘法分解形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）例：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=（x+2y-1）（3x-y+4）分解二次五项式要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例：ab+b2+a-b-2=0×1×a2+ab+b2+a-b-2=（0×a+b+1）（a+b-2）=（b+1）（a+b-2）分解四次五项式提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
例：2x4+13x3+20x2+11x+2=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2=（2y+3x+1）（y+5x+2）=（2x^2+3x+1）（x^2+5x+2）=（x+1）（2x+1）（x^2+5x+2）因式分解法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作数，于是上式可变形为2x2-（5+7y)x-（22y2-35y+3），可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕=(x+2y-3）（2x-11y+1）．这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．1、x2-y2＋2yz-z22、(1-xy)2-(y-x)23、x2y2-x2-y2-6xy＋44、x3＋3x2-45、4x2＋8x＋36、9x2-30x＋257、39x2-38x＋88、4x2-6ax＋18a29、20a3bc-9a2b2c-20ab3c10、x2＋ax-12＝(x＋b)(x-2）11、2x＋1是不是4x2＋5x-1的因式？12、若x＋2是x2＋kx-8的因式，求k13、若2x3＋11x2＋18x＋9＝(x＋1)(ax＋3)(x＋b)，则a-b＝14、若a2＋b2＋c2＋4a-8b-14c＋69＝0，求a＋2b-3c的值15、mx2-m2-x＋116、a2-1-2ab＋b217、ab(x2-y2)＋xy(a2-b2)18、xy2-2xy-3x-y2-2y-119、7(x-1)2＋4(x-1)(y＋2)-20(y+2)220、x2+3xy+2y2+4x+5y+321、2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。
因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用
因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用因式分解是代数运算中的一项重要技能，它可以帮助我们将复杂的表达式简化，便于理解和计算。
在中学数学学习中，我们通常会接触到多种因式分解的方法，其中包括一提二套三分四造、换元法、十字相乘法等。
本文将对这些方法进行详细介绍，以帮助大家更好地掌握因式分解的技巧。
一、一提二套三分四造1. 一提：提取公因式提取公因式是将多项式中的公共因子提取出来，从而简化表达式。
例如，对于表达式x^2 +2x +1，我们可以提取出公因式x，得到x(x +1)^2。
2. 二套：套用公式套用公式主要包括平方差公式和完全平方公式。
平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a^2 ±2ab + b^2 = (a ± b)^2例如，对于表达式x^2 -4，我们可以利用平方差公式分解为(x +2)(x -2)。
3. 三分：分组分组是将多项式中的项进行分组，从而便于提取公因式或使用其他分解方法。
例如，对于表达式x^3 +6x^2 +9x，我们可以将x^3+6x^2分为一组，9x分为一组，然后分别提取公因式，得到x(x +3)(x +3)。
4. 四造：创造公因式创造公因式是指在多项式中寻找隐藏的公因式。
例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以将6分解为2 ×3，然后找到公因式(x +2)，得到(x +2)(x +3)。
二、换元法换元法是将多项式中的某一项或几项替换为新的变量，从而简化表达式。
通过换元，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，便于分解。
例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以令x +2 = y，得到y^2 -3y +2 = (y -1)(y -2)。
三、十字相乘法十字相乘法是一种分解二次多项式的方法。
对于表达式ax^2 + bx + c，我们可以通过构造一个十字相乘的表格，从而找到分解式。
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板块一：十字相乘法
十字相乘法：
一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12
c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++
若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解
【例1】 分解因式：256x x ++
【巩固】 分解因式：256x x -+
【例2】 分解因式2299x x +-等于（ ）
A ．()()911x x --
B ．()()911x x +-
C ．()()911x x -+
D ．()()911x x ++
【例3】 分解因式：()()()2442111x x x ++-+-
例题精讲
十字相乘、选主元、双十字相乘（一）十字相乘
【巩固】分解因式：26
--
x x
【巩固】分解因式：2922
--
x x
【例4】分解因式：21220
++
x x
【例5】分解因式：2
672
-+
x x
【例6】分解因式：2
--
121115
x x 【巩固】分解因式：256
-++
x x
【巩固】 分解因式：2273x x ++
【巩固】 分解因式：2253x x -+
【巩固】 分解因式：222064xy y x -++
【例8】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++
【例9】 分解因式：2222()abcx a b c x abc +++
【例10】 分解因式：4222(1)x x a a -++
【例11】 分解因式：2273320x x --
【例12】 分解因式：212x x +-
【例13】 分解因式：2612x x -+-
【例14】 分解因式：2214425x y xy +-
【巩固】 分解因式：22672x xy y -+
【例15】 已知221547280x xy y -+=，求
x y
的值
【例16】 分解因式：22121115x xy y --
【例17】 分解因式：2358x x +-
【例18】 分解因式：2212197x xy y -+
【例19】 因式分解：2(2)(3)4x x x +++-= ．
【例20】 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-
【例21】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+
【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+
【例22】 分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++
【巩固】 分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++
【例23】 分解因式：222()14()24x x x x +-++
【巩固】 分解因式：2()2a b x ax a b -+++
【例24】 分解因式：2()()x a b c x a b c +++++
【例25】 已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩
，求a b c ++的值
【例26】 长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，求它的面积.
课后练习1.分解因式：276
x x
++
2.分解因式：276
-+
x x
3.分解因式：268
++
x x
4.分解因式：278
x x
+-
5.分解因式：2
12
+-
x x
6.分解因式：2
--
376
a a
7.分解因式：2
383
--
x x
8.分解因式：2
x x
+-
5129
9.分解因式：2
--
x x
121115
10.分解因式：42
+-
730
x x
11.分解因式：2222
+++
()
abcx a b c x abc
12.分解因式：2
+-+
a b ab
()(1)1
13.分解因式：2
+-+-；
()4()12
x y x y
14.分解因式：6336
--
19216
x x y y。