数学奥林匹克高中训练题(03)
数学奥林匹克高中训练题(3)
５联结正多面体各 个面 的中心 ， 到一 ． 得 个新的正多面体 ， 我们称这个新正多面体 为 原 多 面体 的 正 子 体 ． 正 方 体 ７ 一 １ ．的表 面 积
为 ｎ ＝１， 的 正 子 体 为 ７ ， 面积 为 ｎ ， ． ６它 １表 ２
） ．
ｎ ２ 。 ２
（） Ｂ （ Ｄ）
四 、２ 分 ） （０ 已知函数
若实数 ｎ ｂ １ ＜ｂ满足 、 （ ＜０ ）
（ ）１ Ａ ５ （ ）２ Ｂ ５ （ ）３ Ｃ ５ （ ）４ Ｄ ５
二 、 空填 （ 小题 ９分 ， ５ ） 填 每 共 ４分 １ 函数 ／ ） 一ｎＩ 区 问 ［ ，］ ． （ ＝Ｉ 在 一ｌ １
２
二 、５ （Ｏ分 ） 知 。 ， ， ∈ Ｒ＋ 已 ， … ２ ，
１ ｓ
：
…
：
ｎ
，
ｌ ２ 。 ， ＋ ＋… ＋ ： ＋ ＋… ＋ ． 证 ： ＋‰ 一＋ ‘ 吐 求 水
因此 ， 所求 截面面积为
ｉ １ ｎ — ｌ＋ ＝
ｎ． ２
—．：一 ≤１ ＿ Ｉ ．
） ．
（） Ｂｌ （ ） Ｃ２ （ ） Ｄ３
若函数 Ｙ＝ （ 的 图像 与 轴 有 公共 点 ， ｆ ） 则 ｎ ＋ｂ 的最 小值 为— — ． 三 、２ ） （０分 已知 数列 ｛ 中 ， ｏ｝
５ 已 知 Ｐ 为 直 线 Ｙ＝ ＋ｌ上 的一 点 ， ．
、
，分 别 为 圆 ｃ ： 一４ ＋（ ｖ ．（ ） Ｙ—１ ＝４与 ） ） ．
而 ｓ ＝ １ ・ Ｅ・ １Ｈ ｔ
１ Ｂ
： ×
，
＝４ｎ ． ２
交 于点 Ｅ，Ｄ、 Ｃ交 于点 ， Ａ Ｂ 四边 形 Ａ Ｃ 内 ＢＤ
高三数学奥林匹克高中训练题(08)及答案
数学奥林匹克高中训练题（08）第一试一、选择题（本题满分30分；每小题5分）1．(训练题13)设000(,)P x y 为圆22(1)1x y +-=上任意一点；欲使不等式000x y c ++≥恒成立；则c 的取值范围是(B)．(A)[0,)+∞ (B)1,)+∞ (C)(1]-∞ (D)[1)+∞2．(训练题13)设有三个函数；第一个函数是定义在实数集上的单调函数记为()y f x =；它的反函数是第二个函数；而第三个函数与第二个函数的图象关于直线0x y +=对称；那么；第三个函数是(B)．(A)()y f x =- (B)()y f x =-- (C)1()y f x -=- (D)1()y f x -=--3．(训练题13),,a b c R +∈且满足,12m m m a b c m +=<<．如果以,,a b c 作为三角形的三边；那么所得的结果是(C)．(A) 不能构成三角形 (B) 可构成锐角三角形(C) 可构成钝角三角形 (D) 可构成锐角或钝角三角形4．(训练题13)若函数()f x 是定义在R 上的实函数；它既关于直线1x =对称；又关于直线3x =对称；那么函数()f x (D)．(A)不是周期函数 (B)是周期为1的函数 (C)是周期为2的函数 (D)是周期为4的函数5．(训练题13)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且各侧棱与底面所成的角分别为,,αβγ．那么；sin 2sin 2sin 2αβγ++= (C)．(A) (B) (C)1 (D)6．(训练题13)数,αβ满足如下等式：3232351,355αααβββ-+=-+=；那么；αβ+的值为(B)．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（本题满分30分；每小题5分）1．(训练题13)设()sin()cos()f x a x b x θϕ=+++；其中,,a b ϕ为常数；则函数()f x 的最大值是2．(训练题13)已知02πα<<；02πβ<<；且sin cos 2a αβ=；当02παβ<+<时；a 的取值范围是 102a <≤ ． 3．(训练题13)设(,)(1,2,3,4)i i i M x y i =为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上相异四点；当1234,,,M M M M 四点共圆时；1234x x x x +++= 2b a- ． 4．(训练题13)若点(,)P x y 横坐标x 与纵坐标y 均为整数；则P 点称为整点；设N 为正整数；如图所示的正方形R 中(包括边界)一共有整点的个数为2221N N ++．5．(训练题13)设一元三次方程310x px ++=的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形；则p = 0 ；此正三角形面积为 S = ． 6．(训练题13)设2121,,,p q p q q p--都是整数；且1,1p q >>；则p q += 8 ． 第二试一、(训练题13)(本题满分25分)已知抛物线方程为2(0)y ax bx c a =++≠；在其内作半径为1a的1C 内切于抛物线；作2C 与1C 外切且内切于抛物线；作3C 与2C 外切且内切于抛物线；如此下去；得一列圆123,,,n C C C C ；求前n 个圆的面积之和．(2(1)(21)6S n n n a π=++)二、(训练题13)(本题满分25分)设平面上的凸n 边形123n A A A A 各边依次为123,,,,n a a a a ；其面积为n ∆．试证：22221234tan n n a a a a n π++++≥∆．等号成立时当且仅当n 边形123n A A A A 为正n 边形． 三、(训练题13)(本题满分35分)设ABC ∆的三边分别为,,a b c ；且均为整数；若满足3A B ∠=∠；试求出周长的最小值并给出证明．四、(训练题13)(本题满分35分)圆周上有1994个点；将它们染成若干种不同的颜色；且每种颜色的点数各不相同；今在每种颜色的点集中各取一个点；组成顶点颜色各不相同的圆内接多边形；为了要使这样的多边形个数最多；应将1994个点染成多少种不同的颜色？且每种颜色的点集各含有多少个点？。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第3届)
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题ห้องสมุดไป่ตู้第 3 届）
1. 设 a、b 是常数，解方程组 x + y + z = a； x2 + y2 + z2 = b2； xy=z2
并求出若使 x、y、z 是互不相同的正数，a、b 应满足什么条件？ 2. 设 a、b、c 是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2 >= 4 3 A. 并求出等号何时成立． 3. 解方程 cosnx - sinnx = 1， 其中 n 是一个自然数． 4. P 是三角形 ABC 内部一点，PA 交 BC 于 D，PB 交 AC 于 E，PC 交 AB 于 F，求证 AP/PD， BP/PE， CP/PF 中至少有一个不大于 2，也至少有一个不小于 2． 5. 作三角形 ABC 使得 AC=b， AB=c，锐角 AMB = ，其中 M 是线断 BC 的中点．求 证这个三角形存在的充要条件是 b tan(/2) <= c < b. 又问上式何时等号成立． 6. 三个不共线的点 A、B、C，平面 p 不平行于 ABC，并且 A、B、C 在 p 的同一侧．在 p 上任意取三个点 A'， B'， C'， A''， B''， C''设分别是边 AA'， BB'， CC'的中点， O 是三角形 A''B''C''的重心．问，当 A'，B'，C'变化时，O 的轨迹是什么？
数学奥林匹克高中训练题_111及解析
数学奥林匹克高中训练题_111注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.给出下列两个命题：命题P ：存在函数f (x )、g (x )及区间I ，使得f (x )在I 上是增函数，g (x )在I 上也是增函数，但f(g (x ))在I 上是减函数；命题Q ：存在奇函数f (x )(x ∈A )、偶函数g (x )(x∈B )，使得函f (x )g (x )(x ∈A ∩B )是偶函数，那么，（）。
A. P 、Q 都真B. P 、Q 都假C. P 真Q 假D. Q 真P 假 2.△ABC 满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 。
则△ABC 是（）。
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3.设曲线f (x )=acosx +bsinx 的一条对称轴为x =π5。
则曲线y =f (π10−x)的一个对称点为（）。
A. (π5,0) B. (2π5,0) C. (3π5,0) D. (4π5,0) 4.设函数f (x )满足：对任何实数x ≥0，有f (2x +1)=√x 。
则这样的函数f (x )（）。
A. 不存在B. 恰有一个C. 恰有两个D. 有无数个5.甲、乙两人做下面的游戏：有一个由两个同轴圆柱组成的有盖容器，如图，里面的实心圆柱底面半径为r ，外面的圆柱面的底面半径为3r ，容器的高为4r 。
在容器内放入6个半径为r 且质地相同的小球，其中红、黄、蓝色各2个，随意翻动容器，然后将容器直立在桌面上。
当小球全部停止后，如果有两个颜色相同的小球相邻，则甲胜，否则乙胜。
那么，甲胜的概率为（）。
A. 12B. 13C. 215D. 4156.有一种特别列车，沿途共有20个车站（包括起点与终点），因安全需要，规定在同一车站上车的旅客不能在同一车站下车。
2012年高中联赛模拟题3
数学奥林匹克高中训练题(3)第一试一、填空题（每小题8份，共64分）1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,113a =,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,且长度均为3,则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.7.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.8.某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每个参赛者每次投篮的命中率均为34,规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则一直投满4次.设ξ表示录取人数,则E ξ=_____.二、解答题（共56分）9.(16分)设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上点F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.(20分)是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.(20分)设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像Γ上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上时,求曲线Γ的切线斜率的最大值.加试一、(40分)设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、(40分)已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c .设2224i i i i i i i p a b c a bc =+++,求证:121||54p p -<.PRQABCD三、(50分)是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、(50分)对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.参 考 答 案1.53-.令3xt =,[0,3]x ∈,则有3()()271f xg t t t ==-+,[1,27]t ∈,而2'()3273(3)(3)g t t t t =-=-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.2.2009. 由已知可得113a =,223a =,343a =.下面用数学归纳法证明:21n n a a +-=,1n n a a n ++=.显然,当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即是有21k k a a +-=,1k k a a k ++=.则当1n k =+时,3122222[](2[])2()([][])2[1][])1k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++-=---=---=-+-=（. 121(1)1k k k k a a a a k ++++=++=+. 即,当1n k =+时,结论也成立.综上所述,21n n a a +-=,1n n a a n ++=总成立.故200920102009a a +=.3.84. 由题意可知,若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x A B ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.4.4. 由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4. 5.[0,3). 由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a =.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.6.32π. 如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在N MFEAC OB面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=. 7.122n--. 设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,从而可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故长轴之和为12(12)22n n ---=-.8.1894. 由于每位参赛者被录取的概率均为331331133189444444444256p =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=,故录取人数ξ服从二项分布,即189(64,)256B ξ~,所以189189642564E ξ=⨯=. 二、9.由已知得(,0)2pF ,设点(,0)A a ,则12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=. 令1122(,),(,)M x y N x y ,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实数根,将该方程化简得: 22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.10.当(0,)2πθ∈时,函数sin y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数tan y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有sin cos sin cos θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.11.因为32()f x ax bx cx d =+++,所以'2()32f x ax bx c =++.因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点,所以'(0)0f =,且(0)0f =.故0c d ==.(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,由'(1)0f =与(1)2f =可得:320a b +=,且2a b +=.解之,得:4,6a b =-=.此时,32()46f x x x =-+.(2)∵'2()32f x ax bx =+,且由题意点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上知0a <, ∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为'()f x 的最大值2max3b k a=-.设点Q 的坐标为(,)m n ,则有'()0f m =,且()f m n =,∴2320am bm +=,且32am bm n +=.∴32b m a =-,23n b m =. ∴2max 332b nk a m=-=⋅. ∵nm表示过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线的斜率,而过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线斜率的最大值为2233+. ∴2max332(23)333223b n k a m =-=⋅≤+=+. ∴曲线Γ的切线斜率的最大值为33+.加 试一、由西姆松定理知,,P Q R 三点共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有D A C D P R D P ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理,可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PR DB DA DP PR BA BC QR DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅. 从而PR QR =的充要条件是DA BADC BC=.又由三角形的角平分线的性质定理可得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DA BC DC.故命题成立. 二、由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,于是不难得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. 三、由640p q r s +++=,且,,,p q r s 是互不相同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,P RQ AB CD从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由于23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故3(1)3226402qs p q r s p q s q s -+++=++=++=,即是有(32)(34)385771929q s ++==⨯⨯,于是得3419,32729s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====.四、所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,第二步说明26n =是可以的.首先说明当25n ≤时是不行的.我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.其次说明当26n =时是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数. 综上可得,所求的最小正整数26n =.。
数学奥林匹克高中训练题_123_
接圆过点 O, 求证 : B E = D F.
( 50 分 ) 设 a1 , a2 , …, a2 009 为非负实 二、 数 ,满足 : ( 1 ) a1 + a2 + … + a2 009 = 2;
xj + xk
的最小值是
.
8. 若对任意正数 x、 y, 可使得 a = x + y,
b= x + xy + y , c = m
x +1
] f
2
x +1
>x
] - 1 < x < 1; 当 x = - 1 时 , 原不等式显然成立 ; 当 x < - 1 时 , 原不等式为
2 x +1
3
因此 ,共有取法 N ( 2 ) + N ( 3 ) + … + N ( 12 ) = 78 (种 ) . 145 4. . 324 令 A i = { 4颗骰子不出现 i} ( i =1, 2, …, 6). 则 | A3 ∩A6 | = | A 3 ∪A6 | = 6 - | A3 ∪A6 |
x1 a
2 2
故 kk …k =
2n 个
9
( 10
2n
- 1) 9
k x +2
+ 1
2
y1 b
2
2
= 1,
2
y1 a
2
2
+
2
x1 b
2
2
=
1
k
2
, 相加得
= =
k
9 9
k
( 10n - 1 ) ( 10n + 1 ) = x
数学奥林匹克高中训练题(59)
2
(
)
小值 ! 三、 （(’ 分） 已知 （ #" ， …， 是自然数 "， ## ， #2 ） #， …， 且满足： 对任意 "$ 1 $ 2 $ "， 均有 2 的一个排列， #1 ) 1 $ #1 ) " ) 1 ) " ! （"） 若记 "1 为数 （ 在排列中所处位置 1 "$ 1 $ 2 ） 的序号 （如排列 （"， 中， +， ,， #） "" % "， "# % ,， "+ % #， ", …， 对每一个满足题意的排列 （ #" ， ## ， % +） ! 求 证： ， 均有 "1 ) 1 $ "1 ) " ) 1 ) （ 成立 ! #2 ） " "$ 1 $ 2 $ "） （#） 试求满足题意的排列的个数 ( （ 2）!
$ $ $ $ （" +） # *$ ) !$ % 故三棱锥体积
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从而， *! %
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2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题
暨2023年全国高中数学联合竞赛一试试题（模拟4）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246215,S S S ==-，则8S =．3．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若20231()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．7．已知在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．若该四棱锥存在半径为1的内切球，且PA =PC 的长为．8．令实数集123456}{,,,,,S a a a a a a =，定义函数:f S S ®，使得234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，则满足条件的f 的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求S的最小值，其中S =．10.（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。
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数学奥林匹克高中训练题(3)
第一试
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．(训练题3)函数1log 2)(log 2212
21+-=x x y 的递增区间是（ ）。
（A ）)21
,0( （B ）1[2 （C ）)+∞ （D ）不存在。
2．(训练题3)四面体ABCD 中，===CB DC BD 2，M AD AB AC .1,3===为CD 中点。
则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值是（ ）。
（A ）32 （B ）22 （C ）26 （D ）9
3 3．(训练题3)数列100{}(1,2,3,)!
n
n n = 是（ ） （A ）递增数列 （B ）从第1993项以后有减、有增的数列
（C ）递减数列 （D ）能够找到一项，从这项以后是递减的。
4．(训练题3)△ABC 中，A>B 是C B 2cos 2cos >的( )
（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件
5．(训练题3)命题甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补。
”
命题乙：“底面为正三角形，侧面为等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
”
命题丙：“过圆锥的两条母线的截面，以轴截面的面积最大。
”
其中真命题的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
6．(训练题3)若存在a 使等式)lg()lg()()(y a a x a y a y a x a x ---=-+-在实数范围内成立，则2
22
23y xy x y xy x +--+的值是（ ） （A ）3 （B ）31 （C ）2 （D ）1993
7 二、填空题（每小题5分，共30分）
1．(训练题3)若x x sin 1sin 22lg 1+=+，则x 的解集是.__________。
2．(训练题3)若n 为自然数，且89223+++n n n 是某个自然数的立方，则n =______。
3．(训练题3)如果),4
3cos 43(sin 8cos 2πππ
i i z ++=则__________12=z 。
4．(训练题3)从{19，20，21，…，91，92，93}中选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是______。
5．(训练题3)平面直角坐标系xoy 中，坐标满足条件0)4)(22(2222≥--+++y x y x y x 的点组成
的图形的面积是______。
6．(训练题3)如果,0,0,0>>>c y x 且.1222=++z y x 则表达式z
xy y xz x yz ++的最小值是 。
三、(训练题3)（本题满分20分）在棱锥BCD A -中，顶点D 处的三个面角都是直角，在顶点A 处的三个面角之和等于︒
90.如果,,b DC a DB ==求棱锥BCD A -的体积。
四、(训练题3)（本题满分20分）求函数 1)13(21)13(2122222++-++--++-=x x x x x x y 的最小值。
五、(训练题3)（本题满分20分）如果 )(,131211N n n a n ∈++++
= 证明：对一切,2≥n 都有).32(2322n
a a a a n n +++> 第二试
一、．(训练题3)（本题满分35分）设h 和l 是由三角形的一个顶点引向对边的高线和角平分线，R 和r 分别是该三角形的外接圆半径和内切圆半径。
求证：R
r l h 2≥. 二、(训练题3)（本题满分35分）一个以自然数为元素的集合C ，如果C 中至少存在两个数，它们的算术平均数仍属于集合C ，则称C 为“好集”。
证明：将自然数集任意划分为两个不交的子集中，至少有一个子集是“好集”。
三、(训练题3)（本题满分35分）在199319936688张卡片上，每张写上一个自然数，恰写了1，2，…，199319936688这199319936688个自然数。
问能否把这些卡片分成三组，使得第二组卡片上写的数之总和比第一组卡片上写的数之总和大33，而第三组卡片上写的数之总和比第二组卡片上写的数之总和大102？若能，请给出一种分组方法。
若不能，请你说明理由。