2020届高三数学下册十二校联考考试试题1 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
2020金丽衢十二校第二次联考数学试卷及答案
第 19 题图 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页）
20．（本小题满分 15 分）
对任意非零数列an , 定义数列 f an ，其中 f an 的通项公式为
求
S1 S2 S2
的最大值.
第 21 题图
22．（本小题满分 15 分）
设 a R ，已知函数 f x ex x 6 x a ，函数 g x ex ln x 1 . xx
（Ⅰ）若 a 5 ，求函数 f x 的最小值； （Ⅱ）若对任意实数 x1 和正数 x2 ，均有 f x1 g x2 ≥4a 8 ，求 a 的取值范围.
（Ⅱ）因为
f
an 2nn1 ，所以1
1 a1
4, a1
1 ，又当 n ≥ 2 时，1 4 1
1 an
4n , an
1， 4n 1
所以对任意 n N*
， an
1 .
4n 1
………………………………………10 分
又由1 1 1 an1 Sn1 ，于是 f
bn
Sn
Sn
bn
S n 1
一动点，P 到底面 ABCD 的距离与到直线 AD1 的距离相等，
则 P 点的轨迹是（ ▲ ）
A．直线
B．圆
A
C．抛物线
D．椭圆
B1 P
D
第 9 题图
C B
10. 设集合 S 20, 21, 5, 11, 15, 30, a ，我们用 f S 表示集合 S 的所有元素之和，用 g S
表示集合 S 的所有元素之积，例如：若 A 2 ，则 f A g A 2 ；若 B 2, 3 ， 则
闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学(理)试题
易知平面
ACD
的一个法向量为
m
0,
0,1
，
m n 2 6 ∴ cos m, n .
mn 3 3
6 因为二面角 F AC D 为锐二面角，故所求余弦值为 ．
3
19．
（Ⅰ）由题意可知
a
c
2
2, 5b2
.
所以
a
2
5,b2
1 .所以椭圆 C 的方程为
21.（本小题 12 分）
已知函数 f (x) x 1 sin x m ln x 1， f (x) 是 f (x) 的导函数.
2
2
（1）证明：当 m 2 时， f (x) 在 (0, ) 上有唯一零点；
（2）若存在 x1, x2 (0, ) ，且 x1 x2 时， f x1 f x2 ，证明： x1x2 m2 .
2
1 B． ln 2
2
C．1 ln 2
1 D． (1 ln 2)
2
12．.设 M ， N 是抛物线 y2 x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM 与 ON 的
1 斜率之积为 ，则（ ）
2
A．| OM | | ON | 4 2
B．以 MN 为直径的圆的面积大于 4
x1 3
x1 3
y k x 1,
由
x2
5y2
5
消去
y得
1 5k 2
x2 10k 2 x 5
k2 1
0 .显然 0 恒成立.
所以 x1 x2
10k 2
闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学(文)试题(word版含答案)
ln x 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2020 届“三省十二校”联考 数学（文科）试题（考试时间：150 分钟总分：150 分）2020.2.19第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A = {x ∈ R x 2- x - 2 < 0}， B = {-1,0,1}，则 A I B = （）A ．{-1, 0,1}B ．{-1, 0}C ．{0,1}D ．{0}2.已知 (3 - i )z = 4i (i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. m = log 4 0.4, n = 40.4 , p = 0.4 0.5 ，则（ ）A. m < n < pB. m < p < nC. p < m < nD. n < p < m 4.工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分 别为001，002，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（ ）A.522B.324C.535D. 5785.函数 f ( x ) =的图象大致为（）xA ．B ．C ．D ．6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴，焦点在 y 轴上，且椭圆 C 的离心率为（）7 ，面积为12π ，则椭圆 C 的方程为4A. x + y= 1 B.x + y = 1 C. x + y = 1 D. x + y= 1 9 163 4 18 32 4 367.已知 cos(a - π) + sin a = 4 3 ，则 sin(a + 7π) 的值为（）6 5 61 4 1A. B.2C. - 5D. -2 8. 如图所示， ∆ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点， E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点， υυυρ则 AC = （）5 2π ⎫ ⎣ ⎦4 υυυρ υυυρ5 υυυρ υυυρ 4 υυυρ 1 υυυρ 5 υυυρ1 υυυρ A AD + BE B. 3 AD + BE C . 3 AD + 32 BE D. AD + BE3 2（8 题图）（9 题图）9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图上的对应点为 P ，点 A 、B 、C 在俯视图上的对应点为 A 、B 、C ，则 PA 与 BC 所成角的余弦值为（）A. B. 5 2C.D.2510.已知 A , B , C 是双曲线 x2 y 2 - = 1(a > 0,b > 0) 上的三个点， AB 经过原点 O ， AC 经过 a 2 b 2右焦点 F ，若 BF ⊥ AC 且2 AF 5= CF ，则该双曲线的离心率是（） 9D. A.B.33C.24⎛ π ⎫11．已知奇函数 f (x ) = sin (ωx + ϕ )- c os (ωx +ϕ ) ϕ ⎝ < ,ω > 0⎪ 对任意 x ∈ R 都有 2 ⎭ f (x )+ f ⎛x + ⎝ ⎪ = 0 ，现将 f (x )图象向右平移 π 2 ⎭ 3个单位长度得到 g (x )图象，则下列判断 错误的是（ ）A ．函数 g (x ) 在区间 ⎡ π , π ⎤上单调递增 B ． g (x ) 图象关于直线 x = 7π 对称⎢12 2 ⎥ 12 C ．函数 g (x ) 在区间 ⎡- π , π ⎤ 上单调递减 D ． g (x ) 图象关于点 ⎛ π , 0 ⎫对称⎢ 6 3 ⎥ 3 ⎪ ⎣ ⎦ 12. 已知定义在 R 上的可导函数f (x ) 的导函数为 ⎝ ⎭ f '(x ) ， 满足 f ' (x ) > f (x ) ，y = f (x +1)是偶函数， f (0) = 2e 2 ，则不等式 f (x ) < 2e x 的解集为（）A. (- ∞,2)B. (- ∞,0)C. (0,+∞)D. (2,+∞)第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置）5 10 17 1733( )()()。
2020届高三数学下册联考调研考试题3 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
绍兴一中高三数学文回头考试题一、选择题 1．复数32ii -+的实部为 （ ） A ．iB ．-IC ．1D ．-12.设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为 ( ) （A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆954.设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内两条相交直线，则βα⊥的一个充分不必要条件是 （ ） （A ）11,l m l n ⊥⊥ （B ）12,m l m l ⊥⊥ （C ）12,m l n l ⊥⊥ （D ）1//,m n l n ⊥5. 如右图，此程序框图的输出结果为 ( ) (A)94 (B) 98(C)115 (D)11106.数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅，则数列{}n a 的第100项为A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．150（ ） 7.函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为A ．sin31y x =+B ．1)34sin(++=πx yC ．cos31y x =+D ．1)64cos(+-=πx y （ ）8.设实数,x y 满足 2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是A ．5[2,]2 B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4（ ） 9.已经双曲线22x 1169y -=的顶点为A 、B ，若双曲线上一点P （异于A 、B ）使得线段PA 的中点在直线y=2x 上，则PA 的斜率为 （ ）.A ．34B ．932C ．916D ．210.已知函数()()log 1a f x x =+，()()()2log 21a g x x t a =+>，若[][)0,146x t ∈∈，，时，()()()F x g x f x =-有最大值是2，则a 的最小值为（ ）. A． B． C．D．二、填空题11.若221m y x +=，的长轴是短轴的2倍，则m= ； 12. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧 视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分， 则这个几何体的表面积为 ．13. 已知向量(),a m n =，()1,1b =-，其中{},1,2,3,4,5m n ∈， 则与a b 的夹角能成为直角三角形内角的概率是 ．14.函数 1sin()26y x π=-的纵坐标不变，将其图象上的各点的横坐标缩短为原来的14，得到的函数记为()()3g x g π=,则 ；15.设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与（第11题图）∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆= ; 16.把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为 17.若408ππ<<<<-x y ，且)2tan(3)2tan(y x y x -=-，则y x +的最大值为 ； 三、解答题18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知3=a ，22tan =+CA . （1）求B cos 的值. （2）求AC AB ⋅的取值范围. .19. 已知等比数列{}n a 中，422324a a a a -=+=．记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，122,3b b ==，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：1121n n n T T T +-+=+，*2,n n N ≥∈， 求：21(4),log n n n n c s b c ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⋅n 1令证明前项的和小于2．20.如图（1），在直角梯形ABCD 中，BC AD //，BC AB ⊥，BC DE ⊥，1=AB ，122BE EC ==，以DE 为轴旋转至图（2）位置，F 为DC 的中点. （1）求证：//BC 平面AEF（2）若平面ABED ⊥平面BCD ，且BC 垂直于AE 求①二面角C DE B --的大小.②直线BF 与平面ABED 所成角的正弦值21.设)1(ln 23)(232---=x x x a x a x f .(1) 当0=a 时，求)(x f 的单调区间. （2）当0>a 时，讨论)(x f 的极值点个数。
浙江省金丽衢十二校2020届高三数学第一次联考试题（含解析）
浙江省金丽衡十二校2020届高三数学第一次联考试题（含解析）1.设集合M={x|(x+3)(x_2)<0,xw R},N={x|1<x<3,xw R}.则McN=()A.IF)B.IFC.(2,3]D.[2,3]【答案】A【解析】因为M={x|(x+3)(x-2)<0,xg R}={x|-3<x<2},N={x|1<x<3,xg R},因此可知M c N=[1，2),选a2.已知双曲线的离心率为（扩一条渐近线与直线2x-4y+2-0垂直，则该双曲线)A.$【答案】A75B.2D.2^2C.^2【解析】【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于一1列方程，结合c2=a2+h2求得双曲线离心率.1【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为。
，则。
2，即。
,又，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于-1.属于基础题.3.若实数x,*满足约束条件x+2y-220x+y<2心,则'-A的最大值等于（A. 2B. 1C. -2D. -4【答案】A【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.【详解】根据题意作出可行域如图：x+2y-2=04平移直线= °可得在点A 处取到最大值，联立= °可得"(2,0),代入X-*可得最大值为2,故选A.【点暗】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4.已知一几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为()71 1A. 6 3—+1B. 12N 1—+ 一C. 12 3JC I —+ 一D. 4 3【答案】C【解析】【分析】观察三视图可知，儿何体是一个圆锥的彳与三棱锥的组合体，然后计算出两个简单几何体的体积，相加可得出结果.【详解】观察三视图可知，凡何体是一个圆锥的彳与三梭锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1,高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1、2的直角三角形，高为1.V=—X—x^xl2xl+—X—xlx2xl=—+—则几何体的体积3432123，故选：c.【点暗】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题时要利用三视图得出几何体的组合方式，并计算出各简单凡何体的体积，然后将各部分相加减即可.5.己知b是实数,则“a>2且b>2-是“a+b>4且。
2020届湖北省十二校联考高三第二次调研考试数学(理)试题
2020届湖北省十二校联考高三第二次调研考试理科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．2+2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3B ．(0,1)C ．3D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．D ．10安7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+9．sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C ．-D ．10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知t a n ()7c o s ()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _．15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．(1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,m ∈-时，12max 3x x -=， ……3分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<， ………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心， 所以36k ωπππ-+=，k Z∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ .………………………2分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()6f x π=+.………………………4分 最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k ==………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)tx x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x =++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500%………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+， 则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =．…………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y m y x --=， …………………………5分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>，124y y m+=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-，01x <， …………………………10分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-，易知4()2f t t t=-在上是减函数，所以2)d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ (1)分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<；当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=，故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． …………………5分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-，所以1212111||||8t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x …，即|1||1|3x x ++-…， 不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩……或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩…或1113x x x ⎧⎨++-⎩……， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分（2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立， 所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤， 解得a ≥或a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞．…………………10分。
上海市十二校2020届高三联考数学试题Word版含解析
上海市十二校2020届高三联考数学试题一. 填空题1. 双曲线的焦距为________【答案】【解析】由双曲线的方程可得：，则，双曲线的焦距为.2. 若等差数列的前5项和为25，则________【答案】【解析】由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：.3. 计算：________【答案】【解析】结合等比数列前n项和公式有：，则：.4. 如果函数的反函数为，则的值为________【答案】【解析】令5. 二元一次方程组的增广矩阵通过矩阵变换可得，则代数式的值为________ 【答案】【解析】由题意可得二元一次方程组的解集为：，则：，据此有：.6. 函数的一条对称轴为直线，则直线的倾斜角为________【答案】【解析】由题意可得：，其中，直线的斜率为，则直线的倾斜角为.7. 满足不等式的的取值范围为________【答案】【解析】反余弦函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：，求解不等式有：，综上可得，不等式的解集为.8. 已知集合，，若，则实数的取值范围为________ 【答案】即实数的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min......................【答案】【解析】由题意可得：，不妨设：，则：，结合抛物线方程有：，结合椭圆方程可得：.10. 在中，，，，D为线段上任一点（包含端点），则的最大值为________【答案】【解析】考查的取值范围：由余弦定理可得，若D为动点,设,,；则：；解得；∴；∴，分类讨论：①k=0时,D与B重合,由余弦定理得，；②时，；∴；则的取值范围为[−5,2].其最大值为2.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11. 已知函数，在8行8列的矩阵中，（且），则这个矩阵中所有数之和为________【答案】【解析】对任意的，有，则对任意的：，由排列组合知识可得，满足上述等式的共有对，则对任意的：，这样的有：对，据此可得：这个矩阵中所有数之和为.12. 用表示非空集合中元素的个数，设，若，则实数的取值范围为________【答案】【解析】分解因式，原问题即：有个不同的实数根，则有个不同的实数根，很明显不是方程的实数根，据此可得：，则函数与函数有个不同的交点，将对勾函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，然后将轴下方的图象向上关于轴对称翻折即可得到函数的图象，绘制函数图象如图所示(注意到当时函数值)，考查临界条件，观察可得：，据此可知实数的取值范围为.点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．二. 选择题13. 函数的图像（）A. 关于原点对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于直线对称【答案】C【解析】试题分析：由题可知，由，知定义域为全体实数，，故是偶函数，即函数图像关于y轴对称。
闽粤赣2020届高三下学期三省十二校联考数学文科试题及解析
闽粤赣2020届高三下学期三省十二校联考数学文科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{0}2．已知（3﹣i）z＝4i（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知m＝log40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，则（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜n＜m D．n＜p＜m4．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5785．函数f（x）=ln|x|的图象大致为（）xA．B．C．D．6．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为√7，面积为12π，则椭圆C的方程为（）4A ．x 29+y 216=1 B ．x 23+y 24=1 C ．x 218+y 232=1D ．x 24+y 236=17．已知cos(α−π6)+sinα=4√35，则sin(α+7π6)的值为（ ） A ．12B ．√32 C ．−45D ．−128．如图所示，△ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC →=（ ）A ．43AD →+BE →B ．53AD →+BE →C ．43AD →+12BE →D ．53AD →+12BE →9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点A 、B 、C 在俯视图上的对应点为A 、B 、C ，则P A 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．√55B ．√105C ．√22D ．√5210．已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且2|AF |＝|CF |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．53B ．√173C ．√172D ．9411．已知奇函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）（|φ|＜π2，ω＞0）对任意x ∈R 都有f （x ）+f （x +π2）＝0，现将f （x ）图象向右平移π3个单位长度得到g （x ）图象，则下列判断错误的是（ ） A ．函数g （x ）在区间[π12，π2]上单调递增 B ．g （ x ） 图象关于直线x =7π12对称C ．函数 g （ x ）在区间[−π6，π3]上单调递减 D ．g （ x ） 图象关于点(π3，0)对称12．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＞f （x ），y ＝f （x +1）是偶函数，f （0）＝2e 2，则不等式f （x ）＜2e x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，0）C ．（0，+∞）D ．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13．已知函数f(x)={2x −2，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （2020）＝ ．14．若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −3y ≤0x +y ≤2，则z ＝2x ﹣3y 的最小值为 ．15．在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，a ＝2，(c −a)(sinC +sinA)=(√3c −b)sinB ，则bc 的最大值为 ．16．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ＝2，∠ABC ＝90°，∠C ＝45°，E 为BC 中点，现将△CDE 沿DE 折起，使得平面CDE ⊥平面ABED ，连接AC 、BC ，设M 为CE 中点，动点P 在平面CBE 和平面CDE 上运动，且始终满足AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a7﹣a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和S n．（2）设b n=1a n⋅a n+118．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅰ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅰ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS的中点．（1）求证：SD∥平面ACE；（2）若平面ABS⊥平面ABCD，AB＝4，∠ABC＝120°，求三棱锥E﹣ASD的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点F为抛物线C的焦点，点A（1，m）（m＞0）在抛物线C≤k≤2)的直线l与抛物线C交于P，Q两点．上，且|F A|＝2，过点F作斜率为k(12（1）求抛物线C的方程；（2）求△APQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣2）e x +b （x ﹣2）2，（Ⅰ）若函数f （x ）在（0，f （0））处的切线方程为5x ﹣y ﹣2＝0，求a ，b 的值； （Ⅰ）若a ＝1，b ∈R 求函数f （x ）的零点的个数．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =−1+tsinα（t 为参数）（1）若α=π2，求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）设点P （2，﹣1），曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求|P A |2+|PB |2的最小值 [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13|x ﹣a |，（a ∈R ） （1）当a ＝2时，解不等式|x −13|+f （x ）≥1；（2）设不等式|x −13|+f （x ）≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．闽粤赣2020届高三下学期三省十二校联考数学文科试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【详解详析】A ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}，B {﹣1，0，1}， 则A ∩B ＝{0，1}， 故选：C ．2．【详解详析】由题意可得，Z =4i 3−i=4i(3+i)10═−45+65i ，对应的点（−45，65）在第二象限． 故选：B ．3．【详解详析】因为m =log 40.4＜0，n =40.4＞1，0＜p =0.40.5＜1，所以m ＜p ＜n ． 故选：B ．4．【详解详析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578， 故选：D ．5．【详解详析】∵f （﹣x ）=ln|−x|−x=−ln|x|x=−f （x ），∴f （x ）是奇函数，故f （x ）的图象关于原点对称， 当x ＞0时，f （x ）=lnx x，∴当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，当x ＞1时，f （x ）＞0， 故选：A ．6．【详解详析】由题意可得：{abπ=12πca =√74a 2=b 2+c 2，解得a ＝4，b ＝3，因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：y 216+x 29=1．故选：A ．7．【详解详析】cos(α−π6)+sinα=4√35， 可得√32cosα+12sinα+sinα=4√35√32cosα+32sinα=4√35可得√3(12cosα+√32sinα)=4√35， 12cosα+√32sinα=45．sin （α+π6）=45 则sin(α+7π6)=−sin （α+π6）=−45． 故选：C ．8．【详解详析】据题意，AC →=DC →−DA →=BD →+AD →=BE →+ED →+AD →=BE →+23AD →+AD →=53AD →+BE →．故选：B ．9．【详解详析】由三视图知，该几何体是直四棱锥P ﹣ABCD ，且PD ⊥平面ABCD ，如图所示；取CD 的中点M ，连接AM 、PM ，则AM ∥BC ，∴∠P AM 是异面直线P A 与BC 所成的角， △P AM 中，P A ＝2√2，AM ＝PM =√5， ∴cos ∠P AM =√2√5=√105， 即P A 与BC 所成角的余弦值为√105． 故选：B ．10．【详解详析】设双曲线的另一个焦点为E ，由题意可得在直角三角形ABF 中，OF 为斜边AB 上的中线，即有|AB |＝2|OA |＝2|OF |＝2c ，令|BF |＝|AE |＝m ，|AF |＝n ，|CF |＝2n ， 由双曲线的定义有，|CE |﹣|CF |＝|AE |﹣|AF |＝2a ，∴CE ＝2n +2a 在直角三角形EAC 中，m 2+（3n ）2＝（2n +2a ）2， 代入2a ＝m ﹣n ，化简可得m ＝4n ， 又m ﹣n ＝2a 得n =23a ，m =83a ，在直角三角形EAF 中，m 2+n 2＝（2c ）2， 即为49a 2+649a 2＝4c 2，可得e =ca =√173． 故选：B ．11．【详解详析】f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）＝2sin （ωx +φ−π6）， ∵f （x ）为奇函数，∴φ−π6=k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ=π6，∴f （x ）＝2sinωx ，∵奇函数f （x ）满足f(x)+f(x +π2)=0，∴f(x)=−f(x +π2)，∴f(x +π2)=−f(x +π)， ∴f （x ）的最小正周期为π，∴ω=2πT=2， ∴f （x ）＝2sin2x ，g(x)=2sin(2x −2π3)，因此g （x ）在[π12，7π12]上单调递增，在[−5π12，π12]上单调递减，即A 正确，C 错误； 令2x −2π3=π2+kπ，k ∈Z ，得g （x ）的对称轴方程为x =7π12+kπ2，k ∈Z ，即B 正确；令2x −2π3=kπ，k ∈Z ，得g （x ）的对称中心为(π3+kπ2，0)，k ∈Z ，即D 正确．故选：C ．12．【详解详析】因为f '（x ）＞f （x ）， 令g （x ）=f(x)e x，则g′(x)=f(x)−f(x)′e x＞0，故f （x ）单调递增，因为y ＝f （x +1）是偶函数，所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f （2）＝f （0）＝2e 2，g （2）＝2，则不等式f （x ）＜2e x 可转化为g （x ）＜2＝g （2）， 故x ＜2即不等式的解集为（﹣∞，2）． 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13．【详解详析】根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝f （x ﹣3）， 则f （2020）＝f （﹣2+674×3）＝f （﹣2），又由x ≤0时，f （x ）＝2x ﹣2，则f （﹣2）＝2﹣2﹣2=−74； 则有f （2020）=−74；故答案为：−74．14．【详解详析】实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −3y ≤0x +y ≤2的可行域如图：目标函数z ＝2x ﹣3y ，点A （0，2），z 在点A 处有最小值：z ＝2×0﹣3×2＝﹣6， 故答案为：﹣6．15．【详解详析】∵(c −a)(sinC +sinA)=(√3c −b)sinB ， 则（c ﹣a ）（c +a ）＝（√3c −b ）b ， 整理可得，b 2+c 2−a 2=√3bc ， ∴b 2+c 2=√3bc +4≥2bc解可得，bc ≤4(2+√3)即bc 的最大值4（2+√3） 故答案为：4（2+√3）．16．【详解详析】由题意在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ＝2，∠ABC ＝90°，∠C ＝45°，E 为BC 中点，现将△CDE 沿DE 折起，使得平面CDE ⊥平面ABED ，可知，CE ⊥DE ，CE ⊥BE ，BE ⊥DE ，以E 为坐标原点，ED ，EB ，EC 为x ，y ，z 轴，如图：则B （0，2，0），D （2，0，0），C （0，0，2），M （0，0，1），设P （0，y ，z ）在BC 上，BP →=λBC →，可得（0，y ﹣2，z ）＝λ（0，﹣2，2），可得y ＝2﹣2λ，z ＝2λ，AM ⊥MP ，可得：MP →=（0，y ，z ﹣1），AM →=（﹣2，﹣2，1），∴（0，y ，z ﹣1）•（﹣2，﹣2，1）＝0，可得﹣2y +z ﹣1＝0，﹣4+4λ+2λ﹣1＝0，解得λ=56，所以P （0，13，53），|MP →|=√19+259=√263， 所以点P 形成的轨迹长度：2√263．故答案为：2√263．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【详解详析】（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列， a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得 a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40）， 解得a 1＝5，则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3； （2）b n =1a n ⋅a n+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3−12n+5），即有前n 项和为S n =12（15−17+17−19+⋯+12n+3−12n+5） =12（15−12n+5）=n5(2n+5)， 数列{b n }的前n 项和S n =n 5(2n+5)．18．【详解详析】（I ）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．……（4分） （II ）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高， 乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中． ……（8分）（III ）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ，b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e现从甲乙两位同学的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩有：（a ，b ），（a ，c ）（a ，d ）（a ，e ）（b ，c ）（b ，d ）（b ，e ）（c ，d ）（c ，e ）（d ，e ）共10种， 其中2个成绩分属不同同学的情况有：（a ，c ）（a ，d ）（a ，e ）（b ，c ）（b ，d ）（b ，e ）共6种 因此事件A 发生的概率P （A ）=610=35．……（12分）19．【详解详析】（1）证明：连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，则点O 是BD 的中点． 又因为E 是BS 的中点，所以SD ∥OE ， 又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以SD ∥平面ACE ．（2）因为四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝120°，所以∠ABD =12∠ABC =60°．又因为AB ＝AD ，所以三角形ABD 是正三角形．取AB 的中点F ，连接SF ，则DF ⊥AB ，且DF =2√3．又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS ∩平面ABCD ＝AB ，所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D ﹣AES 的一条高．而S △ASE =12SA ⋅SE ⋅sin∠ASE =2√3．∵V E ﹣ADS ＝V D ﹣AES =13S △ASE ⋅DF =13×2√3×2√3=4．综上，三棱锥E ﹣ASD 的体积为4．20．【详解详析】（1）由抛物线的焦半径公式得|FA|=x A +p 2=1+p 2=2⇒p =2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），{y =k(x −1)y 2=4x⇒k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 由韦达定理得x 1+x 2=2k 2+4k 2，x 1•x 2＝1， 因为AF ⊥x 轴，则S △APQ =12×|AF|×|x 1−x 2|=|x 1−x 2|，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√k 2+1k 4=4√1k 2+1k 4，因为12≤k ≤2，令t =1k 2，所以14≤t ≤4，S △APQ =4√t 2+t ， 所以516≤t 2+t ≤20，即√5≤4√t 2+t ≤8√5，所以△APQ 得面积的取值范围为[√5，8√5]．21．【详解详析】（Ⅰ）f （x ）的导数为f '（x ）＝a （x ﹣1）e x +2b （x ﹣2），f '（0）＝﹣a ﹣4b ＝5，f （0）＝﹣2a +4b ＝﹣2，解得a ＝b ＝﹣1；（Ⅰ）f （x ）＝（x ﹣2）[e x +b （x ﹣2）]，易得f （x ）有一个零点为x ＝2，令g （x ）＝e x +b （x ﹣2），（1）若b ＝0，则g （x ）＝e x ＞0，无零点，所以函数f （x ）只有一个零点；（2）若b ≠0，则g '（x ）＝e 'x ＝e x +b①若b ＞0，则g '（x ）＞0所以g （x ）单调递增，而g(−1b )=e −1b −1−2b ＜0，g （2）＝e 2＞0， 所以g （x ）有一个零点，所以f （x ）有两个零点；②若b ＜0，由g '（x ）＝e x +b ＝0，知e x ＝﹣b ，x ＝ln （﹣b ），所以g （x ）在（﹣∞，ln （﹣b ）]单调递减，在（ln （﹣b ），+∞）单调递增；所以函数g （x ）的最小值为g （x ）min ＝g （ln （﹣b ））＝b [ln （﹣b ）﹣3]（Ⅰ）当ln （﹣b ）﹣3＜0即﹣e 3＜b ＜0时，g （x ）min ＝g （ln （﹣b ））＝b [ln （﹣b ）﹣3]＞0，所以g （x ）无零点，所以f （x ）函数只有一个零点；（Ⅰ）当ln （﹣b ）﹣3＝0时，即b ＝﹣33，所以g （x ）有一个零点，所以函数f （x ）有两个零点，（Ⅰ）当ln （﹣b ）﹣3＞0时，即b ＜﹣33时，g （x ）min ＜0，所以g （x ）有两个零点，所以函数f （x ）有三个零点；综上，当b ＝0或﹣e 3＜b ＜0时，函数f （x ）只有一个零点；当b ＞0或b ＝﹣e 3时，函数f （x ）有两个零点；当b ＞﹣e 3时，函数f （x ）有三个零点．（利用函数图象的交点个数讨论酌情给分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）曲线C ：ρ2＝6ρcosθ，将x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ．代入得x 2+y 2﹣6x ＝0即曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣3）2+y 2＝9．直线l ：{x =2y =−1+t，（t 为参数），所以直线的直角坐标方程为x ＝2，故直线l 的极坐标方程为ρcosθ＝2． （2）联立直线l 与曲线C 的方程得（t cosα+sinα）2+（t sinα﹣1）2＝9即t 2﹣2t （cosα+sinα）﹣7＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2＝2（cosα+sinα），t 1t 2＝﹣7，因为|PA|2+|PB|2=t 12+t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4(cosα+sinα)2+14=4sin2α+18≥14，当sin2α＝﹣1时取等号，所以|P A |2+|PB |2的最小值为14．[选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）a ＝2时，f （x ）=13|x ﹣2|，问题转化为解不等式|x −13|+13|x ﹣2|≥1，①x ≥2时，x −13+13（x ﹣2）≥1，x −13+13x −23≥1，解得：x ≥32；②13＜x ＜2时，x −13+13（2﹣x ）≥1，解得：x ≥1，故1≤x ＜2；③x ≤13时，13−x +13（2﹣x ）≥1，解得：x ≤0，综上，不等式的解集是：{x |x ≤0或x ≥1}；（2）|x −13|+13|x ﹣a |≤x 的解集包含[13，12]， ∴x −13+13|x ﹣a |≤x ，故﹣1≤|x ﹣a |≤1，解得：﹣1+a ≤x ≤1+a ，故{−1+a ≤131+a ≥12，解得：−12≤a ≤43．。
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湖南省2020届高三·十二校联考 第一次考试文 科 数 学 试 卷联合命题总分：150分 时量：120分钟考试时间：2011年3月6日下午2：30～4：30得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2}，则 A.A B B.B AC.A ∩B ＝{x |x ≥1}D.A ∪B ＝{x |x >2}2.a 、b 、c 、d ∈R ，则“ad ＋bc ＝0”是“a ＋b i 与c ＋d i(i 为虚数单位)的积为实数”的 条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要 3.若列联表如下：则K 2的值约为A .1.4967B .1.64C .1.597D .1.714.函数y ＝－12cos 2x ＋sin x －12的值域为A .[－1,1]B .[－54，1]C .[－54，－1]D .[－1，54]5.右图给出的是计算12＋14＋16＋……＋150的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A .i>25？B .i<25？C .i>50？D .i<50？6.设抛物线y 2＝4x 上一点P 到直线x ＝－3的距离为5，则点P 到该抛物线焦点的距离是A .4B .6C .8D .37.正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为A .0°B .45°C .60°D .90°8.若函数f(x)＝4x －x 2－x ＋b －3有两个零点，则b 的取值范围是 A .[－1－22，3] B .(5—22，3] C .(1—22，3) D .(1－2，3)选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.炼钢时，通过加入有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求，假设为了炼出某特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在500g 到1000g 之间，用0.618法安排实验，则第二次试点加入量可以是 g.10.已知向量a ＝(n ，－1)，b ＝(－1,1)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ， 则n ＝ . 11.已知x 、y 满足下列条件错误! ，则x 2＋y 2的最大值是 .12.某赛季一篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图.则这组数据的中位数是 ，平均数是 .13.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与双曲线ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.则它们的交点的直角坐标为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式|x |＋|y |≤1表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 .15.设函数f (x )＝x 2＋3，对任意x ∈[1，＋∞)，f (32xm )＋m 2f (x )≥f (x －1)＋3f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)为了解农民年收入情况，某乡镇对本镇10000户农民按1 0%的比例进行了抽样调查，测得户年收入10000～50000元的情况统计图如下：(1)估计该镇1万元～2万元的农户数.(2)估计该镇农户收入在2～4.5万元之间的概率.(将频率看成概率)(3)如果规定年户收入达不到2.5万元的比例低于25%时，则需要国家政策扶持，请问该乡镇需不需要国家政策扶持？为什么？若△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且1－2sin B sin C＝cos2B＋cos2C －cos2A.(1)求A的大小；(2)求sin B＋sin C的最值.设某几何体及其三视图：如图(尺寸的长度单位：m)(1)O为AC的中点，证明：BO⊥平面APC；(2)求该几何体的体积；(3)求点A到面PBC的距离.随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销售总量T n 大致满足关系式：T n ＝228a (1.012n －1).(n ≤24，n ∈N *)(1)求Q 型车前n 个月的销售总量S n 的表达式；(2)比较两款车前n 个月的销售总量S n 与T n 的大小关系；(3)试问从第几个月开始Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%，并说明理由.(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)已知函数f (x )＝(a －1)x ＋a ln(x －2)，(a <1). (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a <0时，对任意x 1、x 2∈(2，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<－4恒成立，求a 的取值范围.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点坐标为(3，0)，短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，m )在线段AB 的垂直平分线上且QA ·QB ≤4，求m 的取值范围.湖南省2011届高三·十二校联考 第一次考试文科数学参考答案一、选择题二、填空题9. 691 10.1 11.13 12.161207 13.(2,0) 14.2π15.(－∞，－6]∪[－3，3]∪[6，＋∞)三、解答题16.解：①1600户. (4分) ②P ＝7901000＝0.79. (8分)③年户收入达不到2.5万元的农户占31.5%>25%，所以不需要国家政策扶持. (12分) 17.解： (1)∵1－2sin B sin C ＝cos 2B ＋cos 2C －cos 2A ∴1－2sin B sin C ＝1－2sin 2B ＋1－2sin 2C －1＋2sin 2A 由正弦定理可得：－2bc ＝－2b 2－2c 2＋2a 2 整理得：b 2＋c 2－a 2＝bc(3分) ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12∴A ＝60°.(6分)(2)sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin (120°－B)＝sin B ＋32cos B ＋12sin B＝32cos B ＋32sin B ＝3(12cos B ＋32sin B) ＝3sin (B ＋30°)(8分) ∵0°<B<120° ∴30°<B ＋30°<150°， 12< sin (B ＋30°)≤1， ∴32<3sin (B ＋30°)≤ 3 ∴sin B ＋sin C 无最小值，最大值为 3.(12分)18.解：(1)证明：由三视图可知，面PAC ⊥面ABC ，BO ⊥AC ∴BO ⊥平面APC.(3分)(2)过P 点在面PAC 内作PE ⊥AC 交AC 于E ，由俯视图可知：CE ＝1，AE ＝3 又BO ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝12×4×3＝6∴V P －ABC ＝13×6×2＝4.(7分)(3)∵PC ＝PE 2＋EC 2＝5，BE ＝BO 2＋OE 2＝10 ∴PB ＝BE 2＋PE 2＝14，BC ＝BO 2＋OC 2＝13∴cos ∠PBC ＝PB 2＋BC 2－PC 22PB·BC ＝14＋13－5214·13＝22214×13＝1114×13∴sin ∠PBC ＝1－12114×13＝6114×13∴S △PBC ＝12PB·BC·sin ∠PBC ＝1214·13·6114·13＝612设点A 到面PBC 的距离为h.∵V A －PBC ＝V P －ABC ，∴13h·S △PBC ＝4∴h ＝12S △PBC＝12612＝246161.(12分)19.解：(1)Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1 ＝ a ， 公比q ＝ 1＋1%＝ 1.01的等比数列(2分)前n 个月的销售总量S n ＝a (1.01n －1)1.01－1＝100a (1.01n －1)，(n ∈N *，且n ≤24).(2) ∵S n －T n ＝100a (1.01n －1)－228a (1.012n －1) ＝100a (1.01n －1)－228a (1.01n －1)(1.01n ＋1) ＝－228a (1.01n －1)·(1.01n ＋3257) 又1.01n －1>0,1.01n ＋3257>0，∴S n <T n .(8分)(3)记Q 、R 两款车第n 个月的销量分别为a n 和b n ，则a n ＝a ×1.01n －1 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝228a (1.012n －1)－228a (1.012n －2－1) ＝228a ×(1.012－1)×1.012n －2＝4.5828a 1.012n －2.(10分) b 1＝4.5828a ，显然20%×b 1<a 1.当n ≥2时，若a n <20%×b n ，a ×1.01n －1<15×4.5828a ×1.012n －2，1.012(n －1)>54.5828×1.01n －1,1.01n －1>54.5828≈1.09，n －1>lg1.09lg1.01≈8.66. ∴n ≥10，即从第10个月开始，Q 型车月销售量小于R 型车月销售量的20%.(13分) 20.解：(1) ∵f ′(x )＝(a －1)＋ax －2＝(a －1)x －a ＋2x －2(1分)①a <0时，f ′(x )＝(a －1)(x －a －2a －1)x －2∵a －2a －1－2＝－a a －1<0，∴0<a －2a －1<2，∴x >2时，f ′(x )<0∴f (x )在(2，＋∞)上递减.(3分)②a ＝0时，f (x )＝－x ，在(2，＋∞)上递减.(4分)③0<a <1时，a －2a －1>2 ∴x ∈(2， a －2a －1)时，f ′(x )>0，f (x )在(2，a －2a －1)上递增； 当x ∈(a －2a －1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(a －2a －1，＋∞)上递减；(6分) ∴综上所述，当a ≤0时，f (x )在(2，＋∞)上递减，当0<a <1时，f (x )在(2，a －2a －1)上递增，在(a －2a －1，＋∞)上递减.(7分) (2)当a <0时，f (x )在(2，＋∞)上递减；不妨设任意x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1<x 2f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<－4可变为f (x 1)－f (x 2)>－4(x 1－x 2)f (x 1)＋4x 1>f (x 2)＋4x 2∴令g (x )＝f (x )＋4x ，∴g (x )在(2，＋∞)上递减∴g ′(x )<0在(2，＋∞)上恒成立∴a －1＋a x －2＋4<0在(2，＋∞)上恒成立. a <－3＋3x －1在(2，＋∞)上恒成立 而－3<－3＋3x －1<0，∴a ≤－3.(13分) 21.解：(1)由题意知a ＝2b ，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2解得a ＝2，b ＝1∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (2)由(1)可知A (－2,0)，设B 点坐标为(x 1，y 1)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)于是A 、B 两点的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 由方程消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2)(7分) 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是QA ＝(－2，－m )，QB ＝(2，－m )，由QA ·QB ≤4得：－22≤m ≤2 2.(9分)②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2) 令x ＝0，得m ＝－6k 1＋4k 2由QA ·QB ＝－2x 1－m (y 1－m )＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋ 6k 1＋4k 2(4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2)＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2≤4 解得－147≤k ≤147且k ≠0(10分) ∴m ＝－6k 1＋4k 2＝－61k ＋4k ∴当－147≤k <0时， 1k＋4k ≤－4 当0<k ≤147时，1k ＋4k ≥4 ∴－32≤m ≤32，且m ≠0(12分) 综上所述，－32≤m ≤32，且m ≠0.(13分)。