《工程测试技术》1-5章典型习题解答
机械工程测试技术习题课后题解答
1 求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|cn|-ω和ϕ-ω图。
(1)方波的时域描述为：(2) 从而：2 . 求正弦信号的绝对均值和均方根值。
(1)(2)3.求符号函数和单位阶跃函数的频谱解：(1)因为不满足绝对可积条件，因此，可以把符合函数看作为双边指数衰减函数：其傅里叶变换为：(2)阶跃函数：4. 求被截断的余弦函数的傅里叶变换。
解：(1)被截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与矩形窗的点积，即：(2)根据卷积定理，其傅里叶变换为：5.设有一时间函数f(t)及其频谱如图所示。
现乘以余弦函数cosω0t（ω0>ωm）。
在这个关系中函数f(t)称为调制信号，余弦函数cosω0t称为载波。
试求调幅信号的f(t)cosω0t傅氏变换，并绘制其频谱示意图。
又：若ω0<ωm将会出现什么情况？解：(1)令(2) 根据傅氏变换的频移性质，有：频谱示意图如下：(3) 当ω0<ωm时，由图可见，出现混叠，不能通过滤波的方法提取出原信号f(t)的频谱。
6.求被截断的余弦函数的傅立叶变换。
解：方法一：方法二：(1)其中为矩形窗函数，其频谱为：(2)根据傅氏变换的频移性质，有：第二章4. 求指数衰减函数的频谱函数，（）。
并定性画出信号及其频谱图形。
解：（1）求单边指数函数的傅里叶变换及频谱（2）求余弦振荡信号的频谱。
利用函数的卷积特性,可求出信号的频谱为其幅值频谱为a a`b b`c c`题图信号及其频谱图注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。
5 一线性系统，其传递函数为，当输入信号为时，求：（1）；（2）；（3）；（4）。
解：(1) 线性系统的输入、输出关系为：已知，则由此可得：(2) 求有两种方法。
其一是利用的傅立叶逆变换；其二是先求出，再求，其三是直接利用公式求。
下面用第一种方法。
（3）由可得：(4) 可以由的傅立叶逆变换求得，也可以直接由、积分求得：第三章1.说明线性系统的频率保持性在测量中的作用。
机械工程测试技术_课后习题及答案
机械工程测试技术课后习题及答案第一章传感器及检测系统的基本概念1、检测系统由哪几部分组成？说明各部分的作用2、怎样选择仪表的量程大小？3、测量误差可以分为哪几类？引起各类误差的原因是什么？4、传感器按照被测物理量来分，可以分为哪几种？5、某电路中的电流为10A，用甲乙两块电流表同时测量，甲表读数为10.8A，乙表读数为9.5A，请计算两次测量的绝对误差和相对误差。
6、用1.0级量限100V的电压表甲，0.5级量限250V的电压表乙分别测量某电压，读数皆为80V，试比较两次测量结果的准确度。
7、有三台测温仪表，量程均为0～800℃，精度等级分别为2.5级、2.0级和1.5级，现要测量500℃的温度，要求相对误差不超过2.5%，选哪台仪表合理？解答：1、一个完整的工程检测系统包括：传感器、信号调理电路、信号处理电路和显示记录部分。
各部分作用：传感器——感受被测量，并将其转换为电信号；信号调理电路——将传感器输出信号进行放大和转换；信号处理电路——对电信号进行计算和分析；显示记录部分——显示记录测试结果。
2、应根据被测量的大小，兼顾仪表的准确度等级和量程，使其工作在不小于满度值2/3以上的区域。
3、测量误差可以分为：系统误差、随机误差和疏失误差三类。
引起的原因如下:系统误差——仪器误差、零位误差、理论误差、环境误差和观察者误差等随机误差——温度、磁场，零件摩擦、间隙，气压和湿度的变化，测量人员分辨本领的限制等疏失误差——操作、读数、记录和计算等方面的人为误差等4、传感器按被测物理量可以分为：位移传感器、速度传感器、加速度传感器、温度传感器、压力传感器等。
5、绝对误差：△I= I﹣I=10.8-10=+0.8A；△I= I﹣I=9.5-10=﹣0.5A相对误差：γ甲=△I甲/ I0=+0.8/10=8%；γ乙=△I乙/ I0=﹣0.5/10=﹣5%6、最大绝对误差：△V m甲=±K%·V m甲=±1.0%×100=±1.0V；△V m乙=±K%·V m乙=±0.5%×250=±1.25V最大相对误差：γm甲=△V m甲/ V=±1.0/80=±1.25%；γm乙=△V m乙/ V=±1.25/80=±1.56%故：甲表测量结果的准确度高于乙表。
工程测试技术基础课后作业答案——曾光奇
2-10
解：由题意知 M=1.5，k=3
因为 T d 6.28 s , 所以 wd
1 1 [ / ln M ]2
1 1 [ / ln 1.5]2
0.13
2 1rad / s Td
wn
系统传递函数：
wd 1
2
1 1 0.132
1.01
kwn 3 1.012 3.0603 H (s) 2 2 2 2 2 s 2 0.13 1.01s 1.01 s 0.2626 s 1.0201 s 2wn s wn
2 w
1 T
T
0
X 2 sin 2 wtdt
w 2
0
2 1 cos 2 wt X2 X dt 2 2
Xf
x (t )e j 2 ft dt Xf
0
Ae t ( a j 2 f ) dt
A a j 2 f
A2 a 2 4 2 f 2 2 f a
1-7.解：
1 1 F ( x (t ) cos 2 f 0t ) F ( x (t ) e j 2 f0t x (t ) e j 2 f0t ) 2 2 1 1 j 2 f 0 t 1 1 j 2 f 0 t F ( x (t ) e ) F ( x (t ) e ) 2 2 2 2
wn 解：设 H ( w) 2 2 s 2wn s wn
2
则
w wn 1 A( w) , ( w) arctan , w 2 w 2 2 w 1 ( ) [1 ( ) ] (2 )2 wn wn wn 2
工程测试技术答案
1、 用一个可调信号源、标准表做被测表做鉴定测试，结果如下： （1） 标准表示值fa ，被测表fo,问示值误差dx 。
（2） 标准表示值fo ，被测表fa ，问示值误差dx 。
（3） 这两个误差是否相同? 解:(1)0a dx f f =- (2）0a dx f f =-（3）两个误差不相同。
1' 什么是系统误差、它与随机误差有什么不同；答:系统误差即测量次数为无限多次时的算术均值与真值之差。
不具有抵偿性随机误差又叫偶然误差,当在同一的条件下对同一对象反复进行测量时，在消除了系统误差的影响后，每次测量的结果还会出现差异.有抵偿性.2’ 随机误差的特征是什么?怎样估算随机误差；答:随机误差的特点是，有时大，有时小，有时正，有时负,其数值和方向（正负)均无定势。
随机误差产生的原因是多方面的,往往又是不知道的和无法控制的.但是，如果用同一台仪器,在同样的条件下,对同一个物理量作了多次的测量,当测量次数足够多时,则可以发现随机误差完全服从统计性的规律,出现误差的正负和大小完全由概率来决定,当测量次数无限增大时，随机误差的算术平均值将趋于零。
3’ 误差的基本形式有哪些？他们是怎样演变的; 答：4’ 误差的分类有哪些？答：可以按误差的绝对值和相对值，分为绝对误差和相对误差。
根据误差的性质及其产生的原因把误差分为三大类：系统误差,随机误差（又称偶然误差）和过失误差（又称粗大误差）。
误差按其产生的原因可以分为:仪表误差、操作误差、人身误差、环境误差、方法误差。
5' 基本误差是什么。
怎样用基本误差估计测量仪表精度?答：基本误差表示指示值与被测量的真值之间可能最大差别，一般用相对百分误差表示,即： maxmax min100%A X A A δ∆=⨯-将基本误差中的百分号去掉,剩下的数字称为准确度等级。
6' 误差传播公式是什么形式,怎样用来合成系统误差和随机误差？ 答：系统误差的合成：在间接测量中，y 是直接测量量 的函数，是测量 的误差。
工程测试技术基础_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
工程测试技术基础_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.A/D器用于把模数量转换为数字量，对于一个转换速度为1ms、模拟信号输入范围为0 -- 5V 的8位A/D器件，如果输入一个3.3V的模拟信号，其数字信号输出值应该是：参考答案:1682.在什么条件下变阻器式传感器测量系统的输出量与输入量之间有较好的线性关系参考答案:负载电阻为无穷大3.下列哪些测量场景可以用磁敏电阻+小磁铁构成的传感器来进行检测？参考答案:传感器前通过的高强度钢齿轮零件的数量4.将下面的哪一个信号做为系统的输入信号时，系统的输出信号就可以代表其时域和频域系统特性。
参考答案:δ(t)5.我们想用Matlab编程产生一个方波信号，如下图所示，请问下面那条语句是正确的。
【图片】参考答案:y=square(2*pi*60*t,25);6.下面的哪个英文单词能最准确的代表“传感器"三字的含义参考答案:Sensor7.下面Matlab程序代码产生的是一个600Hz的正弦波信号，由于显示的是全部信号的波形，细节看不清楚，我们可以用如下的哪个函数来改进这一点.【图片】参考答案:axis8.下面是一个实测的心电信号波形，可以近似看作一个周期信号，请问信号的频率是多少？【图片】参考答案:1.4Hz9.按傅里叶变换理论，周期信号可以展开为一组正交的正弦信号和余弦信号，对下图所示的50Hz的方波信号，请问哪个展开式是对的。
【图片】参考答案:(12/π)*{sin(2π50t)+sin(2π150t)/3+sin(2π250t)/5+sin(2π350t)/7+......}10.请问关于信号频谱的概念中，下面的哪一个答案是正确的？参考答案:信号的功率谱是幅值谱的平方11.在傅里叶变换的性质中奇偶虚实性代表的含义是：参考答案:如果x(t)是偶函数，则傅里叶展开系数 bn=0, n=1,2,3,4,5,612.从频谱的栅栏效应误差修正的角度看，下面的哪个窗函数的性能最好 ?参考答案:平顶窗13.压电式传感器受到外力作用时，内部会被极化，表面产生电荷，这种现象称为压电效应。
工程测试技术答案
第三章测试系统的基本特征例3-1 对量程为10MPa 的压力传感器，其中端点法测得x y 005.5036.0+=，最小二乘拟合x y 005.5707.0+=，求其L ε、H ε的结果。
解：（1）%100max⨯∆=FSL Y L ε Y FS =5.005*(10-0）=50.05mV Y x=2=10.717 ΔL 1=0.674mV Y x=4=20.727 ΔL 2=0.634mV Y x=6=30.737 ΔL 3=0.584mV Y x=8=40.747 ΔL 4=0.619mV Y x=10=50.757 ΔL 5=0.685mV ∴ΔL max =0.685mV%37.1%100%10005.50685.0max =⨯=⨯=∆F S Y L L ε%100max ⨯=∆F SY H H εΔH 1=0.054mV ΔH 2=0.078mV ΔH 3=0.066mV ΔH 4=0.040mV ΔH 5=0 ∴%16.0%10005.50078.0%100max =⨯=⨯∆=FS H Y H ε 2.某测试系统频率响应函数曲线ωωj j H 05.011(+=)，若输入周期信号)30100cos(8.010cos 2)(︒-+=t t t X ，试求其响应y （t ）。
解：从题意知该系统应为一阶线性系统，故可设：)100cos(8.0)10cos(2)()()(2121θθ+++=+=t t t x t x t x)100cos(8.0*)10cos(2*)()()(221121θθ+++=+=t A t A t y t y t y又∵2)(11)(τωω+=A ,∴8944.0)1005.0(11)(21=⨯+=ωA ，1961.0)10005.0(11)(22=⨯+=ωA ； 又)arctan()(τωωφ-=∴︒-=⨯-=56.26)1005.0arctan()(1ωφ，︒-=⨯-=69.78)10005.0arctan()(2ωφ，∴A 1=0.8944 A 2=0.1961 θ1=-26.56° θ2=-78.69°,)30100cos(8.010cos 2)(︒-+=t t t X∴)69.108100cos(16.0)56.2610cos(79.1)(︒-+︒-=t t t y 4.某测量系统为一阶系统，当变阶跃函数作用时，在t=0时，输出为10mV ；当t →∞时输出为100mV ，在t=5s 时，输出为50mV ，试求该测量系统的时间常数τ。
工程测试技术试题及答案
工程测试技术试题及答案章节测试题第一章信号及其描述（一）填空题1、测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、信号的时域描述，以 $ 为独立变量；而信号的频域描述，以为独立变量。
3、周期信号的频谱具有三个特点：，，。
4、非周期信号包括信号和РРРРРРРРР 信号。
5、描述随机信号的时域特征参数有、、。
6、对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是对称，虚频谱（相频谱）总是对称。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（）2、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（）3、非周期信号的频谱一定是连续的。
（）4、非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（）5、随机信号的频域描述为功在sdfs 率谱。
（）（三）简答和计算题1、求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。
2、求正弦信号)sin()(0?ω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。
3、求指数函数)0,0()(≥>=-t a Aet x at的频谱。
4、求被截断的余弦函数??≥<=Tt T t t t x ||0||cos )(0ω的傅立叶变换。
5、求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x atω的频谱。
第二章测试装置的基本特性（一）填空题1、某一阶系统的频率响应函数为121)(+=ωωj j H ，输入信号2sin)(tt x =，则输出信号)(t y 的频率为=ω ，幅值=y ，相位=φ 。
2、试求传递函数分别为5.05.35.1+s 和2224.141nn n s s ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
3、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有、和。
4、当测试系统的输出)(t y 与输入)(t x 之间的关系为)()(00t t x A t y -=时，该系统能实现测试。
《工程测试技术基础》课程总复习分析
程误差,(4)分辨率,(5)零点漂移和灵敏度漂移
第3章 习 题
一、填空题
1、传感器的工作原理中，金属电阻应变片是基于 应变效。应 半导体应变片的是基于 压阻效。应 电感式传感器是基于 电磁感。应原理 磁电式传感器是基于 电磁感应。原理 压电式传感器是基于 压电。效应 光电式传感器是基于 光电。效应 热电式传感器是基于 热电。效应
5、频率保持特性指的是任何测试装置输出信号的频率总等 于输入信号的频率。（ ）
6、一阶系统时间常数τ越小越好。（ ）
7、二阶系统阻尼比 越小越好。（ ）
8、测试装置进行不失真测试的条件是其幅频特性为常数， 相频特性为零（ ）
三、单项选择题
1、传感器的静态特性中，单位输出所需要的输入量，称为 （C ）
工程测试技术基础 课程总复习
考试题型
一.填空题，每空1分，共15分（10题）； 二.选择题，每题2分，共20分（10题）； 三.判断题，每题3分，共15分（5题）； 四.简答题，每题6分，共30分（5题）； 五.计算题，每题10分，共20分(2题）；
考试范围
第一章 1-3节 第二章 1-6节 第三章 1-6节 第四章 1-4节（第4节考了一小部分内容） 第五章 1-3节
5、若 x(t) 的频谱为X ( f ) ，则 X (t) 的频谱为 X ( f ) 。（ ）
三、单选题
第1章 习 题
1、描述周期信号的数学工具是（ B ）
A.相关函数 B.傅氏级数 C.拉氏级数 D.傅氏变化
2、已知 x(t) 10sint, (t)为单位冲击函数，则积分
x(t) (t
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典型习题解答第一章习题1-3. 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。
解：幅值谱：2224)(f a A f x π+=; 相位谱：)2()(afarctg f πθ-=习题1-5. 求被截断的余弦函数t 0cos ω的傅立叶的变换⎩⎨⎧≥<=Tt Tt t t x 0cos )(0ω 解：[][])(2)(2sin )(2)(2sin )(2cos )(2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos )()(0000000002f f Tf f f f T f f dtt f f t f f dtft t f td ft j ft t f dte t xf x TTTTT ft j --+++=-++==-==⎰⎰⎰⎰--∞∞--ππππππππππππ222)2(020224)2(2)()()(f a tf j a A f j a A dte A e Ae dte t x dt e t xf x t f j a ftj at ft j ft j πππππππ+-=+==∙===⎰⎰⎰⎰∞+-∞--∞-∞∞--图1-1 题1-3图图1-2 题1-5图习题1-7. 设有一时间函数)(t f 及其频谱如图1-3所示，现在乘以正弦型振荡)(cos 00m t ωωω>，在这个关系中函数)(t f 叫做调制信号，正弦型振荡t 0cos ω叫做载波。
试求调幅信号t t f 0cos )(ω的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。
图1-3 （a ） 题1-7图解：调幅信号t t f t x 0cos )()(ω=其傅立叶变换为：1)(21)(21c o s )(21)(21)()()(00000πωππωωωωωωωωωω+===⎰⎰⎰∞∞+---∞∞---∞∞--∞∞--dt e e e t f te t f dt e t x x tj t j t j t j t j tj t j%1001)(1)()()(⨯-=-=∆ωωA o A A o A A ；以35.0=τ秒和1=T 秒，2秒和5秒代入两式求解，即得42.0)114.3235.0(11)(21=⨯⨯+=ωA ∴%581=∆A%3267.0)214.3235.0(11)(222=∆∴=⨯⨯+=A A ω%892.0)514.3235.0(11)(23=∆∴=⨯⨯+=A A ω2-3因题设装置的频率响应函数为ωωτωj j j H 005.01111)(+=+=此装置对所给输入信号)(t x ，按线性叠加性和频率保持性 )()()(21t x t x t x += 其中t t x 10cos 5.0)(1=，即0105.0111===θωX ；)45100cos(2.0)(02-=t t x ，即022*******.0-===θωX ；应分别有下列之增益和相移，并保持其原频率。
即0186.2999.010005.011)(-∠=⨯⨯+=j j H ω 增益0.999 相移 086.2-0257.26895.0100005.011)(-∠=⨯⨯+=j j H ω 增益0.895 相移057.26-[])57.71100cos(179.0)86.210cos(5.057.26)45100(cos 2.0895.0)66.210cos(5.0999.0)(00000-+-=--⨯+-⨯=t t t t t y2-5 （1）按题意108.0)195100()(%5)(111%10011)(22=-=∴≤+-=⨯-=ωτωτωδj H且'04142422209)1023.5100(102.8%100)(1111005022)2(523)(10233.5)200(108.0108.020010022-≈⨯⨯-=-=⨯=⨯+-=∴=⨯===⨯===∴=⨯==----πωτϕωτδπππωμπωτπππωtg tg f s s f 且2-9 串联后系统的传递函数可以写成2222224.141170.34.141)5.055.3(225.1nn n n n n s s s s s ωωωωωω++⨯+=++⨯+⨯ ∴总灵敏度123410.3R 02010=⨯=⨯=R R 2-10 ○1按题意给数据，当πω2400⨯=时，πω2800⨯=n 即4.0,5.0800400===ξωωn 当4.0=ξ时18.1]5.04.02[])5.0(1[1]2[])(1[1)400(22222=⨯⨯+-=+-=∴nn A ωωξωω311.1)5.0(15.04.02)(12)400(22=-⨯⨯-=--=nn arctg ωωωωξϕ 06.10)400(-=∴ϕ 即此时的幅值（比）为1.311 ，相移为06.10- ○2上列计算中，只置换7.0=ξ，则01.43)400(98.0)400(-==ϕA即此时幅值比为0.98 相移为01.43-第三章3-4 解：因为电阻应变片灵敏度系数 εR RS ∆=所以，电阻变化量Ω=⨯⨯⨯==∆-24.021*********S R R ε无应变时电流表示值 mA R U I 5.121205.1===有应变时电流表示值 mA R R U I 475.1224.1205.1==∆+=电流表指示值的相对变化量 %2.05.12475.125.12=-=I ε 不能。
这个变化量是太小，必须用高灵敏度的微安表方可读出，一般接入电桥。
3-7解：因为电容式传感器0δεεAC =所以，电容的变化量 δδεε∆-=∆2001AC又电容板板面积 ][)104(2232m r A -⨯==ππ ][1085.820m F -⨯=ε 在空气中1=ε，初始间隙 ][103.030m -⨯=δ 所以，电容的变化量][1094.4)101()103.0()104(1085.836232312PF C -----⨯±=⨯±⨯⨯⨯⨯⨯-=∆π传感器的灵敏度 )(1094.43m PF cS μδ-⨯=∆∆=仪表指示的变化范围][47.251001094.413格±=⨯⨯⨯⨯±=-B 3-11解：(1) 系统方框图p ∆x90pC/MPa 0.005V/pC 20mm/V (2)系统总灵敏度MPa mm S /920005.090=⨯⨯=第四章4-1解：（a ） 单臂电桥输出电压 当ε=2με时ye =004e R R∆=4se ε=4322106⨯⨯⨯-=3⨯610-[]V当ε=2000με时 ye =4e s ∙∙ε=3⨯310-[]V（b ） 双臂电桥的输出电压当ε=2με时 ye =2e s ∙∙ε=6⨯610-[]V当ε=2000με时ye =2e s ∙∙ε=6⨯310-[]V（c ） 双臂电桥较之单臂电桥输出灵敏度提高一倍。
4-2解： 半桥双臂时，电压输出 ye =RR e∆∙2（1）当两桥臂各串联电阻R 时，其电阻相对变化量为RR 22，既没有变化，故灵敏度不变。
（2） 当两桥臂各并联电阻R 时，'1R =R 1+R 1 即并联电阻值'R =2R ，同理并联后电阻变化'R ∆=2R ∆ 故电阻相对变化 ''R R ∆=22R R ∆=R R ∆ 也没有变化，故这种方法也不能提高灵敏度。
4-4解：电桥输出电压ye =K ()t u ε0式中 K —— 与电阻应变片灵敏度及电桥接法有关的系数。
所以 ye =()t B t A t KE 100cos 10cos 10000sin +⋅ =t t KEB t t KEA 100cos 10000sin 10cos 10000sin ⋅+⋅=()()t t KEB t t KEA 990010100sin 29990sin 10010sin 2+++其频谱如图4-1所示：2KEB2KEA2KEA 2KEB9900 9990 10010 10100图4-1 题4-4图4-5解：（1） ()t x a 所包含的各分量频率及幅值()t x a ()()t t t 0cos 3cos 20cos 30100ωΩ+Ω+=t t t t t 000cos 3cos 20cos cos 30cos 100ωωω∙Ω+∙Ω+=载波频率 cf =10 kHz 幅值为100cf +Ωf =10500 Hz 幅值为15cf -Ωf =9500 Hz 幅值为15cf +3Ωf =11500 Hz 幅值为10cf -3Ωf =8500 Hz 幅值为10调幅波所占频宽 3000850011500=-=B Hz (2) 调制信号 t t t x Ω+Ω+=3cos 20cos 30100)(调制信号的频谱图4-2（a ）所示，调幅波的频谱如图4-2（b ）所示。
图4-2 题4-5图4-9（1）⨯ ；（2）√；（3）√；（4）√第五章5-1．求()t h 自相关函数，()t h =()()⎪⎩⎪⎨⎧<>>=-0000t a t eat解：()()()()ττττa t a at h e adt e e dt t t t h R -+-∞-∞∞-==+=⎰⎰2105-2．假定有一个信号()t x ，它是由两个频率，相角均不相同的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 ()()()222111c o s c o s θθ+++=t w A t w A t x求该信号的自相关函数。
解：()=τxR()()[]()[]()[]{}dtt w A t w A x t w A t w A T TT T 22211122222111cos cos cos cos 1lim00θτθτθθ++++++++⎰-∞→上式中被积函数可以展开成为：()()[]()()[]()()[]()[]()2211212211212222122111121cos cos cos cos cos cos cos cos θθτθτθθτθθτθ+++++++++++++++w t w A A t w w A A t w w A t w w A 式中后两项是频率为1w 和2w 的两个余弦波相乘，根据正，余弦函数的正交性，它们相乘后的积分平均值为零。
前两项可利用三角函数的积化和差公式化为：()()[]111121cos cos θτθ+++t w w A =()()[]τθτ111121cos 22cos 2w w t w A -+++ ()()[]222222cos cos θτθ+++t w w A =()()[]τθτ222222cos 22cos 2w w t w A -+++上两式右端方括号中的第一项，分别是频率为12w 和22w 的余弦波，它们在很长的时间间隔()∞→0T 上的积分平均值也是零。