高一数学 课堂训练6-3
高一数学压轴题强化训练题学生版
高一数学压轴题强化训练题1.已知集合P={x|x 2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a 的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)2.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是()A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m <4D ．2<m ≤43.已知非空集合A,B 满足以下两个条件：（i）A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=∅(ii)若x∈A,则x+1∈B.则有序集合对（A,B）的个数为（）A.12B.13C.14D.154.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“好元素”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()．A ．6个B ．12个C ．9个D ．5个5.如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素,其中:),,(2Q b a b a x ∈+=则下列元素中不属于集合M 的元素的个数是由（）①.,0=x ②,2=x ③,223π-=x ④,2231-=x ⑤246246++-=x .A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是()A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定7.已知z y x ,,是非零实数,代数式xyz z z y y x x +++的值所组成的集合为M,则下列判断正确的是（）A.M ∉0B.M ∈2C.M ∉-4D.M∈48.已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于()A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}9.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是()A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－110.对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a ＝a ⊕e ＝a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A ＝R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有1×a ＝a ×1＝a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A ＝R ，运算“⊕”为普通减法；②A ＝R ，运算“⊕”为普通加法；③A ＝{X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③11.已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．12.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.①若}6,3,2{=M ，则C U M 表示的6位字符串为；②若{1,3}A =,集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是.13.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.14.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意，P b a ∈,都有P b a ab b a b a ∈-+,,,（除数),0≠b 则称P 是一个数域.例如有理数Q 是数域，有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③数域必为无限集.其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.16.已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是；（写出一个即可）（2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为.17.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数。
人教版A高一数学同步课堂精讲练导学案第二册8.6.3 平面与平面垂直的判定1课时(解析版)
8.6.3平面与平面垂直的判定导学案编写:XXX 初审:谭光垠终审:谭光垠XXX【学习目标】1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小2.理解两平面垂直的定义3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题【自主学习】知识点1 二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念:①这条直线叫做二面角的棱,②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法:(4)记法:二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角:若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点2 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．②画法:③记作:α⊥β.(2)判定定理l⊥α,l⊂β⇒α⊥β【合作探究】探究一二面角的概念及求法【例1】如图,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度数;(2)求二面角B-P A-D平面角的度数;(3)求二面角B-P A-C平面角的度数．[分析](1)证明平面P AD⊥平面PCD;(2),(3)先找出二面角的平面角,再证明该角满足平面角的定义,最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵P A⊥平面ABCD,∴P A⊥CD.又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.P A∩AD＝A,∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PCD,∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD,∴AB⊥P A,AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B-P A-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°,∴二面角B-P A-D平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD,∴AB⊥P A,AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B-P A-C的平面角．又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC＝45°,即二面角B-P A-C平面角的度数为45°.归纳总结:清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说明所作角是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”【练习1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值．解:如图,取A1C1的中点O,连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1,又BA1＝BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a,则OB1＝2 2a.在Rt△BB1O中,tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2,所以二面角B-A1C1-B1的正切值为 2.探究二平面与平面垂直的判定【例2】如图所示,四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD ⊥AD.求证:平面PDC⊥平面P AD.[证明]∵P A⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵CD⊥AD,P A∩AD＝A,∴CD⊥平面P AD.又∵CD⊂平面PDC,∴平面PDC⊥平面P AD.归纳总结:判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面【练习2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD＝AA1＝2,AB＝4,E为AB的中点．求证:平面DD1E⊥平面CD1E.证明:在矩形ABCD中,E为AB的中点,AD＝2,AB＝4,所以DE＝CE＝22,因为CD ＝4,所以CE ⊥DE , 因为D 1D ⊥平面ABCD ,所以D 1D ⊥CE ,因为D 1D ∩DE ＝D , 所以CE ⊥平面D 1DE ,又CE ⊂平面CED 1, 所以平面DD 1E ⊥平面CD 1E .探究三 线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图所示,已知三棱锥P -ABC ,∠ACB ＝90°,CB ＝4,AB ＝20,D 为AB 的中点,且△PDB 是正三角形,P A ⊥PC .(1)求证:平面P AC ⊥平面ABC ; (2)求二面角D -AP -C 的正弦值;(3)若M 为PB 的中点,求三棱锥M -BCD 的体积．[分析] 本题的题设条件有三个:①△ABC 是直角三角形,BC ⊥AC ;②△PDB 是正三角形;③D 是AB 的中点,PD ＝DB ＝10.解答本题(1),只需证线面垂直,进而由线面垂直证明面面垂直,对于(2)首先应找出二面角的平面角,然后求其正弦值,解答(3)小题的关键是用等体积法求解．[解] (1)证明:∵D 是AB 的中点,△PDB 是正三角形,AB ＝20, ∴PD ＝12AB ＝10,∴△P AB 为直角三角形且∠APB ＝90°,∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC ,PB ∩PC ＝P ,∴AP ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ,∴AP ⊥BC .又AC ⊥BC ,AP ∩AC ＝A ,∴BC ⊥平面P AC . 又BC ⊂平面ABC ,∴平面P AC ⊥平面ABC .(2)∵P A ⊥PC ,且P A ⊥PB ,∴∠BPC 是二面角D -AP -C 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面P AC ,则BC ⊥PC , ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝25.(3)∵D 为AB 的中点,M 为PB 的中点, ∴DM ∥P A ,故DM ＝53,由(1)知P A ⊥平面PBC ,∴DM ⊥平面PBC . ∵S △BCM ＝12S △PBC ＝221,∴V M -BCD ＝V D -BCM ＝13×53×221＝107.归纳总结:本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题,解决这类问题的关键是转化:线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直【练习3】如图,在三棱锥P -ABC 中,PC ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,D ,E 分别是AB ,PB 的中点．(1)求证:DE ∥平面P AC ; (2)求证:AB ⊥PB ;(3)若PC ＝BC ,求二面角P -AB -C 的大小． 解:(1)证明:因为D ,E 分别是AB ,PB 的中点, 所以DE ∥P A .又因为P A ⊂平面P AC ,DE ⊄平面P AC ,所以DE∥平面P AC.(2)证明:因为PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC,PC∩BC＝C,所以AB⊥平面PBC, 又因为PB⊂平面PBC,所以AB⊥PB.(3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC,所以∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角,因为PC＝BC,∠PCB＝90°,所以∠PBC＝45°,所以二面角P-AB-C的大小为45°.课后作业A组基础题一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交,所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【答案】 D详细解析如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．关于直线a,b以及平面M,N,下列命题中正确的是()A．若a∥M,b∥M,则a∥bB．若b∥M,a⊥b,则a⊥MC．若b⊂M,a⊥b,则a⊥MD．若a⊥M,a⊂N,则M⊥N【答案】 D详细解析A中,当直线a,b都在一个平面上相交,且这个平面与M平行,可推断出A不一定成立;B中,可能存在a⊂M的情况,故B的结论不一定成立;C中,可能存在a∥M的情况,故C项错误;D中,若a⊥M,a⊂N,由面面垂直的判定定理可知M⊥N,故D项中说法正确．3．如图所示,在四面体D－ABC中,若AB＝BC,AD＝CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE【答案】 C详细解析因为AB＝BC,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC.又BE∩DE＝E,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.4．如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC 翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】 C详细解析由已知得BD＝2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC＝60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角,其大小为60°.5．如图,AB是圆O的直径,P A垂直于圆O所在平面ABC,点C是圆上的任意一点,图中互相垂直平面的对数为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】 B详细解析∵P A⊥圆O所在平面ABC,∴平面P AB⊥平面ABC,同理可得:平面P AC⊥平面ABC,∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,又∵P A⊥圆O所在平面ABC,BC⊂平面ABC,∴P A⊥BC.又∵P A∩AC＝A,P A,AC⊂平面P AC.∴BC⊥平面P AC.又∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面P AC.综上相互垂直的平面共有3对．6．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在【答案】 C详细解析设两点为A,B,平面为α,若直线AB⊥α,则过A、B与α垂直的平面有无数个;若直线AB与α不垂直,即直线AB与α平行、相交或在平面α内,均存在唯一平面垂直于已知平面．7．在正四面体P ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是() A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【答案】 C详细解析如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF,∴A正确．由BC⊥PE,BC⊥AE,得BC⊥平面P AE,∴DF⊥平面P AE,∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE),∴D正确．8．如图所示,已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形,P A⊥平面ABC,P A＝2AB,则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【答案】 D详细解析∵P A⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD＝2AB,即tan∠ADP＝P AAD＝2AB2AB＝1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.二、填空题9．已知α,β是两个不同的平面,l是平面α与β之外的直线,给出下列三个论断:①l⊥α,②l∥β,③α⊥β.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________.(用序号表示)【答案】①②⇒③详细解析由l∥β可在平面β内作l′∥l,又l⊥α,∴l′⊥α,∵l′⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③.10．下列结论中,所有正确结论的序号是________．①两个相交平面形成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．【答案】②④详细解析由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确,④正确;②中所成的角虽不是二面角的平面角,但由平面几何的知识易知②正确．11．如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,BC＝2,AA1＝1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1－EF－C等于45°,则BF＝________.【答案】 1详细解析由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥EF,又BC∩CC1＝C,∴EF⊥平面CC1F,∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1－EF－C的平面角,即∠C1FC＝45°,∵AA1＝1,∴CF＝1,又BC＝2,∴BF＝1.12．如图所示,在四棱锥P－ABCD中,P A⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)详细解析由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题13．如图所示,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,E为BB1的中点,求证:截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明 如图所示,取A 1C 的中点F ,AC 的中点G ,连接FG ,EF ,BG ,则FG ∥AA 1,且GF ＝12AA 1.因为BE ＝EB 1,A 1B 1＝CB ,∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°, 所以△A 1B 1E ≌△CBE ,所以A 1E ＝CE . 因为F 为A 1C 的中点,所以EF ⊥A 1C . 又FG ∥AA 1∥BE ,GF ＝12AA 1＝BE ,且BE ⊥BG ,所以四边形BEFG 是矩形,所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ,所以EF ⊥侧面ACC 1A 1.又因为EF ⊂平面A 1CE ,所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.14．如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形,P A ⊥底面ABCD ,AC ,BD 交于点E ,F 是PB 的中点．求证: (1)EF ∥平面PCD ; (2)平面PBD ⊥平面P AC .证明 (1)∵四边形ABCD 是正方形,∴E 是BD 的中点． 又F 是PB 的中点,∴EF ∥PD . 又∵EF ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD , ∴EF ∥平面PCD .(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC . ∵P A ⊥平面ABC ,∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ,∴BD ⊥平面P AC . 又BD ⊂平面PBD , ∴平面PBD ⊥平面P AC .15．如图,在四面体A -BCD 中,BD ＝2a ,AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ,求证:平面ABD ⊥平面BCD .证明:如图,取BD 的中点E ,连接AE ,CE .由AB ＝AD ＝CB ＝CD ,知AE ⊥BD ,CE ⊥BD ,所以∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角．在△ABE 中,AB ＝a ,BE ＝12BD ＝22a ,所以AE 2＝AB 2－BE 2＝12a 2,同理CE 2＝12a 2,所以AE 2＋CE 2＝a 2＝AC 2, 所以∠AEC ＝90°.所以平面ABD ⊥平面BCD .B组能力提升一、选择题1．若P是等边三角形ABC所在平面外一点,且P A＝PB＝PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下列结论中不正确的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC【答案】D详细解析:∵P是等边三角形ABC所在平面外一点,且P A＝PB＝PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,又∵DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A正确．∵P A＝PB＝PC,△ABC为等边三角形,E是BC中点,∴PE⊥BC,AE⊥BC.∵PE∩AE＝E,∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC,∴DF⊥平面P AE,故B正确．∵BC⊥平面P AE,BC⊂平面ABC,∴平面P AE⊥平面ABC,故C正确．设AE∩DF＝O,连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心,∴PO与平面ABC不垂直,∴平面PDF与平面ABC不垂直,故D错误．2．在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB＝6,BC＝3,则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D详细解析:如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D,则∠ADB为二面角α-l-β的平面角(或其补角),∵AB＝6,BC＝3,∴∠BAC＝30°,∴∠ADB＝60°,∴二面角大小为60°或120°.二、填空题3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点．当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)详细解析:如图,连接AC,则BD⊥AC.由P A⊥平面ABCD,可知BD⊥P A,所以BD⊥平面P AC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答题4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD＝a,P A＝PC＝2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面P AC⊥平面PBD;(3)求二面角P-AC-D的正切值．解:(1)证明:∵PD＝a,DC＝a,PC＝2a, ∴PC2＝PD2＋DC2,∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD,又AD∩DC＝D,∴PD⊥平面ABCD.(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,而四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,又BD∩PD＝D,∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面P AC,∴平面P AC⊥平面PBD.(3)设AC∩BD＝O,如图,连接PO.由P A＝PC,知PO⊥AC.又由DO⊥AC,故∠POD为二面角P-AC-D的平面角．易知OD＝2 2a.在Rt△PDO中,tan∠POD＝PDOD＝a22a＝ 2.5．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AD＝AA1＝1,AB＝2,点E在棱AB上移动．(1)证明:D1E⊥A1D;(2)求AE等于何值时,二面角D1－EC－D的大小为45°?(1)证明连接D1A,D1B.∵在长方形A1ADD1中,AD＝AA1＝1,∴四边形A1ADD1为正方形,∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D,且AB∩AD1＝A,∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1,∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F,连接D1F.∵D1D⊥平面DB,EC⊂平面DB,∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D,∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF,∴EC⊥D1F,∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角,∴∠DFD1＝45°,又∠D1DF＝90°,D1D＝1,∴DF＝1.在Rt△DFC中,∵DC＝2,∴∠DCF＝30°,∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中,∵BC＝1,∴EB＝3,AE＝2－ 3.。
7.3.1+正弦函数的性质与图象(共2课时)高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)
画出y = sinx， ∈[0,]的图像
1.列表
x
y=sinx
0
0
6
4
3
1
2
2
2
3
2
2
1
2
3
3
2
3
4
5
6
2
2
1
2
0
2.描点
3.连线
sinx在[0, ]上递增，在[ , ]上递减，
2
2
根据y =
将这些点连成光滑的曲线.
y
.
.
.. ...
.
.
1
-
-
O
2
4
2
3
4
-1
2.两相邻对称中心之间的距离为
2.相邻对称中心之间的距离是多少？
3. y sin x在对称中心处的函数值为0
7
2
4
探究点3：五点法作图
思考：正弦函数 = 图象也可由其在[0,2]上的图象得到.观察
图象上起关键作用的点是哪些？
五点作图法
y
( 2,1)
( 2,1)
( 2,1)
1
5
当 = − 时取得最小值− ，当
2
4
5
因此，函数值域为[− , 1].
4
2
= 1时取得最大值1.
）
正弦函数 = 的性质
定义域和值域 定义域：R 值域:[-1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调性
增区间[− + , + ]( ∈ );减区间[ + ,
1.1集合的概念(教学课件)高一数学高效课堂(人教A版2019)(1)
1，3，5，7，9
x1=-3，x2=3
2，3，5，7
元素 造纸术、指南针、火药、印刷术
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊 、猴、鸡、狗、猪 圆心是O，半径为1的圆上的点
学习新知
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总 体叫做集合（set）（简称为集）。
常用的 数集
自然数集
记法
—N—
举例 0,1,2,3，…
正整数集 整数集 有理数集 实数集
N—*—或——N＋
1,2,3，…
—Z—
Q
R
——
——
0,±1,±2, ±3，…
整数+分数
有理数 无理数
学习新知
【练习】 用符号“∈”或“ ∉”填空。
(1) 2
N.
(2) 2 _______ Q.
(3) 0
{0}.
学习目标
通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合 不同的语言形式描述具体的问题。
了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号, 并能够用其解决有关问题。
会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。
目 录
C ATA L O G
01.元素和集合的概念 02.集合的表现方式
设A是一个集合，我们把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的
集合表示为：
x A P(x)
我们称这种方法为描述法。
x为该集合的代表元素
P(x)表示该集合中的元素x所具有的性质
学习新知
例如，实数集R 中，有限小数和无限循环小数都具有 q ( p, q Z, p 0) 的 p
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(52)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a 1，a 2，b 1，b 2 均为非零实数，不等式 a 1x +b 1<0 与不等式 a 2x +b 2<0 的解所组成的集合分别为集合 M 和集合 N ，则“a 1a 2=b 1b 2”是“M =N ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件2. 下面各组角中，终边相同的是 ( ) A ． 390∘，690∘ B ． −330∘，750∘ C ． 480∘，−420∘D ． 3000∘，−840∘3. 若对于任意实数 x 总有 f (−x )=f (x )，且 f (x ) 在区间 (−∞,−1] 上是增函数，则 ( ) A ． f (−32)<f (−1)<f (2) B ． f (−1)<f (−32)<f (2) C ． f (2)<f (−1)<f (−32)D ． f (2)<f (−32)<f (−1)4. 函数 f (x )=(x +sinx )cosx 的部分图象大致为 ( )A ．B ．C．D．5.集合A={x∣ −1<x<3}，B={x∣ x2+x−6<0,x∈Z}，则A∩B=( )A．(−1,2)B．(−3,3)C．{0,1}D．{0,1,2}6.已知集合A={x∣ 1≤x<3}，B={x∣ x2≤4}，则A∩B=( )A．{x∣ 1≤x<2}B．{x∣ −2≤x<1}C．{x∣ 1≤x≤2}D．{x∣ 1<x≤2}7.已知cos(π2+α)=√33(−π2<α<π2)，则sin(α+π3)=( )A．3√2−√36B．3√2+√36C．√6−36D．√6+368.设集合M={x∈R∣ 0≤x≤2}，N={x∈R∣ −1<x<1}，则M∩N=( )A．{x∣ 0≤x≤1}B．{x∣ 0≤x<1}C．{x∣ 1<x≤2}D．{x∣ −1<x≤2}9. 式子 a√−1a 经过计算可得 ( ) A ． √−a B ． √a C ． −√a D ． −√−a10. 设集合 A ={x∣ −1<x ≤1}，B ={−1,0,1,2}，则 A ∩B = ( )A ． {−1,0,1}B ． {−1,0}C ． {0,1}D ． {1,2}二、填空题（共10题）11. 已知集合 A =(−2,3)，B =[−1,4]，则集合 A ∩B = ．12. 已知 a >0，b >0，则 a 2+4+4ab+4b 2a+2b的最小值为 ．13. 若 (3−2m )12>(m +1)12，则实数 m 的取值范围为 ．14. 若 cosα=13，则 sin (α−π2)= ．15. 若角 α 终边经过点 P (−1,2)，则 tanα= ．16. 二次函数 y =ax 2+bx +c (x ∈R ) 的部分对应值如表：x−3−2−101234y 60−4−6−6−406则不等式 ax 2+bx +c >0 的解集是 ．17. 已知 a >b >0，则 a +4a+b +1a−b 的最小值为 ．18. 若 π2<α<π 且 cosα=−13，则 tanα= ．19. 如果 α∈(π2,π)，且 sinα=45，那么 sin (α+π4)+cos (α+π4)= ．20. 已知函数 f (x )=1+∣x∣−x 2(−2<x ≤2)．用分段函数的形折表示该函数为 ； 该函数的值域为 ．三、解答题（共10题）21.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性．(1) y=x2−5x−6；(2) y=9−x2．22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．(1) 对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么log a M n=nlog a M(n∈R)．(2) 请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值．(3) 因为210=1024∈(103,104)，所以210的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20192020的位数．（注：lg2019≈3.305）．23.回答下列问题：(1) 将log232=5化成指数式；(2) 将3−3=127化成对数式；(3) 已知log4x=−32，求x；(4) 已知log2(log3x)=1，求x．24.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1) p：不论m取何实数，方程x2+mx−1=0必有实根；(2) ∀x,y∈R，x2+y2+2x−4y+5=0．25.已知集合A={x∣2−a≤x≤2+a}，B={x∣∣x≤1或x≥4}．(1) 当a=3时，求A∩B；(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．26.已知函数f(x)=log a(x+2)−1，其中a>1．(1) 若f(x)在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．(2) 若f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．27.求2π3的六个三角比的值．28.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？,b}，Q={0,a+b,b2}，且P=Q．求a2018+b2019的值．29.已知集合P={1,ab30.已知集合A={x∣ 1≤x≤2}，B={x∣ 1≤x≤a,a≥1}．(1) 若A⫋B，求a的取值范围；(2) 若B⊆A，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】取 a 1=b 1=1，a 2=b 2=−1，则可得 M =(−∞,−1)，N =(−1,+∞)，M ≠N ，因此不是充分条件，而由 M =N ，显然可以得到 a 1a 2=b 1b 2，所以是必要条件．故选D ．【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】B【解析】因为 390∘=360∘+30∘，690∘=720∘−30∘， 所以 390∘ 与 690∘ 终边不同，A 错误；因为 −330∘=−360∘+30∘，750∘=720∘+30∘， 所以 −330∘ 与 750∘ 终边相同，B 正确； 因为 480∘=360∘+120∘，−420∘=−360∘−60∘， 所以 480∘ 与 −420∘ 终边不同，C 错误；因为 3000∘=2880∘+120∘，−840∘=−720∘−120∘， 所以 3000∘ 与 −840∘ 终边不同，D 错误． 故选B ．【知识点】任意角的概念3. 【答案】D【解析】由 f (−x )=f (x ) 可得 f (x ) 为偶函数，且在 (−∞,1] 上单增， 由偶函数性质可知其在区间 [1,+∞) 上， 因为 f (−32)=f (32)，f (−1)=f (1)， 所以 f (2)<f (−32)<f (−1)． 【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】因为函数 f (x ) 为奇函数，故排除B ，又因为当 x ∈(0,π2) 时，f (x )>0，当 x ∈(π2,π)时，f (x )<0，故排除C ，A ． 【知识点】函数的奇偶性、函数图象5. 【答案】C【解析】 B ={x∣ x 2+x −6<0,x ∈Z }={x∣ −3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}，又 A ={x∣ −1<x <3}， 所以 A ∩B ={0,1}，故选C ．【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算7. 【答案】A【解析】因为cos(π2+α)=−sinα=√33，所以sinα=−√33，所以−π2<α<0，所以cosα=√63，所以sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3 =−√33×12+√63×√32=3√2−√36,故选A．【知识点】两角和与差的正弦8. 【答案】B【解析】因为M={x∈R∣ 0≤x≤2}，N={x∈R∣ −1<x<1}，所以M∩N={x∣ 0≤x<1}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】D【解析】因为√−1a 成立，所以a<0，所以a√−1a=−√−a2a=−√−a．故选D．【知识点】幂的概念与运算10. 【答案】C【解析】A∩B={0,1}．【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题）11. 【答案】[−1,3)【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】 4【解析】由a 2+4+4ab+4b 2a+2b=(a+2b )2+4a+2b=(a +2b )+4a+2b ，因为 a >0，b >0， 所以 a +2b >0，4a+2b >0， 所以 (a +2b )+4a+2b≥2√(a +2b )⋅4a+2b=4，当且仅当 a +2b =2 时取等号，即a 2+4+4ab+4b 2a+2b的最小值为 4．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】 [−1,23)【知识点】幂函数及其性质14. 【答案】 −13【知识点】诱导公式15. 【答案】 −2【知识点】任意角的三角函数定义16. 【答案】 (−∞,−2)∪(3,+∞)【知识点】二次不等式的解法17. 【答案】 3√2【解析】 4a+b +1a−b =22a+b +12a−b ≥(2+1)2(a+b )+(a−b )=92a ， 所以 a +4a+b +1a−b≥a +92a≥2√a ⋅92a=3√2，当且仅当 {2a+b=1a−b,a =92a,即 a =3√22，b =√22时等号成立．【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】 −2√2【知识点】同角三角函数的基本关系19. 【答案】 −3√25【知识点】两角和与差的余弦、两角和与差的正弦20. 【答案】 f(x)={1−x,−2<x ≤01,0<x ≤2； [1,3)【解析】 f (x )=1+∣x∣−x 2(−2<x ≤2)，当 −2<x ≤0 时，f (x )=1−x ； 当 0<x ≤2 时，f (x )=1．所以函数 f (x )={1−x,−2<x ≤01,0<x ≤2，函数 f (x ) 的图象如图所示：根据图象，得函数 f (x ) 的值域为 [1,3)．【知识点】分段函数、函数的值域的概念与求法三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 图略．函数 y =x 2−5x −6 在 (−∞,52] 上单调递减，在 [52,+∞) 上单调递增． (2) 函数 y =9−x 2 在 (−∞,0] 上单调递增，在 [0,+∞) 上单调递减． 【知识点】函数的单调性22. 【答案】(1) (a m )n =a mn ， log a (a m )n =log a a mn ， log a (a m )n =mn ，令 a m =M ，则 m =log a M ， 则 log a M n =nlog a M ．(2) lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=34+23=1712． (3) lg20192020=2020lg2019≈2020×3.305=6676.1，所以20192020≈106676.1∈(106676,106677)，所以20192020位数为6677．【知识点】对数的概念与运算23. 【答案】(1) 因为log232=5，所以25=32．(2) 因为3−3=127，所以log3127=−3．(3) 因为log4x=−32，所以x=4−32=22×(−32)=2−3=18．(4) 因为log2(log3x)=1，所以log3x=2，即x=32=9．【知识点】对数的概念与运算24. 【答案】(1) ¬p：存在一个实数m，使方程x2+mx−1=0没有实数根．因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立，所以¬p为假命题．(2) ¬p：∃x,y∈R，x2+y2+2x−4y+5≠0．因为x2+y2+2x−4y+5=(x+1)2+(y−2)2，当x=0，y=0时，x2+y2+2x−4y+5≠0成立，所以¬p为真命题．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定、复合命题的概念与真假判断25. 【答案】(1) 当a=3时，A={x∣−1≤x≤5}，B={x∣∣x≤1或x≥4}，所以A∩B={x∣∣−1≤x≤1或4≤x≤5}．(2) ①若A=∅，则2−a>2+a，解得a<0，满足A∩B=∅；②若A≠∅，则2−a≤x≤2+a，所以a≥0．因为A∩B=∅，所以{2−a>1,2+a<4,解得0≤a<1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1)．【知识点】交、并、补集运算26. 【答案】(1) 函数f(x)=log a(x+2)−1的定义域是(−2,+∞)．因为a>1，所以f(x)=log a(x+2)−1是[0,1]上的增函数．所以f(x)在[0,1]上的最大值是f(1)=log a3−1；最小值是f(0)=log a2−1．依题意，得log a3−1=−(log a2−1)，解得a=√6．(2) 由（1）知，f(x)=log a(x+2)−1是(−2,+∞)上的增函数．在f(x)的解析式中，令x=0，得f(0)=log a2−1，所以，f(x)的图象与y轴交于点(0,log a2−1)．依题意，得f(0)=log a2−1≤0．解得a≥2．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】sin2π3=√32，cos2π3=−12，tan2π3=−√3，cot2π3=−√33，sec2π3=−2，csc2π3=23√3．【知识点】任意角的三角函数定义28. 【答案】（1）任何一个元素；A⊆B；B⊇A；A包含于B；B包含A（2）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B．例如{0,1}⊆{−1,0,1}，则由0∈{0,1}能推出0∈{−1,0,1}．【知识点】包含关系、子集与真子集29. 【答案】−1．【知识点】集合相等30. 【答案】(1) 若A⫋B，由下图可知，a>2．(2) 若B⊆A，由下图可知，1≤a≤2．【知识点】包含关系、子集与真子集11。
高一数学上册课堂练习题4(答案)
高一数学上册课堂练习题4（答案）A.8B.2C.4D.1[答案] C[解析] ∵AB，AC，集合A中的元素只能由a或b构成.这样的集合共有22=4个.即：A=，或A={a}，或A={b}或A={a，b}.7.设集合M={x|x=k2+14，kZ}，N={x|x=k4+12，kZ}，则()A.M=NB.M?NC.M?ND.M与N的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k=-2，-1,0,1,2可得M={-34，-14，14，34，54}，N={0，14，12，34，1}，M?N，故选B.解法2：集合M的元素为：x=k2+14=2k+14(kZ)，集合N的元素为：x=k4+12=k+24(kZ)，而2k+1为奇数，k+2为整数，M?N，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解.注意若k是任意整数，则k+m(m是一个整数)也是任意整数，而2k+1,2k-1均为任意奇数，2k为任意偶数.8.集合A={x|03且xN}的真子集的个数是()A.16B.8C.7D.4[答案] C[解析] 因为03，xN，x=0,1,2，即A={0,1,2}，所以A的真子集个数为23-1=7.9.(09广东文)已知全集U=R，则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析] 由N={x|x2+x=0}={-1,0}得，N?M，选B.10.如果集合A满足{0,2}?A{-1,0,1,2}，则这样的集合A个数为()A.5B.4C.3D.2[答案] C[解析] 集合A里必含有元素0和2，且至少含有-1和1中的一个元素，故A={0,2,1}，{0,2，-1}或{0,2,1，-1}.本文导航 1、首页2、***二、填空题11.设A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}，E={多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________. [答案] A?D?B?C?E[解析] 由各种图形的定义可得.12.集合M={x|x=1+a2，aN*}，P={x|x=a2-4a+5，aN*}，则集合M与集合P的关系为________.[答案] M?P[解析] P={x|x=a2-4a+5，aN*}={x|x=(a-2)2+1，aN*}∵aN*a-2-1，且a-2Z，即a-2{-1,0,1,2，}，而M={x|x=a2+1，aN*}，M?P.13.用适当的符号填空.(，，，，?，?，=)a________{b，a};a________{(a，b)};{a，b，c}________{a，b};{2,4}________{2,3,4};________{a}.[答案] ，，?，?，?*14.已知集合A=x|x=a+16，aZ，B={x|x=b2-13，bZ}，C={x|x=c2+16，cZ}.则集合A，B，C满足的关系是________(用，?，=，，，中的符号连接A，B，C).[答案] A?B=C[解析] 由b2-13=c2+16得b=c+1，对任意cZ有b=c+1Z.对任意bZ，有c=b-1Z，B=C，又当c=2a时，有c2+16=a+16，aZ.A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系.15.(09北京文)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k-1A，那么k是A的一个孤立元.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含孤立元的集合共有______个.[答案] 6[解析] 由题意，要使k为非孤立元，则对kA有k-1A.k最小取2.k-1A，kA，又A中共有三个元素，要使另一元素非孤立元，则其必为k+1.所以这三个元素为相邻的三个数.共有6个这样的集合.三、解答题16.已知A={xR|x-1或x5}，B={xR|ax[解析] 如图∵A?B，a+4-1或者a5.即a-5或a5.17.已知A={x|x-1或x2}，B={x|4x+a0}，当BA时，求实数a的取值范围.[解析] ∵A={x|x-1或x2}，B={x|4x+a0}={x|x-a4}，∵AB，-a4-1，即a4，所以a的取值范围是a4.18.A={2,4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3,1}，a、xR，求：(1)使A={2,3,4}的x的值;(2)使2B，B?A成立的a、x的值;(3)使B=C成立的a、x的值.[解析] (1)∵A={2,3,4}x2-5x+9=3解得x=2或3(2)若2B，则x2+ax+a=2又B?A，所以x2-5x+9=3得x=2或3，将x=2或3分别代入x2+ax+a=2中得a=-23或-74(3)若B=C，则x2+ax+a=1①x2+(a+1)x-3=3②①-②得：x=a+5 代入①解得a=-2或-6此时x=3或-1.*19.已知集合A={2,4,6,8,9}，B={1,2,3,5,8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.[解析] 由题设条件知C{0,2,4,6,7}，C{3,4,5,7,10}，C{4,7}，∵C，C={4}，{7}或{4,7}.。
高一数学练习试题集
高一数学练习试题答案及解析1.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，写出要求点的坐标．解：空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，∴Q（1，，0）故选D．点评：不同考查空间中点的坐标，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，它只是立体几何与空间向量中所出现的题目的一个小部分．2.下列各点不在曲线x2+y2+z2=12上的是（）A．（2，﹣2，2）B．C．（﹣2，2，2）D．（1，3，4）【答案】D【解析】把选项中的点坐标代入曲线方程，结果不是12的即不在曲线上．解：把A项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故A中的点在曲线上．把B项的点代入方程求得0+4+8=12符合题意，故B中的点在曲线上．把C项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故C中的点在曲线上．把D项的点代入方程求得1+9+16=26不符合题意，故D中的点不在曲线上．故选D点评：本题主要考查了曲线与方程．属基础题．3.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点故应选C点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．4.点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是，关于平面yOz的对称点是，关于平面zOx的对称点是，关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是，关于z轴的对称点是．【答案】（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．【解析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．解：根据点的对称性，空间直角坐标系的八卦限，分别求出点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是（﹣3，2，1）；关于平面yOz的对称点是：（3，2，﹣1）；关于平面zOx的对称点是：（﹣3，﹣2，﹣1）；关于x轴的对称点是：（3，﹣2，1）；关于y轴的对称点是（3，2，1）；关于z轴的对称点是（3，﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．点评：本题是基础题，考查空间直角坐标系，对称点的坐标的求法，考查空间想象能力，计算能力．5.点M（4，﹣3，5）到原点的距离d= ，到z轴的距离d= ．【答案】；5【解析】直接利用空间两点间的距离公式，求出点M（4，﹣3，5）到原点的距离d，写出点M （4，﹣3，5）到z轴的距离d，即可．解：由空间两点的距离公式可得：点M（4，﹣3，5）到原点的距离d=到z轴的距离d==，点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d==5故答案为：；5点评：本题是基础题，考查空间两点的距离公式的求法，考查计算能力．6.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy轴上的点P2的坐标特点为，在Oz轴上的点P3的坐标特点为，在xOy平面上的点P4的坐标特点为，在yOz平面上的点P5的坐标特点为，在xOz平面上的点P6的坐标特点为．【答案】（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．【解析】考查空间坐标系中坐标轴与坐标平面上点的坐标的结构，Ox轴上的点只有横坐标不为0；Oy轴上的点只有纵坐标不为0；Oz轴上的点只有竖坐标不为0；在xOy平面上的点竖坐标一定为0；yOz平面上的点横坐标一定为0；xOz平面上的点纵坐标一定为0；解：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故答案应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．点评：考查空间坐标系的定义，训练对空间坐标系中坐标轴上的点的坐标结构与坐标平面上的点的坐标结构．7.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P（4，1，2）的距离为．【答案】点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．【解析】设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．解：设点P的坐标是（x，0，0），由题意，即，∴（x﹣4）2=25．解得x=9或x=﹣1．∴点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，是一个基础题，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．8.在空间，下列命题中正确的是（）A．对边相等的四边形一定是平面图形B．有一组对边平行的四边形一定是平面图形C．四边相等的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形【答案】B【解析】根据平面的基本性质，由能够确定平面的四个条件，一个一个地进行分析，能够得到正确答案．解：对边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故A不正确；有一组对边平行的四边形一定是平面图形，因为平行线确定一个平面，故B正确；四边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故C不正确；有一组对角相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对角相等，但不是平面图形．故D不正确．故选B．点评：本题考查平面的基本性质和推论，解题时要认真审题，仔细解答，注意确定一个平面的条件．9.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．10.下列各点不在曲线x2+y2+z2=12上的是（）A．（2，﹣2，2）B．C．（﹣2，2，2）D．（1，3，4）【答案】D【解析】把选项中的点坐标代入曲线方程，结果不是12的即不在曲线上．解：把A项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故A中的点在曲线上．把B项的点代入方程求得0+4+8=12符合题意，故B中的点在曲线上．把C项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故C中的点在曲线上．把D项的点代入方程求得1+9+16=26不符合题意，故D中的点不在曲线上．故选D点评：本题主要考查了曲线与方程．属基础题．11.已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（）A．B．C．19D．11【答案】A【解析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=故选A．点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．12.下列各点不在曲线x2+y2+z2=12上的是（）A．（2，﹣2，2）B．C．（﹣2，2，2）D．（1，3，4）【答案】D【解析】把选项中的点坐标代入曲线方程，结果不是12的即不在曲线上．解：把A项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故A中的点在曲线上．把B项的点代入方程求得0+4+8=12符合题意，故B中的点在曲线上．把C项的点代入方程求得4+4+4=12符合题意，故C中的点在曲线上．把D项的点代入方程求得1+9+16=26不符合题意，故D中的点不在曲线上．故选D点评：本题主要考查了曲线与方程．属基础题．13.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点故应选C点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．14.在空间直角坐标系O﹣xyz中，z=1的所有点构成的图形是．点P（2，3，5）到平面xOy的距离为．【答案】过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面；5．【解析】空间直角坐标系中，z=1表示一个平面，其与xoy平面平行且距离为1，点P（2，3，5）到平面xOy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关，由于平面xOy的方程为z=0，故可算出点到平面的距离．解：z=1表示一个平面，其与xoy平面平行且距离为1，故z=1的所有点构成的图形是过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面P（2，3，5）到平面xOy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关，由于平面xOy的方程为z=0，故点P（2，3，5）到平面xOy的距离为|5﹣0|=5故答案应依次为过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面；5．点评：本题考点是空间直角坐标系，考查空间直角坐标系中点到面的距离的计算方法与空间中面的表示方法．15.点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是，关于平面yOz的对称点是，关于平面zOx的对称点是，关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是，关于z轴的对称点是．【答案】（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．【解析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．解：根据点的对称性，空间直角坐标系的八卦限，分别求出点P（﹣3，2，﹣1）关于平面xOy的对称点是（﹣3，2，1）；关于平面yOz的对称点是：（3，2，﹣1）；关于平面zOx的对称点是：（﹣3，﹣2，﹣1）；关于x轴的对称点是：（3，﹣2，1）；关于y轴的对称点是（3，2，1）；关于z轴的对称点是（3，﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣3，2，1）；（3，2，﹣1）；（﹣3，﹣2，﹣1）；（3，﹣2，1）；（3，﹣2，﹣1）．点评：本题是基础题，考查空间直角坐标系，对称点的坐标的求法，考查空间想象能力，计算能力．16.已知空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p= ，q= ．【答案】3；2【解析】根据所给的三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据三个点共线，得到两个向量之间的共线关系，得到两个向量之间的关系，即一个向量的坐标等于实数倍的另一个向量的坐标，写出关系式，得到结果．解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），∴=（1，﹣1，3），=（p﹣1，﹣2，q+4）∵A，B，C三点共线，∴∴（1，﹣1，3）=λ（p﹣1，﹣2，q+4），∴1=λ（p﹣1）﹣1=﹣2λ，3=λ（q+4），∴，p=3，q=2，故答案为：3；2点评：本题考查向量共线，考查三点共线与两个向量共线的关系，考查向量的坐标之间的运算，是一个基础题．17.求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【答案】见解析【解析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．点评：本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．18.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．解：设点M（x，1﹣x，0）则=∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．19.试解释方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36的几何意义．【答案】在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．【解析】题中式子可化为：，只要利用两点间的距离公式看看它所表示的几何意义即可得出答案．解：在空间直角坐标系中，方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36即：方程表示：动点P（x，y）到定点（12，﹣3，5）的距离等于定长6，所以该方程几何意义是：在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．点评：本题主要考查了球的性质和数形结合的数学思想，是一道好题．20.与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【答案】D【解析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选D．点评：本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．21.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α，可由线面平行的条件进行证明；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β可由面面垂直的判定定理进行判断；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，本题可由面面垂直的性质进行判断；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断．解：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α，a⊥b，a⊥α，可得出此b∥α或b⊂α，再b⊄α，可得b∥α由是真命题；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，是真命题；③若a⊥β，α⊥β，由图形即可得出a∥α或a⊂α，是正确命题；④由a⊥b，a⊥α可推出b∥α或b⊂α，再有b⊥β，可得出α⊥β，故是真命题．故选D．点评：本题考查了线面平行，面面垂直的判定及性质，重点考查了空间立体感知能力及运用相关知识组织判断的能力．22.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C两个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．解：不共线的三点确定一个平面，故A不正确，四边形有时是指空间四边形，故B不正确，梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．23.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．24.坐标原点到下列各点的距离最小的是（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（2，﹣3，5）D．（3，0，4）【答案】A【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案．解：到A项点的距离为=，到B项点的距离为=3到C项点的距离为=到D项点的距离为=5故选A点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．属基础题．25.已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（）A．B．C．19D．11【答案】A【解析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=故选A．点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．26.若向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量平行的坐标平面是（）A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能【答案】B【解析】根据向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，设出向量的坐标，并用与坐标轴平行的单位向量表示出来，即可找到答案．解：设=（a，0，b），（a≠0，b≠0）∴（分别是x，z轴上的单位向量）∴与向量平行的坐标平面是xoz平面．故选B．点评：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系．27.在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为．【答案】（0，0，）【解析】根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．解：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴=，∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）故答案为：（0，0，）点评：本题考查两点之间的距离公式，不是求两点之间的距离，而是应用两点之间的距离相等，得到方程，应用方程的思想来解题，本题是一个基础题．28.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy轴上的点P2的坐标特点为，在Oz轴上的点P3的坐标特点为，在xOy平面上的点P4的坐标特点为，在yOz平面上的点P5的坐标特点为，在xOz平面上的点P6的坐标特点为．【答案】（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．【解析】考查空间坐标系中坐标轴与坐标平面上点的坐标的结构，Ox轴上的点只有横坐标不为0；Oy轴上的点只有纵坐标不为0；Oz轴上的点只有竖坐标不为0；在xOy平面上的点竖坐标一定为0；yOz平面上的点横坐标一定为0；xOz平面上的点纵坐标一定为0；解：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故答案应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．点评：考查空间坐标系的定义，训练对空间坐标系中坐标轴上的点的坐标结构与坐标平面上的点的坐标结构．29.求到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点的坐标（x，y，z）满足的条件．【答案】6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．【解析】直接利用空间坐标系中两点间的距离公式得关于x，y的方程式，化简即可得所求的点的坐标（x，y，z）满足的条件．解：设P（x，y，z）为满足条件的任一点，则由题意，得，．∵|PA|=|PB|，平方后化简得：6x﹣4y﹣13=0．∴6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．30.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．【答案】见解析【解析】找出P点在横轴和纵轴上的投影，以这两个投影为邻边的矩形的一个顶点是点P在xOy坐标平面上的射影，过这个射影对应的点作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到要求的点．解：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中点的坐标，是一个基础题，解题的关键是能够想象出空间图形，是一个送分题目．。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(39)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④2. 设全集为 R ，A ={x ∣x 2−5x −6>0}，B ={x ∣−2<x <12}，则 ( ) A ． (∁R A )∪B =R B ． A ∪(∁R B )=R C ． (∁R A )∪(∁R B )=RD ． A ∪B =R3. 已知函数 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1，则满足 f (2x +1)<f (3x −2) 的实数 x 的取值范围是( ) A ． (−∞,0] B ． (3,+∞) C ． [1,3) D ． (0,1)4. 已知函数 f (x )={x 2+4a,x >01+log a ∣x −1∣,x ≤0（a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递增，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=x +3 恰好有两个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (34,1316]B ． (0,34]∪{1316}C ． [14,34)∪{1316}D ． [14,34]∪{1316}5. 已知 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，则 cos (α−β)= ( ) A ． −12B ． −√32C ． 12D ． 16. 已知函数 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m 区间 [0,1] 上有且只有一个零点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,√2]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,1]∪[3,+∞)7. 已知函数 f (x )=sin2x ，x ∈[a,b ]，则“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A ． [25,12)B ． (0,25]C ． (0,12)D ． (0,15]9. 函数 f (x )=lnx +2x −6 的零点一定位于区间 ( ) A ． (1,2) B ． (2,3) C ． (3,4) D ． (4,5)10. 已知 a =log 0.92019，b =20190.9，c =0.92019，则 ( ) A ． a <c <b B ． a <b <c C ． b <a <c D ． b <c <a二、填空题（共10题） 11. 已知函数 f (x )=3x −13x +1，若不式 f (kx 2)+f (2x −1)<0 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知函数 f (x )=lg 1−x 1+x ，若 f (a )=b ，则 f (−a )= ．13. 已知一次函数 f (x ) 满足 f [f (x )]=4x +3，且 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (1)= ．14. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是 ．15. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．16. 用二分法求函数 y =f (x ) 在区间 [2,4] 上零点的近似解，经验证有 f (2)f (4)<0．取区间的中点 x 1=2+42=3，计算得 f (2)f (x 1)<0，则此时零点 x 0∈ （填区间）．17. 函数 f (x )=2x 与 g (x )=x 2 的图象交点个数是 个．18. 若某种参考书每本 2.5 元，则购书 x 本这种参考书的费用 y 关于 x 的函数表达式为 ．19.已知13≤k<1，函数f(x)=∣2x−1∣−k的零点分别为x1，x2（x1<x2），函数g(x)=∣2x−1∣−k2k+1的零点分别为x3，x4（x3<x4），则(x4−x3)+(x2−x1)的最小值为．20.已知函数f(x)=∣∣x+1x∣∣，给出下列命题：①存在实数a，使得函数y=f(x)+f(x−a)为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数y=f(x)+f(x−a)关于x=m对称；③若对任意非零实数a，f(x)+f(x−a)≥k都成立，则实数k的取值范围为(−∞,4]；④存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共10题）21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=π4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a,b)．(1) 当θ=π6时，求ab的值；(2) 设θ∈[π4,π2]，求b−a的取值范围．22.化简：(1) 1+sin(α−2π)sin(π+α)−2cos2(−α)；(2) sin(−1071∘)sin99∘+sin(−171∘)sin(−261∘)．23.已知f(x)=e x−ae x是奇函数（e为自然对数的底数）．(1) 求实数a的值；(2) 求函数y=e2x+e−2x−2λf(x)在[0,+∞)上的值域；(3) 令g(x)=f(x)+x，求不等式g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0的解集．24. 已知 α，β 为锐角，tanα=43，cos (α+β)=−√55． (1) 求 cos2α 的值； (2) 求 tan (α−β) 的值．25. 设函数 f (x )=∣x −a ∣，a ∈R ．(1) 当 a =2 时，解不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣；(2) 若关于 x 的不等式 f (x )≤4 的解集为 [−1,7]，且两正数 s 和 t 满足 2s +t =a ，求证：1s+8t ≥6．26. 已知 a ≥1，函数 f (x )=sin (x +π4)，g (x )=−sinxcosx −1+√2af (x )．(1) 若 f (x ) 在 [−b,b ] 上单调递增，求正数 b 的最大值； (2) 若函数 g (x ) 在 [0,3π4] 内恰有一个零点，求 a 的取值范围．27. 对于函数 f (x )=ax 2+(b +1)x +b −2，(a ≠0)，若存在实数 x 0，使 f (x 0)=x 0 成立，则称x 0 为 f (x ) 的不动点．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点；(2) 当 a =2 时，函数 f (x ) 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，求实数 b 的取值范围； (3) 若对于任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个不相同的不动点，求实数 a 的取值范围．28. 用适当的方法表示下列集合：(1) 二次函数 y =x 2−4 的函数值组成的集合； (2) 反比例函数 y =2x 的自变量组成的集合； (3) 不等式 3x ≥4−2x 的解集．29. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，当 x ≤0 时，f (x )=x 2+4x ．(1) 求出 f (x ) 的解析式，并直接写出 f (x ) 的单调区间． (2) 求不等式 f (x )>3 的解集．30. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2016 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 p =3−2x+1（其中 0≤x ≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），每一件产品的)元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．销售价格定为(4+20p(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即 1x 2=2−1x 1，当 x 1=12 时，2−1x 1=2−2=0，此时 1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件． 故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】B【解析】法一：由 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1可得当 x <1 时，f (x )=1；当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (1)=log 22=1， 要使得 f (2x +1)<f (3x −2)，则 {2x +1<3x −2,3x −2>1, 解得 x >3，即不等式 f (2x +1)<f (3x −2) 的解集为 (3,+∞)． 法二：当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (x )≥f (1)=1， 要使 f (2x +1)<f (3x −2) 成立，需 {2x +1≥1,2x +1<3x −2 或 {2x +1<1,3x −2>1,解得 x >3．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】由函数的解析式可知函数在区间(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，函数y=∣x−1∣单调递减，由复合函数的单调性法则可知：0<a<1，且函数在x=0处满足：02+4a≥1+log a∣0−1∣，解得：a≥14，故14≤a<1，方程∣f(x)∣=x+3恰有两个不相等的实数解，则函数∣f(x)∣与函数y=x+3的图象有且仅有两个不同的交点，绘制函数∣f(x)∣的图象如图中虚线所示，令1+log a∣x−1∣=0可得：x=1±1a，由14≤a<1可知1+1a>1，1−1a≥−3，则直线y=x+3与函数∣f(x)∣的图象在区间(−∞,0]上存在唯一的交点，原问题转化为函数y=x+3与二次函数y=x2+4a(14≤a<1)在区间(0,+∞)上存在唯一的交点，很明显当4a≤3，即a≤34时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为(x0,x02+4a)，亦即(x0,x0+3)，由函数的解析式可得：yʹ=2x，故2x0=1，x0=12，则x0+3=72，故切点坐标(12,72)，从而x02+4a=72，即14+4a=72，a=1316．据此可得：a的取值范围是[14,34]∪{1316}．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】A【解析】由 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32， 两边平方相加得，(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=(12)2+(√32)2=1，所以 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1， 即 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=−1， 所以 cos (α−β)=−12． 故选A ．【知识点】两角和与差的余弦6. 【答案】D【解析】由 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m =0， 得 m 2x 2−2mx +1=√x +m ，令 g (x )=m 2x 2−2mx +1=(mx −1)2，ℎ(x )=√x +m ，问题等价于函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． 又函数 g (x )=(mx −1)2 的图象为经过点 (0,1)，对称轴为 x =1m 的抛物线，函数 ℎ(x )=√x +m 在区间 [0,1] 上单调递增，且图象经过点 (0,m ) 和 (1,1+m )． ①当 0<m ≤1 时，1m ≥1，所以函数 g (x )=(mx −1)2 在区间 [0,1] 上单调递减， 又当 0<m ≤1 时，g (1)=(m −1)2<1，ℎ(1)=1+m >1， 所以 g (1)<ℎ(1)，所以函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． ②当 m >1 时，0<1m<1，在同一坐标系内做出两个函数的图象，如图所示． 由图形可得，要使两个函数的图象有且只有一个交点， 则需满足当 m >1 时，g (1)≥ℎ(1)， 即 {m >1,m 2−3m ≥0,解得 m ≥3．综上，正实数 m 的取值范围是 (0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【解析】 f (x ) 的最小正周期 T =2π2=π，所以当 x ∈[a,b ] 时，f (x )∈[−1,1]，则 b −a ≥π2 恒成立， 而当 a =0，b =π2时，a −b ≥π2，此时 f (x )∈[0,1]，故“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的必要而不充分条件．故B 选项符合题意．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，所以 {2a −1<0,0<a <1,log a 1≥2(2a −1)+a,即 {a <12,0<a <1,a ≤25,解得 0<a ≤25．【知识点】函数的单调性9. 【答案】B【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】A【解析】因为 a <0，b >1，0<c <1， 所以 a <c <b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (−∞,−1)【解析】易证 f (x )=3x −13x +1 为奇函数，所以 f (kx 2)+f (2x −1)<0⇒f (kx 2)<f (1−2x )． 因为 f (x )=3x −13x +1=1−23x +1，所以 f (x ) 在 R 上单调递增，所以 f (kx 2)<f (1−2x )⇒kx 2<1−2x ⇒kx 2+2x −1<0 在 R 上恒成立， 所以 {k <0,Δ=4+4k <0, 解得 k <−1，所以实数 k 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性12. 【答案】 −b【解析】由 1−x1+x >0，得 {1−x >0,1+x >0, 或 {1−x <0,1+x <0,所以 −1<x <1．故 f (x ) 的定义域为 (−1,1)，而 f (−x )=lg 1+x1−x =lg (1−x 1+x )−1=−lg 1−x1+x =−f (x )，所以 f (x ) 为奇函数，所以 f (−a )=−f (a )=−b ． 【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 3【解析】根据题意，函数 f (x ) 是一次函数，设 f (x )=ax 十b ，则 f [f (x )]=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x +3，则有 {a 2=4,ab +b =3.解得：{a =2,b =1, 或 {a =−2,b =−3.又由 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (x )=2x +1， 故 f (1)=2+1=3． 【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (−∞,−1e]∪[13e ,1e)【知识点】函数的零点分布15. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点， 此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象16. 【答案】 (2,3)【解析】因为 x 1=3，且 f (2)⋅f (3)<0，所以 x 0∈(2,3)． 【知识点】零点的存在性定理17. 【答案】 3【知识点】函数的零点分布18. 【答案】 y =2.5x ，x ∈N ∗【知识点】函数的解析式的概念与求法19. 【答案】log23【解析】f(x)=∣2x−1∣−k=0⇒2x1=1−k，2x2=1+k⇒x1=log2(1−k)，x2=log2(1+k)，g(x)=∣2x−1∣−k2k+1=0⇒2x3=k+12k+1，2x4=3k+12k+1⇒x3=log2k+12k+1，x4=log23k+12k+1，由（1）（2）得(x4−x3)+(x2−x1)=log23k+11−k =log2(41−k−3)，因为13≤k<1，故(x4−x3)+(x2−x1)≥log23．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】②③④【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由三角函数的定义，可得P(cosπ4,sinπ4)，Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))．当θ=π6时，Q(cos5π12,sin5π12)，即a=cos5π12，b=sin5π12，所以ab=cos5π12sin5π12=12×2×cos5π12sin5π12=12×sin5π6=14．(2) 因为Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))，所以a=cos(π4+θ)，b=sin(π4+θ)，由三角恒等变换的公式，化简可得：b−a=sin(π4+θ)−cos(π4+θ)=√2[sin(π4+θ)cosπ4−cos(π4+θ)sinπ4]=√2sinθ,因为θ∈[π4,π2]，所以1≤√2sinθ≤√2．即b−a的取值范围为[1,√2]．【知识点】任意角的三角函数定义、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) −cos2a．(2) 0．【知识点】诱导公式23. 【答案】(1) 因为f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)=0，故1−a=0，即a=1．经检验，满足题意．(2) 设e x−1e x =t（t≥0），则e2x+1e2x=t2+2，设y=ℎ(t)=t2−2λt+2=(t−λ)2+2−λ2，t∈[0,+∞)．①当λ≤0时，ℎ(t)≥ℎ(0)，所以函数的值域为[2,+∞)；②当λ>0时，ℎ(t)≥ℎ(λ)，所以函数的值域为[2−λ2,+∞)．(3) 因为g(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以g(−x)=f(−x)+(−x)=−f(x)−x=−(f(x)+x)=−g(x)，故g(x)为奇函数．任取x1，x2，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(e x1−e x2)−(1e x1−1e x2)+(x1−x2)=(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)+(x1−x2),因为x1<x2，所以(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)<0，x1−x2<0，所以g(x1)−g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，故g(x)在R上单调递增．由g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0，得g((log2x)2)≥−g(2log2x−3)，即g((log2x)2)≥g(−2log2x+3)，所以(log2x)2≥−2log2x+3，所以(log2x)2+2log2x−3≥0，解得log2x≥1或log2x≤−3，故x≥2或0<x≤18．故原不等式的解集为(0,18]∪[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性24. 【答案】(1) 因为 tanα=43，tanα=sinαcosα， 所以 sinα=43cosα，因为 sin 2α+cos 2α=1，所以 cos 2α=925， 因此，cos2α=2cos 2α−1=−725．(2) 因为 α，β 为锐角，所以 α+β∈(0,π)， 因为 cos (α+β)=−√55， 所以 sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55．因此 tan (α+β)=−2， 因为 tanα=43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=−247，因此tan (α−β)=tan [2α−(α+β)]=tan2α−tan (α+β)1+tan2αtan (α+β)=−211.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式25. 【答案】(1) 当 a =2 时，不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣，可化为 ∣x −2∣+∣2x −5∣≥6． ① x ≥2.5 时，不等式可化为 x −2+2x −5≥6，所以 x ≥133；② 2≤x <2.5，不等式可化为 x −2+5−2x ≥6，所以 x ∈∅； ③ x <2，不等式可化为 2−x +5−2x ≥6，所以 x ≤13，综上所述，不等式的解集为 (−∞,13]∪[133,+∞)．(2) 不等式 f (x )≤4 的解集为 [a −4,a +4]=[−1,7]， 所以 a =3，所以 1s +8t =13(1s +8t )(2s +t )=13(10+ts +16s t)≥6，当且仅当 s =12，t =2 时取等号．【知识点】绝对值不等式的求解、均值不等式的应用26. 【答案】(1) 由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z．因为f(x)在[−b,b]上单调递增，令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，所以{b≤π4,−b≥−3π4,解得b≤π4，可得正数b的最大值为π4．(2) g(x)=−sinxcosx+√2af(x)−1=−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1，设t=sinx+cosx+√2sin(x+π4)，当x∈[0,3π4]时，t∈[0,√2]．它的图形如图所示．又sinxcosx=12(t2−1)，则−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1=12t2+at−12，t∈[0,√2]，令ℎ(t)=−12t2+at−12，则函数g(x)在[0,3π4]内恰有一个零点，转化为ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点．①当t=0时，ℎ(t)无零点．②当t=√2时，由√2a−32=0，得a=3√24，把a=3√24代入−12t2+at−12=0中，得−12t2+3√24t−12=0，解得t1=√2，t2=√22，不符合题意．③当0<t<√2时，若Δ=a2−1=0，得a=1，此时t=1，由t=√2sin(x+π4)的图象可知不符合题意；若Δ=a2−1>0，即a>1，设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，要使ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点，则两同时为正，且一个根在(0,1)内，另一个根在(√2,+∞)内，所以{ℎ(1)>0,ℎ(√2)>0,解得a>3√24．综上，a的取值范围为(3√24,+∞)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) 当a=2，b=−2时，f(x)=2x2−x−4，所以由 f (x )=x 得 x 2−x −2=0，所以 x =−1 或 x =2， 所以 f (x ) 的不动点为 −1，2．(2) 当 a =3 时，f (x )=2x 2+(b +1)x +b −2， 由题意得 f (x )=x 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，即方程 2x 2+bx +b −2=0 在 (−2,3) 内的两个不相等的实数根， 设 g (x )=2x 2+bx +b −2，所以只须满足 {g (−2)=8−2b +b −2>0,g (3)=18+3b +b −2>0,−2<−b4<3,b 2−8(b −2)>0, 所以 {b <6,b >−4,−12<b <8,b ≠4, 所以 −4<b <4 或 4<b <6．(3) 由题意得：对于任意实数 b ，方程 ax 2+bx +b −2=0 总有两个不相等的实数解， 所以 {a ≠0,Δ=b 2−4a (b −2)>0,所以 b 2−4ab +8a >0 对 b ∈R 恒成立， 所以 16a 2−32a <0，所以 0<a <2．【知识点】函数的零点分布28. 【答案】(1) {y∣ y ≥−4}． (2) {x∣ x ≠0}． (3) {x∣ x ≥45}．【知识点】集合的表示方法29. 【答案】(1) 当 x >0 时，−x <0，f (−x )=(−x )2+4(−x )=x 2−4x ， 因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f (x )=−f (x )=−x 2+4x ， 所以 f (x )={x 2+4x,x ≤0−x 2+4x,x >0，f (x ) 的单调减区间为 (−∞,−2) 和 (2,+∞)，单调增区间为 (−2,2)．(2) 当 x ≤0 时，x 2+4x >3，即 x 2+4x −3>0， 即 x <−2−2√7 或 x >−2+2√7， 因为 x ≤0，所以 x <−2−2√7， 当 x >0 时，−x 2+4x >3，即 x 2−4x +3<0，即 (x −1)(x −3)<0，解得 1<x <3．综上，不等式f(x)>3的解集为(−∞,−2−2√7)∪(1,3)．【知识点】函数的奇偶性、函数不等式的解法30. 【答案】(1) 由题意知，t=(4+20p)p−x−(10+2p)，将p=3−2x+1代入化简得：y=16−4x+1−x(0≤x≤a)．(2) y=17−(4x+1+x+1)≤17−2√4x+1×(x+1)=13，当且仅当4x+1=x+1，即x=1时，上式取等号，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，y=17−(4x+1+x+1)在[0,a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型。
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第6章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·湖北]已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A. [－2,2]B. [－2,3]C. [－3,2]D. [－3,3]答案：D解析：由已知a ⊥b 得a ·b ＝0， ∴2x ＋2z ＋3y －3z ＝0， ∴z ＝2x ＋3y ，又∵|x |＋|y |≤1表示的区域为如图所示的正方形内部包括边界．∴在点B (0,1)处，z ＝2x ＋3y 取最大值3. 在点D (0，－1)处，z ＝2x ＋3y 取最小值－3. ∴z ∈[－3,3]． 故选D.2. [2012·山东烟台一模]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (2x －y ，x ＋y )表示区域的面积为( )A. 34 B. 43 C. 12 D. 1答案：D解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝a ，x ＋y ＝b ，得⎩⎨⎧x ＝a ＋b 3，y ＝2b －a 3，代入x ，y 的关系式得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0，a ≥0，a ＋b －3≤0，易得阴影区域面积S ＝12×2×1＝1，故选D.3. [2012·汕头模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≤2y ≥0x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A. a ≥43B. 0<a ≤1C. 1≤a ≤43D. 0<a ≤1或a ≥43答案：D解析：如图，直线x ＋y ＝0从原点向右移动，移动到(1,0)时，再往右移，不等式组所表示的区域就不能构成三角形了；又从点A (23，23)向右移动时，不等式组所表示的区域为整个阴影部分的三角形．∴0<a ≤1或a ≥43.故选D.4. [2011·浙江]设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A. 14B. 16C. 17D. 19答案：B解析：设3x ＋4y ＝z ， 则y ＝－34x ＋z4，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0， 得点A 为(3,1)，平行移动直线y ＝－34x ，又x ，y 为整数，则当过点(4,1)时，z ＝3x ＋4y 取最小值为16.故选B.5. [2010·北京]设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3，＋∞)答案：A解析：先画出可行域，如图，y ＝a x 必须过A 点或图中阴影部分．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a >1，∴1<a ≤3，故选A.6. [2011·北京]设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9,10,11}B ．{9,10,12}C ．{9,11,12}D ．{10,11,12}答案：C解析： 显然，四边形ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线y ＝k (k ＝1,2,3)落在四边形ABCD 内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以3×3≤N (t )≤3×4＝12.如图1，图2，当四边形ABCD 的边AD 上有5个整点时，N (t )＝9； 如图3，当四边形ABCD 的边AD 上有3个整点时，N (t )＝11；如图4，当四边形ABCD 的边AD 上有2个整点时，N (t )＝12； 所以选C.二、填空题(每小题7分，共21分) 7. [2012·泰安模拟]设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12>0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12.(x ，y ∈R )，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)．若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则r 的取值范围是__________．答案：(0，125]解析：p 表示可行域如图所示阴影三角形部分(不包括边界4x ＋3y －12＝0)．q ：表示圆x 2＋y 2＝r 2的外部．则綈p 表示阴影三角形外部(包括边界4x ＋3y －12＝0)， 綈q 表示圆x 2＋y 2＝r 2内部(包括边界)．因綈q 是綈p 的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的子集， 且圆心(0,0)到直线4x ＋3y －12＝0的距离为125，所以r 的取值范围是(0，125]．8. [2011·全国新课标]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．答案：－6解析：画出⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9表示的平面区域，平移l 0：x ＋2y ＝0.当直线过A 时，z 取最小．解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3x －y ＝9得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5， ∴z ＝4＋2×(－5)＝－6.9. 铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案：15解析：设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧50%x ＋70%y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋6y ，本题即求z 的最小值．线性约束条件整理为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥19，2x ＋y ≤4，x ≥0，y ≥0.画可行域如图：当x ＝1，y ＝2时，z 获最小值， ∴z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1.x ＋2≥0(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值． 解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域，如图．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域，如图．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.11. [2012·浙江杭州]已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z ＝y ＋1x ＋1的最大值为3，最小值为12.12. 已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲配件可获得利润5元，每件乙配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业在一年内可获得的最大利润．解：设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，则有关系：有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，(x ，y ∈N *)目标函数z ＝5x ＋3y .如图所示，作出可行域，求出可行域边界上各端点的坐标，A (133，0)，B (0,6)，C (3,4)．由图形可知，目标函数在点C (3,4)处取得最大值，最大值为z ＝5×3＋3×4＝27.。